Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

  1. Control Systems Engineering, Nise, p 101

Desarrollamos diagrama de fuerzas a cada unidad de masa, aplicando transformada de Laplace a cada fuerza por separado debido a la propiedad de superposición. Para la Masa 1 el diagrama de cuerpo libre es el siguiente:

Para la Masa 2 el diagrama de cuerpo libre es:

Para la Masa 3 el diagrama de cuerpo libre es:

La dinámica del sistema (ecuaciones de movimiento) es:

Para hallar cualquier relación equivalente a una Función de Transferencia, ejecutamos operaciones típicas del álgebra lineal.

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab. En el link encontrará la descripción del servicio y su costo.

Relacionado:

Ejemplo 1 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema Electromecánico

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques de Sistema Electromecánico con Motor DC

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Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema Electromecánico

Obtener modelo matemático del sistema de control de posición de la figura. Obtener su diagrama de bloques y la función de transferencia entre el ángulo de la carga y el ángulo de referencia θc(s)/θc(s).

null

Datos:

null

Respuesta:
  1. Dinámica del sistema

null

2. Transformada de Laplace

null

3. Diagrama de bloques

null

Simplificando convenientemente para obtener un modelo cuya función de transferencia es conocida:

null

4. Función de Transferencia de cada bloque del diagrama anterior.

A partir de:

null

Obtenemos los siguiente:

null

Luego, utilizando:

null

y sustituyendo, obtenemos:

null

Donde:

null

Sustituyendo el valor de los datos en la ecuación anterior, obtenemos:

null

Simplificando:

null

Por otra parte, la ganancia del amplificador se obtiene utilizando:

null

De donde:

null

null

null

Por último, la constante de engranaje está dad por los datos y es n=1/10. Obtenemos entonces un diagrama de bloques con las siguientes funciones de transferencia:

null

5. Función de Transferencia del sistema.

La Función de Transferencia a lazo abierto Ga(s) del sistema mostrado en el diagrama anterior es:

null

De donde podemos obtener fácilmente la función de transferencia a lazo cerrado Gc(s), que es lo que nos pide el enunciado, utilizando la realimentación unitaria:

null

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Ejemplo 1 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Estabilidad de un sistema de control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

Ejemplo 1 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Obtener la Función de Transferencia X1(s)/U(s) del sistema mecánico de la Figura 3-83 Ejercicio B318, Modern_Control_Engineering, Ogata 4t p 149.

null

Desarrollamos diagrama de fuerzas a cada unidad de masa, aplicando transformada de Laplace a cada fuerza por separado debido a la propiedad de superposición. Para la Masa 1 el diagrama de cuerpo libre es el siguiente (el análisis debido a cada movimiento X(s) se hace por separado para mayor claridad):

null

 

Para la Masa 2 el diagrama de cuerpo libre es:

null

La dinámica del sistema (ecuaciones de movimiento) es:

Así, aplicando álgebra lineal obtenemos la Función de Transferencia X1(s)/U(s) como:

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Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o resolver un problema más complejo que involucra el uso de dispositivos electromecánicos (motor, sensor, etc) en un sistema de control…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema..Yo le resolveré cualquier problema de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab. En el link encontrará la descripción del servicio y su costo.

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Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab

Estabilidad de un sistema de control

PID – Efecto de las acciones de control Integral y Derivativo

ANTERIOR: PID -Acciones básicas de sistemas de control.

En esta sección, investigaremos los efectos de las acciones de control integrales y derivativo en el rendimiento del sistema. Aquí consideraremos sólo los sistemas simples para que se puedan ver claramente los efectos de las acciones de control integral y derivativo en el rendimiento del sistema.

Acción de control integral. En el control proporcional de una planta cuya función de transferencia no posee un integrador 1 / s, se presenta un error en estado estable (offset) en la respuesta a una entrada escalón unitario. Tal error se puede eliminar si la acción de control integral está incluida en el controlador. La función principal de la acción integral es asegurarse de que la salida del proceso coincide con el punto de consigna en estado estacionario.

En el control integral de una planta, la señal de control, la cual es la señal de salida del controlador, en cualquier instante, es el área bajo la curva de señal de error actuante hasta ese instante.

