Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia

Ejemplo 3 – Función de Transferencia de un motor DC con carga.

Dado el sistema y la curva torque-velocidad angular de la Figura 2.39, determinar la función de transferencia θL(s)/Ea(s).

  1. Dinámica del sistema

2. Transformada de Laplace:

3. Función de transferenciaLuego:De donde:De la curva torque-velocidad sabemos que:

Por tanto:Además:Sustituimos todos los valores de parámetros calculados o dados:

Referencia:

  1. Control Systems Engineering, Norman Nise
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Relacionado:

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC

Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Ejemplo 1 – Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

 

 

 

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Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia

Función de Transferencia de Sistema Mecánico Rotacional (masa-resorte-amortiguador)

Find the transfer function, G(s)=θ2(s)/T(s), for the rotational
mechanical system shown in Figure 2.26.

1. Dinámica del sistema:

Por otra parte:

2. Transformada de Laplace:

Ecuación 1:

Ecuación 2:

3. Función de Transferencia:

Sustituyendo los valores:

De donde:

  1. Control Systems Engineering, Norman Nise
  2. Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo
  3. Ingenieria de Control Moderna, 3° ED. – Katsuhiko Ogata
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Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC

Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Ejemplo 1 – Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab

Análisis de sistemas de control, Señales y Sistemas

La Función de Transferencia

La Función de Transferencia H(s) es el cociente formado por Y(s), la Transformada de Laplace de la salida de un sistema LTI (Causal, Lineal e Invariante en el tiempo), dividida entre X(s), la Transformada de Laplace de la entrada a dicho sistema, cuando las condiciones iniciales son iguales a cero en el tiempo t=0 :Dónde:Observación: La Función de Transferencia sólo se expresa como una función de la variable compleja s. Para obtenerla, es necesario que las condiciones iniciales sean nulas. De no serlo, se debe obligar a dichas condiciones a ser cero.

Observación: Conociendo la Función de Transferencia H(s) de un sistema, podemos conocer la salida y(t) en el dominio del tiempo para cualquier entrada x(t), aplicando los siguientes pasos:

Veremos un par de comandos en Matlab que ilustran este importante resultado.

Observación: La Función de Transferencia es una propiedad intrínseca del sistema, no depende del tipo o naturaleza de la entrada o excitación.

Observación: La Función de Transferencia no ofrece información sobre las características físicas del sistema. De hecho, sistemas con diferentes estructuras, dimensiones o distribuciones físicas pueden tener la misma Función de Transferencia.

Observación: La Función de Transferencia es una parte importante del primer paso necesario para el diseño y análisis de sistemas de control: el modelo matemático del sistema.

Observación: La Función de Transferencia H(s) de un sistema LTI también se puede definir como la Transformada de Laplace de la Respuesta al Impulso, con todas las condiciones iniciales iguales a cero. Suponiendo que la respuesta del sistema al impulso se denota como h(t), entonces:

La Función de Transferencia se obtiene a partir  de la representación de un sistema LTI por medio de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, el modelo dinámico del sistema.  Se hace uso intensivo de la propiedad de La Transformada de Laplace definida como “derivación n-ésima de una función en el dominio del tiempo”. Dicha propiedad sirve de fundamento para el método que permite separar algebraicamente la salida de la entrada, y obtener la Función de Transferencia.

Ejemplo.

Hallar la Función de Transferencia X(s)/P(s) del siguiente sistema mecánico:

Para obtener la ecuación diferencial que describe el comportamiento dinámico de este sistema, aplicamos la Ley de Newton:

Suponiendo las condiciones iniciales iguales a cero, y que se trata de un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo (LTI), aplicamos superposición y determinamos las fuerzas que actúan sobre la masa m, así obtenemos:

Esta es la ecuación diferencial del sistema, su modelo matemático. Por ser un sistema LTI, los coeficientes de la ecuación son constantes. Se procede ahora a aplicar la Transformada de Laplace a esta ecuación. Sabemos de La Transformada de Laplace que la manera más práctica es actuar sobre cada término de la ecuación por separado:

Así la ecuación del sistema luego de aplicarle Laplace es:

que podemos expresar como:

con el fin de despejar y obtener la Función de Transferencia del sistema:

La Función de Transferencia y el Diagrama de Bloques.

La Función de Transferencia permite representar un sistema mediante una herramienta gráfica que muestra el flujo de información a través de todos los componentes del mismo: El diagrama de bloques.

En construcción…

 

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Análisis de sistemas de control, Ingeniería Electrónica

Concepto de Realimentación Electrónica

La realimentación electrónica consiste en tomar la información disponible en una parte del circuito e introducirla en otra parte del circuito con el fin de influir sobre el comportamiento de la salida.

La realimentación, o feedback (fb), es un concepto físico y no un concepto matemático, e implica un gasto de energía. Por tanto, la energía disponible en el origen de la información debe ser superior a la energía en el punto destino. Es por ello que se requiere de un circuito electrónico para poder implementar una realimentación efectiva, debido a que este tipo de circuitos permite incrementar la energía de la información a medida que ésta fluye a través del sistema, además de que permite establecer un flujo de información con dirección contraria a la que dicho flujo tiene debido a la naturaleza e influencia del sistema.

