The Block Diagram – Control Engineering

Foundations

A control system may consist of a number of components. To show the function performed by each component, control engineers commonly use a diagram called the block diagram.They are used in various control actions at automated control systems. The first application is in representing physical systems.

A block diagram of a system is a pictorial representation of the functions performed by each component and of the flow of signals. Such a diagram depicts the interrelationship that exist among the various components. Differing from a purely mathematical representation, a block diagram has the advantage of indicating more realistically the signals flow of the actual system.

The functional block is a symbol for the mathematical operation on the input signal to the block that produces the output. The Transfer Functions of the components are usually entered in the corresponding blocks, which are connected by arrows to indicate the direction of the signal flow.

Figure 3-2 shows an element of the block diagram (In order to guide the readers to the source, I preferred to use the same reference from the book where I found the information). The dimension of output signal of the block is the dimension of the input signal multiplied by the dimension of the transfer function in the block.

[1]

The main contribution of the block diagrams lie in the fact that the functional operation of the entire system can be visualized more readily by examining its block diagram than by examining the physical system itself. The block diagram contains information concerning dynamic behavior but it does not include any information about the physical construction of the system. Consequently, many dissimilar or unrelated systems can be represented by the same block diagram.

So, each block can be considered as a subsystem. When multiple subsystems are interconnected it is necessary to add new elements to the block diagram: summing points and pickoff points. The characteristics of each element is shown in Figure 5-2:

[2]

One of the most important components of a control system is that which acts as an union point to the comparison of signals. That is what a summing point do. Examples of the devices involved in these operations are the potentiometer and the differential amplifier. Figure 3-3 shows the diversity of this operations:

[3]

A pickoff point, as shown in Figure 5-2, distributes the input signal to several output points.

We will now examine some common topologies for interconnecting subsystems and derive the single Transfer Function representation. These common topologies will form the basis for reducing more complicated systems to a single block.

Cascade Form

Figure 5-3 shows an example of cascade configuration. Intermediate signals values are shown at the output of each subsystem. Each signal is derived from the product of the imput times the Transfer Function.

[2]

The Equivalent Transfer Function Ge(s) is shown in Figure 5-3-b and it is the output Laplace Transform divided by the input Laplace Transform as follows:

Parallel Form

Figure 5-5 shows an example of parallel subsystems.

[2]

Again, by writing the output of each system we can find the equivalent Transfer Function. Parallel subsystems have a common input and the output form by the algebraic sum of the output from all of the subsystems.The equivalent Transfer Function Ge(s) is the output transform divided by the input transform as follows:

Feedback Form

Figure 3-4 shows an example of a block diagram of a Feedback system, also known as Closed-Loop System. The output C(s) is fed back to the summing point to compare it with the reference input signal R(s).

[1]

Generally, when the output signal C(s) is fed back to the summing point for comparison with the input, it is necessary to transform its form so that it gets the same form of the input signal. For example, the output could be an assessment of the temperature, thus it has the dimensions of the temperature, but the input could be a level of voltage, so it has a typical dimension of electricity. The control system must implement a transducer to set both signals in the same dimension. The conversion is accomplished by the feedback element whose Transfer Function is H(s):

[1]

For the system shown in Figure 3-5 the output C(s) an input R(s) are related as follows:

The Transfer Function relating C(s) and R(s) is called The Closed-Loop Transfer Function and it relates the closed-loop system dynamic to the dynamic of the feedforward elements and feedback elements.

To finish, Table 3-1 shows the algebraic rules for Block Diagrams:

[1]

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Sources:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t p71
  2. Control Systems Engineering, Nise p236
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo p108

Posted by: Larry Francis Obando – Technical Specialist –

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Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Cimientos

Un sistema de control puede estar compuesto por numerosos mecanismos eléctricos, tales como un alto número de resistencias, electrónicos (un amplificador operacional), electromecánicos (motores). Para representar todos estos componentes y la manera como fluye la información entre ellos, los ingenieros de control nos valemos de Los Diagramas de Bloques. Este nos permiten desarrollar esquemas para comprender más fácilmente las operaciones de control en el sistema, representando pictóricamente la función de cada elemento físico de dicho sistema.

A diferencia de una representación puramente matemática integrada por ecuaciones diferenciales, o su equivalente luego de utilizar la Transformada de Laplace o Variables de Estado, los diagramas de bloques nos permiten visualizar de una manera más realista el flujo de las señales en el sistema.

Cada bloque del diagrama, denominado Bloque Funcional, consiste en un rectángulo que en su centro muestra la operación matemática aplicada a la señal de entrada (etiquetada con una flecha que entra al bloque) y que produce la señal de salida (etiquetada con una flecha que sale del bloque)

La Figura 3-2 muestra los elementos de un Bloque Funcional (Para guiar al lector a la fuente, he preferido utilizar la misma referencia del libro del cual obtuve la información). La dimensión de la señal de salida es la dimensión de la señal de entrada multiplicada por la función del bloque, mejor conocida como Función de Transferencia G(s).

