Análisis de sistemas de control, Respuesta en el tiempo

Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema electromecánico

El sistema mecánico mostrado en la Figura P5.52(a) es parte del sistema de realimentación unitaria de la Figura P5.52(b). Encontrar los valores de M y D para producir un sobresalto del 20% y un tiempo de establecimiento de 2 segundos.

1. Dinámica del sistema

donde:

2. Transformada de Laplace

3. Función de Transferencia Motor&Load

donde:

además:

4. Función de transferencia directa

La ganancia a lazo abierto Ga(s) es:

5. Función de transferencia a lazo cerrado

La ganancia a lazo cerrado Gc(s) es:

Es decir:

6. Cálculo de M y D

De acuerdo con:

Además:

De esta manera:

Mientras:

7. Verificación en Matlab

Utilizamos Matlab para corroborar este resultado, sustituyendo todos los valores calculados en la función de transferencia original:

el objetivo era: Find the values of M and D to yield 20% overshoot and 2 seconds settling time.

>> stepinfo (sys)

RiseTime: 0.3554

SettlingTime: 1.8989

SettlingMin: 0.9331

SettlingMax: 1.1999

Overshoot: 19.9890

Undershoot: 0

Peak: 1.1999

PeakTime: 0.8059

 

 

Elaborado por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

Mentoring Académico / Empresarial / Emprendedor

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, CCs.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca. telf – 0998524011

WhatsApp: +593981478463

+593998524011

email: dademuchconnection@gmail.com

Atención:

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o resolver un problema más complejo que involucra el uso de dispositivos electromecánicos (motor, sensor, etc) en un sistema de control…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema..Yo le resolveré cualquier problema de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab.

Relacionado:

Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema Electromecánico

Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab

Estabilidad de un sistema de control

Anuncios
Análisis de sistemas de control, Respuesta en el tiempo

Error en estado estable de un sistema de control

ANTERIOR: Estabilidad de un sistema de control

SIGUIENTE: PID – Acciones básicas de sistemas de control

Introducción

Los errores en un sistema de control se pueden atribuir a muchos factores. Cambios en la referencia de entrada causarán errores inevitables durante los períodos transitorios y también pueden causar errores de estado estacionario. Las imperfecciones en los componentes del sistema, como la fricción estática, el envejecimiento o el deterioro, provocarán errores en el estado estable. En esta sección, sin embargo, no discutiremos los errores debidos a imperfecciones en los componentes del sistema. Más bien, investigaremos un tipo de error de estado estacionario que es causado por la incapacidad de un sistema para seguir tipos particulares de entradas. Las entradas de prueba comúnmente utilizadas para el análisis y diseño de errores en estado estable se resumen en la Tabla 7.1.

Para explicar cómo se utilizan estas señales de prueba, supongamos un sistema de control de posición, donde la posición de salida sigue a la posición de entrada de comando.

Escalón Unitario. Las entradas de escalón unitario representan una posición constante y, por lo tanto, son útiles para determinar la capacidad del sistema de control para posicionarse con respecto a un objetivo estacionario. Un control de posición para una antena es un ejemplo de un sistema que se puede probar con precisión mediante entradas escalonadas.

Rampa. Las entradas de rampa representan entradas de velocidad constante a un sistema de control de posición, con una amplitud que aumenta linealmente. Estas formas de onda se pueden utilizar para probar la capacidad de un sistema para seguir una entrada (una posición) que aumenta linealmente o, de manera equivalente, para rastrear un objetivo de velocidad constante. Por ejemplo, un sistema de control de posición que rastrea un satélite que se mueve a través del cielo a una velocidad angular constante.

Parábola. Las entradas parabólicas, cuyas segundas derivadas son constantes, representan entradas de aceleración constantes para los sistemas de control de posición y se pueden usar para representar objetivos acelerados, como un misil.

Cualquier sistema de control físico sufre inherentemente un error de estado estable en respuesta a ciertos tipos de entradas. Un sistema puede no tener un error de estado estable en una entrada escalón, pero el mismo sistema puede presentar un error de estado estable distinto de cero en una entrada rampa. (La única forma en que podemos eliminar este error es modificar la estructura del sistema.) El que un sistema determinado muestre un error de estado estable para un tipo dado de entrada depende del tipo de función de transferencia de bucle abierto del sistema.

Cálculo rápido del error en estado estable - Especificaciones.

La finalidad de toda la teoría sobre el error en estado estable es, al fin y al cabo, calcular dicho error o calcular los valores de ciertos parámetros para cumplir con especificaciones tales como “determinar el valor de K para que el error en estado estable sea de 10%”. Este documento cumple con la misión de explicar la teoría a partir del siguiente apartado (bastante extensa). Para aquellos que prefieren un resumen e ir directamente al grano, le propongo el siguiente método que le permita hallar el error en estado estable en tres pasos. Luego, le doy un ejemplo.

Antes de aplicar el siguiente método, debe cerciorarse que el sistema sea estable. Lo correcto es hacerlo aplicando el criterio de Routh (para un repaso, ver Estabilidad de un sistema de control). En nuestro ejemplo, para abreviar, aplicaremos el comando Matlab isstable() junto con feedback() para asegurarnos de que el sistema es estable.

1er Paso: Al igual que en el caso de la evaluación de la respuesta transitoria, el primer paso es lograr representar nuestro sistema como uno de realimentación unitaria (es frecuente que en el enunciado de los problemas típicos, ya se suponga de antemano), y asegurarse de que la entrada y la salida tengan las mismas unidades. Es decir, representarlo como un diagrama de bloques con la forma siguiente:

Donde G(s) es la Función de Transferencia Directa de nuestro sistema.

2do Paso: Luego, determine el valor de unos factores llamados “Constantes de error” definidos como sigue:

  • Constante de posición Kp:

null

  • Constante de velocidad Kv:

null

  • Constante de aceleración Ka:

null

3er Paso: Una vez calculadas estas constantes podemos calcular el error en estado estable para cada una de las entradas de la Tabla 7.1, mediante las siguientes fórmulas:

  • Error en estado estable e(∞) para entrada escalón unitario U(t) (step):

null

  • Error en estado estable e(∞) para entrada rampa unitaria tU(t) (ramp):

null

  • Error en estado estable e(∞) para entrada parábola unitaria (1/2)t^2U(t) (parabola):

null

Ejemplo - Sistema con realimentación unitaria

Determinar el error en estado estable de cada uno de los sistemas de la Figura 7.7, para entradas escalón unitario, rampa y parábola.

