Análisis de sistemas de control, Ingeniería Eléctrica, Lugar geométrico de las raíces

Diseño de la Respuesta Transitoria de un sistema de control vía LGR – Compensación en Cascada

En este artículo, se analizan dos formas de mejorar la respuesta transitoria de un
Sistema de control con realimentación, mediante el uso del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) y de la compensación en cascada. Por lo general el objetivo consiste en diseñar un respuesta que tenga un porcentaje de sobrepaso deseable y un tiempo de establecimiento más corto que el que tiene el sistema antes de la compensación.

Mejorar el desempeño de la Respuesta Transitoria

Hemos visto antes que, al establecer la ganancia en un valor particular en el lugar geométrico de las raíces, se determina una respuesta transitoria específica, dictada por los polos en ese punto del lugar geométrico. Esto quiere decir que al diseñar una respuesta transitoria estamos limitados a aquellas respuestas que existen a lo largo del lugar geométrico de las raíces. (Ver El lugar geométrico de las raíces con Matlab).

Desafortunadamente, la mayor parte del tiempo los requerimientos de diseño y, en especial, las especificaciones de sobrepaso y tiempo de repuesta para el diseño de sistemas de control, excede las posibilidades del LGR actual. ¿Qué podemos hacer entonces?

En lugar de cambiar el sistema existente, aumentamos o compensamos el sistema con polos y ceros adicionales, de modo que el sistema compensado tenga un LGR que pase por la ubicación deseada del polo para obtener algún valor de ganancia. Una de las ventajas de compensar un sistema de esta manera es que se pueden agregar polos y ceros adicionales en el extremo de baja potencia del sistema, justo antes de la planta. Debemos evaluar la respuesta transitoria a través de la simulación una vez que el diseño esté completo para asegurarnos de que se cumplan los requerimientos exigidos.

Principalmente, existen dos configuraciones de compensación utilizadas en el diseño de sistemas de control: compensación en cascada y compensación por retroalimentación. Estos métodos se modelan en la Figura 1 y la Figura 2:

Figura 1. Compensación en cascada de un sistema de control.

Con la compensación en cascada, la red de compensación, G1(s), se coloca en la zona de baja potencia, justo delante y en cascada con la planta G3(s), o delante del controlador original G2(s) de la planta, como se puede ver en la Figura 1.

Figura 2. Compensación en realimentación de un sistema de control.

Con la compensación de realimentación (feedback compensator), el compensador, H1(s), se coloca en la ruta de realimentación, Figura 2.

Ambos métodos cambian los polos y ceros a lazo abierto, creando así un nuevo LGR a lazo cerrado, que atraviesa la ubicación requerida por las especificaciones de diseño.

La primera técnica que presentada será la compensación derivativa ideal. Se agrega un diferenciador puro a la trayectoria directa del sistema de control con retroalimentación.

En construcción…

Anuncios
Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces

Sketching Root Locus with Matlab – Control Systems

The Root Locus graphically displayed both transient response and stability information. 

The locus can be sketched quickly to get a general idea of the changes in transient response generated by changes in gain. Specific points on the locus also can be found accurately to give quantitative design information.

The root locus typically allows us to choose the proper loop gain to meet a transient response specification. As the gain is varied, we move through different regions of response. Setting the gain at a particular value yields the transient response dictated by the poles at that point on the root locus. Thus, we are limited to those responses that exist along the root locus.

We can use Matlab and its Control System Toolbox to plot The Root Locus of a control system, given its characteristic equation or its forward transfer function.

