Se interpreta geométricamente la derivada como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función. Una función que tiene una derivada se dice diferenciable. Una derivada se calcula mediante la operación de diferenciación o derivación.
Definición de función contínua en un número.
Se dice que la función f es continua en el número a si y solo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:
Ejemplos: Determine si la función g es continua en x=3:
Teorema: Si f y g son contínuas en el número a, entonces:
Definición de la derivada de una función.
La derivada de la función f es aquella función, denotada por f ´, tal que su valor en un número x del dominio de f está dado por:
Si x1 es un número particular del dominio de la función f, entonces:
Si tomamos en cuenta que:
Entonces:
Ejemplos:
- Determine la derivada de f si:
2. Determine la derivada de g si:
- Calcular g ´(0), g ´(1), g ´(2).
Diferenciabilidad y continuidad.
El proceso de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación; esto es, la diferenciación es la operación mediante la cual se obtiene la función f ´a partir de la función f. Si una función tiene una derivada en x1, se dice que la función es diferenciable en x1.
Si una función f es diferenciable en un número x1 de su dominio, entonces f es continua en x1.
Ejemplos:
Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=0. No obstante:
Por tanto la función es continua en x=0 pero no es diferenciable en dicho punto.
La siguiente gráfica ilustras este caso en el cual una función puede ser continua en un punto c de su dominio, pero no diferenciable.
Definición de derivada lateral.
Si la función f está definida en x1, entonces la derivada por la derecha de f en x1, está definida por:
Si la función f está definida en x1, entonces la derivada por la izquierda de f en x1, está definida por:
Una función f definida en un intervalo abierto que contiene a x1, es diferenciable en x1 si y solo si f ´+( x1) y f ´-( x1) existen y son iguales.
Ejemplos:
Sea f, analizar si la función es continua y diferenciable en x=1;
Por la definición de valor absoluto, las raíces de la función f son 1 y -1, entonces se cumple que:
Para demostrar que f es continua en 1 se verifican las tres condiciones de continuidad.
Ahora, utilizando la definición de derivada lateral, determinamos f ´:
De acuerdo con el resultado anterior, se concluye que f no es diferenciable en x=1. Este resultado se puede apreciar en la gráfica de la función f que sigue:
Recta tangente y derivada.
Muchos problemas importantes en el Cálculo dependen de la determinación de la recta tangente de una función en un punto P específico de su gráfica.
Para obtener una definición adecuada de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto P, se emplea el concepto de límite a fin de definir la pendiente de la recta tangente en el punto. La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
Después de obtener la pendiente de la recta tangente, la ecuación de la recta tangente se determina por medio de dicha pendiente y el punto de tangencia.
En otras palabras, para obtener la ecuación de la recta yt tangente a la curva y=f(x) en el punto x1, aplicamos el procedimiento siguiente:
- Calcular el valor de la ordenada en el punto de tangencia, es decir, evaluamos f(x) en el punto x1 y obtenemos y1= f(x1). Sobre la gráfica esto significa localizar el punto P(x1, y1);
- Calcular la derivada de f(x), también denotada como df/dx, en x1, lo que es equivalente a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva y en el punto P(x1, y1); es decir f ´(x1)=m;
- Aplicar la ecuación de la recta punto-pendiente: yt = y1+m(x– x1).
Ejemplo:
Determina la ecuación general de la recta tangente a la curva y, en el punto de abscisa x=1.
Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicion, Calculo_Diferencial_e_Integral_Ayres
Otros recursos:
Cuadernillo ANAYA. CCSS nº 3 Análisis II
Derivadas. solución
Ejercicios de la relación entre una función y su derivada
tabla de derivadas
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