Ojo, no sólo los sistemas electrónicos son capaces de implementar un sistema realimentado. Existen numerosos mecanismos de realimentación que forman parte de nuestra vida cotidiana. El tanque de la poceta tradicional se llena de agua hasta que el nivel de líquido empuja un globo que acciona un pistón cerrando el surtidor de agua. Éste es un sistema realimentado donde el nivel de líquido es la información dirigida a la entrada, el pistón que controla el surtidor. Pero el uso de la electrónica tiene ventajas, como  de la reducción de costos en términos monetarios y de espacio, o la estética.

El objetivo fundamental de la realimentación electrónica, sin embargo, es modificar la salida del sistema y hacerla lo más independiente posible de los parámetros internos del mismo sistema. Este mecanismo permite controlar el sistema. De hecho, se requieren tantas líneas de realimentación como variables que se deseen controlar.

Estructura general de un circuito realimentado

Para representar la estructura básica de un sistema electrónico realimentado utilizaremos el amplificador de la Figura 2.1.1:

Se aplica una señal de entrada Xe al amplificador A, la cual puede ser un voltaje o una corriente. Xo representa la salida del amplificador. Supongamos que Xe y Xo tienen las mismas dimensiones, o unidades.

Al implementar un circuito realimentado básico, debemos transportar información desde la salida a la entrada, con el fin de sumar o comparar ambas señales, tal como se muestra en la Figura 2.1.2:

En la Figura anterior podemos identificar claramente tres estructuras representadas por tres bloques: un amplificador A, un circuito de transferencia β , y un sumador. El bloque A amplifica la señal incrementado la energía de la información. El bloque β transfiere la información de la salida a una de las entradas del sumador, cuya función puede ser sumar o restar esta señal a la entrada. El sumador suma o resta las señales Xi y Xf, que provienen de la entrada y salida del bloque β respectivamente, generando una señal Xe. A continuación, vamos a obtener una expresión matemática para la ganancia del sistema Xo/Xi.

Sabemos del estudio de amplificadores operacionales que la salida Xo puede ser expresada en términos de la ganancia A como:Donde Xe no es la entrada al sistema sino la entrada al amplificador y es igual a:Al sustituir la ecuación (2) en (1):Dónde:Por tanto:Luego:Por tanto: La ecuación (5) es una de las más importantes de la ingeniería electrónica y se le denomina en la literatura general como Ganancia del sistema realimentado o Ganancia a lazo cerrado. Fue el ingeniero Harold Black en 1928 quién primero utilizó la denotación Afb para esta ganancia. Por tanto:

Comportamiento de un circuito realimentado

En construcción…

Referencia: ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRONICOS

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Análisis de sistemas de control, PID

PID – Estudio de la acción Proporcional-Integral

Para el estudio de la acción proporcional integral se considera el sistema de la Figura 3:

  1. Simule la respuesta del sistema utilizando rltool() y observe su respuesta fijando Ti en 1s y para 3 diversos valores de Kp evitando la saturación. Observe en cada caso el sobrepico porcentual, el tiempo de establecimiento y el error en régimen estacionario. Comente y analice lo observado.

Analizamos el sistema antes de añadir el controlador PI:

>> s=tf(‘s’)

>> s1=(1)/(0.2*s+1)

>> s2=(2)/(0.1*s+1)

>> s3=(1)/(s+1)

>> G=s1*s2*s3

Como resultado de la ejecución de este comando en Matlab obtenemos que la función de transferencia directa G(s) es:

nullEs decir:null

Veamos cómo es la respuesta  a la entrada escalón unitario de este sistema antes de añadir un controlador PI:

>> Gce=feedback(G,1)

>> step(Gce)

Lo más notable es que el error en estado estable es ess=1-0.667=0.333, y que se trata de un sistema que no alcanza el valor de la señal de referencia en ningún momento.

Añadir un controlador PI significa juntar las ventajas de los controladores antes estudiados (PID – Estudio de la acción proporcional, PID – Estudio de la acción integral), es decir, un amplio margen para cambiar la ubicación de las raíces de la ecuación característica, lo que incide en el amortiguamiento y el tiempo de respuesta de la respuesta transitoria, y un aumento de la tipología del sistema, lo que significa un mejoramiento en el error en estado estable

Si añadimos un controlador proporcional-integral de ganancia Kp, la función de transferencia directa G1(s) es:

Es decir:

Se puede constatar que los efectos inmediatos de aplicar el controlador PI es agregar un cero simple en s=-1 y agregar un polo simple en s=0 en la función de transferencia directa.

Mediante la herramienta de diseño rltool vamos a variar el valor de la ganancia Kp y analizar como varían el sobrepaso (Mp), el tiempo de establecimiento (Ts) y el error en régimen estacionario (ess).

Kp=1

>> G1=G*(s+1)/s

>> rltool(G1)

 

La gráfica de El Lugar de las Raíces obtenida anteriormente se corresponde con un valor de Kp=1, para el cual obtenemos los siguientes valores de importancia:

ess=0

El error en estado estable es cero, ya que el valor final de la salida es uno. Representa una mejoría fundamental para justificar el uso de un PI.

