Dinámica de sistemas, Física Aplicada, Ingeniería Mecánica, Transformada de Laplace

Ejemplo 1 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Obtener la Función de Transferencia X1(s)/U(s) del sistema mecánico de la Figura 3-83 Ejercicio B318, Modern_Control_Engineering, Ogata 4t p 149.

null

Desarrollamos diagrama de fuerzas a cada unidad de masa, aplicando transformada de Laplace a cada fuerza por separado debido a la propiedad de superposición. Para la Masa 1 el diagrama de cuerpo libre es el siguiente (el análisis debido a cada movimiento X(s) se hace por separado para mayor claridad):

null

 

Para la Masa 2 el diagrama de cuerpo libre es:

null

La dinámica del sistema (ecuaciones de movimiento) es:

Así, aplicando álgebra lineal obtenemos la Función de Transferencia X2(s)/U(s) como:

 

Atención: 

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ANSYS, Física Aplicada, Ingeniería Mecánica

Análisis de elementos finitos (FEA) – ANSYS,1era parte.

Introducción

¿Qué es el Análisis de Elementos Finitos (Finite-Element Analysis (FEA))?

  1. Governing Equation Derivation
  2. Mathematical Model summary
  3. Discretization

Ahora que sabemos cuál es el modelo matemático que queremos resolver, las ecuaciones que gobiernan el problema y las condiciones de contorno, es decir, un problema de valor límite, echamos un vistazo a cómo resolverlo numéricamente utilizando el método de elementos finitos. Pasamos a la solución numérica y cómo a través de la solución numérica con el método de elementos finitos, se pueden calcular las variables seleccionadas en los puntos seleccionados.

Lo primero que hacemos es discretizar. Reducimos el problema a determinar los valores de temperatura en ubicaciones seleccionadas. Nuevamente, la siguiente es la barra con la que estamos trabajando, y necesitamos determinar la temperatura a lo largo de esa línea.

Reduciremos el asunto a un problema unidimensional, por lo que debemos determinar la temperatura solo a lo largo de la línea. Entonces necesitamos determinar la función T de x. Y decimos que, en lugar de determinar la temperatura en todas partes a lo largo de esa línea, vamos a determinarla sólo en la ubicación seleccionada, y particularmente la determinaremos en cuatro ubicaciones: 1, 2, 3, 4. Luego, si queremos saber cuál es la temperatura entre los nodos 2 y 3 por ejemplo, lo podemos determinar a través de interpolación linear.

Por interpolación lineal queremos decir que si graficamos la temperatura T versus x, y T1, T2, T3 y T4 son mis cuatro valores, entonces para hallar los valores intermedios utilizamos interpolación lineal. Todavía no conozco esos valores intermedios, pero ya sabemos la forma de la curva.

En consecuencia, la forma de la curva va a ser la de la gráfica anterior. Así que hemos reducido el problema a determinar la temperatura en cuatro puntos. En lugar de determinar una función desconocida T (x), vamos a determinar cuatro valores. Eso se llama discretización, y es más fácil determinar un número finito de valores en lugar de una función.

En términos de terminología, los puntos rojos de la gráfica se llaman nodos, y las líneas intermedias se llaman elementos, elementos finitos. Entonces, en la gráfica anterior hemos dividido nuestro dominio en tres elementos y cuatro nodos.

Y en el proceso, lo que hemos hecho es que hemos asumido una forma para nuestra función, y esa forma consiste en polinomios por partes, polinomios lineales por partes. Y la forma de la función se construye elemento por elemento. En cualquier metodología de elementos finitos hacemos eso. Estamos asumiendo una forma, y la forma se construye elemento por elemento.

La clave del problema ahora es cómo determinar la temperatura en los nodos, en nuestro caso, en los cuatro nodos.

Aclaración: La forma particular que se muestra en la gráfica de arriba es solo una solución posible. En este punto, las temperaturas nodales pueden tomar cualquier valor a lo largo de las líneas verticales punteadas que se muestran en la figura a continuación. Por ejemplo, podemos imaginarnos moviendo el valor T2 a un nuevo valor mayor:

Esto causará un cambio correspondiente en la variación de temperatura en los elementos 1 y 2 solamente. La nueva forma indicada por las líneas punteadas también es una solución posible. En el método de elementos finitos, encontraremos el conjunto de temperaturas nodales que mejor se ajusta a las ecuaciones que gobiernan la dinámica del sistema y las condiciones de contorno que rigen dichas ecuaciones.

