Análisis de sistemas de control, Dinámica de sistemas

Ejemplo 2 – Función de transferencia de sistema electromecánico.

Encontrar en términos genéricos, la función de transferencia del sistema de realimentación unitaria mostrado en la Figura P5.52(b) del cual es parte el sistema  electromecánico de la Figura P5.52(a).

1. Dinámica del sistema

 

2. Transformada de Laplace

3. Función de Transferencia Motor&Load

donde:

4. Función de transferencia directa

Para el sistema:

La función de transferencia a lazo abierto Ga(s) es:

5. Función de transferencia a lazo cerrado

La función de transferencia a lazo cerrado Gc(s) es:

Es decir:

Este problema es la primera parte de uno donde se solicita la respuesta transitoria para que el sobresalto sea de 20% y el tiempo de establecimiento sea de 2 segundos, ver el problema completo en el siguiente link: Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema electromecánico

ANTERIOR: Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Referencia:

  1. Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo
  2. Ingenieria de Control Moderna, 3° ED. – Katsuhiko Ogata

Atención:

Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.

Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. 

INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

Atención: 

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema: 

Atención:

Si lo que Usted necesita es determinar La Función de Transferencia de un Sistema..Le entregamos la respuesta en dos horas o menos, dependiendo de la complejidad. En digital. Póngase en contacto con nosotros, respuesta inmediata, resolvemos y entregamos la Función de Transferencia de sistemas masa-resorte-amortiguador, eléctricos, electromecánicos, electromotriz, nivel de líquido, térmico, híbridos, rotacional, no lineales, etc.. Opcional, Representación en Variables de Estado. Opcional, Entrevista por Skype para explicar la solución.

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Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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Relacionado:

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC

Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Ejemplo 1 – Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

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Modelo matemático de un vehículo. Simulación en Matlab/Simulink

ANTERIOR: Efectos del Gradiente de Carretera

A continuación, mostraremos cómo las ecuaciones para las fuerzas que actúan en el vehículo se combinan en un modelo matemático que se puede usar para la simulación. Dicho modelo estará en capacidad de determinar cómo responde el vehículo como un todo a diferentes entradas. En nuestro caso, el modelo de vehículo solo modela el comportamiento longitudinal. Tenga en cuenta que el modelo del vehículo no incluye un modelo del tren de potencia (powertrain). En su lugar, el tren de potencia utilizará la salida del modelo del vehículo como entrada, y se presentará más adelante. La salida del modelo matemático del vehículo, que vamos a presentar a continuación, será la fuerza de tracción requerida del tren de potencia en una situación de conducción específica.

Las entradas (inputs) al modelo matemático del vehículo serán la velocidad del vehículo, la aceleración del vehículo y el ángulo de inclinación del camino, ya que describen la situación de conducción. El ángulo de inclinación del camino puede, por supuesto, expresarse como el gradiente de la carretera si así se prefiere. También hay otros parámetros que influyen en el diseño del modelo. Los más importantes son la masa del vehículo, el área frontal del vehículo y los coeficientes de fricción y resistencia. Estos se denominan parámetros del modelo del vehículo y, por lo general. se establecen una vez y son constantes al analizar ese vehículo en particular, independientemente de la situación de conducción analizada, mientras que las variables de entrada pueden variar constantemente cuando el vehículo está conduciendo.

La ecuación principal del modelo de vehículo es, por supuesto, la ecuación presentada anteriormente para la fuerza de tracción requerida que es igual a la suma de la resistencia aerodinámica, resistencia a la rodadura, fuerza de gradiente y fuerza neta requerida.

Cada una de las cuatro fuerzas se puede determinar con las ecuaciones obtenidas en presentaciones anteriores y que se muestran a continuación. Estas ecuaciones muestran que necesitamos las tres variables de entrada mencionadas anteriormente, para poder calcular el valor de cada una de las cuatro fuerzas.

Ahora veremos cómo se ve el modelo del vehículo en el modelado QSS Simulink.

El bloque modelo de vehículo QSS se ve así:

Se pueden reconocer de inmediato las tres entradas mencionadas con anterioridad. Sin embargo, el modelo tiene tres salidas en lugar de solo una. Se puede ver que dos de ellos son solo la velocidad del vehículo y la aceleración del vehículo, que son las mismas que dos de las entradas. Estos solo se envían como salidas, ya que hace que sea más fácil construir el modelo de simulación de esta manera.

