Análisis de sistemas de control, Ingeniería Eléctrica, Lugar geométrico de las raíces

Diseño de la Respuesta Transitoria de un sistema de control vía LGR – Compensación en Cascada

En este artículo, se analizan dos formas de mejorar la respuesta transitoria de un
Sistema de control con realimentación, mediante el uso del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) y de la compensación en cascada. Por lo general el objetivo consiste en diseñar un respuesta que tenga un porcentaje de sobrepaso deseable y un tiempo de establecimiento más corto que el que tiene el sistema antes de la compensación.

Mejorar el desempeño de la Respuesta Transitoria

Hemos visto antes que, al establecer la ganancia en un valor particular en el lugar geométrico de las raíces, se determina una respuesta transitoria específica, dictada por los polos en ese punto del lugar geométrico. Esto quiere decir que al diseñar una respuesta transitoria estamos limitados a aquellas respuestas que existen a lo largo del lugar geométrico de las raíces. (Ver El lugar geométrico de las raíces con Matlab).

Desafortunadamente, la mayor parte del tiempo los requerimientos de diseño y, en especial, las especificaciones de sobrepaso y tiempo de repuesta para el diseño de sistemas de control, excede las posibilidades del LGR actual. ¿Qué podemos hacer entonces?

En lugar de cambiar el sistema existente, aumentamos o compensamos el sistema con polos y ceros adicionales, de modo que el sistema compensado tenga un LGR que pase por la ubicación deseada del polo para obtener algún valor de ganancia. Una de las ventajas de compensar un sistema de esta manera es que se pueden agregar polos y ceros adicionales en el extremo de baja potencia del sistema, justo antes de la planta. Debemos evaluar la respuesta transitoria a través de la simulación una vez que el diseño esté completo para asegurarnos de que se cumplan los requerimientos exigidos.

Principalmente, existen dos configuraciones de compensación utilizadas en el diseño de sistemas de control: compensación en cascada y compensación por retroalimentación. Estos métodos se modelan en la Figura 1 y la Figura 2:

Figura 1. Compensación en cascada de un sistema de control.

Con la compensación en cascada, la red de compensación, G1(s), se coloca en la zona de baja potencia, justo delante y en cascada con la planta G3(s), o delante del controlador original G2(s) de la planta, como se puede ver en la Figura 1.

Figura 2. Compensación en realimentación de un sistema de control.

Con la compensación de realimentación (feedback compensator), el compensador, H1(s), se coloca en la ruta de realimentación, Figura 2.

Ambos métodos cambian los polos y ceros a lazo abierto, creando así un nuevo LGR a lazo cerrado, que atraviesa la ubicación requerida por las especificaciones de diseño.

La primera técnica que presentada será la compensación derivativa ideal. Se agrega un diferenciador puro a la trayectoria directa del sistema de control con retroalimentación.

En construcción…

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Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces

Sketching Root Locus with Matlab – Control Systems

The Root Locus graphically displayed both transient response and stability information. 

The locus can be sketched quickly to get a general idea of the changes in transient response generated by changes in gain. Specific points on the locus also can be found accurately to give quantitative design information.

The root locus typically allows us to choose the proper loop gain to meet a transient response specification. As the gain is varied, we move through different regions of response. Setting the gain at a particular value yields the transient response dictated by the poles at that point on the root locus. Thus, we are limited to those responses that exist along the root locus.

We can use Matlab and its Control System Toolbox to plot The Root Locus of a control system, given its characteristic equation or its forward transfer function.

1) As a first example, consider the system which characteristic equation is as follows:

null

The factored form of this characteristic equation is:

null

That is to say:

null

Where G(s)H(s) is the open-loop forward transfer function for a system represented by its block diagram as follows:

null

The root locus sketching looks as follows:

null

null

As it was said before, we can get the root locus for G(s)H(s) with Matlab using the following simple commands:

>> s=tf(‘s’)

>> sys=(1)/(s*(s+3)*(s^2+2*s+2))

>> rlocus(sys)

We obtain the next chart:

null

When gain K=8.1,  s=0+j1.09. We can see it by clicking on the lower intersection with the imaginary axis. Doing similarly, we can find the value of K at s=0-j1.09.

null

We can also see in the locus of the roots provided by Matlab for this system, the following:

  1. The geometric places are symmetrical with respect to the real axis.
  2. The four points at the root locus where K=0 (the poles, where the geometric places begin) are s=0, -3, -1+j, -1-j. Those where K=∞ (the zeros, where the geometric places finishare s=∞, ∞ , ∞ , and .
  3. The maximum between n and m is 4, thus we say that the root locus has 4 branches, labeled by green colour ( -3), blue (0), celeste ( -1-j) and red ( -1+j).
  4. The number of asymptotes is 4, (n-m=4). Since the number of finite poles exceeds the number of finite zeros, the locus of the roots approaches to s=∞ along the asymptotes.
  5. The angles and centroid of the asymptotes are given below:

null

null

Once we sketch the root locus, we may want to accurately locate points on the root locus as well as find their associated gain. For example, we might want to know the exact coordinates of the root locus as it crosses the radial line representing 20% overshoot. Further, we also may want the value of gain at that point. Let us to illustrate that with the next example:

2) Given a unity feedback system that has the forward transfer function:

a. Sketch the root locus.
b. Find the imaginary-axis crossing.
c. Find the gain, K, at the jv-axis crossing.
d. Find the break-in point.
e. Find the point where the locus crosses the 0.5 damping ratio line.
f. Find the gain at the point where the locus crosses the 0.5 damping ratio line.
g. Find the range of gain, K, for which the system is stable.

a. Sketch the root locus.

>> numg=poly([2 4]);
>> deng=[1 6 25];
>> G=tf(numg,deng)

G

s^2 – 6 s + 8
————–
s^2 + 6 s + 25

>> rlocus(G);

b. Find the imaginary-axis crossing.

We can see in the chart that when the geometric place cross by the imaginary axe, the poles are at:

c. Find the gain, K, at the jv-axis crossing.

According to the previous graph:

The previous graph also tells us that the system is unstable (negative damping) when:

d. Find the break-in point.

e. Find the point where the locus crosses the 0.5 damping ratio line.
>> z=0.5;
>> sgrid(z,0)

f. Find the gain at the point where the locus crosses the 0.5 damping ratio line.

According to the previous graph:

g. Find the range of gain, K, for which the system is stable.

Previously, we have seen that the system is stable when:

Proportional Control

3. Find the gain to meet the damping ξ= 0.5, given the forward transfer function for a control system with unitary feedback:

null

We already know that this control system has the following configuration:

By adding to this original system a controller to manipulate the K gain of its Root Locus until obtaining the desired damping factor, we will be executing a Proportional Control Action. It is customary to add said controller in the region of low power, in series and just before the plant, or just before the direct transfer function, as illustrated in the following figure:

Adding a proportional controller of gain Kp, lThe forward transfer function G(s) is:null

When KP=1, we have the original system.

We will use the following commands of Matlab, rltool:

>> numg=100;
>> deng=[1 16 65 50];
>> G=tf(numg,deng)

G =

100
————————
s^3 + 16 s^2 + 65 s + 50

>> rltool(G)

Doing right click:

Here we get ζ=0.5 when KP=1.46

Comparing the system before and after the compensation:

>> numc=100*1.46;
>> Gc=tf(numc,deng)

Gc =

146
————————
s^3 + 16 s^2 + 65 s + 50

>> sys_before=feedback(G,1);
>> sys_after=feedback(Gc,1);
>> step(sys_before,sys_after)

In blue, the response of the system to a step input before compensation is shown, when KP=1. In red, after compensation, when KP=1.46. The rise time is better (from 0.5626 s to 0.4356 s), but overshot is bigger due to less damping ζ (from 0.626 to 0.502). Steady-state error is also better.

We can see this data using:

>> stepinfo(sys_before)

RiseTime: 0.5626
SettlingTime: 1.7487
Overshoot: 7.5449

>> stepinfo(sys_after)

RiseTime: 0.4356
SettlingTime: 2.0551
Overshoot: 15.0397

>> damp (sys_before)

Damping= 6.26e-01

>> damp (sys_after)

Damping=5.02e-01

Or doing right click on the Root Locus, and then design requirement>new>design requirement type>damping ratio>0.5>ok. 

Conclusion

It is confirmed by these examples that the locus of the roots is a powerful method of analysis and design for the stability and transient response of a control system (Evans, 1948, 1950).

The feedback control systems are difficult to understand from the qualitative point of view, so that this understanding depends largely on mathematics. The root locus is the graphic technique that gives us that qualitative description of the performance of the control system we are designing.

Setting the gain at a particular value on the root locus yields the transient response dictated by the poles at that point on the root locus. Thus, we are limited to those responses that exist along the root locus. That is what the following topic is about:

NEXT: Design via Root Locus – Improving Transient Response via Cascade Compensation

Sources:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Written by: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Función de Transferencia, Ingeniería Eléctrica, Sistema Electromecánico

Función de transferencia del Motor DC y su carga

Hallar la función de transferencia del sistema formado por un Motor DC y su carga, como se muestra en la Figura 1:

Figura 1. Motor DC con su carga.