4, How to find nodal temperatures

En nuestro caso, tenemos cuatro temperaturas nodales por encontrar. Y tenemos nuestro modelo matemático, que es un problema de valor límite. Así que pasaremos del problema del valor límite, es decir, ecuaciones diferenciales con condiciones de contorno, a un sistema de ecuaciones algebraicas con las temperaturas nodales. Entonces vas a pasar de una ecuación diferencial a un sistema de ecuaciones algebraicas. Y derivas el sistema de ecuaciones algebraicas, usando la aproximación polinómica por partes para la temperatura que vimos anteriormente. Y cada ecuación relacionará una temperatura nodal con sus vecinos. Va a ser una ecuación lineal. Así que vamos del cálculo al álgebra lineal. Y el sistema de ecuaciones algebraicas puede escribirse en forma de matriz. Y entonces, la esencia del método FEA se reduce a cómo derivamos nuestro sistema de ecuaciones algebraicas, de modo que satisfaga mejor nuestro modelo matemático. No podemos satisfacer nuestro problema de valor límite exactamente. Pero queremos satisfacerlo lo mejor que podamos.

 

Pregunta: Una de las siguientes afirmaciones es falsa.

  • En el método de elementos finitos, pasamos de ecuaciones diferenciales a un conjunto de ecuaciones algebraicas. Cada ecuación algebraica relacionará una temperatura nodal con todas las demás temperaturas nodales.
  • Para derivar las ecuaciones algebraicas, necesitamos suponer una variación polinómica para la temperatura dentro de cada elemento. En nuestro ejemplo, este polinomio es lineal.
  • Una vez que las temperaturas nodales se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones algebraicas, se puede encontrar la temperatura en cualquier punto del dominio….respuesta: la primera.

5. How to derive algebraic equations

La multiplicación de la ecuación diferencial por una función arbitraria y la integración sobre el dominio es un truco que nos permitirá derivar las ecuaciones algebraicas necesarias. Esta es una de las ideas conceptualmente más desafiantes en el marco de elementos finitos. A este modelo le llaman Weighted Integral Form ó Weak Form.

Asumo una forma para W que se parece a la forma de la temperatura T, y lo veremos gráficamente. Y luego, tengo una forma para la temperatura; Tengo una forma para W: ahora si conecto ambas formas, genero un sistema de ecuaciones algebraicas para las temperaturas nodales.

Pero hay una importante conclusión aquí. Y es que mi solución de elementos finitos no satisfacerá mi ecuación diferencial exactamente. De hecho, en este caso, lo satisface pobremente. No satisfacerá esta forma integral ponderada para cualquier w arbitraria, pero si satisfacerá la forma integral ponderada para una forma particular de w. Y uno puede mostrar que a medida que uso más nodos, esto se vuelve más y más acertado. Entonces tenderá a la solución exacta.

Entonces nuestra temperatura T aquí es de esta forma. Nuestra integral ponderada, nuestro peso W es de esta forma. Y se puede ver que ambas tienen el mismo tipo de forma, por lo que asignamos valores para los pesos en los nodos, y luego hacemos una interpolación lineal. Y si trazamos estas dos formas aquí, sacaremos nuestras ecuaciones algebraicas, y obtendremos el número de ecuaciones algebraicas que necesitamos para determinar las temperaturas nodales.

Se discutirá más en los próximos videos. ¡No te preocupes, por medio de ejemplos pronto este concepto estará más claro!

Pregunta: Seleccione verdadero o falso

Nuestra solución de elementos finitos producirá una distribución de temperatura T (x) que será una variación lineal por partes. Esta distribución de temperatura T (x) satisfacerá la forma integral ponderada para cualquier función arbitraria w (x) …. respuesta: Falso.

6. Weak form derivation. Weak Form to Algebraic Equations: Overview

Hasta este punto tenemos nuestra integral ponderada y tenemos las formas supuestas para la temperatura y la función de ponderación. Y nuestra función de ponderación es arbitraria, pero hemos reducido la arbitrariedad de la función de ponderación a la arbitrariedad de los valores en los nodos. Por lo tanto, queremos satisfacer esto para una función de ponderación arbitraria de esta forma. ¿Como hacemos eso? Lo que hacemos es hacer una integración por partes.

Así que aquí, hemos escrito lo que obtendrá de la integración por partes.

null

Aquí lo que vamos a hacer es mostrarle el proceso por el cual pasamos de la forma débil (Weak Form) a un conjunto de ecuaciones algebraicas. Y este es realmente el corazón del método de elementos finitos. Estos son los trucos y ahora en ANSYS vamos a utilizar estos conocimientos todo el tiempo. Trataremos de hacer esto de manera muy gráfica porque generalmente se presenta con muchas ecuaciones y demás, lo que quizás dificulte el entendimiento práctico.

Así que tenemos la Weak Form que se muestra a continuación:

null

Y tenemos nuestro dominio dividido en tres elementos.

null

Podemos pensar en cada elemento como un segmento del dominio. Y tenemos las formas supuestas para la temperatura y para la función de ponderación,

null

y queremos satisfacer esta ecuación para estas formas.