Podemos configurar los parámetros del modelo en la ventana de diálogo, que abrimos haciendo doble clic en el modelo. En esta ventana, podemos ver qué valores predeterminados tienen los parámetros del modelo. Si necesitamos otros valores, solo debemos ingresarlos y presionar el botón Apply o Ok.

También podemos abrir el bloque del modelo de vehículo QSS para ver qué hay dentro. Si miramos el modelo, encontramos que calcula la fuerza de tracción como la suma de otras cuatro fuerzas, como lo hemos venido tratando en nuestras ecuaciones.

De igual manera, cada una de las cuatro fuerzas se calcula en el subsistema correspondiente a las cuatro funciones que definimos. Estos cuatro subsistemas también usan las tres entradas del modelo de vehículo como sus entradas. Observe también que la velocidad y la aceleración del vehículo no se modifican dentro del modelo del vehículo, sino que solo se transmiten a la salida. Así que podemos concluir señalando que el modelo de vehículo QSS es simplemente una implementación en Simulink de las ecuaciones de fuerza que hemos discutido con anterioridad.

Fuente: Vehicle model del curso Section 1: Vehicles and powertrains

ANTERIOR: Efectos del Gradiente de Carretera

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Análisis de sistemas de control, Respuesta en el tiempo

Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema electromecánico

El sistema mecánico mostrado en la Figura P5.52(a) es parte del sistema de realimentación unitaria de la Figura P5.52(b). Encontrar los valores de M y D para producir un sobresalto del 20% y un tiempo de establecimiento de 2 segundos.

1. Dinámica del sistema

donde:

2. Transformada de Laplace

3. Función de Transferencia Motor&Load

donde:

además:

4. Función de transferencia directa

La ganancia a lazo abierto Ga(s) es:

5. Función de transferencia a lazo cerrado

La ganancia a lazo cerrado Gc(s) es:

Es decir:

6. Cálculo de M y D

De acuerdo con:

Además:

De esta manera:

Mientras:

7. Verificación en Matlab

Utilizamos Matlab para corroborar este resultado, sustituyendo todos los valores calculados en la función de transferencia original:

el objetivo era: Find the values of M and D to yield 20% overshoot and 2 seconds settling time.

>> stepinfo (sys)

RiseTime: 0.3554

SettlingTime: 1.8989

SettlingMin: 0.9331

SettlingMax: 1.1999

Overshoot: 19.9890

Undershoot: 0

Peak: 1.1999

PeakTime: 0.8059

 

 

Elaborado por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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Atención:

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o resolver un problema más complejo que involucra el uso de dispositivos electromecánicos (motor, sensor, etc) en un sistema de control…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema..Yo le resolveré cualquier problema de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab.

Relacionado:

Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema Electromecánico

Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab

Estabilidad de un sistema de control

Electrical Engineer, Power Electronics

DC Motor Drive – Power Electronic

Introduction

A motor driver is a little current amplifier; the function of motor drivers is to take a low-current control signal and then turn it into a higher-current signal that can drive a motor.

A typical motor drive system is expected to have some of the system blocks indicated in Fig. 27.1. The load may be a conveyor system, a traction system, the rolls of a mill drive, the cutting tool of a numerically controlled machine tool, the compressor of an air conditioner, a ship propulsion system, a control valve for a boiler, a robotic arm, and so on.

null

The power electronic converter block may use diodes, MOSFETS, GTOs, IGBTs, or thyristors. The controllers may consist of several control loops, for regulating voltage, current, torque, flux, speed, position, tension, or other desirable conditions of the load. Each of these may have their limiting features purposely placed in order to protect the motor, the converter, or the load.

DC Motor Drives

Direct-current motors are extensively used in variable-speed drives and position-control systems where good dynamic response and steady-state performance are required. Examples are in robotic drives, printers, machine tools, process rolling mills, paper and textile industries, and many others. Control of a dc motor, especially of the separately excited type, is very straightforward, mainly because of the incorporation of the commutator within the motor. The commutator brush allows the motor-developed torque to be proportional to the armature current if the field current is held constant. Classical control theories are then easily applied to the design of the torque and other control loops of a drive system.

The mechanical commutator limits the maximum applicable voltage to about 1500 Vand the maximum power capacity to a few hundred kilowatts. Series or parallel combinations of more than one motor are used when dc motors are applied in applications that handle larger loads. The maximum armature current and its rate of change are also limited by the commutator.