Respuesta para sistema (a)

1. Comprobación de estabilidad.

Para el sistema (a) comprobamos que el sistema es estable mediante el siguiente comando en matlab:

> s=tf(‘s’)

>G=(500*(s+2)*(s+5))/((s+8)*(s+10)*(s+12))

G =

   500 s^2 + 3500 s + 5000 /  s^3 + 30 s^2 + 296 s + 960

>sys=feedback(G,1)

sys =

     500 s^2 + 3500 s + 5000 /  s^3 + 530 s^2 + 3796 s + 5960

>isstable(sys)

ans =     1

2. Cálculo de las constantes Kp, Kv y Ka

null

3. Cálculo del error para entrada escalón, rampa y parábola:

null

Los errores en estado estable dependen de la forma de G(s) (la presencia o ausencia de integradores y su número) y de la función de entrada que se utiliza como prueba. Para ver el resto del ejercicio, o para ver un segundo ejemplo donde se deben cumplir especificaciones de diseño, ver los siguientes link:

Ejemplo 1 – Error en estado estable de un sistema de control con realimentación unitaria

Ejemplo - Sistema con realimentación no unitaria

En numerosos casos, los sistemas de control no tienen realimentación unitaria. El recorrido de realimentación puede estar constituido por una ganancia diferente de cero, o una función de transferencia específica. Es por ello que debemos considerar el caso de un sistema de control general con realimentación no unitaria, tal como el mostrado en el siguiente ejemplo:

Considerando el sistema de la Figura P7.19 (Nise, p378), determinar lo siguiente:

  1. Tipo de sistema
  2. El valor de K para obtener un error de 20% en estado estable.

null

La respuesta completa puede ser consultada en el siguiente link:

Ejemplo 2 – Error en estado estable de un sistema de control con realimentación no unitaria

En los siguientes apartados se deducen teóricamente las ecuaciones de error y constantes de error utilizadas anteriormente.

Definición del error en estado estable en función de la configuración del sistema.

Los errores en estado estable de sistemas de control lineales dependen del tipo de la señal de referencia y del tipo de sistema. Antes de emprender el error en estado estable, se debe clarificar cuál es el significado del error del sistema.

El error se puede ver como una señal que rápidamente debe ser reducida a cero, si esto es posible. Consideremos el sistema de la Figura 7-5:

Donde r(t) es la señal de entrada, u(t) es la señal actuante, b(t) es la señal de realimentación y y(t) es la señal de salida. El error e(t) del sistema se puede definir como:

Debemos recordar que r(t) y y(t) no tienen necesariamente las mismas dimensiones. En cambio, cuando el sistema tiene realimentación unitaria, H(s)=1, la entrada r(t) es la señal de referencia y el error es simplemente:

Es decir, el error es la señal actuante , u(t) . Cuando H(s) no es igual a 1, u(t) puede o no ser el error, en función de la forma y propósito de H(s). Por tanto, se debe definir la señal de referencia cuando H(s) no es igual a 1.

El error en estado estable se define como:

Para establecer un estudio sistemático del error en estado estable para sistemas lineales, Clasificaremos los sistemas de control como sigue:

1. Sistemas de realimentación unitaria,

2. Sistemas de realimentación no unitaria.

Error en Estado Estable para Sistemas con Realimentación Unitaria

Considere el sistema de la Figura 5-49

La Función de Transferencia para el lazo cerrado de la figura anterior es:

La Función de Transferencia entre la señal de error e(t) y la señal de entrada r(t) es:

Donde el error e (t) es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de salida. El teorema del valor final proporciona una forma conveniente de encontrar el error en estado estable de un sistema:

El error en estado estable es:

Esta última ecuación nos permite calcular el error de estado estable ess, dada la entrada R(s) y la función de transferencia directa G (s). Luego sustituimos varias entradas por R(s) y entonces sacamos conclusiones sobre la relación que existe entre el sistema de bucle abierto G (s) y la naturaleza del error de estado estable ess.

  • Entrada Escalón Unitario: Utilizando R(s) =1/s, obtenemos los siguiente:

Donde:

Es la ganancia de la función de transferencia directa. Para tener un error en estado estable igual a cero debemos lograr que:

Para satisfacer esta condición, G(s) debe tener la siguiente forma:

Y para que el límite sea infinito, el denominador debe ser igual a cero, cuando S tiende a cero. Entonces n debe ser n> = 1, es decir, al menos un polo debe estar en el origen, lo que equivale a decir que al menos una integración pura debe estar presente en la ruta directa. La respuesta de estado estacionario para este caso de error de estado estable igual a cero es similar a la mostrada en la Figura 7-2a, output 1.

Si no hay integradores entonces n = 0, y se produce un error constante. Este es el caso que se muestra en la Figura 7-2a, output 2.

En resumen, para una entrada escalón unitario a un sistema de retroalimentación unitaria, el error de estado estacionario será cero si hay al menos una integración pura en la función de transferencia directa.

  • Entrada Función Rampa. Utilizamos R(s) =1/Sˆ2, y obtenemos:

Para obtener un error en estado estable para una entrada rampa al sistema de realimentación unitaria, se debe cumplir que:

Para satisfacer esta condición, G (s) debe tomar la forma donde n> = 2. En otras palabras, debe haber al menos dos integraciones en la ruta directa. En la Figura 7.2b, salida 1, se muestra un ejemplo de un error de estado estable para esta entrada en rampa:

Si existe un solo integrador en la ruta directa, entonces lim sG (s) es finita en vez de infinito y esto conduce a un error constante, como se muestra en la figura 7.2b, salida 2. Si solo hay un integrador en la ruta de reenvío, lim sG (s) = 0, y el error de estado estacionario será infinito y dará lugar a una rampa divergente, como se muestra en la figura 7.2b, salida 3.

  • Entrada Función Parábola. Utilizamos R(s) =1/Sˆ3, y obtenemos:

Para obtener cero error en estado estable a una entrada parabólica en un sistema de realimentación unitaria, se debe cumplir que:

Para satisfacer esta condición, n debe ser n> = 3. En otras palabras, debe haber al menos tres integraciones en la ruta de acceso. Si solo hay dos integradores en la ruta de reenvío, entonces lim s2G (s) es finita en vez de infinito y esto lleva a un error constante. Si hay uno o cero integradores en la ruta de avance, e (∞) es infinito.

Clasificación de sistemas de control (tipos de sistema) y constantes de error.