Hacemos integración por partes. Entonces cuando hagamos la integración sobre el primer elemento, obtendremos los términos donde tendremos w1 multiplicando T1, y también obtendremos un término donde w1 multiplica T2. Etc.

Entonces este es un montón de términos. Así que veamos la primera fila aquí. Si tomamos todos los términos que se multiplican w1 y los organizamos de esta manera, esto es lo que obtendremos.

null

Entonces, si queremos satisfacer esto para que sea igual a 0 para cualquier valor de w1, w2, w3, w4, la única forma es que cada término individual es igual a 0. Entonces, ya que w1 es arbitrario, lo haremos igual a 0, y eso nos da la ecuación en el primer nodo.

null

Entonces, sea lo que sea que multiplique w1, estos términos contribuirán a la ecuación en el primer nodo.

Lo que multiplique w2 contribuirá a la ecuación del segundo nodo y así sucesivamente. Y ese es el proceso por el cual pasamos de la Weak Form a la forma algebraica. Y como usuario del código ANSYS, es útil saber cómo se obtienen cada uno de estos términos en las ecuaciones algebraicas, para luego tener pleno conocimiento de estas ideas cuando estemos en ANSYS.

SIGUIENTE: Aprendiendo ANSYS – 2da parte

 

Fuente: curso edX Página de inicio

CornellX: ENGR2000XA Hands-on Introduction to Engineering Simulations

Module 1: Finite Element Analysis (FEA) 1.3 Big Ideas: Finite Element Analysis Weak Form

Revisión Literaria hecha por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Análisis de sistemas de control, Física Aplicada, Ingeniería Mecánica, Variables de estado

Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.

Introducción

En términos generales, la finalidad del método “Representación en variables de estado” es expresar un sistema mediante la estructura vectorial siguiente:

La finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden, representado por el vectornullen la ecuación anterior.

La gran ventaja de utilizar variables de estado es que, para un sistema con muchas variables, como es el caso de un sistema masa-resorte-amortiguador o de un sistema eléctrico, necesitamos usar ecuaciones diferenciales solo para resolver un subconjunto seleccionado de variables del sistema. A partir de allí todas las demás variables del sistema se pueden evaluar algebraicamente.

El primer paso es entonces decidir cuáles serán esas variables que forman este subconjunto de variables de estado, que en las ecuaciones anteriores está representado por el vector X. Y a partir de ese conjunto, las otras variables se pueden expresar como función de las variables seleccionadas. Parece un trabalenguas, por ello mejor explicarse mediante un ejemplo.

Supongamos que tenemos el sistema de la Figura 3.5

1er paso. En este ejemplo la clave para seleccionar las variables de estado son los elementos del sistema que almacenan energía porque son los que requieren de ecuaciones diferenciales para explicar su dinámica. Por ello escribimos dichas ecuaciones para el inductor y el capacitor:

De las ecuaciones anteriores es conveniente para nuestra representación en variables de estado seleccionar los parámetros que están derivados, es decir:

2do paso. Para lograr la finalidad del método que se explicó al principio de este documento, vemos de inmediato que si tomamos nuestras dos ecuaciones diferenciales anteriores y despejamos las derivadas de las variables de estado seleccionadas (lado izquierdo), ya tenemos adelantada la estructura que buscamos alcanzar:

3er paso. Sin embargo, el lado derecho no está en función de las variables de estado seleccionadas, por lo que debemos utilizar otras ecuaciones para lograr esto. Aplicamos Kirchhoff de corriente para lograr Ic, y de voltaje para lograr Vl en función de las variables de estado seleccionadas:

Sustituimos:

4to paso. Y así hemos alcanzado expresar la dinámica de nuestro sistema en términos de las variables de estado seleccionadas:

Nota: la derivada de il no depende de il , pero la incluimos multiplicada por cero para resaltar el hecho de que debemos expresar el lado derecho en términos de las ecuaciones de estado y pasar de allí a la forma matricial presentada más adelante.

5to paso. Para completar el método sólo nos falta hallar la salida en función de las variables de estado. Si seleccionamos la salida como la corriente que atraviesa la resistencia R, y la llamamos iR, obtenemos directamente que:

O lo que es lo mismo:

Representamos así nuestro sistema en variables de estado de la forma matricial siguiente:

Una ecuación diferencial de primer orden requiere de una variable de estado. Una de segundo orden requiere de dos variables de estado. Y así sucesivamente, por ende, se podría demostrar el siguiente criterio:

  • Una ecuación de orden n genera n variables de estado

Debemos repetir que independientemente del orden de las ecuaciones diferenciales en la dinámica del sistema, la finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden.

Estos criterios nos ayudan a abordar el caso del sistema masa-resorte-amortiguador, donde aplicaremos el mismo método para obtener su representación en variables de estado.

Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Supongamos ahora que tenemos el sistema de la Figura 2.15, para el cual ya habíamos encontrado su Función de Transferencia (ver: Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador):

Debemos encontrar para este sistema su representación en variables de estado.

1er paso. Una vez más, la clave para seleccionar las variables de estado es centrar la atención sobre aquellos parámetros que son necesarios derivar para obtener las ecuaciones diferenciales que representan la dinámica del sistema.

Para la masa 1, 2 y 3, obtendremos las siguientes expresiones, aplicando la segunda ley de Newton para movimiento traslacional y el criterio de superposición:

Donde:

Vemos claramente que debemos seleccionar x1, x2 y x3 como nuestras variables de estado, pero además vemos que cada una de estas tres ecuaciones genera dos variables de estado, por lo tanto requerimos al menos seis variables de estado para representar este sistema.

Para evitar confusión, utilizaremos la letra Z para representar nuestras variables de estado. Y para facilitarnos la vida seleccionamos a la derivada de x1 como Z2, y a x1 como Z1. Es decir:

con esta artimaña obtenemos directamente la siguiente relación:

que cumple con el objetivo del método: expresar el vector X’ en función de X, es decir:

De manera análoga, aplicamos el mismo procedimiento para el resto de las masas, y así obtenemos las otras variables de estado (que forman nuestro vector X en la ecuación anterior):

2do paso.Vemos que este método nos brinda ciertas relaciones de manera directa, es decir, ya sabemos cuáles son nuestras variables de estado, suficientes para poder representar al sistema en toda su complejidad, y además ya tenemos tres miembros del vector X‘ en función de las variables de estado. Es decir, sólo para aclarar de que estamos hablando:

Necesitamos ahora el resto de los términos del vector X‘ en función de las variables de estado ya seleccionadas, es decir:

Para hallar estas  segundas derivadas, utilizamos la segunda ley de Newton y el criterio de superposición:

Masa 1:

Sustituyendo las variables y sus derivadas por las variables de estado ya seleccionadas, cumplimos con nuestro propósito:

Sustituyendo el valor de las variables por los datos aportados en el problema, y ordenando las variables de estado de menor a mayor, obtenemos:

 

Masa 2

Es decir:

Masa 3:

Es decir:

Por último, si seleccionamos x1 y x3 como nuestras salidas, nuestra representación del sistema en espacio de estados, en términos generales, queda así:

Y en términos específicos:

Otro ejemplo.

Las variables de estado son la herramienta más poderosa de la Ingeniería de Control Moderna, ya que no está limitada a sistemas lineales como sí o está el método hasta ahora visto, La Transformada de Laplace.

Las variables de estado en el caso del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 8, nos permitirá reescribir un sistema de segundo orden en un sistema de primer orden. El siguiente material fue obtenido del video: State-Space Representation

Figura 8

Seleccionando nuevamente el desplazamiento como la coordenada generalizada, la ecuación de movimiento del sistema es la siguiente:

El objetivo es expresar esta ecuación en una forma equivalente que tiene la siguiente forma:

Aquí el vector es un Vector de Estado, y X1, X2, son variables de estado que sustituyen a la original variable generalizada X y, más importante, a sus derivadas. El describir el sistema en forma de matrix, ofrecerá la enorme ventaja de utilizar el poder de las computadoras para procesar información y ejecutar análisis de datos presentados en forma matricial (Matrix Algebra).

Las ecuaciones encerradas en círculos amarillos muestran como la primera forma de escribir es la forma compacta de escribir las ecuaciones para y.

El primer paso es definir las variables de estado:

Este procedimiento nos permite obtener de inmediato la primera ecuación de estado :

…..por tanto

El segundo paso consiste en forzar al coeficiente que acompaña al orden más alto, el coeficiente líder, a ser igual a la unidad. Para ello, en nuestro caso, se divide la ecuación de movimiento original entre m (y en general, entre el valor que ocupe ese lugar):

En el tercer paso se despeja la derivada de mayor orden:

El cuarto paso consiste en sustituir las derivadas de la variable original por sus ya asignadas variables de estado:

Y así hemos encontrado la segunda ecuación de estado:

….

Y así hemos completado el objetivo. La ecuación de movimiento original puede ser expresado como variables de estado en la siguiente forma:

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Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Elementos básicos de un sistema mecánico.

Los elementos básicos de todo sistema mecánico son la masa, el resorte y el amortiguador. El estudio del movimiento en sistemas mecánicos se corresponde con el análisis de sistemas dinámicos. En robótica, por ejemplo, la palabra Forward Dynamic se refiere a lo que le sucede a los actuadores cuando le aplicamos a los mismos ciertas fuerzas y torques.

La masa, el resorte, el amortiguador, son actuadores elementales de un sistema mecánico.