 

Dinámica del sistema

Considerando que:

La dinámica de este sistema es la siguiente:

Transformada de Laplace

Al aplicar la transformada de Laplace a este sistema de ecuaciones obtenemos:

Función de transferencia

La función de transferencia directa del motor Gm(s), donde:

la obtenemos mediante el siguiente procedimiento. Sustituimos la ecuación (6) en (9) y luego despejamos Ia(s):

Luego, sustituimos este resultado y la ecuación (8) en la ecuación (7):

Es decir:

 

De donde obtenemos Gm(s), la función de transferencia directa del motor:

Utilizando las ecuaciones (10) y (11), podemos representar el sistema de la Figura 1 mediante el siguiente diagrama de bloques:

Para ilustrar el caso de un lazo cerrado, presentamos ahora el siguiente ejemplo, donde el motor DC y su carga se incorporan a un sistema de control de posición.

Hallar la función de transferencia del sistema de seguimiento de la la Figura 2:

Figura 2. Sistema de control de posición.

Este caso ha sido analizado al detalle en el siguiente link: Servomotores – Sistema de control de posición

Considerando que:

Al aplicar la transformada de Laplace:

Con estas últimas y las ecuaciones del sistema motor-carga, podemos asegurar que la función de transferencia θL(s)/ θr(s) del sistema de seguimiento de la Figura 2, y su diagrama de bloques, son:

Figura 3. Diagrama de bloques del sistema de control de posición de la Figura 2.

SIGUIENTE:

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Función de Transferencia, Respuesta en el tiempo, Sistema Electromecánico

Sistema de control de posición con realimentación de velocidad (taquimétrica).

Considere un sistema de control de posición como el de la Figura 1:

Figura 1. Sistema de Control de posición. 

Anteriormente vimos que el diagrama de bloques del sistema de la Figura 1 es el siguiente:

Figura 2. Diagrama de bloques del sistema de control de posición de la Figura 1.

Ver deducción en el siguiente link: Servomotores – Sistema de control de posición

La derivada del desplazamiento angular de salida del motor m(s)/dt, se realimenta negativamente a la entrada del sistema para mejorar el desempeño. En este caso se utiliza un tacómetro en lugar de diferenciar físicamente θm(s).

El sistema de seguimiento de la Figura 1 con realimentación tacométrica tendrá entonces el siguiente diagrama de bloques:

Figura 3. Diagrama de bloques del Sistema de seguimiento con realimentación de velocidad.

Dónde kt es la constante de ganancia del tacómetro. Reduciendo la realimentación negativa interna obtenemos el diagrama de la Figura 4:

Figura 4. 

De esta manera obtenemos la Función de Transferencia Directa Gm(s) del sistema de control de posición con realimentación de velocidad:

Figura 5.

Comparación de la respuesta transitoria del sistema antes y después de la realimentación de velocidad.

En construcción…

Breve reseña sobre El Tacómetro.

Al igual que los potenciómetros, los tacómetros son dispositivos electromecánicos que convierten energía mecánica en energía eléctrica. Trabaja esencialmente como un generador de voltaje, con la salida de voltaje proporcional a la magnitud de la velocidad angular del eje de entrada. La Figura 4-33 refleja el uso común de un tacómetro en un sistema de control de velocidad:

La dinámica del tacómetro se puede representar como:

null

Donde et(t) es el voltaje de salida, θ(t) es el desplazamiento del motor en radianes, ω(t) es la velocidad del rotor en rad/s, y Kt es la constante del tacómetro. Luego, términos del desplazamiento del motor:

null

Análisis de sistemas de control, Respuesta en el tiempo, Sistema Electromecánico

Respuesta transitoria de un sistema de control de posición – Servomotores – Simulación en Matlab

Para el estudio de la respuesta transitoria de un sistema de control, lo más conveniente es contar con la representación prototipo. Es decir, si tenemos el modelo matemático de un sistema, debemos representar dicho sistema mediante un diagrama de bloques donde esté claramente expresada la función de transferencia directa G(s) y una realimentación negativa unitaria como se ilustra en la Figura 1:

Figura 1. Sistema de control con realimentación unitaria

Ya sabemos que la función de transferencia a lazo cerrado C(s)/R(s)  del sistema de control de la Figura 1 se determina mediante la siguiente fórmula:

Denominamos a C(s)/R(s) “modelo prototipo” (o configuración prototipo), cuando tiene la siguiente forma:

 

Dónde: null

Otra forma de verlo es:

Para el análisis de la respuesta transitoria es conveniente escribir:

Donde  σ es denominado atenuación; el factor actual de amortiguamiento B y el factor de amortiguamiento crítico Bc que es igual a dos veces la raíz cuadrada de JK:

Para más teoría sobre respuesta transitoria ver: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Respuesta transitoria de un sistema de control de posición

Aplicaremos esta teoría al modelo para el sistema de control de posición deducido anteriormente, cuyo esquema se ilustra en la Figura 2:

Figura 2. Sistema de Control de posición. 

Para el sistema de la Figura 2 hemos desarrollado el siguiente diagrama de bloques:

Figura 3. Diagrama de bloques de un sistema de control de posición.