Tipo de sistema. El sistema de control se puede clasificar de acuerdo con su capacidad para seguir entradas escalonadas, entradas de rampa o entradas parabólicas, y así sucesivamente. Este es un esquema de clasificación razonable porque la mayoría de las entradas reales se pueden considerar como una combinación de tales entradas. Considere el sistema de control de retroalimentación unitaria con la siguiente función G (s) de transferencia de bucle abierto:

Implica el término elevado a la N en el denominador, que representa un polo de multiplicidad N en el origen. Un sistema se llama tipo 0, tipo 1, tipo 2, … si N = 0, 1, 2 … respectivamente. A medida que el tipo aumenta, la precisión mejora. Sin embargo, esto agrava el problema de estabilidad. Si G (s) se escribe para que cada término en el numerador y el denominador, excepto el término S elevado a la N, se acerque a la unidad cuando s se acerca a cero, entonces la ganancia de bucle abierto K está directamente relacionada con el error de estado estacionario.

Constante de error estático. Las constantes de error estático definidas a continuación son figuras de mérito de los sistemas de control. Cuanto más altas sean las constantes, menor será el error de estado estacionario.

  • La Constante de Error de Posición Kp (error escalón). El error en estado estable de un sistema para una entrada escalón unitario es:

La Constante de Error de Posición Kp está definida por:

Por lo tanto, el error de estado estacionario definido en términos de la constante de error escalón Kp es:

Para el sistema tipo cero:

Para un sistema tipo 1 o mayor:

  • La Constante de Error de Velocidad Kv (error rampa). El error en estado estable de un sistema para una entrada rampa unitaria es:

La Constante de Error de Velocidad Kv está definida por:

Por lo tanto, el error de estado estacionario definido en términos de la constante de error rampa Kv es:

Para el sistema tipo cero:

Para un sistema tipo 1:

Para un sistema tipo 2 o mayor:

  • La Constante de Error de Aceleración Ka (error parabólico). El error en estado estable de un sistema para una entrada parábola unitaria es:

La Constante de Error de Aceleración Ka está definida por:

Por lo tanto, el error de estado estacionario definido en términos de la constante de error aceleración Ka es:

Para el sistema tipo cero:

Para el sistema tipo 1:

Para el sistema tipo 2:

Para el sistema tipo 3 o mayor:

La Tabla 7.2 vincula los conceptos de error de estado estacionario, constantes de error estático y tipo de sistema. La tabla muestra las constantes de error estático y el error de estado estable como funciones de la forma de onda de entrada y el tipo de sistema.

Error de estado estable para sistemas de realimentación no unitarios.

Los sistemas de control a menudo no tienen retroalimentación unitaria debido a la compensación utilizada para mejorar el rendimiento o debido al modelo físico del sistema. En estos casos, la forma práctica de analizar el error en estado estable es tomar el sistema y transformarlo en otro sistema con realimentación unitaria al agregar y restar rutas de realimentación unitaria como se muestra en la Figura 7.15

 

Donde G(s)=G1(s)G2(s) y H(s)=H1(s)/G1(s). Tenga en cuenta que estos pasos requieren que las señales de entrada y salida tengan las mismas unidades.

ANTERIOR: Estabilidad de un sistema de control

SIGUIENTE:  PID – Acciones básicas de sistemas de control

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Mentoring Académico / Emprendedores / Empresarial

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. 00593998524011

WhatsApp: +593981478463

+593998524011

email: dademuchconnection@gmail.com

Atención:

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab.

Relacionado:

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques de Sistema Electromecánico con Motor DC

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Estabilidad de un sistema de control

Servomotores – Sistema de control de posición

Análisis de sistemas de control, Respuesta en el tiempo

Estabilidad de un sistema de control

ANTERIOR: Respuesta transitoria de un sistema de control

SIGUIENTE: Error en estado estable de un sistema de control

Introducción

El problema más resaltante de un sistema de control lineal es el relativo a su estabilidad. Estabilidad es la especificación más importante que debe cumplirse entre los requerimientos a la hora de diseñar un sistema de control. Sin estabilidad, las otras dos especificaciones, respuesta transitoria y error en estado estable, son irrelevantes.

Entonces, las preguntas más urgentes a la hora de diseñar un sistema de control son las siguientes: ¿Bajo qué condiciones un sistema se vuelve inestable?. ¿Si el sistema es inestable, que debemos hacer para estabilizar dicho sistema?

La respuesta total de un sistema es la suma de la respuesta natural y la respuesta forzada, tal como lo señala la siguiente relación:

Usando este concepto presentamos la siguiente definición para estabilidad, inestabilidad y estabilidad crítica o marginal:

  • Un sistema lineal e invariante en el tiempo es estable si su respuesta natural tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito.
  • Un sistema lineal e invariante en el tiempo es inestable si su respuesta natural crece ilimitadamente cuando el tiempo tiende a infinito.
  • Un sistema lineal e invariante en el tiempo es críticamente estable si su respuesta natural no decae ni crece y tiende a permanecer constante cuando el tiempo tiende a infinito.

Esta definición de estabilidad implica por lo tanto que sólo la respuesta forzada permanece a medida que la respuesta natural tiende a cero. Una definición alternativa para estabilidad considera la respuesta total del sistema y la primera definición basada en la respuesta natural:

  • Un sistema es estable si genera una salida acotada como respuesta a una entrada acotada. Llamamos a ésta definición BIBO de estabilidad, por su siglas en inglés (bounded-input, bounded-output).

Ahora podemos entender que si una entrada acotada produce una salida no acotada, el sistema es inestable. Por otra parte, si la entrada no es acotada con seguridad veremos una salida no acotada pero no podremos llegar a ninguna conclusión respecto a la estabilidad del sistema.

Físicamente hablando, un sistema inestable cuya salida crece ilimitadamente puede causar daño al mismo sistema o a sistemas adyacentes, incluso puede atentar contra la vida humana (imagine el caso de un ascensor cuyo sistema de control se vuelve inestable). Por ello muchos sistemas se diseñan habilitando al mismo tiempo una parada de emergencia que podría ser sencillamente un interruptor de suministro de energía eléctrica (breaker).

La retroalimentación negativa en la mayoría de los sistemas de ingeniería tiende a mejorar la estabilidad. Piense en los efectos beneficiosos de la retroalimentación en los sistemas electrónicos. Del estudio de polos y zeros de la función de transferencia de un sistema de control podemos retomar el hecho de que los polos ubicados en el lado izquierdo del plano complejo producen respuestas naturales en forma de exponenciales decrecientes puras o sinusoides amortiguadas. Estas respuestas naturales tienden a cero a medida que el tiempo tiende a infinito. Por lo tanto, los polos de sistemas de lazo cerrado ubicados en a la izquierda del plano complejo tienen una parte real negativa y producen estabilidad en el sistema, es decir:

  • Los sistemas de lazo cerrado son estables si su función de transferencia tiene sólo polos ubicados a la izquierda del plano complejo (lhp – left half-plane).