1) As a first example, consider the system which characteristic equation is as follows:

null

The factored form of this characteristic equation is:

null

That is to say:

null

Where G(s)H(s) is the open-loop forward transfer function for a system represented by its block diagram as follows:

null

The root locus sketching looks as follows:

null

null

As it was said before, we can get the root locus for G(s)H(s) with Matlab using the following simple commands:

>> s=tf(‘s’)

>> sys=(1)/(s*(s+3)*(s^2+2*s+2))

>> rlocus(sys)

We obtain the next chart:

null

When gain K=8.1,  s=0+j1.09. We can see it by clicking on the lower intersection with the imaginary axis. Doing similarly, we can find the value of K at s=0-j1.09.

null

We can also see in the locus of the roots provided by Matlab for this system, the following:

  1. The geometric places are symmetrical with respect to the real axis.
  2. The four points at the root locus where K=0 (the poles, where the geometric places begin) are s=0, -3, -1+j, -1-j. Those where K=∞ (the zeros, where the geometric places finishare s=∞, ∞ , ∞ , and .
  3. The maximum between n and m is 4, thus we say that the root locus has 4 branches, labeled by green colour ( -3), blue (0), celeste ( -1-j) and red ( -1+j).
  4. The number of asymptotes is 4, (n-m=4). Since the number of finite poles exceeds the number of finite zeros, the locus of the roots approaches to s=∞ along the asymptotes.
  5. The angles and centroid of the asymptotes are given below:

null

null

Once we sketch the root locus, we may want to accurately locate points on the root locus as well as find their associated gain. For example, we might want to know the exact coordinates of the root locus as it crosses the radial line representing 20% overshoot. Further, we also may want the value of gain at that point. Let us to illustrate that with the next example:

2) Given a unity feedback system that has the forward transfer function:

a. Sketch the root locus.
b. Find the imaginary-axis crossing.
c. Find the gain, K, at the jv-axis crossing.
d. Find the break-in point.
e. Find the point where the locus crosses the 0.5 damping ratio line.
f. Find the gain at the point where the locus crosses the 0.5 damping ratio line.
g. Find the range of gain, K, for which the system is stable.

a. Sketch the root locus.

>> numg=poly([2 4]);
>> deng=[1 6 25];
>> G=tf(numg,deng)

G

s^2 – 6 s + 8
————–
s^2 + 6 s + 25

>> rlocus(G);

b. Find the imaginary-axis crossing.

We can see in the chart that when the geometric place cross by the imaginary axe, the poles are at:

c. Find the gain, K, at the jv-axis crossing.

According to the previous graph:

The previous graph also tells us that the system is unstable (negative damping) when:

d. Find the break-in point.

e. Find the point where the locus crosses the 0.5 damping ratio line.
>> z=0.5;
>> sgrid(z,0)

f. Find the gain at the point where the locus crosses the 0.5 damping ratio line.

According to the previous graph:

g. Find the range of gain, K, for which the system is stable.

Previously, we have seen that the system is stable when:

Proportional Control

3. Find the gain to meet the damping ξ= 0.5, given the forward transfer function for a control system with unitary feedback:

null

We already know that this control system has the following configuration:

By adding to this original system a controller to manipulate the K gain of its Root Locus until obtaining the desired damping factor, we will be executing a Proportional Control Action. It is customary to add said controller in the region of low power, in series and just before the plant, or just before the direct transfer function, as illustrated in the following figure:

Adding a proportional controller of gain Kp, lThe forward transfer function G(s) is:null

When KP=1, we have the original system.

We will use the following commands of Matlab, rltool:

>> numg=100;
>> deng=[1 16 65 50];
>> G=tf(numg,deng)

G =

100
————————
s^3 + 16 s^2 + 65 s + 50

>> rltool(G)

Doing right click:

Here we get ζ=0.5 when KP=1.46

Comparing the system before and after the compensation:

>> numc=100*1.46;
>> Gc=tf(numc,deng)

Gc =

146
————————
s^3 + 16 s^2 + 65 s + 50

>> sys_before=feedback(G,1);
>> sys_after=feedback(Gc,1);
>> step(sys_before,sys_after)

In blue, the response of the system to a step input before compensation is shown, when KP=1. In red, after compensation, when KP=1.46. The rise time is better (from 0.5626 s to 0.4356 s), but overshot is bigger due to less damping ζ (from 0.626 to 0.502). Steady-state error is also better.

We can see this data using:

>> stepinfo(sys_before)

RiseTime: 0.5626
SettlingTime: 1.7487
Overshoot: 7.5449

>> stepinfo(sys_after)

RiseTime: 0.4356
SettlingTime: 2.0551
Overshoot: 15.0397

>> damp (sys_before)

Damping= 6.26e-01

>> damp (sys_after)

Damping=5.02e-01

Or doing right click on the Root Locus, and then design requirement>new>design requirement type>damping ratio>0.5>ok. 