Mp=8.49%; Ts=2.11 seg

Este valor del sobrepaso se corresponde con el siguiente para el factor de amortiguamiento relativo :

Kp>1

Para valores de la ganancia mayores que uno, se genera una tendencia al incremento de los parámetros estudiados. Por ejemplo, para Kp=1.5 obtenemos:

Mp=20.1%; Ts=2.43 seg; ζ=0.455

Si aumentamos el Kp a 2.5, obtenemos lo siguiente:

Un sistema cada vez más oscilante, con un sobrepaso cerca de 40% y un tiempo de establecimiento de 3.2 s.

K<1

Si lo que se desea es aumentar el factor de amortiguamiento relativo, podemos fijarlo mediante la ventana del lugar geométrico de las raíces, haciendo click derecho y seleccionando design requirement. Supongamos que deseamos un ζ=0.7, entonces con design requirement>new>damping ratio, obtenemos:

Arrastrando las raíces al límite sugerido por las líneas negras, modificamos el sistema. Para conocer el valor de Kp correspondiente a esa situación nos referimos a la ventana de control, donde vemos que Kp=0.8789. En la ventana de la respuesta al escalón, observamos el cambio:

Mp=5.61%; Ts=2.24 s; ζ≅ 0.7

ANTERIOR: PID – Estudio de la acción integral

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Análisis de sistemas de control, Nivel de líquidos

Ejemplo 1 – Función de transferencia de un sistema de nivel de líquidos

Tomamos en cuenta el sistema de la Figura 3-23.

Atendiendo a las definiciones del artículo anterior (Dinámica de un sistema de nivel de líquidos), nos enfocamos en las capacitancias C1 y C2, así como en las resistencias R1 y R2. Así, la dinámica de este sistema está determinada por las siguientes ecuaciones:

A partir de aquí podemos obtener la función de transferencia dependiendo de a qué variables definimos como entrada y salida. Por ejemplo, supongamos que la entrada al sistema es q y la variable de salida es q2, entonces para hallar la función de transferencia del sistema ejecutamos las siguientes operaciones:

Por tanto:

O sea:

Por otra parte:

Es decir:

Además: 

Aplicando Laplace a las ecuaciones a,b y c, obtenemos:

Despejando H1(s) de e y sustituyendo este valor en d obtenemos:

Que debido a f es:

La función de transferencia del sistema es:

 

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Análisis de sistemas de control, Nivel de líquidos

Dinámica de un sistema de nivel de líquidos

El sistema de nivel de líquido se considera lineal si el flujo es laminar.

Los parámetros de un sistema de nivel de líquido son la resistencia y la capacitancia. Si consideramos un flujo de líquido a través de un tubo corto, la resistencia R para dicho flujo se define como la diferencia de nivel de líquido H de dos tanques necesaria para producir un cambio en la velocidad del flujo Q entre los dos tanques, entonces:

Por su parte, la capacitancia C de un tanque se define como el cambio necesario de la cantidad de líquido en el tanque para producir un cambio en el nivel de líquido H. Ahora bien, ese cambio de cantidad de líquido se puede representar en términos de la velocidad de flujo Q. Para darnos una idea gráfica, considere la Figura 3-22 (a):

(a)

Supongamos que al tanque entra líquido a un flujo constante , llamado también velocidad de flujo de líquido en estado estable porque es la misma a la entrada que a la salida del tanque. Intuitivamente podemos ver que para producir un pequeño cambio de cantidad de líquido dentro del tanque es necesario un cambio de flujo, igual a qi-qo, en un pequeño intervalo de tiempo dt. Entonces, en términos generales, de acuerdo a su definición:

Donde:

Si consideramos qi-qo=q, podemos escribir la ecuación 1 como:

Con respecto a este valor para la resistencia R, en la Figura 3-22(a) h es la diferencia de altura entre dos tanques necesaria para definir la resistencia, considerando que no hay un segundo tanque. Esta última ecuación se puede apoyar además si consideramos que el sistema de nivel de líquidos trabaja alrededor  de un punto de operación donde la curva H(Q) tiene pendiente P, como se observa en la Figura 3-22(b):

Figura 3-22(b)

De ahora en adelante se consideran variaciones pequeñas para las variables de importancia, a partir de sus valores en estado estable.

Es interesante notar la analogía que se establece entre esta teoría y la de un circuito eléctrico de corriente i y voltaje v:

Circuito eléctrico Sistema de nivel de líquidos
Resistencia:

 

Resistencia:

Capacitancia:

Capacitancia:

Atendiendo a esta analogía, podemos aplicar la teoría de circuitos a la Figura 3-22(a), donde tenemos una fuente de poder y una carga. La fuente de poder está conformada por la válvula de control y el tanque de capacitancia c, mientras la carga está constituida por la válvula de carga de resistencia r. De acuerdo con la definición para resistencia representada en la ecuación 1:

Así, podemos reescribir la ecuación 2 como:

De esta manera, la ecuación que determina la dinámica del sistema de la Figura 3-22(a) es entonces:

Si consideramos qi como la entrada y h como la salida, aplicando Laplace:

La función de transferencia de este sistema es:

Sin embargo, cuando se trata de sistemas colocados en serie, a diferencia de lo que se supone en el caso de un sistema eléctrico, los tanques que conforman el sistema interactúan entre sí. Por ello, la función de transferencia del sistema total no es igual a la multiplicación de las funciones de transferencia de cada sistema por separado.