Small servo-type dc motors normally have permanent magnet excitation for the field, whereas larger size motors tend to have separate field-supply Vf for excitation. The separately excited dc motors represented in Fig. 27.2a have fixed field excitation, and these motors are very easy to control via the armature current that is supplied from a power electronic converter.

Thyristor ac–dc converters with phase angle control are popular for the larger motors, whereas duty-cycle controlled pulse-width modulated switching dc–dc converters are popular for servo motor drives.

The series-excited dc motor has its field circuit in series with the armature circuit as shown in Fig. 27.2b. Such a connection gives high torque at low speed and low torque at high speed, a pseudo-constant-power-like characteristic that may match traction-type loads well.

We recall the block diagram for an armature-controlled DC motor:

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Converters for dc Drives

Depending on application requirements, the power converter for a dc motor may be chosen from a number of topologies. For example, a half-controlled thyristor converter or a singlequadrant PWM switching converter may be adequate for a drive that does not require controlled deceleration with regenerative braking. On the other hand, a full four-quadrant thyristor or transistor converter for the armature circuit and a two-quadrant converter for the field circuit may be required for a high-performance drive with a wide speed range.

Thyristor

Thyristors are used to construct the first stage of an electric motor drive in order to vary the amplitude of the voltage waveform across the windings of the electrical motor as it is shown in Fig. 3.35.

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An electronic controller controls the gate current of these thyristors. The rectifier and inverter sections can be thyristor circuits. A controlled rectifier is used in conjunction with a square wave or pulse-width modulated (PWM) voltage source inverter (VSI) to create the speed-torque controller system. Figure 3.36 shows a square-wave or PWM VSI with a controlled rectifier on the input side. The switch block inverter is made of thyristors (usually GTOs) for high power. Lowpower motor controllers often use IGBT inverters.

PWM

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One of the basic functions in Power Electronic is Switching. Based on Figure 1.15, Switching Functions can be characterized completely with three parameters:

  1. The duty ratio D is the fraction of time during which the switch is on. For control purposes the pulse width can be adjusted to achieve a desired result. We can term this adjustment process as pulse-width modulation (PWM), perhaps the most important process for implementing control in power converters.
  2. The frequency fswitch =1/T (with radian frequency ω=2πfswitch) is most often constant, although not in all applications. For control purposes, frequency can be adjusted. This is unusual in power converters because the operating frequencies are often dictated by the application.
  3. The time delay t0 or phase Ø0=ωt0: Rectifiers often make use of phase control to provide a range of adjustment. A few specialized ac-ac converter applications use phase modulation

 

Source:

  1. Libro Rashid – Power Electronic Handbook

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Ingeniería Eléctrica, Power Electronics

Driver de motor DC – Electrónica de potencia

Introducción

Un controlador (Driver) de motor es un pequeño amplificador de corriente; la función de los Drivers de motor es tomar una señal de control de baja corriente y luego convertirla en una señal de corriente más alta que pueda conducir un motor.

Un Driver es un sistema. Se espera que un Driver de motor típico, tenga un diagrama de bloques semejante al de la Figura 27.1. La carga puede ser un sistema de transporte, un sistema de tracción, los rodillos de accionamiento de un molino, la herramienta de corte de una máquina o herramienta numéricamente controlada, el compresor de un acondicionador de aire, un sistema de propulsión de barcos, una válvula de control para una caldera, el brazo de un robot, y así sucesivamente.

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El bloque convertidor electrónico de potencia puede usar diodos, MOSFETS, GTO, IGBT o tiristores. Los controladores pueden constar de varios bucles de control para regular el voltaje, la corriente, el par, el flujo, la velocidad, la posición, la tensión u otras condiciones deseables de la carga. Cada uno de estos puede tener sus características limitantes intencionalmente colocados para proteger el motor, el convertidor o la carga.

DC Motor Drivers

Los motores de corriente continua (Motor DC) se utilizan ampliamente en sistemas de velocidad variable y sistemas de control de posición en los que se requiere una buena respuesta transitoria y un buen rendimiento en estado estable. Los ejemplos se encuentran en unidades robóticas, impresoras, máquinas-herramientas, laminadoras de procesos, industrias del papel y textiles, y muchos otros. El control de un motor de corriente continua es sencillo, principalmente debido a la incorporación del conmutador dentro del motor. El cepillo del conmutador permite que el par desarrollado por el motor sea proporcional a la corriente del inducido si la corriente de campo se mantiene constante. Por esto último, las teorías clásicas de control se aplican fácilmente al diseño del par.