Conclusion

It is confirmed by these examples that the locus of the roots is a powerful method of analysis and design for the stability and transient response of a control system (Evans, 1948, 1950).

The feedback control systems are difficult to understand from the qualitative point of view, so that this understanding depends largely on mathematics. The root locus is the graphic technique that gives us that qualitative description of the performance of the control system we are designing.

Setting the gain at a particular value on the root locus yields the transient response dictated by the poles at that point on the root locus. Thus, we are limited to those responses that exist along the root locus. That is what the following topic is about:

NEXT: Design via Root Locus – Improving Transient Response via Cascade Compensation

Sources:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Written by: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Mentoring Académico / Empresarial / Emprendedores

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. 00593998524011

WhatsApp: +593998524011    /    +593981478463

Twitter: @dademuch

FACEBOOK: DademuchConnection

email: dademuchconnection@gmail.com

 

Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces

El lugar geométrico de las raíces con Matlab

El Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) expone gráficamente información relacionada con la Respuesta Transitoria y La Estabilidad de un sistema de control. 

Para obtener la gráfica del lugar geométrico de las raíces es de gran utilidad contar con una aplicación computarizada, entre las cuáles resalta rlocus de Matlab. Sin embargo, no deja de ser importante aprender las bases y propiedades del LGR, así como la forma de interpretar los datos proporcionados por el lugar geométrico para fines de análisis y diseño (El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 1era. parte. ).

El lugar geométrico de las raíces consiste en una representación gráfica de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado a medida que varía uno o varios parámetros del sistema.

1) Como primer ejemplo, vamos a confirmar la gráfica del LGR para un sistema ya estudiado en la 2da parte (El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 2da. parte.). Suponga un sistema con la siguiente ecuación característica:

null

La forma factorizada de esta ecuación característica es:

null

Es decir:

null

Donde G(s)H(s) es la función de transferencia directa a lazo abierto de un sistema representado mediante la siguiente configuración:

null

Para el ejemplo en consideración, el lugar geométrico de las raíces presenta la forma que aparece en la Figura 8-8:

null

null

Podemos obtener el lugar geométrico de G(s)H(s) en Matlab mediante la siguiente línea de comandos:

>> s=tf(‘s’)

>> sys=(1)/(s*(s+3)*(s^2+2*s+2))

>> rlocus(sys)

Obtenemos la siguiente gráfica:

null

Podemos observar la similitud con la Figura 8-8. Colocando el cursor en el punto de intersección superior con el eje imaginario, podemos constatar que en dicho punto el valor de la ganancia K=8.1 a la altura de s=0+j1.09, mientras que haciendo lo mismo, colocando el cursor en el punto de intersección inferior con el eje imaginario, podremos ver el mismo valor para K en s=0-j1.09.

null

En el lugar geométrico de las raíces de Matlab el valor de K varía entre 0 e infinito (0≤K≤∞), por lo que cada lugar geométrico va desde K=0 hasta K=∞, a diferencia de lo que se observa en la Figura 8-8, en la cual el lugar geométrico se presenta de k=-∞ hasta k=+∞.

Podemos observar además en el lugar geométrico de las raíces provisto por  Matlab para este sistema, lo siguiente:

  1. Los lugares geométricos son simétricos con respecto al eje real.
  2. Los cuatro puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 (los polos, donde inician los lugares geométricos) son s=0, -3, -1+j, -1-j. Aquellos donde K=∞ (los ceros, donde finalizan los lugares geométricosson s=∞, ∞ , ∞ , e .
  3. El máximo entre n y m es 4, por lo que el lugar geométrico tiene 4 ramas, señaladas en Matlab por las ramas de color verde (inicia en -3), azul (inicia en 0), celeste (inicia en -1-j) y rojo (inicia en -1+j). Utilizando el cursor podemos recorrer cada rama y verificar lo dicho.
  4. El número de asíntotas es 4, (n-m=4). Como el número de polos finitos excede al número de ceros finitos, el lugar geométrico de las raíces se aproxima a s=∞ a lo largo de las asíntotas.
  5. Los ángulos y el centroide de las asíntotas se dan a continuación:

null

null

Una vez que esbozamos el LGR de un sistema de control en particular, es posible que queramos ubicar con precisión algunos puntos de importancia, así como encontrar su ganancia asociada. Por ejemplo, podríamos querer saber las coordenadas exactas del lugar de la raíz que cruza la línea radial que representa un 20% de sobrepaso, así como el valor de la ganancia en ese punto. Vamos a ilustrar este caso con el siguiente ejemplo:

2) Dada la siguiente función de transferencia directa para un sistema de control con realimentación unitaria:

a. Dibujar el lugar geométrico de las raíces.
b. Encontrar el punto de cruce con el eje imaginario.
c. Encontrar la ganancia en el punto de cruce con el eje imaginario.
d. Encontrar los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico.
e. Encontrar el lugar donde el lugar geométrico se cruza con la línea de coeficiente de amortiguamiento (damping ratio line) de tal forma que dicho coeficiente sea igual a 0.5 (ξ= 0.5).
f. Determine la ganancia K en el punto anterior.
g. Encuentre el rango de ganancia K para el cual el sistema es estable.

a. Dibujar el lugar geométrico de las raíces.

Coloco en la consola de Matlab los siguientes comandos:

>> numg=poly([2 4]);
>> deng=[1 6 25];
>> G=tf(numg,deng)

G

s^2 – 6 s + 8
————–
s^2 + 6 s + 25

>> rlocus(G);

b. Encontrar el punto de cruce con el eje imaginario.

Podemos ver en la gráfica anterior que, cuando el lugar geométrico de las raíces cruza el eje imaginario, los polos del sistema están ubicado en:

c. Encontrar la ganancia K en el punto de cruce con el eje imaginario.

De acuerdo con la gráfica anterior:

En la misma gráfica podemos ver que el sistema es inestable (damping negativo) cuando:

d. Encontrar los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico.

e. Encontrar el lugar donde el lugar geométrico se cruza con la línea de coeficiente de amortiguamiento (damping ratio line) de tal forma que dicho coeficiente sea igual a 0.5 (ξ= 0.5).
>> z=0.5;
>> sgrid(z,0)

f. Determine la ganancia K en el punto anterior.

De acuerdo con la gráfica anterior:

g. Encuentre el rango de ganancia K para el cual el sistema es estable.

Previamente, hemos visto que el sistema es estable cuando la ganancia K:

Control Proporcional

3. Hallar la ganancia  para lograr un coeficiente de amortiguamiento ξ= 0.5, dada la siguiente función de transferencia directa para un sistema de control con realimentación unitaria:

null

Ya sabemos que el enunciado del problema se refiere a la siguiente configuración:

Al agregar a este sistema original un controlador para manipular la ganancia K de su LGR hasta obtener el factor de amortiguamiento deseado, estaremos ejecutando una Acción de Control Proporcional. Se acostumbra agregar dicho controlador en la región de baja potencia, en serie y justo antes de la planta, o justo antes de la función de transferencia directa, tal como se ilustra en la siguiente figura:

Entonces, si añadimos un controlador proporcional de ganancia Kp, la función de transferencia directa G(s) es ahora:null

Note que al hacer KP=1, obtenemos el sistema original. Este hecho lo utilizaremos más adelante para comparar las respuesta del sistema antes y después de la compensación.