Como podemos ver en la Figura 3, la función de transferencia directa G(s)  que utilizaremos para determinar el modelo prototipo y a partir de allí analizar la respuesta transitoria, es:

Dónde:

Mientras que:

Dónde:

Estas funciones han sido deducidas en el siguiente link: Servomotores – Sistema de control de posición

Antes de determinar la ecuación prototipo (representación prototipo) para el sistema de seguimiento de la Figura 2, equivalente a la ecuación (1), considere los siguientes valores para los parámetros de la función G(s):

Tabla 1. 

Sustituimos estos valores en la ecuación (2), despejamos convenientemente y obtenemos la función de transferencia directa G(s) evaluada en el punto de operación de interés en el cual funciona el sistema de seguimiento de la Figura 2:

 

Con este resultado actualizamos el diagrama de bloques de la Figura 3:

Figura 4. Diagrama de bloques del sistema de seguimiento funcionando en el punto de operación determinado por la Tabla 1.

El diagrama de bloques de la Figura 4 ya nos permite utilizar Matlab para evaluar la respuesta transitoria del sistema a una entrada escalón unitario. Sin embargo, podemos calcular dicha respuesta de forma analítica utilizando las ecuaciones (3) y (4), y el modelo prototipo de la ecuación (1):

La ecuación (5) es el equivalente de la ecuación (1) para el sistema de seguimiento de la Figura 2. Entonces, podemos asegurar que la frecuencia natural ωn y el factor de amortiguamiento relativo ζ de dicho sistema son:

Este resultado para el valor del factor de amortiguamiento relativo ζ indica que estamos en presencia de un sistema subamortiguado.

En base a los resultados obtenidos para la frecuencia natural ωn y el factor de amortiguamiento relativo ζ del sistema de control de la Figura 2, podemos evaluar los parámetros de la respuesta transitoria del sistema para una entrada escalón unitario

Para ver la teoría relacionada ver: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control. De acuerdo con este documento, se presentan ahora los parámetros de importancia en la respuesta transitoria de un sistema a una entrada escalón unitario, y de inmediato se evalúa cada parámetro para el sistema de interés:

  • Sobrepaso máximo (Mp)

  • Tiempo de asentamiento (Ts)

null

  • Tiempo de retardo (Td)

null

Simulación en Matlab

Podemos corroborar estos resultados mediante la simulación en Matlab. Para obtener la respuesta transitoria al escalón unitario del sistema de la Figura 2, ejecutamos los siguientes comandos:

>> numg=5.5;

>> deng=conv([1 0],[0.13 1]);

>> G=tf(numg,deng)

>> sys=feedback(G,1)

>> step(sys)

Figura 5. Respuesta al escalón unitario del sistema de seguimiento.

La gráfica de la Figura 5 nos una respuesta deseable. Es deseable que la respuesta transitoria de un sistema de control dado sea lo suficientemente rápida y lo suficientemente amortiguada. Esto se logra mediante un factor de amortiguamiento ζ entre 0.4 y 0.8. Pequeños valores de ζ (ζ<0.4) producen excesivo levantamiento máximo en la respuesta transitoria, mientras que un sistema con alto ζ (ζ>0.8) responde de manera muy lenta. En este ejemplo, resulta aceptable el valor de ζ=0.59. Veremos además que el levantamiento máximo y el tiempo de levantamiento entran en conflicto. Es decir, no es posible disminuir el tiempo de levantamiento y el levantamiento máximo al mismo tiempo.

La respuesta además es bastante rápida (0.22 segundos), y apenas con 10% de sobrepaso. Por último, a medida que pasa el tiempo, la respuesta tiende a uno como valor final, lo que anticipa un error en estado estacionario igual a cero. Esto indica que la salida sigue a la señal de referencia, es decir, la carga estará ubicada en el punto que desea el operador del sistema al indicar él  mismo, mediante el potenciómetro de entrada, dicho valor de referencia.

La información sobre los parámetros de importancia los podemos obtener mediante el siguiente comando:

>> stepinfo(sys)

SettlingTime: 0.9111

Overshoot: 9.9906

En  la Figura 6 podemos observar en la gráfica la ubicación de los valores anteriores:

Figura 6. Valores de los parámetros de respuesta transitoria.

Se puede ver que los resultados de la simulación son bastante parecidos a los obtenidos analíticamente. Utilizando la función damp(), podremos encontrar los valores del coeficiente de amortiguamiento ζ , la constante de tiempo τ y el de la frecuencia natural ωn:

>> damp(sys)

Pole                                       Damping           Frequency Time             Constant
(rad/seconds)                    (seconds)
-3.85e+00 + 5.25e+00i         5.91e-01                 6.50e+00                        2.60e-01
-3.85e+00  – 5.25e+00i         5.91e-01                 6.50e+00                        2.60e-01

Por su parte, se puede ver que los resultados de la simulación para la frecuencia natural ωn y el factor de amortiguamiento relativo ζ del sistema, son exactamente iguales a los obtenidos analíticamente.