El conmutador mecánico limita el voltaje máximo aplicable a aproximadamente 1500 vatios y la capacidad de potencia máxima a unos pocos cientos de kilovatios. Se utilizan combinaciones en serie o en paralelo de más de un motor cuando los motores DC se utilizan en aplicaciones que manejan cargas más grandes. La corriente de armadura máxima y su tasa de cambio también están limitados por el conmutador.

Los pequeños motores DC de tipo servo normalmente tienen excitación por imanes permanentes para el campo, mientras que los motores de mayor tamaño tienden a tener un suministro de campo por separado para la excitación. Los motores DC excitados por separado representados en la Figura 27.2(a) tienen excitación de campo fijo (corriente de campo if constante),  son muy fáciles de controlar a través de la corriente de armadura ia que se suministra desde un convertidor electrónico de potencia.

Los convertidores Thyristor de ac-dc con control de ángulo de fase son populares para los motores más grandes, mientras que los conmutadores de voltaje On-Off, también llamados convertidores dc-dc de conmutación modulada de ancho de pulso (PWM – Pulse Width Modulation por sus siglas en Inglés ) son populares para las unidades de servomotor.

El motor de corriente continua excitado en serie tiene su circuito de campo en serie con el circuito de armadura, como se muestra en la figura 27.2(b). Dicha conexión proporciona un alto par a baja velocidad y bajo par a alta velocidad, una característica que puede combinar bien con las cargas de tipo de tracción.

Es buen momento para recordar el diagrama de bloques típico para un motor DC controlado por armadura (para un repaso ver Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC):

null

Cuando un sistema Driver controla la corriente de armadura a través de un convertidor electrónico de potencia, lo que realmente controla es el nivel de la relación velocidad-torque del motor, la cual se muestra en la Figura 27.3(a):

null

Convertidores para DC Drives (Power Electronic Converters)

Dependiendo de los requisitos de la aplicación, el convertidor de potencia para un motor de corriente continua (que en el diagrama de bloques de la Figura 27.1 está identificado como Power Electronic Converter) puede elegirse entre una serie de topologías. Por ejemplo, un convertidor de tiristor semicontrolado o un convertidor de conmutación PWM de un solo componente puede ser adecuado para un drive que no requiere desaceleración controlada con frenado regenerativo. Por otro lado, un convertidor de tiristor o transistor de cuatro cuadrantes para el circuito de armadura y un convertidor de dos cuadrantes para el circuito de campo pueden ser necesarios para un variador de alto rendimiento con un amplio rango de velocidad.

Convertidor de tiristor

Los tiristores se utilizan para construir la primera etapa de un Driver para motor eléctrico con el fin de variar la amplitud de la forma de onda del voltaje  (Va en la Figura 27.2(a)) a través de los devanados del motor, como se muestra en la figura 3.35.

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Las secciones del rectificador y del inversor pueden ser circuitos de tiristores. Se usa un rectificador controlado junto con un inversor de fuente de voltaje (VSI – Voltage Source Inverter) modulado por onda cuadrada o ancho de pulso (PWM) para crear el sistema controlador de velocidad-par. La Figura 3.36 muestra una onda cuadrada o PWM VSI con un rectificador controlado en el lado de entrada. 

El interruptor del bloque inversor está hecho de tiristores (generalmente GTO Gate Turn-Off Thyristor) para alta potencia. Los controladores de motores de baja potencia suelen utilizar inversores IGBT (Insulated-Gate Bipolar Transistor).

Pulse-Width Modulation

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Una de las funciones básicas de la electrónica de potencia es la conmutación, el interruptor que apaga-enciende, conocido como Switcher. Podríamos entonces hablar de la Función Switching. Basándonos en la Figura 1.15, las funciones de Switching se pueden caracterizar por completo con tres parámetros:

  1. La relación de trabajo D (Duty Ratio): fracción de tiempo durante el cual el interruptor está en su posición de encendido. Para fines de control, el ancho del pulso se puede ajustar para lograr un resultado deseado. Podemos denominar este proceso de ajuste como modulación por ancho de pulso (PWM – Pulse Width Modulation), tal vez el proceso más importante para implementar el control en los convertidores de potencia, por lo cual será nuestro siguiente tema.
  2. La frecuencia fswitch :  suele ser constante, aunque no en todas las aplicaciones. Para fines de control, la frecuencia puede ajustarse. Esto es inusual en los convertidores de potencia porque las frecuencias de operación a menudo son dictadas por la aplicación. (ω=2πfswitch; fswitch=1/T).
  3. El tiempo de retardo t0 o la fase Ø0 = ωt0: los rectificadores a menudo hacen uso del control de fase para proporcionar un rango de ajuste. Algunas aplicaciones especializadas de convertidores ac-ac usan modulación de fase