Sistema de nivel de líquido con interacción

Tomamos en cuenta ahora el sistema de la Figura 3-23.

Atendiendo a las definiciones del apartado anterior, nos enfocamos en las capacitancias C1 y C2, así como en las resistencias R1 y R2. Así, la dinámica de este sistema está determinada por las siguientes ecuaciones:

A partir de aquí podemos obtener la función de transferencia dependiendo de a qué variables definimos como entrada y salida. Por ejemplo, supongamos que la entrada al sistema es q y la variable de salida es q2, entonces para hallar la función de transferencia del sistema ejecutamos las siguientes operaciones:

Por tanto:

O sea:

Por otra parte:

Es decir:

Además:

 

Aplicando Laplace a las ecuaciones a,b y c, obtenemos:

Despejando H1(s) de e y sustituyendo este valor en d obtenemos:

Que debido a f es:

La función de transferencia del sistema es:

Ejemplo 2

Hallar la función de transferencia Qo(s)/Qe(s) del sistema mostrado en la siguiente figura:

En construcción…

Análisis de sistemas de control, PID

Ejemplo 1 – Diseño de un controlador PI (Proporcional-Diferencial)

Para apreciar mejor el efecto del controlador PI, veamos el siguiente ejemplo. Supongamos que tenemos el sistema de la Figura 7-23.

null

La función de transferencia directa G(s) de este sistema viene dada por la siguiente expresión:null

Donde K es la constante del preamplificador.

Las especificaciones de diseño para este sistema son las siguientes:

nullDonde:

  • ess: Error en estado estable debido a una entrada parábola
  • Mp: Sobrepaso máximo
  • Tr: Tiempo de levantamiento
  • Ts: Tiempo de asentamiento

Lo primero que vamos a hacer es analizar el error en estado estable ess del sistema antes de compensar, y ver que tanto cumple o no con el primer requerimiento de diseño (Para un repaso de este tema ver: Error en estado estable de un sistema de control).

Para una entrada parabólica debemos trabajar con la constante de aceleración Ka:nullEsto significa un error infinito para una entrada parabólica:Para mejorar el error en estado estable incorporamos un controlador PI en la trayectoria directa del sistema, el cual ahora tendrá la siguiente función de transferencia:nullAl aumentar la tipología del sistema de tipo 1 a tipo 2 de inmediato mejoramos el error en estado estable. Ahora, el ess debido a la entrada parábola será una constante:nullEs decir:

Este ejercicio ya lo trabajamos con el controlador PD. Para ese caso seleccionamos un valor de K=181.17 (Ejemplo 1 – Diseño de un controlador PD (Proporcional-Diferencial) – Matlab)

Nos permitimos la libertad de considerar el mismo valor para K en este caso con el fin de mantener la respuesta transitoria bajo condiciones aceptables y conocidas al aplicar el PD del ejemplo 1. De ser necesario ajustaremos el valor de K más adelante. Podemos apreciar que para lograr un ess según se especifica en el diseño, mientras más grande sea K, más pequeño tendrá que ser Ki, algo que puede ser conveniente. Con los valores de y ess podemos calcular un primer valor aproximado de Ki para cumplir con los requerimientos:

Lo siguiente que haremos será analizar la estabilidad del sistema debido a que de ello depende enormemente la selección de los parámetros Kp y Ki. Aplicaremos el criterio de Routh-Hurwitz (para un repaso ver Estabilidad de un sistema de control) para calcular los valores límites de los mencionados parámetros de manera tal que el sistema permanezca estable. Para ello requerimos de la ecuación característica que surge de la función de transferencia del sistema en lazo cerrado Gce(s):

null

La ecuación característica del sistema es:

null

Con esta ecuación aplicamos el criterio de Routh-Hurwitz. De esta manera descubrimos que el sistema es estable para el siguiente rango de valores:

null

Este resultado indica que el Ki/Kp del controlador no puede estar muy cerca del cero, por lo que no resulta conveniente un valor tan bajo tal como Ki=0.002215. Otro criterio para seleccionar Ki/Kp es que resulta conveniente seleccionar el cero añadido por el controlador en s=-Ki/Kp para que esté localizado cerca del origen y lejos de los polos más significativos del sistema. Mediante el lugar geométrico de las raíces en Matlab podemos ver cuáles son los polos más significativos de la ecuación característica, suponiendo una relación aceptable entre los parámetros Ki y Kp desde el punto de vista del estudio de estabilidad anterior pero relativamente cerca del origen, digamos Ki/Kp=10, manteniendo Ki constante y variando Kp (Para un repaso del tema ver: El lugar geométrico de las raíces con Matlab) Primero, arreglamos la ecuación característica en su forma 1+G(s)H(s):

Notar que de esta manera el controlador PI está añadiendo un zero en s=-10.

