Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces

El lugar geométrico de las raíces con Matlab

Para obtener la gráfica d el lugar geométrico de las raíces es de gran utilidad contar con una aplicación computarizada, entre las cuáles resalta rlocus de Matlab. Sin embargo, no deja de ser importante aprender las bases y propiedades del lugar geométrico de las raíces, así como la forma de interpretar los datos proporcionados por el lugar geométrico para fines de análisis y diseño (El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 1era. parte. ).

Como primer ejemplo, vamos a confirmar la gráfica del lugar geométrico de las raíces para un sistema ya estudiado en la 2da parte (El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 2da. parte. ):

null

Cuya forma aparece en la Figura 8-8:

null

null

La forma factorizada de esta ecuación característica es:

null

Es decir:

nullObtenemos el lugar geométrico de G(s)H(s) en Matlab mediante la siguiente línea de comandos:

>> s=tf(‘s’)

>> sys=(1)/(s*(s+3)*(s^2+2*s+2))

>> rlocus(sys)

Obtenemos la siguiente gráfica:

null

Podemos observar la similitud con la Figura 8-8. Colocando el cursor en el punto de intersección superior con el eje imaginario, podemos constatar que en dicho punto el valor de la ganancia K=8.1 a la altura de s=0+j1.09, mientras que haciendo lo mismo, colocando el cursor en el punto de intersección inferior con el eje imaginario, podremos ver el mismo valor para K en s=0-j1.09.

null

En el lugar geométrico de las raíces de Matlab el valor de K varía entre 0 e infinito (0≤K≤∞), por lo que cada lugar geométrico va desde K=0 hasta K=∞, a diferencia de lo que se observa en la Figura 8-8, en la cual el lugar geométrico se presenta de k=-∞ hasta k=+∞.

Podemos observar además en el lugar geométrico de las raíces provisto por  Matlab para este sistema, lo siguiente:

  1. Los lugares geométricos son simétricos con respecto al eje real.
  2. Los cuatro puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 (los polos, donde inician los lugares geométricos) son s=0, -3, -1+j, -1-j. Aquellos donde K=∞ (los ceros, donde finalizan los lugares geométricosson s=∞, ∞ , ∞ , e .
  3. El máximo entre n y m es 4, por lo que el lugar geométrico tiene 4 ramas, señaladas en Matlab por las ramas de color verde (inicia en -3), azul (inicia en 0), celeste (inicia en -1-j) y rojo (inicia en -1+j). Utilizando el cursor podemos recorrer cada rama y verificar lo dicho.
  4. El número de asíntotas es 4, (n-m=4). Como el número de polos finitos excede al número de ceros finitos, el lugar geométrico de las raíces se aproxima a s=∞ a lo largo de las asíntotas.
  5. Los ángulos y el centroide de las asíntotas se dan a continuación:

null

null

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

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Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. 00593998524011

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Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces

El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 2da. parte.

ANTERIOR: El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 1era. parte. 

3er paso – Determinar las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces. 

Algunos de los lugares geométricos se aproximan al infinito cuando n y m (ver ecuación 1.3 más adelante) no son iguales. Las propiedades del lugar geométrico de las raíces  cerca del infinito en el plano s se describen mediante las asíntotas del lugar geométrico cuando s tiende a infinito.

Los lugares geométricos de las raíces para valores de s muy grandes, deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos ángulos φA (pendientes) se obtienen mediante la siguiente fórmula:

null

Donde n y m son la orden del denominador y numerador respectivamente de la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) expresada en forma racional, como en la ecuación característica 1.3:

null

En otras palabras:

null

Conforme K aumenta, el ángulo φA se repite a sí mismo, por lo que la cantidad de asíntotas distintas es igual a n-m:

null

Todas las asíntotas interceptan el eje real en un punto. Si la abscisa de este punto y el eje real se representa mediante σA (centroide de las asíntotas), entonces:

null

Debido a que todos los polos y ceros complejos ocurren en pares conjugados,  σA siempre es una cantidad real. Una vez que se encuentra la intersección de las asíntotas y el eje real, es fácil dibujar las asíntotas en el plano complejo.