[1]

El aporte más importante de un diagrama de bloques es que permite al ingeniero de control visualizar la operación y funcionalidad del sistema de control en su totalidad, de una manera incluso más práctica que observando directamente el sistema físico mismo. Sin embargo, el diagrama de bloques ofrece información puramente relacionada con el comportamiento dinámico del sistema, también llamado Dinámica del Sistema. Es decir, el diagrama de bloques no nos dice cómo está construido físicamente el sistema en realidad. Por ello, dos o más sistemas de control físicamente distintos y no relacionados pueden estar representados por el mismo diagrama de bloques.

Cada Bloque Funcional es considerado en sí mismo un subsistema. Cuando múltiples subsistemas se interconectan se hace necesario añadir nuevos elementos al diagrama de bloques. Aparecen entonces de acuerdo con Ogata (1998), los Puntos Suma (summing point) y los Puntos de Ramificación (pickoff points). Las características de cada elemento pueden observarse en la Figura 5-2

[2]

Los puntos de suma permiten ejecutar una de las operaciones más importantes de un sistema de control: la comparación entre dos o más señales (Figure 5-2-c). Ejemplos del tipo de aparatos utilizados en este tipo de operaciones son El Potenciómetro y El Amplificador Operacional. La Figura 3-3 muestra que tan diversas pueden ser estas operaciones:

[3]

Por su parte los puntos de ramificación permiten distribuir una señal de entrada hasta varios puntos de salida (Figure 5-2-d).

Ahora examinaremos las topologías más comunes en las cuáles estos subsistemas llamados Bloques Funcionales se interconectan. También hablaremos de la técnica básica para reducir estas configuraciones a un sólo bloque y, por ende, a una Función de Transferencia única.

Forma de Cascada

La Figura 5-3 muestra un ejemplo de Diagrama de Bloques en Cascada. Los valores de las señales intermedias se muestran a la salida de cada subsistema. Cada uno de estos valores se obtiene como resultado de multiplicar la Transformada de Laplace de la entrada por la Transformada de Laplace de la Función de Transferencia de cada bloque:

[2]

La Función de Transferencia Ge(s) se observa en la Figura 5-3b y es resultado de dividir la Transformada de Laplace de la salida entre la Transformada de Laplace de la entrada:

Forma en paralelo.

La Figura 5-5 muestra un ejemplo de Diagrama de Bloques en Paralelo.

[2]

Nuevamente en la figura anterior se procede a multiplicar la Transformada de Laplace de la entrada de cada bloque por la Transformada de Laplace de su Función de Transferencia. Luego, a la salida de cada subsistema encontramos los valores de las señales intermedias.

Los subsistemas en paralelo tienen una entrada en común y su salida se forma como producto de la suma algebraica de todas las salidas de cada uno de los bloques. Una vez más, la Función de Transferencia equivalente Ge(s) para todo el sistema es la siguiente:

Forma realimentación.

La Figura 3-4 muestra un ejemplo de diagrama de bloque para un Sistema de Control con Realimentación (Feedback System), también conocido como Sistema de Lazo Cerrado. El punto de suma es realimentado con la salida C(s) para ser comparada con la señal de referencia R(s).

[1]

Generalmente, cuando la señal de salida C(s) es realimentada al punto de suma para su comparación, es necesario primero transformar dicha señal de salida a una forma que coincida con la de la señal de entrada. Para que puedan ambas ser sometidas a una operación matemática deben estar expresadas en las mismas dimensiones. Por ejemplo, la salida puede ser una medida de temperatura, la cual debe transformarse a una señal de voltaje porque la señal de referencia es por lo general una señal de voltaje. Por tanto, en el camino de regreso la señal de entrada es tratada por un transductor que transforma la señal de temperatura en señal eléctrica. La transformación es lograda por un dispositivo cuya Función de Transferencia es H(s):

[1]

Para el sistema de la figura anterior la salida C(s) y la entrada R(s) están relacionadas como sigue:

La Función de Transferencia que relaciona C(s) y R(s) se denomina Función de Transferencia de Lazo Cerrado.

Para culminar, mostramos a continuación las reglas del álgebra básicas para los Diagramas de Bloques:

[1]

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Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t p71
  2. Control Systems Engineering, Nise p236
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo p108

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Flujo de Potencia – Simulación con Matlab

Versión pdf: Flujo de Potencia – Análisis y Simulación.