Relacionado:

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

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Análisis de sistemas de control, Estabilidad

Ejercicio de Estabilidad de un sistema de control – 3 casos – simulación en Matlab.

1er. caso: Sistema inestable-  Determinar estabilidad y error en estado estable del sistema de control cuya función de transferencia directa G(s) para una realimentación unitaria, es:

Analizar la estabilidad del sistema implica determinar la función de transferencia a lazo cerrado Gc(s) y luego evaluar según el siguiente criterio:

  • Los sistemas de lazo cerrado son estables si su función de transferencia tiene sólo polos ubicados a la izquierda del plano complejo. 

Por tanto, como primer paso, debemos hallar Gc(s).

1.1 Función de transferencia a lazo cerrado

La realimentación unitaria tiene la siguiente configuración:

Figura 1.

 

Luego, la función de transferencia a lazo cerrado Gc(s) se determina mediante la siguiente fórmula:

Es decir:

Corroboramos esto mediante el siguiente código en Matlab:

>>numg=1; %representa el numerador de la función de transferencia directa> >>deng=conv([1 0],[2 3 2 3 2]); ]); %representa el denominador de la función de                                                                        %transferencia directa, factorizado

>>G=tf(numg,deng); % construye la función de transferencia directa> >>Gc=feedback(G,1) % construye la función de transferencia a lazo cerrado con                                    %realimentación unitaria

Gc =

      1

  —————————————

  2 s^5 + 3 s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + 2 s + 1

1.2 Hallar los polos de la función de transferencia a lazo cerrado

Ahora que tenemos la función de transferencia a lazo cerrado G(c), podemos determinar sus polos. Si todos sus polos están en el lado izquierdo del plano complejo, entonces el sistema es estable. Podemos utilizar Matlab para hallar dichos polos mediante el siguiente comando que es continuación del anterior:

>> polosGc=pole(Gc)

polosGc =

-1.3307 + 0.0000i
0.3284 + 0.8899i
0.3284 – 0.8899i
-0.4131 + 0.4969i
-0.4131 – 0.4969i

Si graficamos este resultado vemos que la función de transferencia a lazo cerrado G(c) tiene dos polos en el lado derecho y tres polos en el lado izquierdo del semiplano complejo.

>> pzplot(Gc)

Figura 2. Ubicación de polos de la función de transferencia Gc.

Con respecto a este resultado, aplicamos un nuevo criterio:

  • Los sistemas de lazo cerrado son inestables si su función de transferencia posee al menos un polo ubicado en el lado derecho del plano complejo o al menos un polo de multiplicidad mayor a 1 en el eje imaginario

Según este criterio, el sistema de la Figura 1 es inestable. Cabe recordar que los polos de las función de transferencia ubicados en el lado derecho del plano complejo producen exponenciales crecientes puras o sinusoides que crecen exponencialmente.

Este hecho lo podemos visualizar al aplicar una entrada escalón unitario al sistema y observar la respuesta, mediante:

>> step(Gc)

Figura 3. Respuesta del sistema a una entrada escalón unitario.

También podemos evaluar la estabilidad del sistema directamente con el siguiente comando en Matlab:

>> isstable(Gc)

ans =     0

Si la respuesta es “1” el sistema es estable. Si la respuesta es “0”, como en este caso, el sistema es inestable.

1.3 Hallar el error en estado estable.

En este caso podemos prever que el error en estado estable será infinito, porque el sistema es inestable. Para mayor información sobre el error en estado estable ver:

2do. caso: Sistema estable – Considere ahora determinar la estabilidad del sistema y el error en estado estacionario para G2(s), función de transferencia del proceso en lazo abierto, para una realimentación unitaria:

Repetimos los pasos 1.1, 1.2 y 1.3 anteriores:

2.1 Función de transferencia a lazo cerrado

Determinamos la función de transferencia y corroboramos mediante Matlab:

Figura 4.

>>numg=3;
>> deng=conv([1 0],[1 3 2]);
>> G=tf(numg,deng);

>> Gc=feedback(G,1)

Gc=

3
———————
s^3 + 3 s^2 + 2 s + 3

Continuous-time transfer function.

2.2 Hallar los polos de la función de transferencia a lazo cerrado

>> polesGc=pole(Gc)

polesGc =

-2.6717 + 0.0000i
-0.1642 + 1.0469i
-0.1642 – 1.0469i

>> pzplot(Gc)

Figura 5. 

Recordamos el criterio de estabilidad presentado anteriormente:

  • Los sistemas de lazo cerrado son estables si su función de transferencia tiene sólo polos ubicados a la izquierda del plano complejo. 

