Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces, PID

Diseño del error en estado estable de un sistema de control vía LGR – Compensación en Cascada

Analizamos dos vías para mejorar el error en estado estable de un sistema de control con realimentación, utilizando la compensación en cascada. Un objetivo fundamental de este diseño es mejorar el error en estado estable sin modificar significativamente la respuesta transitoria.

Mejorar el desempeño de la Respuesta Transitoria

Hemos visto antes que, al establecer la ganancia en un valor particular en el lugar geométrico de las raíces, se determina una respuesta transitoria específica, dictada por los polos en ese punto del lugar geométrico. Esto quiere decir que al diseñar una respuesta transitoria estamos limitados a aquellas respuestas que existen a lo largo del lugar geométrico de las raíces. (Ver El lugar geométrico de las raíces con Matlab).

Desafortunadamente, la mayor parte del tiempo los requerimientos de diseño y, en especial, las especificaciones de sobrepaso y tiempo de repuesta para el diseño de sistemas de control, excede las posibilidades del LGR actual. ¿Qué podemos hacer entonces?

En lugar de cambiar el sistema existente, aumentamos o compensamos el sistema con polos y ceros adicionales, de modo que el sistema compensado tenga un LGR que pase por la ubicación deseada del polo para obtener algún valor de ganancia. Una de las ventajas de compensar un sistema de esta manera es que se pueden agregar polos y ceros adicionales en el extremo de baja potencia del sistema, justo antes de la planta. Debemos evaluar la respuesta transitoria a través de la simulación una vez que el diseño esté completo para asegurarnos de que se cumplan los requerimientos exigidos.

Principalmente, existen dos configuraciones de compensación utilizadas en el diseño de sistemas de control: compensación en cascada y compensación por retroalimentación. Estos métodos se modelan en la Figura 1 y la Figura 2:

Figura 1. Compensación en cascada de un sistema de control.

Con la compensación en cascada, la red de compensación, G1(s), se coloca en la zona de baja potencia, justo delante y en cascada con la planta G3(s), o delante del controlador original G2(s) de la planta, como se puede ver en la Figura 1.

Figura 2. Compensación en realimentación de un sistema de control.

Con la compensación de realimentación (feedback compensator), el compensador, H1(s), se coloca en la ruta de realimentación, Figura 2.

Ambos métodos cambian los polos y ceros a lazo abierto, creando así un nuevo LGR a lazo cerrado, que atraviesa la ubicación requerida por las especificaciones de diseño.

Compensación en Cascada - Controlador PI 

El error en estado estable de un sistema de control puede ser mejorado directamente, colocando un polo en el origen en el camino de transferencia directa (an open-loop pole at the origin), debido a que esto eleva el número de tipo del sistema. Pero generalmente interesa lograr esta reducción sin modificar la respuesta transitoria de dicho sistema.

Por ejemplo, un sistema de tipo 0, que responde a una entrada escalón unitario con un error finito, al ser elevado a sistema tipo 1, responderá a la misma entrada con un error en estado estable igual a cero.

Sin embargo, si añadimos un polo en el origen para incrementar el valor del tipo de sistema, de cero a uno por ejemplo, la contribución angular de los polos a lazo abierto en un punto hipotético A no será de 180, y así el punto A no estará en el LGR (no intercepta el LGR)  del sistema compensado (es decir, se modificará notablemente la respuesta transitoria del sistema), como se puede observar en las Figuras 3.a y 3.b:

Figura 3.

Para resolver este problema, además de añadir el polo en el origen, también añadimos un zero cercano a ese polo en el origen, como se puede observar el la Figura 4:

Figura 4.

Ahora, la contribución angular de los polos y zeros a lazo abierto del punto hipotético A vuelve a ser 180 debido a que la contribución angular del compensador zero se cancela con la compensación angular del compensador polo. Es decir, el punto A vuelve a estar en el LGR del sistema compensado. De esta manera mejoramos el error en estado estable sin modificar la respuesta transitoria del sistema.

Un compensador con un polo en el origen y un zero cerca de dicho polo en el origen, es conocido como  Compensador Ideal Integral (Ideal Integral Compensator), o Proportional-Plus-Integral, mejor conocido como  Controlador PI, cuya función de transferencia Gc(s)  es de la forma:

El siguiente ejemplo nos permitirá descubrir como trabaja un Controlador PI.

Para el sistema de control de la Figura 5, se requiere reducir el error en estado estacionario a cero, mediante un controlador PI, manteniendo un factor de amortiguamiento ξ=0.173. La función de transferencia de la planta es G(s) y su controlador original está representado por la ganancia k:

Figura 5.