Las herramientas de Matlab para el análisis de sistemas de potencia pueden dividirse en dos tipos: programas comerciales y programas destinados a la educación e investigación. Entre los comerciales se mencionan los siguientes: NEPLAN, PowerWorld y ATP. La principal desventaja de estos es que son programas de código cerrado, por tanto no se pueden modificar sus rutinas o agregar nuevos modelos de dispositivos eléctricos, lo que limita enormemente su aplicación para el análisis de nuevas tecnologías, así como su aplicación para la investigación y la educación. En contraste, Matpower (Matlab Power System Simulation Package) es una herramienta de código abierto, fácilmente modificable que se adapta a las necesidades del mundo académico. En sus propias palabras, el matpower-guide reza: MATPOWER is a package of MATLAB M-files for solving power flow and optimal power flow problems. It is intended as a simulation tool for researchers and educators that is easy to use and modify. MATPOWER is designed to give the best performance possible while keeping the code simple to understand and modify…MATPOWER is free. Anyone may use it. A continuación, la Figura 1 muestra un resumen de los paquetes basados en Matlab para el análisis de sistemas de potencia:

Figura 1: Paquetes basados en Matlab para el estudio de sistemas de potencia.

Fuente: (Guzmán M. , 2012)

Aplicación.

Caso 9 Bus IEEE

Caso 30 Bus IEEE

A continuación se presentan aplicaciones específicas de Matlab y su herramienta Matpower para analizar casos IEEE de 30 barras y 9 barras (Figuras de arriba). Si bien, la función objetivo puede ser cualquiera (en estos ejemplos se utilizan los algoritmos “Simulated Annealing” y “Tabu Search” ), la corrida de flujo de potencia es un buen ejemplo del cómo se ejecuta dicha corrida en Matlab. Para ejecutar los ejemplos se debe crear un archivo .m para cada título (a,b,…etc), con el nombre exactamente igual como aparece en la lista porque…. Cada uno de ellos es utilizado por el Principal y deben estar todos cargados en matlab en la misma bandeja, la misma vía de acceso, para que matlab los encuentre. Adicional a esto, se deben copiar y cargar en Matlab varios archivos de la librería de Matpower.

  1. Tabu Search
    1. Principal.m
    2. st.m
    3. ogranicenja.m
    4. JANA.m
    5. Fobj.m
    6. Ybus.m
    7. Caso_30Bus.m
    8. Caso_9Bus.m
    9. Deberá obtener de la librería de Matpower y cargar en Matlab los siguientes archivos:
      1. test.mat
      2. all.mat
      3. bus.mat
    10. También debes crear un par de archivos jpg para las imágenes de cada caso mostradas más arriba
      1. Caso_30Bus.jpg
      2. Caso_9Bus.jpg

Instrucciones: Al darle play al archivo Principal.m, se te abre una ventana interactiva (IDE). Del lado superior izquierdo elegirás el tipo de bus (9 o 30), elegirás el método (solo tabu search por los momentos), la función objetivo (solo aparece pérdidas) y luego llenas las características para el tabu search, coloqué un botón que indica por defecto y te lanza unos datos, dale a por defecto (tmax aumenta el tiempo de iteración, mejora la solución por si quieres jugar con el). Presionas el botón Corrida que es de color Morado, e iniciará los cálculos Esperas a que termine y en resultados puedes ver todas las respuestas. Sabrás que el programa terminó porque te mostrará una gráfica y desaparecerán todo el desastre de gráficas y tablas que estaban antes. También en la ventana de comando te saldrá un tiempo, el que tardó en cada vuelta. Hay dos botones de imagen, uno te lanza el resultado de las pérdidas verás que la gráfica es una curva que baja. El otro botón de Imagen te da otra gráfica, que es la de iteraciones por Bus.

  1. Tabu Search (variante)
    1. Caso_30Bus.m
    2. Caso_9Bus.m
    3. Bus30.m
    4. Bus9.m
    5. Instrucciones: En este caso no se ejecuta un IDE sino que la corrida se observa directamente en la cónsola de Matlab. Debes cargar todos los archivos restantes del caso anterior. El principal en este caso es Bus30, o Bus9.
  2. Simulated Annealing
    1. En este ejemplo tendremos más de 80 archivos. La manera más práctica de compartir este ejemplo contigo es que me envíes tu dirección de correo electrónico y utilizo la herramienta de google drive para compartir todo en uno, (igual podemos hacer lo mismo con Tabu Search) de manera tal que lo descargues en tu compu, luego direccionas matlab adecuadamente y ejecutas…sencillo, gratis y un placer por servir. Por favor escribir solicitud a dademuchconnection@gmail.com

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UML – Analysis activities: From Use Case to Class Diagram

Computer science and programming

UML Analysis activities – From Use Case to Class Diagram

Miércoles 29 noviembre, 10:16 am

Fuente:

Object-Oriented Software Engineering

    1. Analysis p 173
    2. Identifying Associations pp 190
    3. Identifying Aggregates pp 192
    4. Identifying Attributes pp 193

Identifying Associations

In this section, we discuss the use of class diagrams for representing associations among objects. An association shows a relationship between two or more classes. For example, a FieldOfficer writes an EmergencyReport (see Figure 5-13).