 

Fuente:

  1. Libro Rashid – Power Electronic Handbook

 

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Ingeniería Mecánica, Variables de estado

Representación de un sistema en variables de estado

En términos generales, la finalidad del método es expresar un sistema mediante la estructura vectorial siguiente:

La finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden, representado por el vectornullen la ecuación anterior.

La gran ventaja de utilizar variables de estado es que, para un sistema con muchas variables, como es el caso de un sistema masa-resorte-amortiguador o de un sistema eléctrico, necesitamos usar ecuaciones diferenciales solo para resolver un subconjunto seleccionado de variables del sistema. A partir de allí todas las demás variables del sistema se pueden evaluar algebraicamente.

El primer paso es entonces decidir cuáles serán esas variables que forman este subconjunto de variables de estado, que en las ecuaciones anteriores está representado por el vector X. Y a partir de ese conjunto, las otras variables se pueden expresar como función de las variables seleccionadas. Parece un trabalenguas, por ello mejor explicarse mediante un ejemplo.

Supongamos que tenemos el sistema de la Figura 3.5

1er paso. En este ejemplo la clave para seleccionar las variables de estado son los elementos del sistema que almacenan energía porque son los que requieren de ecuaciones diferenciales para explicar su dinámica. Por ello escribimos dichas ecuaciones para el inductor y el capacitor:

De las ecuaciones anteriores es conveniente para nuestra representación en variables de estado seleccionar los parámetros que están derivados, es decir:

2do paso. Para lograr la finalidad del método que se explicó al principio de este documento, vemos de inmediato que si tomamos nuestras dos ecuaciones diferenciales anteriores y despejamos las derivadas de las variables de estado seleccionadas (lado izquierdo), ya tenemos adelantada la estructura que buscamos alcanzar:

3er paso. Sin embargo, el lado derecho no está en función de las variables de estado seleccionadas, por lo que debemos utilizar otras ecuaciones para lograr esto. Aplicamos Kirchhoff de corriente para lograr Ic, y de voltaje para lograr Vl en función de las variables de estado seleccionadas:

Sustituimos:

4to paso. Y así hemos alcanzado expresar la dinámica de nuestro sistema en términos de las variables de estado seleccionadas:

Nota: no depende de , pero la incluimos multiplicada por cero para resaltar el hecho de que debemos expresar el lado derecho en términos de las ecuaciones de estado y pasar de allí a la forma matricial presentada más adelante.

5to paso. Para completar el método sólo nos falta hallar la salida en función de las variables de estado. Si seleccionamos la salida como la corriente que atraviesa la resistencia R, y la llamamos IR, obtenemos directamente que:

O lo que es lo mismo:

Representamos así nuestro sistema en variables de estado de la forma matricial siguiente:

Una ecuación diferencial de primer orden requiere de una variable de estado. Una de segundo orden requiere de dos variables de estado. Y así sucesivamente, por ende, se podría demostrar el siguiente criterio:

  • Una ecuación de orden n genera n variables de estado

Debemos repetir que independientemente del orden de las ecuaciones diferenciales en la dinámica del sistema, la finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden.

Estos criterios nos ayudan a abordar el caso del sistema masa-resorte-amortiguador, donde aplicaremos el mismo método para obtener su representación en variables de estado.

Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Supongamos ahora que tenemos el sistema de la Figura 2.15, para el cual ya habíamos encontrado su Función de Transferencia (ver: Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador):

Debemos encontrar para este sistema su representación en variables de estado.

Para ver todo el resultado ver el siguiente link: Ejemplo 1 – Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

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Atención:

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab. En el link encontrará la descripción del servicio y su costo.

Relacionado:

Ejemplo 1 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema Electromecánico

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques de Sistema Electromecánico con Motor DC

Análisis de sistemas de control, Variables de estado

Ejemplo 1 – Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Supongamos ahora que tenemos el sistema de la Figura 2.15, para el cual ya habíamos encontrado su Función de Transferencia (ver: Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador):

Debemos encontrar para este sistema su representación en variables de estado.