Aplicamos el siguiente comando en Matlab para obtener el lugar geométrico de las raíces de este sistema compensado:

>> s=tf(‘s’)

>> sys=(815265*(s+10))/(s^3+361.2*s^2)

>> rlocus(sys)

Y obtenemos:

Como se puede observar, el polo más significativo de la ecuación característica está ubicado en s=-361. Por tanto, el criterio que debemos utilizar para seleccionar s=-Ki/Kp es:nullCon este resultado, la función de transferencia directa G(s):nullQuedaría simplificada como:null

El término Ki/Kp sería despreciable comparado con la magnitud de s cuando s asume valores a lo largo del lugar geométrico de las raíces que se corresponde con un factor de amortiguamiento relativo conveniente de 0.7<ζ< 0.1. Luego, un zero en cero anula un polo en cero. El sobrepaso máximo debe ser igual o menor al 5%. Esto significa que se desea un factor de amortiguamiento relativo ζ aproximado al siguiente valor:

null

null

Con la ayuda del lugar geométrico podemos ubicar los polos que se corresponden con este valor de ζ:

De acuerdo con la gráfica, el valor de Kp requerido para obtener este factor de amortiguamiento es:

Y por tanto:

También observamos en la gráfica anterior que si Kp=0.0838, entonces las raíces de la ecuación característica (los polos del sistema) están en s1=-175+j184 y en s2=-175-j184 Si miramos alrededor de esas raíces podemos notar que el zero añadido por el controlador en s=-10 está muy cerca del origen comparado con los polos de s1 y s2, prácticamente cancelando un polo en el origen, ratificando así la aproximación que hicimos anteriormente para la función de transferencia directa de este sistema luego de la compensación:

Así:

Podemos observar la respuesta del sistema al escalón unitario de acuerdo con estos resultados parciales y la comparación de los sistemas compensado y sin compensar, mediante la siguiente simulación:

>> Ga=(815265)/(s*(s+361.2))

>> Gd=(68319)/(s*(s+361.2))

>> Gce1=feedback(Ga,1)

>> Gce2=feedback(Gd,1)

>> step(Gce1,Gce2)

La gráfica anterior, con el sistema después de la compensación en línea roja, muestra que el PI mejora el error en estado estable y reduce el sobrepaso, pero a expensas de aumentar significativamente el tiempo de levantamiento. La gráfica también nos muestra que el sobrepaso máximo es de 5%, por tanto se cumple el requerimiento. Es necesario notar que se puede seleccionar otra relación para Ki y Kp que cumpla con el requerimiento y aún mejoren el sobrepaso, por ejemplo Ki/Kp=5, Ki/Kp=2. Sólo hay que prestar atención al tema de la estabilidad del sistema. Con los valores calculados, volvemos a calcular el sobrepaso, y vemos como quedan el tiempo de levantamiento tr y el tiempo de asentamiento ts. El siguiente comando nos facilita el valor de ζ y ωn, el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural respectivamente (Para un repaso ver:Respuesta Transitoria de un Sistema de Control).

>> damp(Gce2)

Pole: -1.81e+02 + 1.89e+02i /   -1.81e+02 + 1.89e+02i

Damping: 6.91e-01

Frequency: 2.61e+02

  •  Máximo Sobrepaso (MP):

  • Tiempo de levantamiento (Tr):

>> Gd=(68319)/(s*(s+361.2))

>> sys=feedback(Gd,1)

>> step(sys)

  • Tiempo de asentamiento (Ts):null

Cosa que también podemos constatar en la gráfica de respuesta al escalón unitario generada anteriormente:

Podemos concluir que el sistema compensado cumple con los requerimientos del diseño, aunque se sobrepasa un poco en el tiempo de asentamiento. Este último se puede reducir levemente con una relación Ki/Kp=2pero a expensas de acercarse demasiado a la zona inestable del sistema.

ANTERIOR: PID – Diseño con el controlador PD (Proporcional-Diferencial)

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Relacionado:

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Estabilidad de un sistema de control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

 

Análisis de sistemas de control, PID

PID – Estudio de la acción integral

Para hacer el estudio de la acción integral, considere el siguiente sistema:

1. Realizar el lugar geométrico de las raíces indicando los puntos de interés. Ejecutamos los siguientes comandos en Matlab:

>> s=tf(‘s’)

>> s1=(1)/(0.2*s+1)

>> s2=(2)/(0.1*s+1)

>> s3=(1)/(s+1)

>> G=s1*s2*s3

La función de transferencia directa G(s) es:nullArreglando:nullSi añadimos un controlador integral de ganancia Ki y Ti=1 seg, la función de transferencia directa G(s) es:

Notar que de inmediato el controlador aumenta la tipología del sistema de tipo 0 a tipo 1, mejorando así el error en estado estable. La función de transferencia Gce(s) a lazo cerrado es:

La ecuación característica del sistema es:

La ecuación característica en su forma 1+G(s)H(s) es:

Para obtener en Matlab el lugar geométrico de las raíces, ejecutamos el siguiente comando:

>> sys=(100)/(s*(s^3+16*s^2+65*s+50))

>> rlocus(sys)

Así obtenemos:

Podemos observar que tenemos un polo en el origen, añadido por el controlador, y polos en s=-1, -5 y -10. El valor que podemos darle a la ganancia Ki está bastante restringido porque debemos evitar entrar a la región de inestabilidad (semiplano con valores positivos de la variable independiente s).