La señal de control u (t) puede tener un valor distinto de cero cuando la señal de error actuante e (t) es cero, como se muestra en la figura 5-39 (a). Esto es imposible en el caso del controlador proporcional, ya que una señal de control distinta de cero requiere una señal de error actuante distinta de cero. (Una señal de error actuante distinta de cero en estado estable significa que hay un offset). Con acción integral, un pequeño error positivo conducirá siempre a una señal de control creciente, y un error negativo dará una señal de control decreciente sin tener en cuenta lo pequeño que sea el error.

La Figura 5-39 (b) muestra la curva e (t) versus t, y la curva correspondiente u (t) versus t cuando el el controlador es del tipo proporcional.

Hay que tener en cuenta que la acción de control integral, al eliminar el offset o el error de estado estable, puede conducir a una respuesta oscilatoria de amplitud decreciente o incluso a una amplitud creciente, ambas de las cuales son por lo general indeseables.

Considere el sistema que se muestra en la Figura 5-40.

Vamos a obtener el error de estado estable de este sistema para una entrada escalón unitario. Definimos:

Ya que:

El error en estado estable está dado por:

Para una entrada escalón unitario R(s) = 1/s, obtenemos:

El error en estado estable es:

Tal sistema sin un integrador en la ruta de alimentación directa siempre tiene un error de estado estacionario como respuesta al escalón unitario. Tal error de estado estacionario se denomina offset. La Figura 5-41 muestra la respuesta del sistema al escalón unitario:

Control Integral de Sistemas. Considere el sistema que se muestra en la Figura 5-42.

El controlador es un controlador integral. La función de transferencia de circuito cerrado del sistema es:

Por lo tanto:

Como el sistema es estable, se puede obtener el error de estado estable para la respuesta de paso unitario aplicando el teorema del valor final, como se muestra a continuación:

El control integral del sistema elimina así el error de estado estacionario en la respuesta a la entrada de paso. Esta es una mejora importante sobre el control proporcional el cual tiene un offset.

Acción de control derivativo. La acción de control derivativo, cuando se agrega a un controlador proporcional, concede un medio para obtener un controlador con alta sensibilidad. Una ventaja del uso de la acción de control derivativo es que responde a la velocidad de cambio del error y puede producir una corrección significativa antes de que la magnitud del error sea demasiado grande. El control derivado anticipa, pues, el error de accionamiento, inicia una acción correctiva temprana y tiende a aumentar la estabilidad del sistema.

Aunque el control derivado no afecta directamente al error de estado estacionario, agrega amortiguación al sistema y, por lo tanto, permite el uso de un valor mayor de la ganancia K, lo que dará como resultado una mejora en la precisión del estado estable. Debido a que el control derivativo opera en la tasa de cambio del error de actuación y no en el error de actuación en sí, este modo nunca se usa solo. Siempre se usa en combinación con una acción de control proporcional o proporcional más integral

Control proporcional de sistemas con carga de inercia. Antes de discutir el efecto de la acción de control derivativo sobre el rendimiento del sistema, consideraremos el control proporcional de una carga inercial.

Considere el sistema que se muestra en la figura 5-46 (a).

La función de transferencia de bucle cerrado se obtiene como:

La ecuación característica es:

Como las raíces de la ecuación característica son imaginarias, la respuesta a una entrada escalón unitario continúa oscilando indefinidamente, como se muestra en la figura 5-46 (b). Los sistemas de control que exhiben tales características de respuesta no son deseables. Veremos que la adición de control derivado estabilizará el sistema.

Control Proporcional-Derivativo de un Sistema con Carga Inercial. Modifiquemos el controlador proporcional a un controlador derivativo-proporcional, cuya función de transferencia es Kp (1 + Tds). El par desarrollado por el controlador es proporcional a Kp (e + Tde ‘). El control derivativo es esencialmente anticipatorio, mide la velocidad de error instantánea y predice el gran sobreimpulso con anticipación y produce una neutralización adecuada antes de que ocurra un sobrepaso (overshoot) demasiado grande.

Considere el sistema que se muestra en la figura 5-47 (a).

La función de transferencia en lazo cerrado está dada por:

La ecuación característica es:

Ahora la ecuación característica tiene dos raíces con partes reales negativas para valores positivos de J, Kp y Td. Así, el control derivativo introduce un efecto de amortiguación. Una curva de respuesta típica c (t) a un escalón unitario en la la entrada, se muestra en la Figura 5-47 (b). Claramente, la curva de respuesta en este caso muestra una marcada mejora con respecto a la curva de respuesta original que se muestra en la figura 5-46 (b).