En consecuencia, para controlar el robot es necesario conocer muy bien la naturaleza del movimiento de un sistema masa-resorte-amortiguador.

Además, este sistema elemental se presenta en numerosos campos de aplicación, de allí la importancia de su análisis. De nuevo, en robótica, cuando se habla de Inverse Dynamic, se habla sobre el cómo hacer que el robot se mueva de una manera deseada, cuáles fuerzas y torques debemos aplicar sobre los actuadores para que nuestro robot se mueva de una manera particular.

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Antes de realizar el Análisis Dinámico de nuestro sistema masa-resorte-amortiguador, debemos obtener su modelo matemático. Éste es el primer paso a ejecutar por toda persona que pretenda conocer a profundidad la dinámica de un sistema, especialmente el comportamiento de sus componentes mecánicos.

Iniciaremos nuestro estudio con el modelo de un sistema masa-resorte.

Esto es conveniente por el motivo siguiente. Todos los sistemas mecánicos presentan una naturaleza en su movimiento que le impulsa a oscilar, como cuando un objeto pende de un hilo en el techo y con la mano lo empujamos. O un zapato sobre una plataforma con resortes. Es bueno saber qué función matemática es la que mejor describe ese movimiento.

Pero resulta que las oscilaciones de nuestro ejemplos no son infinitas. Existe una fuerza de roce que amortigua el movimiento. En el caso del objeto que cuelga de un hilo es el aire, un fluido. Por lo que luego de estudiar el caso de un sistema ideal masa-resorte, sin amortiguación, pasaremos a considerar dicha fuerza de roce y añadir a la función ya encontrada un nuevo factor que describa el decaimiento del movimiento.

 

Sistema Masa-Resorte.

 

Fuente: Física. Robert Resnick

La dinámica de un sistema se representa en primer lugar mediante un modelo matemático compuesto por ecuaciones diferenciales. En el caso de el sistema masa-resorte, dicha ecuación es la siguiente:

Esta ecuación se conoce como Ecuación de Movimiento de un Oscilador Armónico Simple. Veamos de donde se deriva.

Si nuestra intención es obtener una fórmula que describa la fuerza que ejerce un resorte en contra del desplazamiento que lo estira o lo encoge, la mejor manera es visualizando la energía potencial que se inyecta al resorte cuando tratamos de estirarlo o encogerlo. La siguiente gráfica describe cómo se comporta esta energía en función del desplazamiento horizontal:

A medida que la masa m de la figura anterior, sujeta al extremo del resorte como se muestra en la Figura 5, se aleja del punto de relajación del resorte x=0  en sentido positivo o negativo, la energía potencial U(x) se acumula y aumenta en forma parabólica, llegando a un valor superior de energía donde U(x)=E, valor que se corresponde con la máxima elongación o compresión del resorte. La ecuación matemática que en la práctica describe mejor esta forma de curva, incorporando una constante k para la propiedad física del material que aumenta o disminuye la inclinación de dicha curva, es la siguiente:

La fuerza se relaciona con la energía potencial de la siguiente manera:

Por lo tanto:

Tiene sentido ver que F(x) es inversamente proporcional al desplazamiento de la masa m. Porque está claro que si estiramos el resorte, o lo encogemos, esta fuerza se opone a dicha acción, intentando devolver al resorte a su posición relajada o natural. Por ello se le llama fuerza de restitución. La ecuación anterior es conocida en la academia como La Ley de Hooke, o ley de la fuerza para resortes. La siguiente es una gráfica representativa de dicha fuerza, en relación con la energía como se ha venido mencionando, sin intervención de fuerzas de roce (amortiguación), por lo que se le conoce como Oscilador Armónico Simple. Es importante recalcar la relación proporcional entre desplazamiento y fuerza, pero con pendiente negativa, y que, en la práctica, es más compleja, no lineal.

Fuente: Física. Robert Resnick

Para una análisis animado del resorte, corto, sencillo pero contundente, recomiendo observar los videos: Potential Energy of a Spring, Restoring Force of a Spring

AMPLITUDE AND PHASE: SECOND ORDER II (Mathlets)

Sistema MRA

Amplitude-and-Phase-2nd-Order-II

He realizado un resumen de los textos originales consultados para analizar las ecuaciones de los elementos que se consideran en este documento: masa, resorte, amortiguador.

Regresando a la Figura 5:

Acudimos a la Segunda Ley de Newton:

Esta ecuación nos dice que la sumatoria vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m, es igual al producto del valor de dicha masa por su aceleración adquirida debido a dichas fuerzas. Considerando que en nuestro sistema resorte-masa, ∑F=-kx, y recordando que la aceleración es la segunda derivada del desplazamiento, aplicando la Segunda Ley de Newton obtenemos la siguiente ecuación:

Arreglando un poco las cosas, obtenemos la ecuación que queríamos obtener desde un principio:

Esta ecuación representa La Dinámica de un Sistema Masa-Resorte ideal.