Según la gráfica anterior, para Ki=1.02 el factor de amortiguamiento relativo es apenas ζ=0.145, por lo que podemos esperar que el sistema oscile bastante en su estado transitorio, mientras posee un sobrepaso máximo de 63,1%, características poco deseables para un sistema de control. Utilizando los siguientes comandos podemos corroborar esta aseveración mediante la respuesta al escalón unitario (step) para un valor exacto de Ki=1.00 para la ganancia:

>> sys2=feedback(sys,1)

>> step(sys2)

Mediante la siguiente gráfica podemos verificar el valor de las características importantes, haciendo uso del click derecho sobre la gráfica anterior y seleccionar characteristics>peak response/settling time/steady state:

La gráfica anterior señala que el valor final de la salida del sistema para una entrada escalón unitario es 1, por lo tanto el error en estado estable es cero, y es ésta la principal función de la porción integral de un controlador PID, minimizar el error para las entradas escalón, rampa o parábola. Sin embargo vemos que la respuesta transitoria no es muy satisfactoria para un controlador integral puro.

Vamos a observar como varían los valores de máximo sobrepaso (Mp), el tiempo de establecimiento (Ts) y el error en estado estable para entrada escalón (ess) para varios valores de Ki, de manera tal que se haga evidente la necesidad de combinar esta acción con la proporcional ya estudiada para el mismo sistema en PID – Estudio de la acción proporcional. Incluso vamos a intentar igualar las condiciones de diseño requeridas en el mencionado estudio: un factor de amortiguamiento ζ=0.5.

Para agilizar este estudio (no tener que aplicar el comando feedback para cada cambio de ganancia, por ejemplo), utilizaremos la herramienta de Matlab rltool:

>> rltool(sys)

Inmediatamente obtenemos el lugar geométrico de las raíces:

Ya vimos como se comporta el sistema para Ki=1.0. A partir de aquí variamos la ganancia para ver los valores de los parámetros y características de importancia.

Haremos Ki=1.2. Para ello, hacemos click derecho sobre la gráfica del lugar geométrico de las raíces y seleccionamos edit compensator, seleccionamos la casilla de valores de la ganancia c del controlador, y le adjudicamos el valor a analizar.

Apretamos enter y volvemos al lugar geométrico. El punto rosado se ha desplazado al valor actual de las raíces. Aparece una mano al colocar el cursor en dicho punto. Al hacer click izquierdo justo allí, aparece el valor del factor de amortiguamiento relativo al pie de la gráfica.

Para la ganancia Ki=1.2, ζ=0.105. La respuesta al escalón unitario se puede obtener seleccionando analysis>response to step command.

Una vez en repuesta al impulso, hacer click derecho y seleccionar systems>closed-loop r to y (blue) para obtener la siguiente gráfica:

A partir de aquí obtenemos:

Si cambiamos la ganancia en la ventana Control and estimation tool manager, cambian automáticamente el lugar geométrico y la respuesta al escalón unitario, Los resultados para valores de Ki cada vez mayores se muestran en la siguiente tabla:

Ganancia Ki=1.0 Ki=1.2 Ki=1.4 Ki=1.8
Factor de amortiguamiento  ζ=0.15 ζ =0.105  ζ=0.069  ζ=0.0149
Máximo sobrepaso Mp=59.9% Mp=68.9 Mp=76.8 Mp=90.7
Tiempo de levantamiento Tr=0.921 Tr=0.824 Tr=0.752 Tr=0.653
Tiempo de establecimiento Ts=19.8 Ts=24.9 Ts=35.4 Ts=151

A medida que Ki crece, aunque mejora el tiempo de respuesta, las condiciones generales empeoran. El factor de amortiguación casi se hace cero y aún para pequeños incrementos la inestabilidad aumenta vertiginosamente. A continuación se observa el desempeño para un Ki=1.8.

Por ello podemos afirmar que la acción integral permite un rango muy limitado de selección de la ganancia Ki. Es por ello que se acostumbra mejorar las capacidades del controlador combinando la acción integral con la proporcional (controlador PI).

Al reducir los valores de Ki podemos esperar el efecto contrario, según se observa en la siguiente tabla:

Ganancia Ki=0.2 Ki=0.5 Ki=0.8 Ki=1
Factor de amortiguamiento  ζ=0.686  ζ=0.345  ζ=0.208  ζ=0.15
Máximo sobrepaso Mp=5.1% Mp=30.9 Mp=49.7 Mp=59.9%
Tiempo de levantamiento Tr=3.39 Tr=1.48 Tr=0.752 Tr=0.921
Tiempo de establecimiento Ts=9.94 Ts=11.7 Ts=14.6 Ts=19.8

Los valores anteriores muestran que es posible conseguir un ζ=0.5. Para dar con los valores exactos hacemos click derecho sobre el lugar geométrico, seleccionamos design requirements>new>design requirement type>damping ratio>0.5. Obtenemos el lugar geométrico dividido en dos regiones.