En la Figura 5 podemos observar que los tres polos del sistema están ubicados en el lado izquierdo del plano complejo. Por tanto, el sistema de la Figura 4 es estable. Podemos corroborar esta conclusión observando la respuesta del sistema a una entrada escalón unitario en la Figura 6 y notar como a medida que pasa el tiempo, la entrada sigue a la salida, es decir, tiende a adoptar el valor de la señal de referencia y el sistema se estabiliza:

>> step(Gc)

Figura 6. 
2.3 Hallar el error en estado estable.

Para hallar el error en estado estable e(∞) para una entrada escalón unitario, hallaremos la constante de error de posición Kp y luego aplicaremos la siguiente fórmula:

Por tanto, primero hallamos Kp mediante la siguiente ecuación, y luego sustituimos en la anterior:

Obsrvación: en la ecuación anterior considere G(s)=G2(s). Entonces:

Por tanto:

Podemos concluir que el error en estado estable es cero, tal como puede anticiparse observando la Figura 6. Es decir, la entrada vale “uno”, y cuando ha pasado un tiempo considerable, la salida también vale “uno”.

3er. caso: Sistema críticamente inestable – Por último consideramos el caso de G3(s), función de transferencia del proceso en lazo abierto, para una realimentación unitaria:

3.1 Función de transferencia a lazo cerrado

Debemos hallar la función de transferencia G(c) del sistema a lazo cerrado, el cual tendría la siguiente configuración para una realimentación unitaria:

Figura 7. 

 

Podemos corroborar este resultado con Matlab mediante el siguiente código:

>> numg=3;

>> deng=conv([1 0],[1 3 1]);

>> G=tf(numg,deng);

>> Gc=feedback(G,1)

Gc =

3

——————-

s^3 + 3 s^2 + s + 3

3.2 Hallar los polos de la función de transferencia a lazo cerrado

Ahora que tenemos la función de transferencia G(c) a lazo cerrado, podemos determinar sus polos:

>> polosGc=pole(Gc)

polosGc =

-3.0000 + 0.0000i

0.0000 + 1.0000i

0.0000 – 1.0000i

Si graficamos este resultado vemos que la función de transferencia G(c) a lazo cerrado tiene dos polos en el eje imaginario y un polo en el lado izquierdo del semiplano complejo.

>> pzplot(Gc)

Figura 8. Polos de la función de transferencia a lazo cerrado. 

Con respecto a este resultado, aplicamos el siguiente criterio:

  • Los sistemas de lazo cerrado son críticamente o marginalmente inestables si su función de transferencia posee sólo polos de multiplicidad igual a uno en el eje imaginario y polos en el lado izquierdo del plano complejo.

Podemos concluir entonces que el sistema es críticamente inestable. Algunos autores prefieren decir críticamente estable, que es decir lo mismo. Para observar esta respuesta aplicamos una entrada escalón unitario al sistema:

>> step(Gc)

Figura 9. Respuesta al escalón unitario de un sistema críticamente estable.
2.3 Hallar el error en estado estable.

El sistema no converge a un resultado final. Al contrario, oscila alrededor del valor de referencia de manera indefinida.

Fuente: Control Systems Engineering, Nise

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Análisis de sistemas de control, Ingeniería Mecánica, Respuesta en el tiempo

Simulación en Matlab de respuesta en el tiempo de sistema masa-resorte-amortiguador.

La función sinusoidal y la función exponencial representan muchos procesos de la naturaleza. En especial, son de gran utilidad para representar el caso de movimientos amortiguados en el campo de la mecánica. La Figura (1) muestra la Función de Transferencia para un sistema masa-resorte-amortiguador simple:

null
Figura 1. Sistema masa-resorte-amortiguador

La dinámica del sistema de la Figura (1) se describe mediante una sola ecuación diferencial:

null

En la ecuación (5), x(t) es el desplazamiento horizontal del sistema, que es un desplazamiento sinusoidal amortiguado, conocido como movimiento armónico amortiguado, concepto básico para la física y la ingeniería mecánica clásica.

La siguiente ecuación es una solución para la ecuación diferencial (5). Se trata de una función exponencial multiplicada por una función sinusoidal:

null

Supongamos el siguiente ejemplo para la ecuación anterior de x(t):

null

Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab:

>> t=0:0.01:30;

>> x=5*exp(-0.1*t).*cos(4*t-0.7048);

>> plot(t,x)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Desplazamiento X(metros)’)

null
Figura 2. Movimiento armónico amortiguado

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Función de Transferencia

Ejercicio de diagrama de bloques a partir de la transformada de Laplace de un sistema masa-resorte-amortiguador

Determinar el diagrama de bloques y la función de transferencia del sistema Y2(s)/ U(s) de la siguiente figura:

  1. Ecuaciones del sistema

Por otra parte:

  1. Transformada de Laplace de las ecuaciones (1) y (2) del sistema, (se suponen condiciones iniciales iguales a cero)

  1. Diagrama de Bloques

La clave para elaborar el diagrama de bloques a partir de la transformada de Laplace de las ecuaciones (1) y (2) del sistema, es considerar la representación en diagrama de bloques del proceso de derivación de las variables del sistema. En este caso, las variables derivadas son y1(t) y y2(t). Su derivación en el dominio de la frecuencia se representa mediante diagrama de bloques como sigue, en el caso de y1(t):

Tome en cuenta que en el diagrama anterior, S2Y1(s), SY1(s) y Y1(s) son nodos.