Para responder a esta pregunta, utilizaremos el comando de Matlab rltool:

>> numg=100;
>> deng=[1 16 65 50];
>> G=tf(numg,deng)

G =

100
————————
s^3 + 16 s^2 + 65 s + 50

>> rltool(G)

Obtenemos el Lugar Geométrico de Las Raíces en un IDE interactivo:

Nos desplazamos sobre el LGR  haciendo un click sobre la línea de los polos dominantes y arrastrando el punto hasta que se alcance al damping solicitado:

La gráfica anterior nos muestra que podemos obtener un ζ=0.5 cuando la ganancia KP tiene un valor aproximado de 1.46. Es decir, KP=1.46

Podemos comparar la respuesta a una entrada escalón del sistema antes y después de la compensación mediante:

>> numcompensado=100*1.46;
>> Gcompensado=tf(numcompensado,deng)

Gcompensado =

146
————————
s^3 + 16 s^2 + 65 s + 50

>> sys_antes=feedback(G,1);
>> sys_despues=feedback(Gcompensado,1);
>> step(sys_antes,sys_despues)

En color azul se muestra la respuesta del sistema a una entrada escalón antes de la compensación, cuando KP=1. Luego, se muestra,en color rojo, la respuesta del sistema después de la compensación, cuando KP=1.46. Se observa claramente en la gráfica anterior, que el tiempo de levantamiento es menor, mejora después de la compensación (de 0.5626 s a 0.4356 s), pero a costa de un sobrepaso mayor debido a que el factor de amortiguamiento ζ es menor (de 0.626 a 0.502). También después de la compensación se reduce el error en estado estable ya que el resultado final está más cerca del valor de la señal de referencia, es decir, 1.

Estos datos los podemos saber utilizando los comandos:

>> stepinfo(sys_antes)

RiseTime: 0.5626
SettlingTime: 1.7487
Overshoot: 7.5449

>> stepinfo(sys_despues)

RiseTime: 0.4356
SettlingTime: 2.0551
Overshoot: 15.0397

>> damp (sys_antes)

Damping= 6.26e-01

>> damp (sys_despues)

Damping=5.02e-01

O también, colocando el cursor  sobre el lugar geométrico aportado por rltool, hacemos click derecho y seleccionamos design requirement>new>design requirement type>damping ratio>0.5>ok. Obtenemos el gráfico siguiente, colocando el cursor sobre la región rosada:

Conclusión

Se confirma mediante estos ejemplos que el lugar geométrico de las raíces es un poderoso método de análisis y diseño para la estabilidad y respuesta transitoria de un sistema de control (Evans, 1948, 1950).

Los sistemas de control realimentados son difíciles de comprender desde el punto de vista cualitativo, por lo que dicha comprensión depende en gran medida de las matemáticas. El lugar geométrico de las raíces es la técnica gráfica que nos da esa descripción cualitativa sobre el rendimiento del sistema de control que estamos diseñando.

Al establecer la ganancia en un valor particular en el LGR, se determina una respuesta transitoria específica, dictada por los polos en ese punto del lugar geométrico. Esto quiere decir que al diseñar una respuesta transitoria estamos limitados a aquellas respuestas que existen a lo largo del lugar geométrico de las raíces.

De eso trata el siguiente tema, de gran importancia para el diseño de sistemas de control:

SIGUIENTE: Diseño de la respuesta transitoria de un sistema de control vía LGR – Compensación en Cascada

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Mentoring Académico / Empresarial / Emprendedores

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. 00593998524011

WhatsApp: +593998524011    /    +593981478463

Twitter: @dademuch

FACEBOOK: DademuchConnection

email: dademuchconnection@gmail.com

 

Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces

El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 2da. parte.

ANTERIOR: El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 1era. parte. 

3er paso – Determinar las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces. 

Algunos de los lugares geométricos se aproximan al infinito cuando n y m (ver ecuación 1.3 más adelante) no son iguales. Las propiedades del lugar geométrico de las raíces  cerca del infinito en el plano s se describen mediante las asíntotas del lugar geométrico cuando s tiende a infinito.

Los lugares geométricos de las raíces para valores de s muy grandes, deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos ángulos φA (pendientes) se obtienen mediante la siguiente fórmula:

null

Donde n y m son la orden del denominador y numerador respectivamente de la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) expresada en forma racional, como en la ecuación característica 1.3:

null

En otras palabras:

null

Conforme K aumenta, el ángulo φA se repite a sí mismo, por lo que la cantidad de asíntotas distintas es igual a n-m:

null

Todas las asíntotas interceptan el eje real en un punto. Si la abscisa de este punto y el eje real se representa mediante σA (centroide de las asíntotas), entonces:

null

Debido a que todos los polos y ceros complejos ocurren en pares conjugados,  σA siempre es una cantidad real. Una vez que se encuentra la intersección de las asíntotas y el eje real, es fácil dibujar las asíntotas en el plano complejo.