1er paso. Una vez más, la clave para seleccionar las variables de estado es centrar la atención sobre aquellos parámetros que son necesarios derivar para obtener las ecuaciones diferenciales que representan la dinámica del sistema.

Para la masa 1, 2 y 3, obtendremos las siguientes expresiones, aplicando la segunda ley de Newton para movimiento traslacional y el criterio de superposición:

Donde:

Vemos claramente que debemos seleccionar x1, x2 y x3 como nuestras variables de estado, pero además vemos que cada una de estas tres ecuaciones genera dos variables de estado, por lo tanto requerimos al menos seis variables de estado para representar este sistema.

Para evitar confusión, utilizaremos la letra Z para representar nuestras variables de estado. Y para facilitarnos la vida seleccionamos a la derivada de x1 como Z2, y a x1 como Z1. Es decir:

con esta artimaña obtenemos directamente la siguiente relación:

que cumple con el objetivo del método: expresar el vector X’ en función de X, es decir:

De manera análoga, aplicamos el mismo procedimiento para el resto de las masas, y así obtenemos las otras variables de estado:

2do paso.Vemos que este método nos brinda ciertas relaciones de manera directa, es decir, ya sabemos cuáles son nuestras variables de estado, suficientes para poder representar al sistema en toda su complejidad, además ya tenemos tres miembros del vector X en función de las variables de estado. Es decir, sólo para aclarar de que estamos hablando:

Necesitamos ahora el resto de los términos del vector X‘ en función de las variables de estado ya seleccionadas, es decir:

Para hallar estas  segundas derivadas, utilizamos la segunda ley de Newton y el criterio de superposición:

Masa 1:

Sustituyendo las variables y sus derivadas por las variables de estado ya seleccionadas, cumplimos con nuestro propósito:

Sustituyendo el valor de las variables por los datos aportados en el problema, obtenemos:

Masa 2

Es decir:

Masa 3:

Es decir:

Por último, si seleccionamos x1 y x3 como nuestras salidas, nuestra representación del sistema en espacio de estados, en términos generales, queda así:

Y en términos específicos:

Atención:

Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.

Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales.  

INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

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Ingeniería Eléctrica, Señales y Sistemas

Señales de tiempo discreto – muestreo en matlab

Se denomina señal de tiempo discreto a aquella señal que es función de una variable de tiempo discreto t en n, donde n toma sólo valores enteros.


Variable de tiempo discreto

Se dice que la variable de tiempo t es una variable de tiempo discreto, si t toma los valores discretos:

para algún intervalo de valores enteros de n. Por ejemplo, t podría tomar los valores enteros t=0,1,2…; es decir,

Señal de tiempo discreto

Un señal de tiempo discreto una señal que es una función de la variable de tiempo discreto tn , donde n toma sólo valores enteros.

Una señal de tiempo discreto suele denotarse x[n]. En esta notación, la variable entera n corresponde a los instantes tn. La gráfica de una señal de tiempo discreto x[n] siempre estará en términos de los valores de x[n] contra los valores de la variable de tiempo discreto n.

Con frecuencia, los valores de x[n] se indican en la gráfica mediante círculos rellenos, con líneas verticales que conectan a dichos círculos con el eje del tiempo. Esto da como resultado una gráfica de tallo, la cual es una forma común de desplegar señales de tiempo discreto.

Como ejemplo, vamos a graficar en matlab la señal x[n] determinada por:

null

Introducimos en matlab el siguiente script en un archivo .m. He utilizado la plantilla para crear funciones:

n=-2:6;

x=[0 0 1 2 1 0 -1 0 0];

stem (n,x,’filled’);

xlabel (‘n’)

ylabel (‘x[n]’)

La gráfica de x[n] en matlab aparece a continuación:

Muestreo

La forma más común de generar una señal de tiempo discreto es muestreando una señal de tiempo continuo.

Supongamos que una señal continua x(t) se aplica a un interruptor electrónico que se cierra cada T segundos.

Si el lapso durante el cual el interruptor se cierra es mucho más pequeño que T, la salida del interruptor puede considerarse como una señal de tiempo discreto tn:

La señal de tiempo discreto resultante se conoce como versión muestreada de la señal original x(t), y a T se le conoce como período de muestreo. Debido a que la duración de T entre instantes adyacentes de muestreo tn y t(n+1) es igual a una constante, es decir:

El proceso de muestreo bajo estas condiciones se conoce como muestreo uniforme.