Los polos de dichas funciones de transferencia ubicados en el lado derecho del plano complejo producen exponenciales crecientes puras o sinusoides que crecen exponencialmente, cuando el tiempo tiende a infinito. Por lo tanto:

  • Los sistemas de lazo cerrado son inestables si su función de transferencia posee al menos un polo ubicado en el lado derecho del plano complejo o al menos un polo de multiplicidad mayor a 1 en el eje imaginario (rhp – right half-plane).

Finalmente, un sistema que tiene polos en el eje imaginario de multiplicidad igual a 1 produce oscilaciones sinusoidales que no crecen ni decrecen en amplitud. Por lo tanto:

  • Los sistemas de lazo cerrado son críticamente o marginalmente inestables si su función de transferencia posee sólo polos de multiplicidad igual a uno en el eje imaginario y polos en el lado izquierdo del plano complejo.

La Figura 6.1a muestra la respuesta a la entrada escalón unitario de un sistema estable, mientras la Figura 6.1b muestra un sistema inestable.

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz nos dice si hay o no raíces en una ecuación polinomial que causen inestabilidad, sin explicarnos cómo resolver dicha inestabilidad. Este criterio sólo aplica para polinomios con un número finito de términos. Cuando el criterio es aplicado a sistemas de control, la información sobre la estabilidad absoluta de un sistema puede obtenerse directamente de los coeficientes de la ecuación característica.

El método consiste en la ejecución de dos pasos: 1) Generar la tabla datos denominada Tabla de Routh, 2) Interpretar los resultados de la Tabla de Routh para saber cuantos polos de la función de transferencia se encuentran en el semiplano izquierdo, cuantos en el semiplano derecho y cuántos en el eje imaginario. La gran utilidad del método se aprecia en el proceso de diseño más que en el análisis del sistema. Por ejemplo, si tenemos un parámetro desconocido en el denominador de la función de transferencia es difícil determinar por medio de una calculadora el rango de valor de un parámetro para garantizar estabilidad. Más adelante veremos que gracias al criterio Routh-Hurwitz podremos generar una expresión para el rango de estabilidad para dicho parámetro desconocido.

  • Generar la tabla de Routh. Consideremos la función de transferencia equivalente para el sistema de la Figura 6.3. Debido a que lo que nos interesa son los polos de la función de transferencia, nos enfocamos en el denominador de dicha función. Luego, creamos la tabla de Routh mostrada en la Tabla 6.1:

Comenzamos por etiquetar las filas con las s elevadas a la potencia, comenzando por el valor más alto de las potencias en el denominador de la función de transferencia, hasta llegar a cero. Luego, iniciamos la fila con el coeficiente de la potencia más alta del denominador y creamos una lista horizontal como se aprecia en la Tabla 6.1

En la segunda fila, lista horizontal, comenzamos con el coeficiente de la potencia siguiente y se completa con los coeficientes que faltaron en la fila anterior. Luego, las entradas restantes se rellenan como sigue:

Cada entrada es un determinante negativo de entradas en las dos filas anteriores dividido por la entrada en la primera columna directamente sobre la fila calculada. La columna de la izquierda del determinante es siempre la primera columna de las dos filas anteriores, y la columna de la derecha es los elementos de la columna de arriba y a la derecha.

La Figura 6.4 muestra un ejemplo en la construcción de la tabla de Routh:

La matriz completa de coeficientes es triangular. Tenga en cuenta que al desarrollar la matriz, una fila entera puede dividirse o multiplicarse por un número positivo para simplificar el cálculo numérico subsiguiente sin alterar la conclusión de estabilidad.

Considere la siguiente ecuación característica:

Las dos primeras filas se pueden obtener directamente del polinomio dado. El segundo está dividido por dos, pero llegamos a la misma conclusión.

  • Interpretar la tabla básica de Routh. En pocas palabras, el criterio de Routh-Hurwitz declara que el número de raíces del polinomio que están en el plano de la mitad derecha es igual al número de cambios de signo en la primera columna.

Si la función de transferencia de circuito cerrado tiene todos los polos en el plano de la izquierda, el sistema es estable. Por lo tanto, el sistema es estable si no hay cambios de signo en la primera columna de la Tabla de Routh.

El caso del ejemplo 5-13, es el de un sistema inestable. En ese ejemplo el número de cambio de signo de la primera columna es igual a dos. Esto significa que el sistema tiene dos polos con valores reales positivos. En la Tabla 6.3 también tenemos el caso de otro sistema inestable. Aquí, el primer cambio ocurre del 1 en la fila de s^2 , a -72 en la fila de s^1. El segundo cambio ocurre del -72 en la fila de s^1 hacia el 103 en la fila de s^0. Por lo tanto, el sistema tiene dos polos en el lado derecho del plano complejo.

El criterio de estabilidad de Routh tiene una utilidad limitada cuando se aplica al análisis del sistema de control porque no sugiere cómo mejorar la estabilidad relativa o cómo estabilizar un sistema inestable. Sin embargo, es posible determinar los efectos de cambiar uno o dos parámetros del sistema examinando los valores que causan inestabilidad. A continuación, consideramos el problema de determinar el rango de estabilidad de un valor de parámetro. Considere el sistema de la Figura 5-38. Vamos a determinar el rango de K para que el sistema sea estable.

La función característica de este sistema es:

Y la tabla de Routh luce así:

Para un sistema estable, K debe ser positivo al igual que todos los coeficientes de la primera columna. Por lo tanto:

Cuando K=14/9 el sistema se vuelve oscilatorio y, matemáticamente, la oscilación se mantiene con una amplitud constante.

Casos especiales del criterio Routh-Hurwitz.

Pueden ocurrir dos casos especiales: (1) La tabla de Routh a veces tendrá un cero solo en la primera columna de una fila, (2) La tabla de Routh a veces tendrá una fila completa que consta de ceros.