Associations have several properties:

  • A name to describe the association between the two classes (e.g., Writes in Figure 5-13). Association names are optional and need not be unique globally.
  • A role at each end, identifying the function of each class with respect to the associations (e.g., author is the role played by FieldOfficer in the Writes association).
  • A multiplicity at each end, identifying the possible number of instances (e.g., *
  • indicates a FieldOfficer may write zero or more EmergencyReports, whereas 1
  • indicates that each EmergencyReport has exactly one FieldOfficer as author).

Initially, the associations between entity objects are the most important, as they reveal more information about the application domain. According to Abbott’s heuristics (see Table 5-1), associations can be identified by examining verbs and verb phrases denoting a state (e.g., has, is part of, manages, reports to, is triggered by, is contained in, talks to, includes). Every association should be named, and roles should be assigned to each end.

The object model will initially include too many associations if developers include all associations identified after examining verb phrases. In Figure 5-14, for example, we identify two relationships: the first between an Incident and the EmergencyReport that triggered its creation; the second between the Incident and the reporting FieldOfficer. Given that the EmergencyReport and FieldOfficer already have an association modeling authorship, the association between Incident and FieldOfficer is not necessary. Adding unnecessary associations complicates the model, leading to incomprehensible models and redundant information.

Most entity objects have an identifying characteristic used by the actors to access them. FieldOfficers and Dispatchers have a badge number. Incidents and Reports are assigned numbers and are archived by date. Once the analysis model includes most classes and associations, the developers should go through each class and check how it is identified by the actors and in which context.

Identifying Aggregates

Aggregations are special types of associations denoting a whole–part relationship. For example, a FireStation consists of a number of FireFighters, FireEngines, Ambulances, and a LeadCar. A State is composed of a number of Counties that are, in turn, composed of a number of Townships (Figure 5-15). An aggregation is shown as a association with a diamond on the side of the whole part.

There are two types of aggregation, composition and shared. A solid diamond denotes composition. A composition aggregation indicates that the existence of the parts depends on the whole. For example, a County is always part of exactly one State, a Township is always part of a County. As political boundaries do not change often, a Township will not be part of or shared with another County.

A hollow diamond denotes a shared aggregation relationship, indicating the whole and the part can exist independently. For example, although a FireEngine is part of at most one FireStation at the time, it can be reassigned to a different FireStation during its life time. Aggregation associations are used in the analysis model to denote whole–part concepts. Aggregation associations add information to the analysis model about how containment concepts in the application domain can be organized in a hierarchy or in a directed graph. Aggregations are often used in the user interface to help the user browse through many instances.

If you are not sure that the association you are describing is a whole–part concept, it is better to model it as a one-to-many association, and revisit it later when you have a better understanding of the application domain.

Identifying Attributes

Attributes are properties of individual objects. For example, an EmergencyReport, as described in Table 5-2, has an emergency type, a location, and a description property (see Figure 5-16).

These are entered by a FieldOfficer when she reports an emergency and are subsequently tracked by the system. When identifying properties of objects, only the attributes relevant to the system should be considered.

Properties that are represented by objects are not attributes. For example, every EmergencyReport has an author that is represented by an association to the FieldOfficer class. Developers should identify as many associations as possible before identifying attributes to avoid confusing attributes and objects. Attributes have:

  • A name identifying them within an object. For example, an EmergencyReport may have a reportType attribute and an emergencyType attribute. The reportType describes the kind of report being filed (e.g., initial report, request for resource, final report). The emergencyType describes the type of emergency (e.g., fire, traffic, other). To avoid confusion, these attributes should not both be called type.
  • A brief description.
  • A type describing the legal values it can take. For example, the description attribute of an EmergencyReport is a string. The emergencyType attribute is an enumeration that can take one of three values: fire, traffic, other. Attribute types are based on predefined basic types in UML

Attributes can be identified using Abbott’s heuristics (see Table 5-1). In particular, a noun

phrase followed by a possessive phrase (e.g., the description of an emergency) or an adjective phrase (e.g., the emergency description) should be examined. In the case of entity objects, any property that must be stored by the system is a candidate attribute.

Note that attributes represent the least stable part of the object model. Often, attributes are discovered or added late in the development when the system is evaluated by the users. Unless the added attributes are associated with additional functionality, the added attributes do not entail major changes in the object (and system) structure. For these reasons, the developers need not spend excessive resources in identifying and detailing attributes that represent less important aspects of the system.