A parte de la Figura 5, otra forma común de representar este sistema es mediante la configuración siguiente:

Fuente: Dinámica de Sistemas. Katsuhiro Ogata

En este caso debemos considerar la influencia del peso en la sumatoria de fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m. El peso P está determinado por la ecuación P=m.g, donde g es el valor de la aceleración del cuerpo en caída libre.

Si se jala la masa hacia abajo y luego se suelta, actúa la fuerza de restitución del resorte, provocando una aceleración ÿ en el cuerpo de masa m. Obtenemos la siguiente relación aplicando Newton:

Si implícitamente consideramos la deflexión estática, es decir, si realizamos las medidas a partir del nivel de equilibrio de la masa colgando del resorte sin moverse, entonces podemos obviar y descartar la influencia del peso P en la ecuación. Si hacemos y=x, obtenemos de nuevo la ecuación:

Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

 

Si no existiera ninguna fuerza de roce, el oscilador armónico simple oscila infinitamente. En la realidad, la amplitud de la oscilación disminuye gradualmente, un proceso conocido como amortiguación, descrito gráficamente a continuación:

Fuente: Física. Robert Resnick

El desplazamiento de un movimiento oscilatorio se grafica contra el tiempo, y su amplitud se representa mediante una función sinusoidal amortiguada por un factor exponencial decreciente que en la gráfica se manifiesta como una envolvente. La fuerza de fricción Fv que actúa en el Movimiento Armónico Amortiguado es proporcional a la velocidad en la mayoría de los casos de interés científico. Dicha fuerza tiene la forma      Fv = bV, donde b es una constante positiva que depende de las características del fluido que ocasiona la fricción, entre otras cosas. Esta fricción, también conocida como Fricción Viscosa, se representa mediante un diagrama que consiste en un pistón y un cilindro lleno de aceite:

La manera más popular de representar un sistema masa-resorte-amortiguador es mediante una conexión en serie como la siguiente:

Figura 6

Fuente: Física. Robert Resnick

 

Así como la siguiente:

Fuente: Dinámica de Sistemas. Katsuhiro Ogata

En ambos casos se obtiene el mismo resultado al aplicar nuestro método de análisis. Considerando la Figura 6, podemos observar que es la misma configuración mostrada en a Figura 5, pero agregando el efecto del amortiguador. Aplicando la segunda Ley de Newton a este nuevo sistema, obtenemos la siguiente relación:

Esta ecuación representa La Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.

Es de importancia observar que la ecuación (37) es también una Ecuación Diferencial Ordinaria de orden 2 (Ordinary Differential Equation – ODE) porque sólo involucra las derivadas de una sola variable (en este caso x) hasta la segunda derivadaAdemás, al despejar la ecuación e igualarla a cero, se transforma también en una ODE Lineal Homogénea (Homogeneous Linear ODEla cual posee importantes propiedades que facilitan el cálculo. Más adelante en este mismo documento veremos eso mediante la aplicación de La Transformada de Laplace. 

Transformada de Laplace de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Una solución para la ecuación (37) se presenta a continuación:

Fuente: Física. Robert Resnick

La ecuación (38) muestra claramente lo que se había observado con anterioridad. Un ejemplo puede simularse en Matlab mediante el siguiente procedimiento:

Tcontinuo

La forma de la curva del desplazamiento en un sistema masa-resorte-amortiguador está representada por una sinusoide amortiguada por un factor exponencial decreciente. Es importante entender que en el caso anterior no se está aplicando ninguna fuerza al sistema, por lo que el comportamiento de este sistema se puede catalogar como “comportamiento natural” (también llamada respuesta homogénea). Más adelante mostramos el ejemplo de aplicar una fuerza al sistema (un escalón unitario), lo que genera un “comportamiento forzado” que influye el comportamiento final del sistema que será el resultado de sumar ambos comportamientos (natural + forzado). Observación: Cuando se aplica una fuerza al sistema, el lado derecho de la ecuación (37) ya no es igual acero, y la ecuación deja de ser homogénea.

La solución para la ecuación (37) presentada anteriormente, puede derivarse mediante el método tradicional para resolver ecuaciones diferenciales. Sin embargo, dicho método es poco práctico cuando nos encontramos con sistemas más complicados como el siguiente que en los cuáles además se aplica una fuerza f(t):

Figura 7

Fuente: Control System Engineering. Norman Nise.

Surge entonces la propuesta de un método más práctico para hallar la dinámica de los sistemas y facilitar el posterior análisis de su comportamiento mediante simulación computarizada. La Transformada de Laplace permite alcanzar este objetivo de una manera rápida y rigurosa.