La Figura 1.10 muestra una señal x(t) de tiempo continuo:

La Figura 1.14 muestra una señal en tiempo discreto que surge de un proceso de muestreo uniforme de la señal de tiempo continuo mostrada en la Figura 1.10. En este caso, la variable entera n denota el instante nT. Primero incorporamos el código matlab para generar esta gráfica:

t=0:1:30;

x=exp(-.1*t).*sin(2/3*t);

y_out=stem(t,x,’filled’);

grid

xlabel(‘time[sec]’)

ylabel(‘x[n]’)

 

Por definición del proceso de muestreo, el valor de x[n] para cualquier valor entero, está dado por:

En el ejemplo anterior, la señal de tiempo continuo x(t) de la Figura 1.10, es muestreada con T=1, el resultado es la señal de tiempo discreto x[n] de la Figura 1.14.

Fuente:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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Ingeniería Eléctrica, Máquinas Eléctricas

Movimiento rotatorio – Conceptos básicos

MOVIMIENTO ROTATORIO, LEY DE NEWTON Y RELACIONES DE POTENCIA – Introducción.

Casi todas las máquinas eléctricas rotan sobre un eje llamado flecha. En general, se requiere un vector tridimensional para describir la rotación de un objeto en el espacio. Sin embargo, dado que las máquinas giran sobre un eje fijo, su rotación queda restringida a una dimensión angular. Con relación a un extremo del eje de la máquina, la dirección de rotación puede ser descrita ya sea en el sentido de las manecillas del reloj (SMR) o en sentido contrario al de las manecillas del reloj (SCMR). Como referencia, supondremos que SCMR es el sentido positivo.

Los conceptos básicos del movimiento rotatorio se pueden resumir en los siguientes:

· Momento de inercia (J)

· Posición angular (Θ)

· Velocidad angular (ω)

· Aceleración angular (α)

· Par, momento de fuerza o torque (τ)

· Trabajo (W)

· Potencia (P)

. Ley de la Fuerza de Lorentz

Momento de inercia (J) se mide en kilogramos-metro.

Al aplicar la segunda ley de Newton para calcular las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en movimiento rotatorio, debemos utilizar el concepto J en vez del concepto M (masa). Es decir:

Dónde:

Dónde dm es un elemento de masa, r es la distancia del eje a dm y la integración se efectúa sobre el cuerpo. Para ilustrar este concepto se muestra el resultado de aplicar la ecuación anterior sobre un cuerpo cilíndrico semejante a la geometría característica de un motor de densidad p:

Puesto que la masa entera m del cuerpo del cilindro es:

Se obtiene que:

Posición angular (Θ) se mide en radianes o grados.

La posición angular  de un objeto es el ángulo en que se sitúa, medido desde algún punto de referencia arbitrario. Por lo general, la posición angular se mide en radianes o grados, lo cual es equivalente al concepto de distancia en el movimiento rectilíneo.

Para propósitos de ingeniería, el desplazamiento o posición angular Θ se define como positivo cuando se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj.

Velocidad angular (ω) se mide en radianes por segundo.

La velocidad angular (o rapidez) es la tasa de cambio en la posición angular con respecto al tiempo:

null

Si las unidades de la posición angular están en radianes, la velocidad angular se mide en radianes por segundo. Sin embargo, cuando se trata de máquinas eléctricas normales, los ingenieros utilizan con frecuencia unidades diferentes a los radianes por segundo para describir la velocidad del eje.

Frecuentemente, la velocidad angular se expresa en revoluciones por segundo o revoluciones por minuto. Puesto que la velocidad angular es un concepto importante en el estudio de las máquinas, se acostumbra utilizar diferentes símbolos para representar la velocidad cuando se expresa en unidades distintas, lo cual permite minimizar cualquier posible confusión en cuanto a las unidades.

Los símbolos para describir la velocidad angular son los siguientes:

null

En estos símbolos el subíndice m indica una cantidad mecánica en contraposición a una cantidad eléctrica. Estas medidas de velocidad del eje se relacionan entre sí mediante las siguientes ecuaciones:

null

Aceleración angular (α) se mide en radianes por segundo al cuadrado.

La aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular con respecto al tiempo:

null

La aceleración angular se mide en radianes por segundo al cuadrado.