  • Cero sólo en la primera columna de una fila. Si el primer elemento de una fila es cero, se requerirá una división por cero para formar la siguiente fila. Para evitar este fenómeno, se asigna un epsilon ε para reemplazar el cero en la primera columna. Luego se aproxima el valor de ε a cero desde el lado positivo o el negativo,y así se pueden determinar los signos de las entradas en la primera columna. Para ver la aplicación de esto, veamos el siguiente ejemplo: determinar la estabilidad de la función de transferencia de bucle cerrado T(s):

null

La solución se muestra en la tabla 6.4:

null

Debemos comenzar por ensamblar la tabla de Routh hasta la fila donde aparece un cero solo en la primera columna (la fila s ^ 3). Luego, reemplazamos el cero por un número pequeño ε que permita completar la tabla. Para comenzar la interpretación, primero debemos asumir un signo, positivo o negativo para la cantidad ε. La Tabla 6.5 muestra la primera columna de la tabla 6.4 junto con los signos resultantes para las elecciones de ε positivo y ε negativo.

null

Si se elige ε positivo, la Tabla 6.5 muestra un cambio de signo de la fila s ^ 3 a la fila s ^ 2, y habrá otro cambio de signo de la fila s ^ 2 a la fila s ^ 1. Por lo tanto, el sistema es inestable y tiene dos polos en el semiplano derecho. Alternativamente, podríamos elegir ε negativo. La Tabla 6.5 muestra un cambio de signo de la fila s ^ 4 a la fila s ^ 3. Otro cambio de signo ocurriría desde la fila s ^ 3 a la fila s ^ 2. Nuestro resultado sería exactamente el mismo que para una elección positiva para. Por lo tanto, el sistema es inestable.

  • Una fila entera está compuesta por cerosAhora miramos el segundo caso especial. A veces, al hacer una tabla de Routh, podemos encontrar que una fila entera consta de ceros porque hay un polinomio uniforme que es un factor del polinomio original. Este caso debe manejarse de manera diferente al caso anterior. El siguiente ejemplo muestra cómo construir e interpretar la tabla de Routh cuando hay una fila completa de ceros.

Determine el número de polos del semiplano derecho en la función de transferencia de bucle cerrado T (s):

null

Comenzamos formando la tabla de Routh para el denominador. Obtenemos la Tabla 6.7:

null

En el segundo multiplicamos por 1/7 por conveniencia. Nos detenemos en la tercera fila ya que toda la fila consta de ceros y usamos el siguiente procedimiento. Primero volvemos a la fila inmediatamente superior a la fila de ceros y formamos un polinomio auxiliar usando las entradas en esa fila como coeficientes. El polinomio comenzará con la potencia de s en la columna de la etiqueta y continuará omitiendo cualquier otra potencia de s. Por lo tanto, el polinomio formado para este ejemplo es:

null

A continuación, diferenciamos el polinomio con respecto a s y obtenemos:

null

Finalmente usamos los coeficientes de esta última ecuación para reemplazar la fila de ceros. De nuevo, por conveniencia, la tercera fila se multiplica por ¼ después de reemplazar los ceros. El resto de la tabla se forma de manera directa siguiendo la forma estándar que se muestra en la Tabla 6.2 que repetimos aquí por comodidad:

Obtenemos la Tabla 6.7 ya mostrada con anterioridad. Muestra que todas las entradas en la primera columna son positivas. Por lo tanto, no hay polos del semiplano derecho y el sistema es estable.

ANTERIOR: Respuesta transitoria de un sistema de control

SIGUIENTE: Error en estado estable de un sistema de control

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. +593998524011

WhatsApp: +593981478463

email: dademuchconnection@gmail.com

Atención:

Si lo que Usted necesita es determinar La Función de Transferencia de un Sistema..Le entregamos la respuesta en dos horas o menos, dependiendo de la complejidad. En digital. Póngase en contacto con nosotros, respuesta inmediata, resolvemos y entregamos la Función de Transferencia de sistemas masa-resorte-amortiguador, eléctricos, electromecánicos, electromotriz, nivel de líquido, térmico, híbridos, rotacional, no lineales, etc.. Opcional, Representación en Variables de Estado. Simulación en Matlab, Opcional, Entrevista por Skype para explicar la solución.

WhatsApp +593981478463, atención inmediata !!

email: dademuchconnection@gmail.com 

Costo del servicio: 10 dólares por problema.

Relacionado:

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques de Sistema Electromecánico con Motor DC

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Error en estado estable de un sistema de control

Análisis de sistemas de control, Respuesta en el tiempo

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab

Introducción

Para el análisis transitorio de algunos ejemplos tomamos en cuenta el cuadro presentado con anterioridad en ensayo teórico Respuesta Transitoria de un Sistema de Control, junto con la forma estándar de la Función de Transferencia:

En la siguiente figura vemos la relación entre σ  (coeficiente de amortiguamiento) y el tipo de respuesta obtenida: mientras menor sea el valor de σ , más oscilatoria es la respuesta. La frecuencia natural ωd  es un factor de escala de tiempo y no afecta la naturaleza de la respuesta más allá de afectar su escalamiento en el tiempo.

  1. Matlab y la función tf() y step(). La Función de Transferencia para un sistema masa-resorte-amortiguador se muestra en la Figura 2.15.

Considerando M=1 Kg, Fv= 4 N*seg/m, y K= 3 N/m. Introduciendo la expresión de la función de transferencia en la consola de Matlab, utilizando tf() y step(), obtenemos la respuesta del sistema a a la entrada escalón unitario

> X=tf([1],[1 4 3])

>step(X)

X = 1/ s^2 + 4 s + 3

Gráfica 1

Mediante la función residue (X) podemos ver que los polos de esta función están en -3 y -1:

> [r,p,k]=residue ([1],[1 4 3])

r = -0.5000, 0.5000 // polos = -3, -1 // k =0. Los polos son reales negativos diferentes, lo que sugiere un factor de amortiguamiento por ello estamos en presencia de un sistema sobreamortiguado como lo sugiere la gráfica 1

>ilaplace(1/(s^3 + 4*s^2 + 3*s),s,t)

ans = exp(-3*t)/6 – exp(-t)/2 + ⅓ (respuesta a la aplicación de una fuerza repentina semejante a la función escalón unitario)

2. Utilizando tf() introducimos la función de transferencia del sistema descrito en forma estándar 25/(s^2 + 4s +25). Realice el gráfico de x(t) ante impulso y rampa para el intervalo 0<t<3 utilizando lsim() y impulse()

> p=tf([25],[1 4 25])

> t=0:0.1:3

> x=t

>lsim(p,x,t)

obtenemos la respuesta a la entrada rampa

> impulse(p)

obtenemos la respuesta al impulso del sistema

Utilizando step() obtenemos la respuesta al escalón unitario y utilizando stepinfo() obtenemos el valor de los parámetros más relevantes de esta respuesta:

> s=tf([25],[1 4 25])

> step(s)

> stepinfo(s)

null

3. Matlab y la función residue() y ilaplace(). Considerando el sistema

Gráfica 2. Respuesta a la entrada escalón unitario

>[r,p,k]=residue ([2 25],[1 4 25])

r = 1.0000 – 2.2913i; 1.0000 + 2.2913i

polos = -2.0000 + 4.5826i; -2.0000 – 4.5826i; k = []. Dos polos imaginarios conjugados, lo que sugiere un sistema subamortiguado, como se confirma en la gráfica, para

Vemos claramente que ωn = 2 y ωd = 4.5826.