En la ecuación (37) no es fácil despejar x(t), que en ese caso es la función de salida y de interés. Tampoco puede representarse una ecuación diferencial en forma de Diagrama de Bloques que es el lenguaje más utilizado por los ingenieros para modelar sistemas, haciendo de lo complejo un objeto visual más fácil de entender y analizar. Esto conduce al primer objetivo para un método más práctico. El primer paso es separar claramente la función de salida x(t), la función de entrada f(t) y la función del sistema, alcanzando una representación como la siguiente:

r(t)=f(t), c(t)=x(t)

Fuente: Control System Engineering. Norman Nise.

La Transformada de Laplace consiste en cambiar las funciones de interés del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia mediante la siguiente ecuación:

Fuente: Control System Engineering. Norman Nise.

La ventaja principal de este cambio radica en que transforma derivadas en sumas y restas, luego, mediante asociaciones, podemos despejar la función de interés aplicando las simples reglas del álgebra. Además, no es necesario aplicar la ecuación (2.1) a todas las funciones f(t) que nos encontremos, cuando se dispone de tablas que de antemano ya nos indican la transformada de funciones que se presentan con gran frecuencia en todos los fenómenos, como las sinusoides (salida del sistema masa, resorte y amortiguador) o la función escalón (entrada que representa un cambio brusco). En el caso de nuestros elementos básicos para un sistema mecánico, es decir: masa, resorte y amortiguador, contamos con la siguiente tabla:

Es decir, aplicamos un diagrama de fuerzas para cada unidad de masa del sistema, sustituimos la expresión de cada fuerza en tiempo por su equivalente en frecuencia (que en la tabla se denomina Impedancia, haciendo analogía entre sistemas mecánicos y sistemas eléctricos) y aplicamos la propiedad de superposición (cada movimiento se estudia por separado y luego se suma el resultado).

La Figura 2.15 muestra la Transformada de Laplace para un sistema masa-resorte-amortiguador cuya dinámica se describe mediante una sola ecuación diferencial:

null

null

El sistema de la Figura 7 permite describir un método general bastante práctico para encontrar la Transformada de Laplace de sistemas con varias ecuaciones diferenciales. Primero se aplica el diagrama de fuerzas a cada unidad de masa:

La Transformada de Laplace llama a la función del sistema Función de Transferencia, cuya definición depende de cual es la función de entrada y cual la salida. Por ejemplo, para la Figura 7 nos interesa conocer la Función de Transferencia G(s)=X2(s)/F(s).

Arreglando en forma matricial las ecuaciones del movimiento obtenemos lo siguiente:

Las ecuaciones (2.118a) y (2.118b) muestran un patrón que siempre se cumple y se puede aplicar para cualquier sistema masa-resorte-amortiguador:

La consecuencia inmediata del método anterior es que facilita enormemente obtener las ecuaciones del movimiento para un sistema masa-resorte-amortiguador, al contrario de lo que sucede con las ecuaciones diferenciales. Además, podemos llegar rápidamente a la solución exigida. En el caso de nuestro ejemplo:

donde

que son resultados que se obtienen aplicando las reglas del Algebra Lineal, lo que concede un gran poder computacional al método de Transformada de Laplace.

Ejemplos de aplicación

Ejemplo 1.

Ejercicio B318, Modern_Control_Engineering, Ogata 4t p 149 (162),

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null

null

Respuesta completa en el siguiente link: Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 2.

  1. Control Systems Engineering, Nise, p 101

Respuesta completa en el siguiente link: Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Caso Rotacional

Hasta ahora se ha considerado solamente el caso traslacional. En el caso de que el desplazamiento sea rotacional, la siguiente tabla resume la aplicación de la transformada de Laplace en ese caso:

Para ilustrar su uso consideramos el siguiente ejemplo:

Las siguientes figuras ilustran la manera cómo realizar el diagrama de fuerzas para este caso:

De esta manera, el resultado se obtiene a continuación:

Siendo:

Observamos que de nuevo se cumple que:

Respuesta de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador con Condiciones Iniciales

La técnica discutida hasta ahora, la aplicación de la Transformada de Laplace para obtener la función de transferencia, ha implicado condiciones iniciales iguales a cero en el sistema. Es por ello que muchos problemas inician con el anuncio de “suponga que el sistema parte del reposo”, o, “suponga condiciones iniciales iguales a cero”.

En el caso de que las condiciones iniciales de un sistema Masa-Resorte-Amortiguador no sean cero, la aplicación de la transformada de Laplace tiene una variante que hace poco factible encontrar la función de transferencia del sistema. En cambio, podemos obtener una expresión para la salida X(s) tomando en cuenta dichas condiciones iniciales, para luego evaluar un sistema paralelo cuyo comportamiento sea equivalente al sistema que nos interesa. Veamos.