Literature Review by: Larry Francis Obando – Technical Specialist

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SISTEMA DE POTENCIA – FUNDAMENTOS

Literature Review

Fuentes:

  1. Libro Analisis_de_sistemas_de_pot
    1. Potencia en circuitos Monofásicos p 5 (18)
    2. Potencia compleja pp 10 (22)
    3. Dirección del flujo de potencia pp 11
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg, 1999 – Network Analysis – Universidad de Illinois
    1. Carga y Energía capt 1.2 – p 16 (18)

Definición de potencia eléctrica – Introducción

 

El conocimiento actual de la naturaleza de la carga se basa en el Esquema Conceptual de la Teoría Atómica.

  Análisis de Sistemas de Potencia

Al respecto ver Representación Fasorial de Voltajes y Corrientes

Potencia en Circuitos Monofásicos

Potencia Compleja

El Triángulo de Potencia

Dirección del flujo de potencia

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UNDERDAMPED SECOND-ORDER SYSTEM

Fuentes:

Control Systems Engineering, Norman Nise

    1. Introduction Chapter 4 pp 162 (162)
    2. Poles and Zeros 4.1 pp 162 –
    3. First Order System 4.3 pp 165-168
    4. Second Order System 4.4 pp 168-177
    5. Underdamped Second-Order System 4.6 pp 177-186
  1. Modern_Control_Engineering__4t
    1. Introduction Chapter 5 pp 219 (232)
    2. First Order Systems 221 (234)-224
    3. Second Order System pp 224 (237)-234

Literature Review, Martes 14 noviembre 2017, 05:07 am – Caracas, Quito, Guayaquil.

Introduction

Now that we have become familiar with second-order systems and their responses, we generalize the discussion and establish quantitative specifications defined in such a way that the response of a second-order system can be described to a designer without the need for sketching the response. We define two physically meaningful specifications for second-order systems. These quantities can be used to describe the characteristics of the second-order transient response just as time constants describe the first-order system response.

Natural Frequency, Wn

The natural frequency of a second-order system is the frequency of oscillation of the system without damping. For example, the frequency of oscillation of a series RLC circuit with the resistance shorted would be the natural frequency.

Damping Ratio,

We have already seen that a second-order system’s underdamped step response is characterized by damped oscillations. Our definition is derived from the need to quantitatively describe this damped oscillations regardless of the time scale.Thus, a system whose transient response goes through three cycles in a millisecond before reaching the steady state would have the same measure as a system that went through three cycles in a millennium before reaching the steady state. For example, the underdamped curve in Figure 4.10 has an associated measure that defines its shape. This measure remains the same even if we change the time base from seconds to microseconds or to millennia.

 A viable definition for this quantity is one that compares the exponential decay frequency of the envelope to the natural frequency. This ratio is constant regardless of the time scale of the response. Also, the reciprocal, which is proportional to the ratio of the natural period to the exponential time constant, remains the same regardless of the time base.

We define the damping ratio, , to be:

Consider the general system:

Without damping, the poles would be on the jw-axis, and the response would be an undamped sinusoid. For the poles to be purely imaginary, a = 0. Hence:

Assuming an underdamped system, the complex poles have a real part, , equal to -a/2. The magnitude of this value is then the exponential decay frequency described in Section 4.4. Hence,

from which

Our general second-order transfer function finally looks like this:

Now that we have defined and Wn, let us relate these quantities to the pole location. Solving for the poles of the transfer function in Eq. (4.22) yields:

From Eq. (4.24) we see that the various cases of second-order response:

Underdamped Second-Order System

Now that we have generalized the second-order transfer function in terms of and Wn, let us analyze the step response of an underdamped second-order system.

Not only will this response be found in terms of and Wn, but more specifications
indigenous to the underdamped case will be defined. The underdamped second order system, a common model for physical problems, displays unique behavior that
must be itemized; a detailed description of the underdamped response is necessary
for both analysis and design. Our first objective is to define transient specifications
associated with underdamped responses. Next we relate these specifications to the
pole location, drawing an association between pole location and the form of the
underdamped second-order response. Finally, we tie the pole location to system
parameters, thus closing the loop: Desired response generates required system
components.

Let us begin by finding the step response for the general second-order system of Eq. (4.22). The transform of the response, C(s), is the transform of the input times the transfer function, or:

where it is assumed that < 1 (the underdamped case). Expanding by partial fractions, using the methods described, yields:

Taking the inverse Laplace transform, which is left as an exercise for the student, produces:

where:

A plot of this response appears in Figure 4.13 for various values of , plotted along a time axis normalized to the natural frequency.

We now see the relationship between the value of and the type of response obtained: The lower the value of , the more oscillatory the response.

The natural frequency is a time-axis scale factor and does not affect the nature of the response other than to scale it in time.

Other parameters associated with the underdamped response are rise time, peak time, percent overshoot, and settling time. These specifications are defined as follows (see also Figure 4.14):

  1. Rise time, Tr. The time required for the waveform to go from 0.1 of the final value to 0.9 of the final value.
  2. Peak time, TP. The time required to reach the first, or maximum, peak.
  3. Percent overshoot, %OS. The amount that the waveform overshoots the steady-state, or final value at the peak time, expressed as a percentage of the steady-state value.
  4. Settling time, Ts. The time required for the transient’s damped oscillations to reach and stay within 2% of the steady-state value.