>ilaplace((2*s + 25)/(s^3 + 4*s^2 + 25*s),s,t)

ans =1 – exp(-2*t)*cos(21^(1/2)*t) parecida a la forma

Vemos que a diferencia del ejemplo 1, en este caso la salida en el tiempo incluye un componente coseno que la hace oscilar como se muestra en la Gráfica 2.

Utilizando la función damp(), podremos encontrar los valores del coeficiente de amortiguamiento ζ , la constante de tiempo τ y el de la frecuencia natural ωn:

> damp(s2)m 

               Pole                  Damping     Frequency (r/s)      Time Constant  (s)

-2.00e+00 + 4.58e+00i       4.00e-01      5.00e+00              5.00e-01

-2.00e+00 – 4.58e+00i        4.00e-01       5.00e+00             5.00e-01

 ζ=0.4 // ωn=5.00 r/s  //  τ=0.5 s

4. Matlab y la forma estándar: Supongamos que las especificaciones que deben cumplirse están expresadas como los valores del coeficiente de amortiguamiento y de la frecuencia natural. Podemos generar la función de transferencia de este sistema utilizando las funciones ord2() y printsys(NUM,DEN,’s’), y luego graficar esta respuesta recordando que ambos parámetros se relacionan con la entrada escalón unitario:

[NUM,DEN] = ord2(Wn,Z) returns the polynomial transfer function of the second order system.

> wn=5

> damping_ratio=0.4

>[Num0,den]=ord2(wn,damping_ratio)

Num0 =1;

den = 1 4 25.

printsys(NUM,DEN,’s’) prints the transfer function as a ratio of two polynomials in the transform variable ‘s’

> Num=5^2*Num0

> printsys(Num,den,’s’)

num/den = 25/ s^2 + 4 s + 25

>p=tf([25],[1 4 25])

>step(p)

 

5. Ahora analizamos la aplicación de la función lsim(): lsim – Simulate time response of dynamic system to arbitrary inputs-This MATLAB function produces a plot of the time response of the dynamic system model sys to the input history, t,u.

Consideramos el sistema simple 25/(s^2 + 4s +25) en su forma estándar, y la respuesta al escalón unitario. Aplicamos las funciones siguientes:

> p=tf([25],[1 4 25])

>[u,t]=gensig(‘pulse’,0.1,3,0.1)

> lsim(p,u,t)

obtenemos

6. Vamos a derivar la Función de Transferencia a partir de un diagrama de bloques y la función feedback(). Consideramos el sistema:

donde:

Determine la expresión de la función de transferencia Gfinal=C(s)/R(s) en Matlab utilizando el comando feedback()

>s=tf(‘s’)

> G3=1/s

> H3=10/(s+5)

>G3H3cloop=feedback(G3,H3)

G3H3cloop = s + 5/ s^2 + 5 s + 10

G2=20/(s+2)

> H2=10/(s+20)

G2H2cloop=feedback(G2,H2) // G2H2cloop = 20 s + 400/ s^2 + 22 s + 240 //

> G1plusG2H2cloop= G2H2cloop + G1

G1plusG2H2cloop = 5 s^2 + 130 s + 1600/ s^2 + 22 s + 240

> GRH1cloop=feedback(GR,H1)

GRH1cloop = 5 s^2 + 130 s + 1600/ 51 s^2 + 1322 s + 16240

> Gfinal= GRH1cloop + (GRH1cloop/G2) + G3H3cloop

Gfinal =

255 s^7 + 20125 s^6 + 774760 s^5 + 1.786e07 s^4 + 2.647e08 s^3 + 2.482e09 s^2 + 1.362e10 s + 3.209e10

—————————————————————————————————–

52020 s^6 + 2.957e06 s^5 + 8.209e07 s^4 + 1.226e09 s^3 + 1.025e10 s^2 + 3.496e10 s + 5.275e10

7. Vamos a analizar la estabilidad del siguiente sistema:

null

> T=tf([128],[1 3 10 24 48 96 128 192 128])

> G=feedback(T,1)

G =

                                   128

 ———————————————————————–

 s^8 + 3 s^7 + 10 s^6 + 24 s^5 + 48 s^4 + 96 s^3 + 128 s^2 + 192 s + 256

> poles=pole(G)

poles=

  1.0154 + 1.5963i

  1.0154 – 1.5963i

  0.2646 + 2.0468i

  0.2646 – 2.0468i

 -0.9684 + 1.9698i

 -0.9684 – 1.9698i

 -1.8116 + 0.4508i

 -1.8116 – 0.4508i

Vemos claramente que el sistema tiene dos polos en el semiplano derecho, dos polos en el eje imaginario y cuatro en el semiplano izquierdo, por tanto es inestable. La respuesta al escalón unitario mediante step() así lo sugiere:

null

 

8. Obtenga las respuestas impulso, escalón y rampa para 0<t<10 s simulando los sistemas siguientes en Simulink, utilice un Scope para comparar las respuestas escalón y las respuestas ante una entrada rampa.

> sys=tf([5 100],[1 8 32 80 100])

stepinfo(sys):  

RiseTime: 0.7217 , SettlingTime: 3.1056, Overshoot: 13.8472,

PeakTime (Pt): 1.6579, Peak (P): 1.1385 (se señala Pt y P en la gráfica para la curva color amarillo mediante herramientas de medición de Scope)

sys2=tf([245],[1 10])

>> sys3=tf([1],[1 4 24])

> stepinfo(sys2*sys3)

 RiseTime: 0.3443,  SettlingTime: 1.8124, Overshoot: 21.3046, PeakTime: 0.8197,

Peak: 1.2383 (se señala Pt y P en la gráfica para la curva color azul)

9. Ejercicio 77, p295, Nise. The mechanical system shown in Figure P5.52(a) is used as part of the unity feedback system shown in Figure P5.52(b). Find the values of M and D to yield 20% overshoot and 2 seconds settling time.

 

Respuesta:

 

 

Respuesta completa en el siguiente link: Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema electromecánico

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Elaborado por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

Mentoring Académico / Empresarial / Emprendedor

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. 00593998524011

WhatsApp: +593998524011

email: dademuchconnection@gmail.com

Atención:

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab.

Relacionado:

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques de Sistema Electromecánico con Motor DC

Análisis de sistemas de control, Respuesta en el tiempo

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

SIGUIENTE: Estabilidad de un sistema de control.