Moviendo el cursor podemos observar que región se corresponde con un damping igual o mayor a 0.5. Arrastrando el punto rosado sobre el lugar geométrico, variamos el damping hasta lograr un 0.5. Una vez allí, podemos ver el valor correspondiente de la ganancia, (Ventana de control, c=0.317). También podemos obrar a la inversa, variando c y viendo cuánto vale el damping en el lugar geométrico. Entonces, para lograr un ζ=0.5, debemos hacer Ki=0.317. A continuación se observa la respuesta al escalón unitario y las características de importancia para esta ganancia:

Ganancia Ki=0.317
Factor de amortiguamiento  ζ=0.5
Máximo sobrepaso Mp=16.1%
Tiempo de levantamiento Tr=2.15
Tiempo de establecimiento Ts=10.7
Respuesta al impulso para diversos valores de Ki
Respuesta a la función escalón unitario, con KP=1, FA=0.15

 

Respuesta a la función escalón unitario, con KP=0.5, FA=0.345
Respuesta a la función escalón unitario, con KP=1.5, FA=0.0518

 

ANTERIOR: PID – Estudio de la acción proporcional

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Relacionado:

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Estabilidad de un sistema de control

Análisis de sistemas de control, PID

PID – Estudio de la acción proporcional

Para hacer el estudio de la acción proporcional, considere el siguiente sistema:

1. Realizar el lugar geométrico de las raíces indicando los puntos de interés. Ejecutamos los siguientes comandos en Matlab:

>> s=tf(‘s’)

>> s1=(1)/(0.2*s+1)

>> s2=(2)/(0.1*s+1)

>> s3=(1)/(s+1)

>> G=s1*s2*s3

La función de transferencia directa G(s) es:nullArreglando:nullSi añadimos un controlador proporcional de ganancia Kp, la función de transferencia directa G(s) es:nullLa función de transferencia Gce(s) a lazo cerrado es:null

nullLa ecuación característica del sistema es:nullLa ecuación característica en su forma 1+G(s)H(s) es:

null

Para obtener en Matlab el lugar geométrico de las raíces, ejecutamos el siguiente comando:

>> rlocus(G)

Así obtenemos:

Para un repaso del tema, ver: El lugar geométrico de las raíces con Matlab

Mediante este primer ejercicio que nos proporciona el lugar geométrico de las raíces del sistema en estudio, podemos observar el efecto más inmediato de aplicar un controlador proporcional: el desplazamiento de las raíces.

El cambio en la ganancia Kp nos permite cambiar el valor de las raíces de la ecuación característica (al viajar a través de las líneas de color azul, verde y rojo del lugar geométrico en la gráfica anterior, vemos cómo cambia la ganancia Kp), lo que es lo mismo que cambiar los  polos de la función de transferencia a lazo cerrado. Al cambiar dichos polos, cambiamos el valor del coeficiente de amortiguamiento relativo ζ y la frecuencia natural ωn para una entrada escalón unitario, adaptando así la respuesta transitoria del sistema a los requerimientos de diseño que se puedan solicitar.

Notar que las raíces de la ecuación característica están en s=-10, s=-5 y s=-1, cuando Kp=0.

Pero en términos reales Kp no puede valer cero, porque en la práctica significa que anulamos la entrada al sistema y así, la salida es cero también. Para representar al sistema funcionando sin el controlador proporcional, hacemos  Kp=1. Bajo esta condición, veamos cuál es el valor de ζ , así como el valor de tres cantidades de extrema importancia para los diseñadores: el sobrepaso Mp, el tiempo de levantamiento Tr y el error en estado estable ess. Luego, supongamos que queremos modificar este desempeño en términos de ζ y variamos Kp (desplazamos las raíces) hasta lograr un  ζ=0.5.

Para un repaso del tema, ver: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Kp=1

Si Kp=1, entonces:null

La función de transferencia a lazo cerrado Gce(s) es:

Utilizamos los siguientes comandos en Matlab para conocer los valores de ζ, el sobrepaso y el tiempo de establecimiento:

> >Gce=feedback(G,1)

> >damp(Gce)

Obtenemos:

Pole Damping Frequency
-2.26e+00 + 2.82e+00i 6.26e-01 3.62e+00
-2.26e+00 – 2.82e+00i 6.26e-01 3.62e+00
-1.15e+01 1.00e+00   1.15e+01

Notar que en la gráfica anterior, Kp=Gain=1. Las raíces complejas dominantes son s1=-2.26+j2.82 y s2=-2.26-j2.82, de tal modo que, según la gráfica, podemos considerar a ζ=0.626 cuando Kp=1. Con respecto al sobrepaso, el tiempo de levantamiento y el error en estado estable utilizamos el siguiente comando:

>> stepinfo(Gce)

RiseTime: 0.5626

Overshoot: 7.5449

Peak: 0.7170

>> step(Gce)

Si la entrada es el escalón unitario y la salida alcanza el valor final de c=0.663, el error en estado estable es ess=1-0.663=0.337. Vamos a ver que a pesar de variar el valor de Kp y desplazar las raíces, el controlador proporcional no anula por completo el error en estado estable, siempre tendrá un valor diferente de cero por lo que se requiere una acción integral para anular dicho error. Por otra parte, el valor del sobrepaso es Mp=7.17%, tomando en cuenta que el valor final del sistema es c=0.663 y el máximo valor alcanzado es de c=0.7170.