En el caso de y2(t):

Tome en cuenta que Y2(s) es la salida según la función de transferencia que nos interesa.

El siguiente paso es utilizar las ecuaciones (3) y (4) para despejar S2Y1(s)  y S2Y2(s)  respectivamente, y representar el resultado en función de los nodos de los diagramas anteriores. Luego utilizar las operaciones de diagrama de bloques para representar S2Y1(s)  y S2Y2(s)  y añadir dichas imágenes a los diagramas de bloques anteriores.

Para S2Y2(s) utilizamos la ecuación (4)  y procedemos de la siguiente manera:

Sección 1

Para S2Y1(s) utilizamos la ecuación (3)  y procedemos de igual forma.

null
Sección 2

Las reglas de construcción y operación de diagramas de bloques pueden ser consultadas en: Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Por último unimos la sección 1 con la 2 de manera apropiada, y obtenemos el diagrama de bloques del sistema:

Diagrama de bloques del sistema

3. Función de transferencia a partir del diagrama de bloques del sistema

Para hallar la función de transferencia tenemos dos opciones. La primera es reducir del diagrama de bloques del sistema. La segunda, aplicar álgebra lineal a La Transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. Vamos con la primera opción.

Para reducir el diagrama de bloques del sistema, iniciamos reduciendo a un solo bloque las realimentaciones negativas internas. La regla de reducción que se aplica es la siguiente:

Donde C(s)/R(s) es la función de transferencia de la realimentación negativa.

Para la realimentación compuesta por las siguientes ganancias:

Se deduce que:Igualmente se procede con la realimentación formada por:

Por tanto, podemos reducir el diagrama de bloques del sistema y sustituir las realimentaciones anteriores por un solo bloque de ganancia, cada una, como sigue:

En el anterior diagrama podemos reducir aquellos bloques que están en cascada y expresarlos mediante un solo bloque:

null

Tomamos en cuenta ahora las realimentaciones negativas del diagrama anterior y procedemos de igual forma:

Por su parte:

Así, el diagrama de bloques del sistema se ve reducido de la siguiente manera:

Luego, transformamos los bloques en cascada en uno solo:

Así, obtenemos:

Se trata ahora con una realimentación positiva. La regla para este caso, dice que:Es decir, para la realimentación positiva ilustrada por:

La regla se aplica como sigue:

Así, al reducir aún más el diagrama de bloques, obtenemos:Simplificando:Por tanto:

Donde observamos que la función de transferencia Y2(s)/ U(s)  es:

3. Función de transferencia a partir de la transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. 

Como se mencionó antes, el segundo método para deducir la Función de Transferencia del sistema, consiste en aplicar álgebra lineal a La Transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. Para ello, ordenamos convenientemente las ecuaciones (3) y (4) para luego crear una matriz y aplicar las reglas de Kramer:

Utilizamos Matlab para hallar el determinante Δ  de esta matriz:

Δ=k1*k2 + b1*m2*s^3 + b2*m1*s^3 + k1*m2*s^2 + k2*m1*s^2 + k2*m2*s^2 + m1*m2*s^4 + b1*k2*s + b2*k1*s + b2*k2*s + b1*b2*s^2

Es decir: Luego:

De donde obtenemos que la función de transferencia Y2(s)/U(s) del sistema es:

Fuente: Ingenieria de Control Moderna, 3° ED. – Katsuhiko Ogata

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Relacionado:

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

Atención:

Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.

Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. Da un vistazo al Índice al final de este artículo.

INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

 

 

Atención: 

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema: 

Atención:

Si lo que Usted necesita es determinar La Función de Transferencia de un Sistema..Le entregamos la respuesta en dos horas o menos, dependiendo de la complejidad. En digital. Póngase en contacto con nosotros, respuesta inmediata, resolvemos y entregamos la Función de Transferencia de sistemas masa-resorte-amortiguador, eléctricos, electromecánicos, electromotriz, nivel de líquido, térmico, híbridos, rotacional, no lineales, etc.. Opcional, Representación en Variables de Estado. Simulación en Matlab, Opcional, Entrevista por Skype para explicar la solución.