Introducción.

La respuesta en el tiempo de un sistema de control se divide normalmente en dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. Sea y(t) la respuesta de un sistema en tiempo continuo, entonces:

donde yt(t) es la respuesta transitoria, mientras yss(t) es la respuesta en estado estable.

La respuesta transitoria de un sistema de control es importante ya que tanto su amplitud como su duración deben mantenerse dentro de límites tolerables o prescritos. Está definida como la parte de la respuesta en el tiempo que tiende a cero cuando el tiempo se hace muy grande. Por lo tanto,

Todos los sistemas de control estables reales presentan un fenómeno transitorio antes de alcanzar la respuesta en estado estable. Para propósitos de análisis y diseño es necesario suponer algunos tipos básicos de entradas de prueba para evaluar el desempeño de un sistema. La selección adecuada de estas señales de prueba permite la predicción del desempeño del sistema con otras entradas más complejas. Se utilizan las siguientes señales: Función Escalón, que representa un cambio instantáneo en la entrada de referencia; Función Rampa, que representa un cambio lineal en el tiempo; Función Parabólica, que representa un orden más rápido que la rampa. Estas señales tienen la característica común de que son simples de escribir en forma matemática, rara vez es necesario o factible emplear funciones más rápidas. En la Figura 7-1 se pueden observar dichas funciones:

Es muy común que se utilice principalmente el escalón unitario para describir la respuesta transitoria de un sistema de control. Antes de presentar la teoría que sustenta esta práctica común, el siguiente apartado tiene la intención de ir al grano para calcular rápidamente los parámetros que describen la respuesta transitoria de un sistema.

Cálculo rápido de la Respuesta Transitoria. 

El criterio de desempeño comúnmente utilizado para representar las características de un sistema de control lineal en el dominio del tiempo, está  constituido por la evaluación de los siguientes conceptos, cuando la función de prueba en la entrada del sistema es el escalón unitario:

  1. Sobrepaso máximo (Mp)
  2. Tiempo de retardo (Td)
  3. Tiempo de asentamiento (Ts)
  4. Tiempo de levantamiento (Tr)
  5. Tiempo pico (Tp ó Tmáx)

Una respuesta típica de un sistema de control a una entrada escalón unitario se muestra en la Figura 7-11:

Estas cinco cantidades dan una medida directa de las características transitorias de un sistema de control en términos de la respuesta al paso unitario.

Para evaluar estos conceptos, lo más práctico es representar el sistema en términos del modelo prototipo, el cual se ilustra mediante un diagrama de bloques en la Figura  5-6:

La representación prototipo muestra claramente dos funciones fundamentales para los cálculos:  la Función de Transferencia Directa G(s) y la Función de Transferencia a Lazo Cerrado Gce(s), que en la Figura 5-6 son:

null

Estas funciones definen dos parámetros de uso muy extendido cuando se dan  especificaciones de diseño de un sistema de control:

null

El modelo prototipo es un sistema de segundo orden. Si bien son raros los sistemas de control de segundo orden, su análisis ayuda a formar una base para el diseño y análisis de sistemas de orden más alto cuya representación puede aproximarse mediante sistemas de segundo orden.

Sistema en lazo cerrado 

En el caso de un sistema de control con realimentación, es conveniente tener  la representación de nuestro sistema en diagrama de bloques con realimentación unitaria,  equivalente al modelo prototipo de la Figura 5-6. (Para armar o modificar el diagrama de bloques de un sistema, ver: Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control )

Disponiendo del diagrama de bloques con realimentación unitaria, la función de transferencia a lazo cerrado nos permite calcular el valor de los parámetros ωn y ζ, luego de expresarla de forma equivalente a Gce(s). Con estos términos, podremos evaluar el desempeño del sistema en su respuesta transitoria a la entrada escalón unitario, mediante las siguientes fórmulas , aplicables sobre todo al sistema subamortiguado (0<ζ<1):

  • Sobrepaso máximo (Mp), o por sus siglas en Inglés %OS (Over-Shooting):

también:null

donde y(tp) es el valor de la salida en el tiempo de máximo sobrepaso, mientras y(∞) es el valor de la salida en estado estable, cuando desaparece la respuesta transitoria.

Es muy útil contar además con la expresión para el factor de amortiguamiento relativo ζ en función del sobrepaso Mp:

null

  • Tiempo de asentamiento (Ts)

null

null

  • Tiempo de levantamiento (Tr)

El tiempo de levantamiento no se puede expresar en función del factor de amortiguamiento relativo ζ. Ya que Tr es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema pase del 10% al 90% del valor final, la manera más práctica de hallar el valor de Tr es utilizando la gráfica para la salida C(t) del sistema a una entrada escalón, generada por la computadora (step() en Matlab), y restar, para un valor determinado del factor de amortiguamiento relativo ζ, los tiempos para los cuáles C(t)=0.9 C(t)=0.1 (se da un ejemplo más adelante).

También se puede utilizar la siguiente relación para la cual es necesario contar con los componentes real e imaginario de la raíz que se corresponde con los valores dados de ωn ζ (Figura 5-9):

donde ωd es la frecuencia natural amortiguada:

y ß está definida por la Figura 5-9:

  • Tiempo pico (Tp)

null

  • Tiempo de retardo (Td)

null

La respuesta transitoria de un sistema de control en la práctica siempre exhibe oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Esto ocurre porque los sistemas tienen componentes que almacenan energía y no pueden responder de manera inmediata a los cambios en la entrada. La respuesta transitoria a una entrada escalón depende de las condiciones iniciales. Es por ello que en la práctica se acostumbra considerar que el sistema está inicialmente en reposo de modo tal que las condiciones iniciales (la salida y sus derivadas) son iguales a cero.

Sistema en lazo abierto 

Aún en los casos donde no haya una realimentación de control, podemos utilizar los parámetros ωn y ζ para calcular las especificaciones de diseño. En estos casos, la función de transferencia de nuestro sistema es simplemente G(s)la cual podemos representar de la siguiente forma:

null

Donde C es una constante. Pongamos el caso bien conocido de un sistema masa-resorte-amortiguador básico.

nullAcá, la función de transferencia del sistema es:

null

El sistema equivalente queda expresado como:

null

Donde:

null

Por tanto:null

Por lo que:

null

Siendo:

null

Para ver el resto del problema ver: Ejemplo 1 – Respuesta Transitoria de sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo sistema a lazo cerrado

Considere el sistema de la Figura 5-84:

null

Determinar los valores de K y k tal que el sistema tenga un factor de amortiguamiento relativo ζ de 0.7 y una frecuencia natural ωn de 4 rad/s.