Hallar Kp para lograr un ζ=0.5. 

El lugar geométrico de la raíces nos permite variar el valor de la ganancia Kp hasta alcanzar el damping solicitado, ζ=0.5. Nos desplazamos sobre el lugar geométrico de las raíces en Matlab haciendo un click sobre la línea de los polos dominantes y arrastrando el punto hasta que se alcance al damping solicitado:

La gráfica anterior nos muestra que podemos obtener un ζ=0.5 cuando la ganancia Kp tiene un valor aproximado de 1.46. Si Kp=1.46, la función de transferencia directa y la función de transferencia a lazo cerrado son:

Confirmamos el valor del damping mediante:

>> Gce2=(146)/(s^3+16*s^2+65*s+196)

> >damp(Gce2)

Pole Damping Frequency
-2.04e+00 + 3.51e+00i 5.02e-01 4.05e+00
-2.26e+00  – 3.51e+00i 5.02e-01 4.05e+00
-1.19e+01 1.00e+00   1.19e+01

> >stepinfo(Gce2)

RiseTime: 0.4356

Overshoot: 15.0397

Peak: 0.8569

Se observa que el sobrepaso será mayor (de 7.5449 a 15.0397) después de la compensación (cambiar el valor de Kp de 1 a 1.46) debido a que el factor de amortiguamiento relativo ζ es menor (de 0.626 a 5.02), mientras el tiempo de levantamiento Tr mejora ligeramente (de 0.5626 a 0.4356).

Las respuestas a la entrada escalón unitario de ambos sistemas (antes y después de la compensación), pueden observarse mediante el siguiente comando de Matlab:

>> step(Gce,Gce2)

El valor final del sistema después de la compensación (en color rojo) es aproximadamente c=0.748, así que el error en estado estable en este caso es ligeramente más bajo, ess=1-0.748=0.252. Se observa claramente en la gráfica que el tiempo de levantamiento es menor después de la compensación, pero a costa de un sobrepaso mayor debido a un amortiguamiento menor.

Otra herramienta de Matlab más sofisticada para diseñar compensadores es SISO Design Tool. Se puede invocar mediante el comando rltool.

>> rltool

Se abre una interface para el diseño gráfico (GUI).

Una vez allí, podemos importar sistemas desde la consola de Matlab, mediante file>import>G>browse>available models>G>import>close>ok. De manera automática, el diseñador ofrece el lugar geométrico de las raíces del sistema:

Supongamos el requerimiento ζ=0.5. Colocando el cursor  sobre el lugar geométrico, hacemos click derecho y seleccionamos design requirement>new>design requirement type>damping ratio>0.5>ok. Obtenemos el gráfico siguiente:

La leyenda inferior la obtenemos colocando el curso sobre el punto rosado, se forma una mano y hacemos click izquierdo. Podemos variar el gráfico hasta lograr aproximadamente el damping deseado. Si colocamos el curso del lado izquierdo del gráfico (color blanco), aparece la leyenda Loop gain changed to 1.47. Es decir, Kp=1.47.

Aunque, para ser más exactos, el valor de la ganancia es de Kp=1.4663. Este valor lo podemos ver en la otra ventana que se abre simultáneamente con el Editor: Control and estimation tools manager. Allí, al seleccionar la pestaña Compensator Editor, podemos ver que C=1.4663. Por tanto, la herramienta nos permite ser mucho más específicos en cuanto al valor de la ganancia.

Volviendo al editor gráfico (SISO design task), seleccionando analysis>response to step command, obtenemos la respuesta al escalón unitario en una nueva ventana. Una vez allí, haciendo click derecho podemos seleccionar el tipo de gráfica con plot type>step. Podemos comprobar los valores de la respuesta transitoria obtenidos para Kp=1.46 si seleccionamos la característica que nos interesa calcular mediante:

characteristics>rise time

characteristics>peak response

Respuesta transitoria para diferentes valores de Kp.

Para completar el estudio sólo queda adjudicar varios valores a Kp y analizar la respuesta transitoria así como el error en estado estable de los diferentes sistemas que resulten, mediante las herramientas de programación presentadas hasta ahora. Cabe resaltar lo sensible que es el sistema para valores de Kp  muy cercanos. Ello se muestra en la siguiente gráfica donde de manera simultánea aparecen las respuestas a la entrada escalón unitario para diferentes valores de Kp:

Kp=0.2, Kp=0.5, Kp=1, Kp=1.5,  Kp=1.7, Kp=2.

null

Veremos mediante el siguiente estudio que, a diferencia de la acción integral, la acción proporcional ofrece un rango muy amplio para seleccionar la ganancia del controlador.

Respuesta al escalón unitario para varios valores de Kp

SIGUIENTE: PID – Estudio de la acción integral

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