Ejemplo:

Suponga que un sistema tiene la siguiente ecuación característica:

null

La forma factorizada de esta ecuación característica es:null

Es decir:     null

La Figura 8-5 muestra las asíntotas de este caso:

null

null

En la Figura 8-5 vemos que:

  1. Los cuatro puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 son s=0, -4, -1+j, -1-j. Aquellos donde K=∞ son s=-1, ∞, ∞, e .
  2. El máximo entre n y m es 4, por lo que el lugar geométrico tiene 4 ramas.
  3. Los lugares geométricos de las raíces son simétricos con respecto al eje real.
  4. El número de asíntotas es 3, (n-m=3). Como el número de polos finitos excede al número de ceros finitos, el lugar geométrico de las raíces se aproxima a s=∞ a lo largo de las asíntotas.
  5. Los ángulos  y el centroide de las asíntotas se calculan a continuación:

null

null

4to. paso – Determinar el lugar geométrico de las raíces sobre el eje real.

Debido a la simetría conjugada de los lugares geométricos de las raíces, los puntos de desprendimiento y de ingreso se encuentran sobre el eje real o bien ocurren en pares complejos conjugados.

Para que un punto S1 sobre el eje real del plano s pertenezca al lugar geométrico de las raíces, debe haber un número impar de polos y ceros de G(s)H(s) a la derecha del punto. Todos los puntos del plano real que cumplen con esta condición forman una sección. En esta sección, K es mayor o igual a cero.

Ejemplo:

En la Figura 8-7 las secciones etiquetadas con RL (0≤K≤∞) forman parte del lugar geométrico de las raíces  porque existe un número impar de polos y ceros de G(s)H(s) a la derecha de dichas secciones:

null

null

5to. paso – Determinar el ángulo de salida y de llegada del lugar geométrico de las raíces.

Para trazar los lugares geométricos de las raíces con una precisión razonable, debemos encontrar las direcciones de los lugares geométricos de las raíces, cercanas  a los polos y ceros complejos.

El ángulo de salida de un polo o de llegada a un cero, de un lugar geométrico de las raíces de G(s)H(s), denotan el ángulo de la tangente del lugar geométrico cerca del punto de salida o de llegada.

Para calcular el ángulo de salida desde un polo complejo se utiliza la siguiente fórmula:

null

El ángulo de salida desde un polo complejo es igual a 180 grados más la suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo S1 en cuestión, desde los otros ceros, menos la suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo S1 en cuestión, desde los otros polos. La Figura 6-11 muestra la aplicación de este método:
null

null

Para calcular el ángulo de llegada a un cero complejo se utiliza la siguiente fórmula:

Ejemplo:

Suponga la función característica siguiente:null

Es decir:null

Los polos de esta función a lazo abierto son s=-1, -3, -1+j, -1-j. Tomando en cuenta el punto S1 cercano al punto s=-1+j, de acuerdo con la Figura 8-8, el ángulo de salida del lugar geométrico en S1 es:null

null

null

6to. paso – Determinar los puntos de corte con el eje imaginario.

Los puntos en donde los lugares geométricos de las raíces intersectan el eje jw se encuentran con facilidad por medio de: (a) el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, o (b) suponiendo que s = jo en la ecuación característica, igualando con cero la parte real y la parte imaginaria y despejando ω y K. En este caso, los valores encontrados de ω representan las frecuencias en las cuales los lugares geométricos de las raíces cruzan el eje imaginario. El valor de K que corresponde a cada frecuencia de cruce produce la ganancia en el punto de cruce.

Como ejemplo regresemos al lugar geométrico de la Figura 8-8. Allí, los puntos de corte son s1 = -1.095j s2 = 1.095j, donde K=8.16. Para aplicar el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz en el cálculo de estos puntos ver Estabilidad de un sistema de control.