Ejemplo:

Suponga que un sistema tiene la siguiente ecuación característica:

null

La forma factorizada de esta ecuación característica es:null

Es decir:     null

La Figura 8-5 muestra las asíntotas de este caso:

null

null

En la Figura 8-5 vemos que:

  1. Los cuatro puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 son s=0, -4, -1+j, -1-j. Aquellos donde K=∞ son s=-1, ∞, ∞, e .
  2. El máximo entre n y m es 4, por lo que el lugar geométrico tiene 4 ramas.
  3. Los lugares geométricos de las raíces son simétricos con respecto al eje real.
  4. El número de asíntotas es 3, (n-m=3). Como el número de polos finitos excede al número de ceros finitos, el lugar geométrico de las raíces se aproxima a s=∞ a lo largo de las asíntotas.
  5. Los ángulos  y el centroide de las asíntotas se calculan a continuación:

null

null

4to. paso – Determinar el lugar geométrico de las raíces sobre el eje real.

Debido a la simetría conjugada de los lugares geométricos de las raíces, los puntos de desprendimiento y de ingreso se encuentran sobre el eje real o bien ocurren en pares complejos conjugados.

Para que un punto S1 sobre el eje real del plano s pertenezca al lugar geométrico de las raíces, debe haber un número impar de polos y ceros de G(s)H(s) a la derecha del punto. Todos los puntos del plano real que cumplen con esta condición forman una sección. En esta sección, K es mayor o igual a cero.

Ejemplo:

En la Figura 8-7 las secciones etiquetadas con RL (0≤K≤∞) forman parte del lugar geométrico de las raíces  porque existe un número impar de polos y ceros de G(s)H(s) a la derecha de dichas secciones:

null

null

5to. paso – Determinar el ángulo de salida y de llegada del lugar geométrico de las raíces.

Para trazar los lugares geométricos de las raíces con una precisión razonable, debemos encontrar las direcciones de los lugares geométricos de las raíces, cercanas  a los polos y ceros complejos.

El ángulo de salida de un polo o de llegada a un cero, de un lugar geométrico de las raíces de G(s)H(s), denotan el ángulo de la tangente del lugar geométrico cerca del punto de salida o de llegada.

Para calcular el ángulo de salida desde un polo complejo se utiliza la siguiente fórmula:

null

El ángulo de salida desde un polo complejo es igual a 180 grados más la suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo S1 en cuestión, desde los otros ceros, menos la suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo S1 en cuestión, desde los otros polos. La Figura 6-11 muestra la aplicación de este método:
null

null

Para calcular el ángulo de llegada a un cero complejo se utiliza la siguiente fórmula:

Ejemplo:

Suponga la función característica siguiente:null

Es decir:null

Los polos de esta función a lazo abierto son s=-1, -3, -1+j, -1-j. Tomando en cuenta el punto S1 cercano al punto s=-1+j, de acuerdo con la Figura 8-8, el ángulo de salida del lugar geométrico en S1 es:null

null

null

6to. paso – Determinar los puntos de corte con el eje imaginario.

Los puntos en donde los lugares geométricos de las raíces intersectan el eje jw se encuentran con facilidad por medio de: (a) el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, o (b) suponiendo que s = jo en la ecuación característica, igualando con cero la parte real y la parte imaginaria y despejando ω y K. En este caso, los valores encontrados de ω representan las frecuencias en las cuales los lugares geométricos de las raíces cruzan el eje imaginario. El valor de K que corresponde a cada frecuencia de cruce produce la ganancia en el punto de cruce.

Como ejemplo regresemos al lugar geométrico de la Figura 8-8. Allí, los puntos de corte son s1 = -1.095j s2 = 1.095j, donde K=8.16. Para aplicar el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz en el cálculo de estos puntos ver Estabilidad de un sistema de control.