All definitions are also valid for systems of order higher than 2, although analytical expressions for these parameters cannot be found unless the response of the higher-order system can be approximated as a second-order system.

Rise time, peak time, and settling time yield information about the speed of the transient response. This information can help a designer determine if the speed and the nature of the response do or do not degrade the performance of the system.

For example, the speed of an entire computer system depends on the time it takes for a hard drive head to reach steady state and read data; passenger comfort depends in part on the suspension system of a car and the number of oscillations it goes through after hitting a bump.

Evaluation of Tp

Tp is found by differentiating c(t) in Eq. (4.28) and finding the first zero crossing after t = 0.

Evaluation of %OS.

From Figure 4.14 the percent overshoot, %OS, is given by:

 Evaluation of Ts

In order to find the settling time, we must find the time for which c(t) in Eq. (4.28) reaches and stays within ₎±2% of the steady-state value, C final.

 Evaluation of Tr

A precise analytical relationship between rise time and damping ratio cannot be found. However, using a computer and Eq. (4.28), the rise time can be found. Let us look at an example.

We now have expressions that relate peak time, percent overshoot, and settling time to the natural frequency and the damping ratio. Now let us relate these quantities to the location of the poles that generate these characteristics. The pole plot for a general, underdamped second-order system is reproduced in Figure 4.17.

Now, comparing Eqs. (4.34) and (4.42) with the pole location, we evaluate peak time and settling time in terms of the pole location. Thus:

where is the imaginary part of the pole and is called the damped frequency of oscillation, and is the magnitude of the real part of the pole and is the exponential damping frequency part.

At this point, we can understand the significance of Figure 4.18 by examining the actual step response of comparative systems. Depicted in Figure 4.19(a) are the step responses as the poles are moved in a vertical direction, keeping the real part the same. As the poles move in a vertical direction, the frequency increases, but the envelope remains the same since the real part of the pole is not changing.

Let us move the poles to the right or left. Since the imaginary part is now constant, movement of the poles yields the responses of Figure 4.19(b). Here the frequency is constant over the range of variation of the real part. As the poles move to the left, the response damps out more rapidly.

Moving the poles along a constant radial line yields the responses shown in Figure 4.19(c). Here the percent overshoot remains the same. Notice also that the responses look exactly alike, except for their speed. The farther the poles are from the origin, the more rapid the response.

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Sistemas LDCID – Modeling – Fundamentos

Sistemas LDCID – Representación Matemática

Sábado 11 de noviembre, 4:53 am

Fuentes:

Análisis de Sistemas Lineales – Prof. Ebert Brea

    1. Análisis de Sistemas en el Dominio Continuo pp 29 – (58)
  1. Control Systems Engineering, Norman Nise
    1. First Order System 4.3 pp 165-168

 

 El modelo matemático y sus términos

Los sistemas lineales, dinámicos, causales, invariantes en el dominio y deterministas (LDCID) definidos en el dominio del tiempo continuo constituyen parte importante en el estudio de los sistemas eléctricos, debido al hecho de sus innumerables aplicaciones dentro de la ingeniería eléctrica.

En general podría decirse que los sistemas lineales son el resultado de aproximaciones en el modelaje de sistemas. No obstante, aun cuando los sistemas eléctricos forman parte de los llamados sistemas no lineales, su tratamiento como sistemas lineales permiten dar respuestas acertadas a las preguntas que pudiera requerir los profesionales del área.

Los modelos matemáticos de sistemas dinámicos definidos en el dominio continuo presentan términos asociados a operaciones de derivadas de las cantidades externas con respecto a la variable independiente, que por lo general será el tiempo. Estos modelos matemáticos se denominan ecuaciones diferenciales, y sus respectivas respuestas son totalmente definidas por las condiciones de cada sistema representado por el modelo matemático.

Un aspecto importante a estudiar la representación de un sistema a través de su modelo matemático es la identificación de los términos que son expresados en el modelo matemático de un sistema LDCID, el cual es representado por una ecuación diferencial ordinaria ( (ODE) involves derivatives of a function of only one variable) de orden m-ésimo en relación a la señal de excitación x(t), y de orden n-ésimo con respecto a su señal de respuesta y(t), es decir, en general un modelo matemático asociado a un sistema LDCID viene dado por:

donde y(t) representa la señal de respuesta también denominada señal de salida, x(t) representa

la señal de excitación o de entrada, y los coeficientes an;a1; …;a0 y bm;b1; … ;b0

representan los parámetros del sistema, que alteran respectivamente la señal de excitación y la señal de respuesta, así como sus derivadas ordinarias, y la variable independiente t, en este caso puede significar el tiempo, con el propósito de contextualizar el dominio en el cual está definido el modelo matemático.