Control proporcional-Derivativo de sistemas de segundo orden. Se puede lograr un compromiso entre el comportamiento aceptable de respuesta transitoria y el comportamiento aceptable del estado estacionario mediante el uso de una acción de control proporcional-derivativo. Considere el sistema que se muestra en la Figura 5-48.

La función de transferencia de bucle cerrado es:

El error de estado estable para una entrada de rampa unitaria es:

La ecuación característica es:

El coeficiente de amortiguación efectivo de este sistema es, por lo tanto, B + Kd en lugar de B. Dado que la relación de amortiguación ζ de este sistema es:

es posible hacer el error de estado estacionario Ess pequeño, para una entrada de rampa y el sobrepaso máximo para una entrada escalón unitario, haciendo B pequeño, Kp grande y Kd lo suficientemente grande para que ζ está entre 0.4 y 0.7.

ANTERIOR: PID -Acciones básicas de sistemas de control.

Fuentes:

  1. Control PID Avanzado
  2. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t p 294

 

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PID – Acciones Básicas de Sistemas de Control

ANTERIOR: Error en estado estable de un sistema de control

SIGUIENTE: PID – Efecto de las acciones de control Integral y Derivativo

Introducción

Un controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la entrada de referencia (el valor deseado), determina la desviación y produce una señal de control que reducirá la desviación a cero o a un valor pequeño. La manera en la cual el controlador automático produce la señal de control se denomina acción de control.

Clasificación de los controladores industriales.

De acuerdo con sus acciones de control, los controladores industriales se clasifican en:

  1. De dos posiciones o de encendido y apagado (On/Off)
  2. Proporcionales
  3. Integrales
  4. Proporcionales-Integrales
  5. Proporcionales-Derivativos
  6. Proporcionales-Integrales-Derivativos

Casi todos los controladores industriales emplean como fuente de energía la electricidad o un fluido presurizado, tal como el aceite o el aire. Los controladores también pueden clasificarse, de acuerdo con el tipo de energía que utilizan en su operación, como neumáticos, hidráulicos o electrónicos. El tipo de controlador que se use debe decidirse con base en la naturaleza de la planta y las condiciones operacionales, incluyendo consideraciones tales como seguridad, costo, disponibilidad, confiabilidad, precisión, peso y tamaño.

La Figura 5-1 muestra la configuración típica de un Sistema de Control Industrial:

La figura anterior consiste en un Diagrama de Bloques para un sistema de control industrial compuesto por un controlador automático, un actuador, una planta y un sensor (elemento de medición). El controlador detecta la señal de error, que por lo general, está en un nivel de potencia muy bajo, y la amplifica a un nivel lo suficientemente alto. La salida de un controlador automático alimenta a un actuador que puede ser una válvula neumática o un motor eléctrico. El actuador es un dispositivo de potencia que produce la entrada para La planta de acuerdo con la señal de control, a fin de que la señal de salida se aproxime a la señal de entrada de referencia. El sensor, o elemento de medición, es un dispositivo que convierte la variable de salida, tal como un desplazamiento, en otra variable manejable, tal como un voltaje, que pueda usarse para comparar la salida con la señal de entrada de referencia. Este elemento está en la trayectoria de realimentación del sistema en lazo cerrado. El punto de ajuste del controlador debe convertirse en una entrada de referencia con las mismas unidades que la señal de realimentación del sensor o del elemento de medición.

Acción de control de dos posiciones o de encendido y apagado (on/off).

En un sistema de control de dos posiciones, el elemento de actuación sólo tiene dos posiciones fijas que, en muchos casos, son simplemente encendido y apagado. El control de dos posiciones o de encendido y apagado es relativamente simple y barato, razón por la cual su uso es extendido en sistemas de control tanto industriales como domésticos.

Supongamos que la señal de salida del controlador es u(t) y que la señal de error es e(t). En el control de dos posiciones, la señal u(t) permanece en un valor ya sea máximo o mínimo, dependiendo de si la señal de error es positiva o negativa. De este modo,

donde U1 y U2 son constantes. Por lo general, el valor mínimo de U2 es cero ó –U1.

Es común que los controladores de dos posiciones sean dispositivos eléctricos, en cuyo caso se usa extensamente una válvula eléctrica operada por solenoides. Los controladores neumáticos proporcionales con ganancias muy altas funcionan como controladores de dos posiciones y, en ocasiones, se denominan controladores neumáticos de dos posiciones.