Consideramos el sistema de la Figura 5-30, con m=1 Kg; b= 3 N-s/m; k=2 N/m:

null

Si las condiciones iniciales no son iguales a cero, debemos obtener primero la ecuación diferencial del este sistema, la cual es:

null

Suponemos que en el tiempo t=0 la masa es jalada hacia abajo (sentido positivo) tal que posee las siguientes condiciones iniciales: x(0)=0.1 m; x´=0.05 m/s. Tomando en cuenta condiciones iniciales diferentes de cero, la transformada de Laplace  para x’ es sX(s) – x(0), y para x” es s^2X(s) – sx(0) – x'(0). Por tanto, la transformada de Laplace del sistema anterior es:

null

Despejando X(s) obtenemos:null

Por tanto, la expresión para la salida considerando las condiciones iniciales diferentes de cero es:null

Si aún queremos evaluar el movimiento del sistema mediante una función de transferencia, podemos aplicar una fuerza externa y observar que pasa. Hacemos uso de una de las entradas más comunes para evaluar sistemas: una entrada escalón unitario. Es muy utilizada porque muchos fenómenos se manifiestan de esta manera, cuando la fuerza aparece súbitamente y luego permanece constante.

La ecuación anterior se puede escribir como sigue:null

Por lo tanto el movimiento de la masa m puede ser evaluada como la respuesta a la entrada escalón unitario del siguiente sistema cuya Función de Transferencia G(s) es:

null

Introduzca en el Command Window de Matlab el siguiente código el cual simula el comportamiento del sistema ante una entrada escalón:

> G=tf([0.1 0.35 0],[1 3 2])

>step(G)

> stepinfo(G)

null

RiseTime: 2.5518

Peak: 0.1042

¿Cómo se puede interpretar este resultado? El sistema originalmente comienza su movimiento en x(0)=0.1 m (offset) y viaja a una velocidad de 0.05 m/s. Según la gráfica, el sistema (la masa m) se desplaza (oscila) levemente hasta 0.1042 m (Peak) al ser “empujada” por una fuerza en forma de escalón unitario en sentido positivo, y en 2.5518 segundos (RiseTime) a regresado a la posición 0,0368 m aprox., que se corresponde con el 63.2%  de su trayecto hasta la posición final que es 0 m, es decir, la masa y el sistema en general regresa desde 0.1 metros a su posición de equilibrio.

Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.

Las variables de estado son la herramienta más poderosa de la Ingeniería de Control Moderna, ya que no está limitada a sistemas lineales como sí o está el método hasta ahora visto, La Transformada de Laplace.

Las variables de estado en el caso del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 8, nos permitirá reescribir un sistema de segundo orden en un sistema de primer orden. El siguiente material fue obtenido del video: State-Space Representation

                                                                      Figura 8

 

Seleccionando nuevamente el desplazamiento como la coordenada generalizada, la ecuación de movimiento del sistema es la siguiente:

El objetivo es expresar esta ecuación en una forma equivalente que tiene la siguiente forma:

Aquí el vector es un Vector de Estado, y X1, X2, son variables de estado que sustituyen a la original variable generalizada X y, más importante, a sus derivadas. El describir el sistema en forma de matrix, ofrecerá la enorme ventaja de utilizar el poder de las computadoras para procesar información y ejecutar análisis de datos presentados en forma matricial (Matrix Algebra).

Las ecuaciones encerradas en círculos amarillos muestran como la primera forma de escribir es la forma compacta de escribir las ecuaciones para y.

El primer paso es definir las variables de estado:

Este procedimiento nos permite obtener de inmediato la primera ecuación de estado :

…..por tanto

El segundo paso consiste en forzar al coeficiente que acompaña al orden más alto, el coeficiente líder, a ser igual a la unidad. Para ello, en nuestro caso, se divide la ecuación de movimiento original entre m (y en general, entre el valor que ocupe ese lugar):

En el tercer paso se despeja la derivada de mayor orden:

El cuarto paso consiste en sustituir las derivadas de la variable original por sus ya asignadas variables de estado:

Y así hemos encontrado la segunda ecuación de estado:

….

Y así hemos completado el objetivo. La ecuación de movimiento original puede ser expresado como variables de estado en la siguiente forma:

Ejemplo 2 variables de estado:

Supongamos ahora que tenemos el sistema de la Figura 2.15, para el cual ya habíamos encontrado su Función de Transferencia (ver: Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador):

Debemos encontrar para este sistema su representación en variables de estado.

Para ver todo el resultado ver el siguiente link: Ejemplo 1 – Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

SIGUIENTE: Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC

Los libros de donde extraje imágenes, ecuaciones e información, son los siguientes:

  1. Robert Resnick, tomo1
  2. Dinamica_de_Sistemas, Katsuhiko Ogata
  3. Control Systems Engineering, Norman Nise
  4. Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo
  5. Ingenieria de Control Moderna, 3° ED. – Katsuhiko Ogata
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