7mo. paso – Determinar los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico de las raíces.

La 8-10(a) muestra un caso en el que dos ramas del lugar geométrico de las raíces se juntan en un punto de ruptura sobre el eje real y después parten desde el eje en direcciones opuestas. En este caso, el punto de ruptura representa una raíz doble de la ecuación cuando se asigna el valor de K correspondiente al punto. La Figura 8-10(b) muestra otra situación en la que dos lugares geométricos de las raíces de polos complejos conjugados se aproximan al eje real, se encuentran en un punto de ruptura y después parten en direcciones opuestas a lo largo del eje real. En general, un punto de ruptura puede involucrar más de dos lugares geométricos de las raíces. La Figura 8-10(c) ilustra una situación cuando el punto de ruptura representa una raíz de cuarto orden.

null

null

Los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico de las raíces de 1+KG(s)H(s)=0 deben satisfacer lo siguiente:null

Todos los puntos de ruptura deben satisfacer la ecuación anterior, pero no todas las soluciones de esta ecuación son puntos de ruptura.

Ejemplo:

Considere la ecuación característica siguiente:

nullDe esta se obtiene que:

null Luego:nullEs decir:null

Al resolver esta última ecuación, encontramos que los puntos de ruptura son s= -1.172 y s= -6.828, tal como se muestra en la Figura 8-11:

null

null

8vo. paso – Trazar el lugar geométrico de las raíces.

La parte más importante de los lugares geométricos de las raíces no está sobre el eje real ni en las asíntotas, sino en la parte de la vecindad amplia del eje ω y el origen. La forma de los lugares geométricos de las raíces en esta región importante del plano s debe obtenerse con suficiente precisión. Tomando una serie de puntos de prueba en la vecindad amplia del origen del plano s, podemos determinar los lugares geométricos de las raíces en la vecindad amplia del eje ω y el origen.

ANTERIOR: El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 1era. parte. 

SIGUIENTE: El lugar geométrico de las raíces con Matlab

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

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Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces

El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 1era parte.

 

Introducción.

El lugar geométrico de las raíces es un poderoso método de análisis y diseño para la estabilidad y respuesta transitoria de un sistema de control (Evans, 1948, 1950). Consiste en una representación gráfica de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado a medida que varía uno o varios parámetros del sistema.

Los sistemas de control realimentados son difíciles de comprender desde el punto de vista cualitativo, por lo que dicha comprensión depende en gran medida de las matemáticas. El lugar geométrico de las raíces es la técnica gráfica que nos da esa descripción cualitativa sobre el rendimiento del sistema de control que estamos diseñando. Además, también sirve como una poderosa herramienta cuantitativa que produce más información que los métodos ya discutidos, debido a que no sólo puede servir para encontrar la solución de sistemas de primero y segundo orden, sino que también es de utilidad para solucionar sistemas de orden mayor a dos.

Mediante el lugar geométrico de las raíces, se puede observar el comportamiento del sistema (relativo a la respuesta transitoria y la estabilidad) a  medida que se varían varios parámetros a la vez, como el sobrepaso, el tiempo de asentamiento y el tiempo pico. Luego, esta información cualitativa puede ser verificada mediante el análisis cuantitativo.

Construcción del lugar geométrico de las raíces. 

A continuación, se hace un resumen de las reglas para construir el lugar geométrico de las raíces. Paralelamente, aplicamos cada paso a un ejemplo concreto, para reforzar la comprensión de la teoría.