El primer paso es evaluar el sistema antes de la compensación, y luego determinar la ubicación de los polos dominantes de segundo orden para el factor de amortiguamiento requerido por el enunciado de diseño.

El Lugar Geométrico de las Raíces del sistema sin compensar, se muestra en la Figura 6:

>> sgrid(z,0)
>> s=tf(‘s’);
>> G=1/((s+1)*(s+2)*(s+10));
>> rlocus(G);

Figura 6.

Utilizando la línea de amortiguamiento con valor de aportada por Matlab, podemos encontrar el punto de intersección entre el LGR del sistema y ξ=0.173como podemos observar en la Figura 7:

>> z=0.173;
>> sgrid(z,0)

Figura 7.

La intersección de la Figura 7 nos muestra que ajustando la ganancia k=165 del sistema original, obtenemos un factor de amortiguamiento ξ=0.173. Vemos también en la Figura 5 que los polos dominantes s1 y s2 de segundo orden del sistema a lazo cerrado, antes de la compensación son:

Ahora buscamos el tercer polo del LGR que requiere el sistema para cumplir con el requerimiento de diseño. Al desplazarnos por el LGR en la Figura 8 hasta alcanzar la ganancia k=165, podemos observar que el tercer polo s3 del sistema a lazo cerrado, está ubicado en:

Figura 8.

Con la ganancia k=165 procedemos a calcular el error en estado estable e1(∞) para una entrada escalón, antes de la compensación:

Donde kp1 es la constante de posición antes de la compensación y se calcula mediante la siguiente fórmula:

Dónde kG(s) es la función de transferencia directa del sistema con el ajuste de ganancia, antes de la compensación, tal como lo muestra la Figura 5. Por tanto:

Añadimos un compensador PI en cascada al sistema, como se muestra en la Figura 9:

Figura 9.

Aquí, hemos hecho coincidir la constante de ganancia del compensador con la constante de ganancia original, es decir, k=ki. La constante a está determinada por la posición de decidamos otorgar al zero del compensador. Debido a que es ideal colocar este zero muy cerca del polo en el origen, seleccionamos el punto sobre el eje real s=-0.1 para ubicar el zero del compensador, es decir  a=0.1. El LGR del sistema así compensado se muestra en la Figura 10:

>> G=(s+0.1)/(s*(s+1)*(s+2)*(s+10));
>> rlocus(G);

Figura 10.

En vista de que queremos mantener inalterada en lo posible la respuesta transitoria, en la Figura 11 trazamos la línea de amortiguamiento en el LGR y buscamos nuevamente el punto de intersección entre ξ=0.173  y las líneas del LGR:

>> z=0.173;
>> sgrid(z,0);

Figura 11.

La Figura 11 nos muestra que ajustando la ganancia k=159 del sistema compensado, obtenemos un factor de amortiguamiento ξ=0.173. Vemos también que los polos dominantes s1 y s2 de segundo orden del sistema a lazo cerrado, después de la compensación son:

Para ubicar el tercer polo a lazo cerrado del LGR que requiere el sistema para cumplir con el requerimiento de diseño, aprovechamos la misma Figura 11 y ajustamos la ganancia en la rama del tercer polo hasta alcanzar k=159, así obtenemos que:

Estos resultados muestran que aproximadamente se han conservado los valores de los 3 polos antes y después de la compensación PI, lo que indica una respuesta transitoria semejante luego de corregir el error en estado estable de 0.108 a 0, como se demuestra a continuación.

La función de transferencia directa G2(s)  de nuestro sistema después de la compensación es:

Calculamos nuevamente el error en estado estable e2(∞) para una entrada escalón, después de la compensación:

En consecuencia:

La Figura 12 compara la respuesta al escalón unitario del sistema  lazo cerrado antes y después de la compensación PI:

>> G1=165/((s+1)*(s+2)*(s+10));
>> sys_antes=feedback(G1,1);
>> G2=(159*(s+0.1))/(s*(s+1)*(s+2)*(s+10));
>> sys_despues=feedback(G2,1);
>> step(G1,G2)

Figura 12.

La Figura 12 demuestra que mediante la compensación PI hemos logrado mejorar el error en estado estable sin modificar considerablemente la respuesta transitoria del sistema original.

Compensación en Cascada - Lag Compensation

En construcción…

Fuente:

  1. Control Systems Engineering, Nise

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

Twitter: @dademuch

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, UCV CCs

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, USB Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

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