Las figuras 5-3(a) y (b) muestran los diagramas de bloques para dos controladores de dos posiciones. El rango en el que debe moverse la señal de error antes de que ocurra la conmutación se denomina brecha diferencial. En la figura 5-3(b) se señala una brecha diferencial. Tal brecha provoca que la salida del controlador u(t) conserve su valor presente hasta que la señal de error se haya desplazado ligeramente más allá de cero. En algunos casos, la brecha diferencial es el resultado de una fricción no intencionada y de un movimiento perdido; sin embargo, con frecuencia se provoca de manera intencional para evitar una operación demasiado frecuente del mecanismo de encendido y apagado.

Acción de control proporcional.

Para un controlador con acción de control proporcional, la relación entre la salida del controlador u(t) y la señal de error e(t) es:

o bien, en cantidades transformadas por el método de Laplace:

donde Kp se considera la ganancia proporcional.

Cualquiera que sea el mecanismo real y la forma de la potencia de operación, el controlador proporcional es, en esencia, un amplificador con una ganancia ajustable. En la figura 5-6 se presenta un diagrama de bloques de tal controlador.

Acción de control integral.

En un controlador con acción de control integral, el valor de la salida del controlador u(t) se cambia a una razón proporcional a la señal de error e(t). Es decir,

o bien:

en donde Ki es una constante ajustable. La función de transferencia del controlador integral es:

Si se duplica el valor de e(t), el valor de u(t) varía dos veces más rápido. Para un error de cero, el valor de u(t) permanece estacionario. En ocasiones, la acción de control integral se denomina control de reajuste (reset). La figura 5-7 muestra un diagrama de bloques de tal controlador.

Acción de control integral-proporcional.

La acción de control de un controlador proporcional-integral (PI) se define mediante:

null

o la función de transferencia del controlador, la cual es:

null

en donde Kp es la ganancia proporcional y Ti se denomina tiempo integral. Tanto Kp como Ti son ajustables. El tiempo integral ajusta la acción de control integral, mientras que un cambio en el valor de Kp afecta las partes integral y proporcional de la acción de control.

El inverso del tiempo integral Ti se denomina velocidad de reajuste. La velocidad de reajuste es la cantidad de veces por minuto que se duplica la parte proporcional de la acción de control. La velocidad de reajuste se mide en términos de las repeticiones por minuto. La Figura 5-8(a) muestra un diagrama de bloques de un controlador proporcional más integral. Si la señal de error e(t) es una función escalón unitario, como se aprecia en la Figura 5-8(b), la salida del controlador u(t) se convierte en lo que se muestra en la figura 5-8(c).

null

null

null

Acción de control proporcional-derivativa.

La acción de control de un controlador proporcional-derivativa (PD) se define mediante:

null

la función de transferencia es:

null

en donde Kp es la ganancia proporcional y Td es una constante denominada tiempo derivativo. Tanto Kp como Td son ajustables. La acción de control derivativa, en ocasiones denominada control de velocidad, ocurre donde la magnitud de la salida del controlador es proporcional a la velocidad de cambio de la señal de error. El tiempo derivativo Td es el intervalo de tiempo durante el cual la acción de la velocidad hace avanzar el efecto de la acción de control proporcional.

La Figura 5-9(a) muestra un diagrama de bloques de un controlador PD. Si la señal de error e(t) es una función rampa unitaria como se aprecia en la Figura 5-9(b), la salida del controlador u(t) se convierte en la que se muestra en la figura 5-9(c). La acción de control derivativa tiene un carácter de previsión. Sin embargo, es obvio que una acción de control derivativa nunca prevé una acción que nunca ha ocurrido.

null

null

null

Aunque la acción de control derivativa tiene la ventaja de ser de previsión, tiene las desventajas de que amplifica las señales de ruido y puede provocar un efecto de saturación en el actuador. Observe que la acción de control derivativa no se usa nunca sola, debido a que sólo es eficaz durante periodos transitorios.

Acción de control proporcional-Integral-derivativa (PID)

La combinación de una acción de control proporcional, una acción de control integral y una acción de control derivativa se denomina acción de control proporcional-integral-derivativa (PID). 

Esta acción combinada tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante:

null

la función de transferencia es:

null

en donde Kp es la ganancia proporcional, Ti es el tiempo integral y Td es el tiempo derivativo. El diagrama de bloques de un controlador PID aparece en la figura 5-10(a). Si e(t) es una función rampa unitaria, como la que se observa en la figura 5-10(b), la salida del controlador u(t) se convierte en la de la figura 5-10(c).

null

nullnull

 

Efectos del sensor sobre el desempeño del sistema.