Al igual que en el caso de la velocidad angular, si la aceleración angular se mide con respecto a una referencia no acelerada, a la misma se le llama aceleración absoluta; de otra forma se denomina aceleración relativa.

Par, momento de fuerza o torque (τ) se mide en newtons-metro. 

Cuando un objeto rota, su velocidad angular permanece constante a menos que se ejerza un par sobre él. Cuanto mayor sea el par aplicado al objeto, más rápidamente cambiará su velocidad angular.

El par o momento de fuerza se define como cualquier causa que tienda a producir un cambio en el movimiento rotacional de un cuerpo sobre el cual actúa. El par sobre un objeto se define como el producto de la fuerza aplicada al objeto y la distancia más corta entre la línea de acción de la fuerza y el eje de rotación del objeto.

Si r es un vector que apunta desde el eje de rotación hasta el punto de aplicación de la fuerza y si F es la fuerza aplicada, el par puede describirse como:

null

Donde θ es el ángulo entre el vector F y el vector r.

null

Las unidades del par son newton-metro en las unidades del SI.

Ley de rotación de Newton

La ley de rotación de Newton está dada por la ecuación siguiente:

null

Donde τ es el par o momento de fuerza, J es el momento de inercia que se mide en kilogramos-metro y α es la aceleración angular expresada en radianes por segundo al cuadrado.

Las unidades del par son newton-metro en las unidades del SI

Trabajo (W) se mide en joules. 

En el movimiento rotatorio, trabajo es la aplicación de un par a lo largo de un ángulo. En este caso la ecuación es:

null

Si el par es constante, entonces:

null

Potencia (P) se mide en joules por segundo (watts) o caballos de fuerza (hp)

La potencia es la tasa a la cual se realiza trabajo o el incremento de trabajo por unidad de tiempo. La ecuación de potencia es:

null

Generalmente se mide en joules por segundo (watts), pero también se puede medir en caballos de fuerza (hp). Si se aplica esta definición y se supone que la fuerza es constante y colineal con la dirección del movimiento, la potencia está dada por:

null

Así mismo, si el par es constante, en el movimiento rotatorio la potencia está dada por:

null

La ecuación de P anterior es muy importante en el estudio de las máquinas eléctricas porque describe la potencia mecánica aplicada al eje de un motor o de un generador. Indica además la relación correcta entre la potencia, el par y la velocidad angular, si la potencia se mide en watts, el par en newton-metro y la velocidad en radianes por segundo. Si se utilizan otras unidades para medir cualquiera de las cantidades indicadas, se debe introducir una constante en la ecuación como factor de conversión.

Ley de la fuerza magnética de Lorentz

El fenómeno físico subyacente que hace posible que un motor genere un par cuando una corriente pasa a través de los devanados de dicho motor, se puede expresar como sigue:

Donde la carga q, moviéndose a la velocidad V a través del campo magnético B, experimenta una fuerza F.

Esta ecuación se conoce como la Ley de Lorentz para campo magnético y es tema de nuestros siguientes artículos.

SIGUIENTE: Concepto de Campo Magnético

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Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

 

 

 

Dinámica de sistemas, Ingeniería Mecánica, Transformada de Laplace

Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

  1. Control Systems Engineering, Nise, p 101

Desarrollamos diagrama de fuerzas a cada unidad de masa, aplicando transformada de Laplace a cada fuerza por separado debido a la propiedad de superposición. Para la Masa 1 el diagrama de cuerpo libre es el siguiente:

Para la Masa 2 el diagrama de cuerpo libre es:

Para la Masa 3 el diagrama de cuerpo libre es:

La dinámica del sistema (ecuaciones de movimiento) es:

Supongamos que nuestra intención es hallar X3(s)/F(s). Primero vamos a hallar el determinante de la matriz mediante el siguiente comando en matlab:

>> s=sym(‘s’);

>> A=[4*s^2+4*s+8 -4 -2*s;-4 5*s^2+3*s+4 -3*s;-2*s -3*s 5*s^2+5*s+5];

>> delta=det(A)

delta =100*s^6 + 260*s^5 + 544*s^4 + 652*s^3 + 484*s^2 + 280*s + 80

Luego:

>> Us=sym(‘Us’);

>> B=[4*s^2+4*s+8 -4 0;-4 5*s^2+3*s+4 Us;-2*s -3*s 0];

>> CX3=det(B)

CX3 =12*Us*s^3 + 12*Us*s^2 + 32*Us*s

Entonces:De donde:

Atención:

Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.

Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. 

INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

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