Respuesta completa en el siguiente link: Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema de control

Los siguientes subtítulos presentan la teoría que sustenta el resumen que hemos hecho para calcular de manera expedita la respuesta transitoria de un sistema de control.

Especificaciones para la respuesta transitoria de un sistema de segundo orden.

La Figura 5-5a muestra un sistema “Servo” como ejemplo de un sistema de segundo orden (ver Servomotores – Sistema de control de posición). Consiste de un controlador proporcional y elementos de carga (inercia y fricción viscosa).

La Función de Transferencia del sistema de lazo cerrado mostrado en la Figura 5-5c es:

Para el análisis de la respuesta transitoria es conveniente escribir:

Donde  σ es denominado atenuaciónωn es la frecuencia natural sin amortiguamiento del sistema; y ζ el factor de amortiguamiento relativo del sistema. ζ es la razón entre el factor actual de amortiguamiento B y el factor de amortiguamiento crítico Bc que es igual a dos veces la raíz cuadrada de JK:

En términos de ωn y ζ, el sistema mostrado en la Figura 5-5c puede ser expresado como en la Figura 5-6, denominado “Sistema Prototipo”:

Ahora, la Función de Transferencia C(s)/R(s) puede ser escrita como:

Esta última es denominada Forma Estándar. La dinámica del comportamiento de un sistema de segundo orden puede ahora ser descrita en términos de los dos parámetros ωn y ζ. Brevemente, los diferentes tipos de respuestas de un sistema de segundo orden a una entrada escalón en función de ζ pueden ser resumidas mediante la Figura 4-11:

 

null

Para especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control a una entrada escalón, es común analizar los siguientes parámetros asociados mayormente al caso subamortiguado:

  1. Tiempo de retardo (Td)
  2. Tiempo de levantamiento (Tr)
  3. Tiempo pico (Tp)
  4. Percent overshoot (%OS) o Sobrepaso máximo (Mp)
  5. Tiempo de asentamiento (Ts)

Estas especificaciones están definidas de la manera siguiente:

Tiempo de retardo (Td): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema alcance la mitad del valor final por primera vez.

Tiempo de levantamiento (Tr): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema pase del 10% al 90% del valor final. En otras palabras, para que vaya de 0.1 del valor final al 0.9 del valor final.

Levantamiento máximo (Mp): es el valor pico máximo de la curva de respuesta medida a partir de la unidad. Según otra bibliografía, es también la cantidad en que la forma de la curva de salida sobrepasa el valor final de la salida, expresada en porcentaje.

Tiempo de asentamiento (Ts): ies el tiempo requerido para que las oscilaciones amortiguadas transitorias alcancen y permanezcan dentro del ±2% o del  ±5% del valor final o valor en estado estable.

Tiempo pico (Tp): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema alcance el pico del levantamiento máximo.

Estas especificaciones se muestran gráficamente en la Figura 5-8:

Es importante resaltar que estas especificaciones no necesariamente aplican a todos los casos de respuestas de sistemas de segundo orden. Por ejemplo, los términos tiempo pico y levantamiento máximo no aplican para sistemas sobreamortiguados.

Excepto en aquellos casos donde las oscilaciones no son toleradas, es deseable que la respuesta transitoria de un sistema de control dado sea lo suficientemente rápida y lo suficientemente amortiguada. Esto se logra mediante un factor de amortiguamiento entre 0.4 y 0.8. Pequeños valores de σ (σ<0.4) producen excesivo levantamiento máximo en la respuesta transitoria, mientras que un sistema con alto σ (σ>0.8) responde de manera muy lenta. Veremos además que el levantamiento máximo y el tiempo de levantamiento entran en conflicto. Es decir, no es posible disminuir el tiempo de levantamiento y el levantamiento máximo al mismo tiempo.

Ejemplos

Tiempo de levantamiento (Tr):

Sea la siguiente función de transferencia a lazo cerrado de un sistema determinado:

Calcular el Tr para Kp=1 y Kd=0.00108.

>> s=tf(‘s’)

>>sys=(834526.56*(1+0.00108*s))/(s^2+(361.2+834526.56*0.00108)*s+834526.56)

sys =     (901.3 s + 8.345e05) / (s^2 + 1262 s + 8.345e05)

> step(sys)

null

Utilizando la gráfica para la salida C(t) del sistema a una entrada escalón para un valor determinado del factor de amortiguamiento relativo (ζ=0.69). Para hallar Tr, restamos los tiempos para los cuáles C(t)=0.9 C(t)=0.1:

null

La gráfica anterior nos permite determinar el valor de Tr para un valor de ζ=0.69 de la siguiente manera:

 

Respuesta transitoria de sistemas de mayor orden.

Se podrá comprobar que la respuesta transitoria de sistemas de orden superior al segundo orden es la suma de las respuestas del sistema de primer orden y segundo orden.

Respuesta transitoria de un sistema de primer orden.

Brevemente repasamos la respuesta transitoria de un sistema de primer orden. La Figura 4.4(a) muestra la función de transferencia de un sistema de primer orden sin zeros.

Si la entrada es una función escalón unitario, es decir, R(s)=1, la transformada de Laplace de C(s) es igual a:

Mediante la transformada inversa obtenemos que:

La Figura 4-5 muestra la respuesta típica de un sistema de primer orden a una entrada escalón:

Llamamos a 1/a la constante de tiempo de la respuesta. El parámetro a es el único necesario para describir la respuesta transitoria de un sistema de primer orden. En consecuencia, la constante de tiempo es considerada la especificación por excelencia para la respuesta transitoria de un sistema de primer orden en respuesta a una entrada escalón. Ya que el polo de la función de transferencia está en a, podemos decir que el polo es el recíproco de la constante de tiempo. Por tanto, mientras más lejos esté el polo del eje de la imaginarias en el plano complejo, más pequeña será la constante de tiempo y por ende el sistema será más rápido.

Otras especificaciones para los sistemas de primer orden son:

Tiempo de levantamiento (Tr):

Tiempo de asentamiento (Ts):

Para ver un ejemplo de aplicación de la teoría presentada hasta ahora, ver el siguiente link: Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema electromecánico

SIGUIENTE: Estabilidad de un sistema de control.

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Mentoring Académico / Empresarial / Emprendedores

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. 00593998524011

WhatsApp: +593981478463

+593998524011

email: dademuchconnection@gmail.com

Atención:

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab.

Relacionado:

Ejemplo 1 – Respuesta Transitoria de sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema electromecánico

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

Servomotores – Sistema de control de posición

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques de Sistema Electromecánico con Motor DC

 Estabilidad de un sistema de control