Para desarrollar dichas reglas, considere el modelo general de la siguiente Figura para un sistema de control con realimentación:

null

La función de transferencia a lazo abierto de este sistema es G(s)H(s). Mientras, la función de transferencia a lazo cerrado es:

Normas

  1. El lugar geométrico de las raíces siempre es simétrico respecto al eje real Re del plano s.
  2. Tiene tantas ramas como el valor máximo entre n m, que son el orden de dos polinomios presentados más adelante, en la ecuación 1.3.
  3. Cada rama comienza en un polo y termina en un cero de la función de transferencia directa G(s)H(s). Si los ceros no aparecen de manera explícita en el plano s, significa que están en el infinito.
1er paso - Obtener la ecuación característica.

Lo primero que debemos hacer es obtener la ecuación característica:

null

Ahora, supongamos que G(s)H(s) contiene un parámetro variable K como factor multiplicativo. Modificamos  G(s)H(s) de tal forma que se pueda expresar como una función racional de la forma:

null

Donde Q(s) y P(s) son polinomios en s de grado m y n respectivamente. Es decir, que luego de sustituir 1.2 en la ecuación 1.1 obtenemos los siguiente:

null

Ejemplo:

Suponga que la ecuación característica de un sistema de control es la siguiente:

null

Para expresar esta ecuación de la forma 1.3, se dividen ambos miembros de la ecuación entre el término que no contiene a K, es decir:

null

null

El objetivo es aislar a K como factor multiplicativo de la función Q(s)/P(s).  En este análisis suponemos que la ganancia K es el parámetro de interés. El método es aplicable sin embargo, a sistemas con parámetros de interés diferentes a la ganancia.

Observe también que las propiedades se desarrollan con base en la relación entre los polos y ceros de G(s)H(s) y los ceros de 1 + G(s)H(s), que son las raíces de la ecuación característica.

2do paso – Ubicar los polos y los ceros de G(s)H(s) en el plano s. 

G(s)H(s) es la función de transferencia directa del sistema, es decir, a lazo abierto. Las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos a lazo abierto y terminan en los ceros finitos o infinitos a lazo abierto. A partir de la forma factorizada de G(s)H(s) mostrada en la ecuación 1.3, ubicamos los polos y los ceros de lazo abierto en el plano s, atendiendo a las siguientes reglas:

  • Los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 son los polos de G(s)H(s)
  • Los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=∞ son los ceros de G(s)H(s)

Demostración.

Como:

Pero:

Lo que significa que:

Sabemos que los polos de G(s)H(s) son aquellos valores donde el denominador se hace cero, es decir, donde G(s)H(s) tiende a infinito. Pero según 1.4 eso mismo es lo que pasa cuando K tiende a cero:

Por eso sabemos que los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 son los polos de G(s)H(s).

De igual modo, los ceros de G(s)H(s) son aquellos valores donde el numerador se hace cero, es decir, donde G(s)H(s) tiende a cero. Pero según 1.4 eso mismo es lo que pasa cuando K tiende a infinito:

Por eso sabemos que los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=∞ son los ceros de G(s)H(s).

Una gráfica del lugar geométrico tendrá tantas ramificaciones como raíces tenga la ecuación característica. Dado que, por lo general, la cantidad de polos en lazo abierto es mayor que la de ceros, la cantidad de los polos es igual al de las ramificaciones.

Ejemplo:

Suponga que un sistema tiene la siguiente ecuación característica:

La forma factorizada de esta ecuación característica es:

Es decir:

Los tres puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 y aquellos donde K=∞ se muestran en la Figura 8-2:

A cada polo X le corresponde un cero O. Como sólo se observan tres polos y un cero, se sobreentiende que el resto de los ceros están en el infinito y dependiendo de los siguientes pasos (el comportamiento del sistema) se sabrá si se trata de más o menos infinito.

Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre
un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Al construir los lugares geométricos sobre el eje real, seleccione un punto en éste. Si la cantidad total de polos y ceros reales a la derecha de este punto de prueba es impar, este punto se encuentra en el lugar geométrico de las raíces El lugar geométrico de las raíces y su forma complementaria alternan segmentos a lo largo del eje real.

SIGUIENTE: El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 2da. parte.

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
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