Modelo matemático de primer orden

Un sistema LDCID en el dominio continuo de primer orden es representado mediante una ecuación diferencial dada por:

Note que el modelo debe ser de primer orden en lo que respecta a los operadores ,

es decir, en mayor orden de derivadas de la señal de respuesta y(t) debe ser n = 1.

Sin embargo, podría ser de cualquier orden con relación a los operadores de la excitación

para , debido al hecho de que las operaciones de derivadas sobre la señal de excitación no son consideradas parte del sistema.

Note que las operaciones definidas sobre la señal de excitación no forman parte del sistema, por cuanto las operaciones matemáticas definidas sobre la excitación constituyen el modelo matemático de la señal de excitación.

Por razones de simplificación en la nomenclatura y mediante la propiedad de superposición, se estudiará la solución de la ecuación diferencial:

Note que para obtener la solución del sistema debe conocerse al menos una condición de la respuesta del sistema, la cual usualmente es especificada a través de su condición inicial, y(0).

Luego de manipulaciones algebraicas convenientes (demostración en Fuente 1), se concluye que la solución a la ecuación diferencial representada por la Ecuación (2.12) viene dada por:

donde:

  1. Respuesta transitoria:

  1. Respuesta permanente

Ejemplo 2.2

La Figura 2.3 muestra un sistema compuesto por una resistencia y un capacitor, y cuyos valores son representados respectivamente por R y C. Además, la figura muestra que el sistema eléctrico es excitado por una señal x(t) = u(t) y su respuesta es medida a través de la tensión sobre el capacitor, donde u(t) representa la función escalón unitario:

El modelo matemático asociado al sistema representado por la Figura 2.3 puede obtenerse empleando elementales ecuación de redes eléctricas:

Entonces, al comparar el modelo matemático definido por la Ecuación (2.12) con el modelo obtenido, se tiene que el coeficiente a0 y la señal de excitación son:

,

Al aplicar la solución expresada por medio de la Ecuación (2.21), se puede afirmar que:

Al operar la Ecuación (2.26) se tiene que la respuesta del sistema es dada por:

Note que:

por cuanto el elemento de memoria representado por el capacitor no permite cambios bruscos y por tal motivo y(0-) = y(0) = y(0+). Además, para buscar una respuesta a la pregunta debe tomarse en cuenta que la excitación tiene un valor de cero y ella ha permanecido en cero desde mucho tiempo atrás, es decir, desde menos infinito, obviamente y(0) = 0.

FIRST ORDER SYSTEMS (Fuente 2)

We now discuss first-order systems without zeros to define a performance specification for such a system…

We now use Eqs. (4.6), (4.7), and (4.8) to define three transient response performance specifications:

 

  • Time Constant: We call 1/a the time constant of the response. From Eq. (4.7), the time constant can be described as the time for to decay to 37% of its initial value. Alternately, from Eq. (4.8) the time constant is the time it takes for the step response to rise to 63% of its final value.

The reciprocal of the time constant has the units (1/seconds), or frequency. Thus, we can call the parameter a the exponential frequency. Thus, the time constant can be considered a transient response specification for a first order system, since it is related to the speed at which the system responds to a step input.Since the pole of the transfer function is at a, we can say the pole is located at the reciprocal of the time constant, and the farther the pole from the imaginary axis, the faster the transient response.

 

  • Rise Time (Tr): Rise time is defined as the time for the waveform to go from 0.1 to 0.9 of its final value.

 

  • Settling Time (Ts): Settling time is defined as the time for the response to reach, and stay within, 2% of its final value.2

Modelo matemático de orden superior.

En este apartado se introducirá el operador p, el cual será empleado para representar el orden de la derivada que está operando en cada término de la ecuación diferencial ordinaria bajo estudio.

Definición 2.1 (Operador p) Se define el operador pn al operador diferencial que representa

la derivada n-ésima con respecto a la variable del dominio continuo. Es decir,

Por otra parte, se debe introducir dos definiciones que conforman la solución completa de una ecuación diferencial ordinaria.

Definición 2.2 (Respuesta transitoria) La respuesta transitoria o, también denominada natural o solución homogénea, es la solución de toda ecuación diferencial ordinaria cuando su señal de excitación viene definida por la función nula.

Definición 2.3 (Respuesta permanente) La respuesta permanente o, también denominada forzada o solución particular, es la solución de la ecuación diferencial ordinaria ante una señal de excitación que actúa sobre el sistema.

Observación 2.1 La respuesta transitoria, natural u homogénea es intrínseca del sistema y no de la excitación, a diferencia de que la respuesta permanente, forzada o particular, que además de depender del sistema, depende de la excitación.