 

Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia, Variables de estado

Ejercicio de Función de Transferencia a partir de representación en Variables de Estado de un sistema masa-resorte-amortiguador

Determinar la representación en variables de estado, el diagrama de bloques y la función de transferencia del sistema de la siguiente figura:

  1. Dinámica del sistema – Ecuaciones

2. Variables de estado

Definición:

De la definición obtenemos que:

Debemos hallar la expresión en términos de las variables de estado para  Ello lo podemos lograr utilizando las ecuaciones del sistema:

Despejamos :

 Utilizando la definición de variables de estado:Igualmente despejamos :

Utilizando la definición de variables de estado:

Si la salida del sistema es x2(t), y la entrada es f(t),  utilizando las ecuaciones (1), (2) (3) y (4), la representación matricial del sistema es:

3. Función de Transferencia

La representación matricial del sistema tiene la forma:Dónde:

De la teoría de sistemas de control se extrae que:

En este caso:

Donde I es la matriz identidad y s es la variable compleja utilizada en la transformada de Laplace.

Buscando ayuda en Matlab:

>> s=sym(‘s’);

…..

>> k3=sym(‘k3’) // declarar todas las variables

>> sIA= [s -1 0 0;(k1+k2)/m1 s+(fv1+fv3)/m1 -k2/m1 -fv3/m1;0 0 s -1;-k2/m2 -fv3/m2 (k2+k3)/m2 s+(fv2+fv3)/m2]

>> C=[0 0 1 0]

>> B= [0;1/m1;0;0]

>> V=(sI-A)^-1

>> G=C*V*B

G = (k2 + fv3*s)/(k1*k2 + k1*k3 + k2*k3 + fv1*m2*s^3 + fv2*m1*s^3 + fv3*m1*s^3 + fv3*m2*s^3 + k1*m2*s^2 + k2*m1*s^2 + k2*m2*s^2 + k3*m1*s^2 + m1*m2*s^4 + fv1*k2*s + fv2*k1*s + fv1*k3*s + fv2*k2*s + fv3*k1*s + fv3*k3*s + fv1*fv2*s^2 + fv1*fv3*s^2 + fv2*fv3*s^2)

Dónde:Definimos el determinante como:

Por lo tanto:

Para revisar la teoría sobre Variables de Estado ver: Representación de un sistema en variables de estado

Para elaborar el diagrama de bloques del mismo sistema, ver: Ejercicio de Diagrama de bloques a partir de representación en variables de estado 

Fuente: Control Systems Engineering, Nise

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Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

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Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. Da un vistazo al Índice al final de este artículo.

INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

 

 

Atención: 

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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Dinámica de sistemas, Variables de estado

Ejercicio de Diagrama de bloques a partir de variables de estado de sistema masa-resorte-amortiguador

Determinar la representación en variables de estado, el diagrama de bloques y la función de transferencia del sistema de la siguiente figura:

Nota: Este ejercicio demuestra la ventaja de contar con la representación del sistema en variables de estado para la confección del diagrama de bloques del sistema.

  1. Dinámica del sistema – Ecuaciones

2. Variables de estado

Definición:

De la definición obtenemos que:

Debemos hallar la expresión en términos de las variables de estado para  Ello lo podemos lograr utilizando las ecuaciones del sistema:

Despejamos :

 Utilizando la definición de variables de estado:Igualmente despejamos :

Utilizando la definición de variables de estado:

Si la salida del sistema es x2(t), y la entrada es f(t),  utilizando las ecuaciones (1), (2) (3) y (4), la representación matricial del sistema es:

3. Diagrama de bloques

Las ecuaciones (1), (2) (3) y (4), nos permiten además obtener fácilmente el diagrama de bloques del sistema si consideramos el hecho de que cada variable de estado es un nodo, y cada nodo se consigue mediante la suma, resta y multiplicación de variables, tal como lo muestran las mencionadas ecuaciones.

Podemos iniciar nuestro diagrama de bloques colocando la salida X2(s) al final y la entrada F(s) al principio del diagrama, y colocando bloques integradores que conducen directamente a las variables de estado definidas. Recordar que la transformada de Laplace de dX2(s)(t)/dt es:

El diagrama de bloques para representar esta operación es:En cuanto a las variables de estado definidas en este ejercicio, el diagrama de bloques anterior es equivalente a:Luego, deducimos que:

Así se procede como sigue. Si consideramos la ecuación (4):

Podemos expresar la ecuación (4) utilizando las reglas de construcción de diagrama de bloques como sigue:

Sección 1

Igualmente podemos obrar con la ecuación (3):

Sección 2

Las reglas de construcción y operación de diagramas de bloques pueden ser consultadas en: Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Ahora unimos secciones (1) y (2) apropiadamente y obtenemos el diagrama de bloques del sistema:

Fuente: Control Systems Engineering, Nise

Para determinar la función de transferencia de este mismo ejercicio , ver: Ejercicio de Función de Transferencia a partir de representación en Variables de Estado

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  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
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    • Linealización de sistemas no lineales

 

 

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