Dado que las características dinámica y estática del sensor o del elemento de medición afecta la indicación del valor real de la variable de salida, el sensor cumple una función importante para determinar el desempeño general del sistema de control. Por lo general, el sensor determina la función de transferencia en la trayectoria de realimentación. Si las constantes de tiempo de un sensor son insignificantes en comparación con otras constantes de tiempo del sistema de control, la función de transferencia del sensor simplemente se convierte en una constante. Las figuras 5-11(a), (b) y (c) muestran diagramas de bloques de controladores automáticos con un sensor de primer orden, un sensor de segundo orden sobreamortiguado y un sensor de segundo orden subamortiguado, respectivamente. Con frecuencia la respuesta de un sensor térmico es del tipo de segundo orden sobreamortiguado.

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null

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Fuente:

  1. Ingenieria de Control Moderna, 3° ED. – Katsuhiko Ogata, pp 211-232

 

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Error en estado estable de un sistema de control

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SIGUIENTE: PID – Acciones básicas de sistemas de control

Introducción

Los errores en un sistema de control se pueden atribuir a muchos factores. Cambios en la referencia de entrada causarán errores inevitables durante los períodos transitorios y también pueden causar errores de estado estacionario. Las imperfecciones en los componentes del sistema, como la fricción estática, el envejecimiento o el deterioro, provocarán errores en el estado estable. En esta sección, sin embargo, no discutiremos los errores debidos a imperfecciones en los componentes del sistema. Más bien, investigaremos un tipo de error de estado estacionario que es causado por la incapacidad de un sistema para seguir tipos particulares de entradas.

El Error en Estado Estable es la diferencia entre la entrada y la salida para una entrada de prueba prescrita cuando el tiempo tiende a infinito. Las entradas de prueba comúnmente utilizadas para el análisis y diseño de errores en estado estable se resumen en la Tabla 7.1.

Para explicar cómo se utilizan estas señales de prueba, supongamos un sistema de control de posición, donde la posición de salida sigue a la posición de entrada de comando.

Escalón Unitario. Las entradas de escalón unitario representan una posición constante y, por lo tanto, son útiles para determinar la capacidad del sistema de control para posicionarse con respecto a un objetivo estacionario. Un control de posición para una antena es un ejemplo de un sistema que se puede probar con precisión mediante entradas escalonadas.

Rampa. Las entradas de rampa representan entradas de velocidad constante a un sistema de control de posición, con una amplitud que aumenta linealmente. Estas formas de onda se pueden utilizar para probar la capacidad de un sistema para seguir una entrada (una posición) que aumenta linealmente o, de manera equivalente, para rastrear un objetivo de velocidad constante. Por ejemplo, un sistema de control de posición que rastrea un satélite que se mueve a través del cielo a una velocidad angular constante.

Parábola. Las entradas parabólicas, cuyas segundas derivadas son constantes, representan entradas de aceleración constantes para los sistemas de control de posición y se pueden usar para representar objetivos acelerados, como un misil.

Cualquier sistema de control físico sufre inherentemente un error de estado estable en respuesta a ciertos tipos de entradas. Un sistema puede no tener un error de estado estable en una entrada escalón, pero el mismo sistema puede presentar un error de estado estable distinto de cero en una entrada rampa. (La única forma en que podemos eliminar este error es modificar la estructura del sistema.) El que un sistema determinado muestre un error de estado estable para un tipo dado de entrada depende del tipo de función de transferencia de bucle abierto del sistema.

Definición del error en estado estable en función de la configuración del sistema.

Los errores en estado estable de sistemas de control lineales dependen del tipo de la señal de referencia y del tipo de sistema. Antes de emprender el error en estado estable, se debe clarificar cuál es el significado del error del sistema.

El error se puede ver como una señal que rápidamente debe ser reducida a cero, si esto es posible. Consideremos el sistema de la Figura 7-5:

Donde r(t) es la señal de entrada, u(t) es la señal actuante, b(t) es la señal de realimentación y y(t) es la señal de salida. El error e(t) del sistema se puede definir como:

Debemos recordar que r(t) y y(t) no tienen necesariamente las mismas dimensiones. En cambio, cuando el sistema tiene realimentación unitaria, H(s)=1, la entrada r(t) es la señal de referencia y el error es simplemente:

Es decir, el error es la señal actuante , u(t) . Cuando H(s) no es igual a 1, u(t) puede o no ser el error, en función de la forma y propósito de H(s). Por tanto, se debe definir la señal de referencia cuando H(s) no es igual a 1.