Se conocen condiciones del sistema, bien sean condiciones iniciales a través del valor de la respuesta y(t) para t = 0 y sus primeras n-1 derivadas para t = 0, ó n valores conocidos de la respuesta completa y(t) en n distintos instantes de t, o combinación de lo anterior.

Se tiene que:

donde el coeficiente o también denominado parámetro an = 1 (ODE with leading coefficient equal to 1 is called standard ODE form)

Aplicando las Ecuaciones (2.46), se puede escribir el modelo matemático definido por la Ecuación (2.45) como:

donde D(p) es el ampliamente conocido polinomio característico del sistema.

Respuesta Transitoria

Existen diversos métodos para determinar la respuesta transitoria de un modelo matemático asociado a un sistema LDCID en el dominio continuo, el cual es representado por una ecuación diferencial ordinaria.

Método 2.1 (Determinación de la Respuesta Transitoria) Dada la ecuación diferencial ordinaria definida por la Ecuación (2.44),

Ejecute:

Paso 1. Asegúrese de que el término an de la ecuación diferencial sea igual a uno. Si no es así, divida toda la ecuación diferencial entre an.

Paso 2. Aplique el operador “p” a la ecuación diferencial.

Paso 3. Determine las n raíces que anulen el polinomio D(p) y denote las raíces reales como ri para cada i = 1; … ;nr, y las raíces complejas conjugadas como

para cada i = nr +1; ..;n, donde

tomando en cuenta la multiplicidad de cada una de las raíces denotada como mi.

EJEMPLO 2.5 Respuesta transitoria de un sistema de quinto orden

Suponga el modelo matemático de un sistema LDCID en tiempo continuo definido

por:

donde y(t) es la señal de respuesta del sistema, y x(t) representa la señal de excitación. Para el modelo matemático definido mediante la Ecuación (2.48), determine la solución homogénea del sistema aplicando el Método 2.1.

Solución. Debido a que el término a5 no es igual a 1, se debe dividir toda la ecuación diferencial entre a5, para luego aplicar el operador p, obteniéndose:

Al calcular las cinco raíces que anulan D(p), se tiene que sus raíces son: r1 = -2, r22= -3 y

z3 = -1 +- j. Entonces, se puede afirmar que las soluciones asociadas a cada raíz viene dada por:

Respuesta Permanente

Al despejar y(t) de la Ecuación (2.47):

se tiene que

donde la fracción N(p)/D(p) representa el operador del sistema L(p).

A fin de estudiar el caso más general de las señales de excitaciones más comúnmente presentes en los sistemas eléctricos, se analizará cuando la señal de excitación es considerada una exponencial definida por:

donde en general s es un parámetro o coeficiente complejo, y cuyo valor es

y B es un parámetro constante de la señal de excitación, que pertenece al conjunto de los números reales

Por otra parte, los casos en los cuales pueden ser aplicado el método que será descrito en este punto, corresponden a aquellos en donde D(s) no es igual a 0.

La Ecuación (2.50) permite representar diversas situaciones para la señal de excitación x(t), y cuyos casos son mostrados a continuación mediante la Tabla 2.1

Es importante hacer notar que la operación

ejecuta mediante la operación límite, es decir,

EJEMPLO 2.6 Considere un sistema LDCID con modelo matemático definido por:

Para el sistema representado por la Ecuación (2.52), determine la respuesta permanente del sistema si la señal de excitación es:

Solución. Dado que el coeficiente a3 es igual a uno, se puede aplicar el operador p a la Ecuación (2.52) obteniéndose:

Respuesta Completa

La respuesta completa del sistema se consigue sumando la respuesta transitoria u homogénea con la respuesta permanente o solución particular, es decir:

donde los coeficientes ci para todo i = 1; …. ;n se obtiene de n condiciones conocidas, en concordancia con el grado de la ecuación característica N(p), es decir, los coeficientes ci

para todo i = 1; …. ;n son determinados por el conocimiento de:

Por ejemplo, el problema ahora es hallar la respuesta completa del sistema, bajo las condiciones:

Solución. Claramente se tiene que el término a3 = 1, hecho que permite aplicar el operador p directamente a la Ecuación (2.52), arrojando el polinomio característico

D(p) = p3 +8p2 +19p+12, y cuyas raíces que lo anulan son r1 = -1, r2 = -3 y r3 = -4.

Como consecuencia del análisis hecho, se tiene que la solución homogénea está dada por:

De las Ecuaciones (2.53) y (2.57) se puede afirmar que la solución completa es:

Al resolver el sistema de ecuaciones lineales definido por la Ecuación (2.60)

se obtiene que c1 = 1/3, c2 = -3/2 y c3 = 5/3, los cuales al ser sustituido en la Ecuación (2.58) se llega a:

Literature Review by: Larry Francis Obando – Technical Specialist

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

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