7mo. paso – Determinar los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico de las raíces.

La 8-10(a) muestra un caso en el que dos ramas del lugar geométrico de las raíces se juntan en un punto de ruptura sobre el eje real y después parten desde el eje en direcciones opuestas. En este caso, el punto de ruptura representa una raíz doble de la ecuación cuando se asigna el valor de K correspondiente al punto. La Figura 8-10(b) muestra otra situación en la que dos lugares geométricos de las raíces de polos complejos conjugados se aproximan al eje real, se encuentran en un punto de ruptura y después parten en direcciones opuestas a lo largo del eje real. En general, un punto de ruptura puede involucrar más de dos lugares geométricos de las raíces. La Figura 8-10(c) ilustra una situación cuando el punto de ruptura representa una raíz de cuarto orden.

null

null

Los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico de las raíces de 1+KG(s)H(s)=0 deben satisfacer lo siguiente:null

Todos los puntos de ruptura deben satisfacer la ecuación anterior, pero no todas las soluciones de esta ecuación son puntos de ruptura.

Ejemplo:

Considere la ecuación característica siguiente:

nullDe esta se obtiene que:

null Luego:nullEs decir:null

Al resolver esta última ecuación, encontramos que los puntos de ruptura son s= -1.172 y s= -6.828, tal como se muestra en la Figura 8-11:

null

null

8vo. paso – Trazar el lugar geométrico de las raíces.

La parte más importante de los lugares geométricos de las raíces no está sobre el eje real ni en las asíntotas, sino en la parte de la vecindad amplia del eje ω y el origen. La forma de los lugares geométricos de las raíces en esta región importante del plano s debe obtenerse con suficiente precisión. Tomando una serie de puntos de prueba en la vecindad amplia del origen del plano s, podemos determinar los lugares geométricos de las raíces en la vecindad amplia del eje ω y el origen.

ANTERIOR: El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 1era. parte. 

SIGUIENTE: El lugar geométrico de las raíces con Matlab

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Mentoring Académico / Empresarial / Emprendedores

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. 00593998524011

WhatsApp: +593998524011

email: dademuchconnection@gmail.com

 

 

Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces

El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 1era parte.

El Lugar Geométrico de las Raíces expone gráficamente información relacionada con la Respuesta Transitoria y La Estabilidad de un sistema de control.

Introducción.

El lugar geométrico de las raíces es un poderoso método de análisis y diseño para la estabilidad y respuesta transitoria de un sistema de control (Evans, 1948, 1950). Consiste en una representación gráfica de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado a medida que varía uno o varios parámetros del sistema.

Los sistemas de control realimentados son difíciles de comprender desde el punto de vista cualitativo, por lo que dicha comprensión depende en gran medida de las matemáticas. El lugar geométrico de las raíces es la técnica gráfica que nos da esa descripción cualitativa sobre el rendimiento del sistema de control que estamos diseñando. Además, también sirve como una poderosa herramienta cuantitativa que produce más información que los métodos ya discutidos, debido a que no sólo puede servir para encontrar la solución de sistemas de primero y segundo orden, sino que también es de utilidad para solucionar sistemas de orden mayor a dos.

Mediante el lugar geométrico de las raíces, se puede observar el comportamiento del sistema (relativo a la respuesta transitoria y la estabilidad) a  medida que se varían varios parámetros a la vez, como el sobrepaso, el tiempo de asentamiento y el tiempo pico. Luego, esta información cualitativa puede ser verificada mediante el análisis cuantitativo.

Construcción del lugar geométrico de las raíces. 

A continuación, se hace un resumen de las reglas para construir el lugar geométrico de las raíces. Paralelamente, aplicamos cada paso a un ejemplo concreto, para reforzar la comprensión de la teoría.

Para desarrollar dichas reglas, considere el modelo general de la siguiente Figura para un sistema de control con realimentación:

null

La función de transferencia a lazo abierto de este sistema es G(s)H(s). Mientras, la función de transferencia a lazo cerrado es:

Normas

  1. El lugar geométrico de las raíces siempre es simétrico respecto al eje real Re del plano s.
  2. Tiene tantas ramas como el valor máximo entre n m, que son el orden de dos polinomios presentados más adelante, en la ecuación 1.3.
  3. Cada rama comienza en un polo y termina en un cero de la función de transferencia directa G(s)H(s). Si los ceros no aparecen de manera explícita en el plano s, significa que están en el infinito.
1er paso - Obtener la ecuación característica.

Lo primero que debemos hacer es obtener la ecuación característica:

null

Ahora, supongamos que G(s)H(s) contiene un parámetro variable K como factor multiplicativo. Modificamos  G(s)H(s) de tal forma que se pueda expresar como una función racional de la forma:

null

Donde Q(s) y P(s) son polinomios en s de grado m y n respectivamente. Es decir, que luego de sustituir 1.2 en la ecuación 1.1 obtenemos los siguiente:

null

Ejemplo:

Suponga que la ecuación característica de un sistema de control es la siguiente:

null

Para expresar esta ecuación de la forma 1.3, se dividen ambos miembros de la ecuación entre el término que no contiene a K, es decir:

null

null

El objetivo es aislar a K como factor multiplicativo de la función Q(s)/P(s).  En este análisis suponemos que la ganancia K es el parámetro de interés. El método es aplicable sin embargo, a sistemas con parámetros de interés diferentes a la ganancia.

Observe también que las propiedades se desarrollan con base en la relación entre los polos y ceros de G(s)H(s) y los ceros de 1 + G(s)H(s), que son las raíces de la ecuación característica.

2do paso – Ubicar los polos y los ceros de G(s)H(s) en el plano s. 

G(s)H(s) es la función de transferencia directa del sistema, es decir, a lazo abierto. Las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos a lazo abierto y terminan en los ceros finitos o infinitos a lazo abierto. A partir de la forma factorizada de G(s)H(s) mostrada en la ecuación 1.3, ubicamos los polos y los ceros de lazo abierto en el plano s, atendiendo a las siguientes reglas:

  • Los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 son los polos de G(s)H(s)
  • Los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=∞ son los ceros de G(s)H(s)

Demostración.

Como:

Pero:

Lo que significa que:

Sabemos que los polos de G(s)H(s) son aquellos valores donde el denominador se hace cero, es decir, donde G(s)H(s) tiende a infinito. Pero según 1.4 eso mismo es lo que pasa cuando K tiende a cero:

Por eso sabemos que los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 son los polos de G(s)H(s).

De igual modo, los ceros de G(s)H(s) son aquellos valores donde el numerador se hace cero, es decir, donde G(s)H(s) tiende a cero. Pero según 1.4 eso mismo es lo que pasa cuando K tiende a infinito:

Por eso sabemos que los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=∞ son los ceros de G(s)H(s).

Una gráfica del lugar geométrico tendrá tantas ramificaciones como raíces tenga la ecuación característica. Dado que, por lo general, la cantidad de polos en lazo abierto es mayor que la de ceros, la cantidad de los polos es igual al de las ramificaciones.

Ejemplo:

Suponga que un sistema tiene la siguiente ecuación característica:

La forma factorizada de esta ecuación característica es:

Es decir:

Los tres puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 y aquellos donde K=∞ se muestran en la Figura 8-2:

A cada polo X le corresponde un cero O. Como sólo se observan tres polos y un cero, se sobreentiende que el resto de los ceros están en el infinito y dependiendo de los siguientes pasos (el comportamiento del sistema) se sabrá si se trata de más o menos infinito.

Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre
un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Al construir los lugares geométricos sobre el eje real, seleccione un punto en éste. Si la cantidad total de polos y ceros reales a la derecha de este punto de prueba es impar, este punto se encuentra en el lugar geométrico de las raíces El lugar geométrico de las raíces y su forma complementaria alternan segmentos a lo largo del eje real.

SIGUIENTE: El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 2da. parte.

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Mentoring Académico / Empresarial / Emprendedores

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. 00593998524011

WhatsApp: +593998524011    +593981478463

email: dademuchconnection@gmail.com