El error en estado estable se define como:

Para establecer un estudio sistemático del error en estado estable para sistemas lineales, Clasificaremos los sistemas de control como sigue:

1. Sistemas de realimentación unitaria,

2. Sistemas de realimentación no unitaria.

Error en Estado Estable para Sistemas con Realimentación Unitaria

Considere el sistema de la Figura 5-49

La Función de Transferencia para el lazo cerrado de la figura anterior es:

La Función de Transferencia entre la señal de error e(t) y la señal de entrada r(t) es:

Donde el error e (t) es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de salida. El teorema del valor final proporciona una forma conveniente de encontrar el error en estado estable de un sistema:

El error en estado estable es:

Esta última ecuación nos permite calcular el error de estado estable Ess, dada la entrada R(s) y la función de transferencia directa G (s). Luego sustituimos varias entradas por R(s) y entonces sacamos conclusiones sobre la relación que existe entre el sistema de bucle abierto G (s) y la naturaleza del error de estado estable Ess.

  • Entrada Escalón Unitario: Utilizando R(s) =1/s, obtenemos los siguiente:

Donde:

Es la ganancia de la función de transferencia directa. Para tener un error en estado estable igual a cero debemos lograr que:

Para satisfacer esta condición, G(s) debe tener la siguiente forma:

Y para que el límite sea infinito, el denominador debe ser igual a cero, cuando S tiende a cero. Entonces n debe ser n> = 1, es decir, al menos un polo debe estar en el origen, lo que equivale a decir que al menos una integración pura debe estar presente en la ruta directa. La respuesta de estado estacionario para este caso de error de estado estable igual a cero es similar a la mostrada en la Figura 7-2a, output 1.

Si no hay integradores entonces n = 0, y se produce un error constante. Este es el caso que se muestra en la Figura 7-2a, output 2.

En resumen, para una entrada escalón unitario a un sistema de retroalimentación unitaria, el error de estado estacionario será cero si hay al menos una integración pura en la función de transferencia directa.

  • Entrada Función Rampa. Utilizamos R(s) =1/Sˆ2, y obtenemos:

Para obtener un error en estado estable para una entrada rampa al sistema de realimentación unitaria, se debe cumplir que:

Para satisfacer esta condición, G (s) debe tomar la forma donde n> = 2. En otras palabras, debe haber al menos dos integraciones en la ruta directa. En la Figura 7.2b, salida 1, se muestra un ejemplo de un error de estado estable para esta entrada en rampa:

Si existe un solo integrador en la ruta directa, entonces lim sG (s) es finita en vez de infinito y esto conduce a un error constante, como se muestra en la figura 7.2b, salida 2. Si solo hay un integrador en la ruta de reenvío, lim sG (s) = 0, y el error de estado estacionario será infinito y dará lugar a una rampa divergente, como se muestra en la figura 7.2b, salida 3.

  • Entrada Función Parábola. Utilizamos R(s) =1/Sˆ3, y obtenemos:

Para obtener cero error en estado estable a una entrada parabólica en un sistema de realimentación unitaria, se debe cumplir que:

Para satisfacer esta condición, n debe ser n> = 3. En otras palabras, debe haber al menos tres integraciones en la ruta de acceso. Si solo hay dos integradores en la ruta de reenvío, entonces lim s2G (s) es finita en vez de infinito y esto lleva a un error constante. Si hay uno o cero integradores en la ruta de avance, e (∞) es infinito.

Clasificación de sistemas de control (tipos de sistema) y constantes de error.

Tipo de sistema. El sistema de control se puede clasificar de acuerdo con su capacidad para seguir entradas escalonadas, entradas de rampa o entradas parabólicas, y así sucesivamente. Este es un esquema de clasificación razonable porque la mayoría de las entradas reales se pueden considerar como una combinación de tales entradas. Considere el sistema de control de retroalimentación unitaria con la siguiente función G (s) de transferencia de bucle abierto:

Implica el término elevado a la N en el denominador, que representa un polo de multiplicidad N en el origen. Un sistema se llama tipo 0, tipo 1, tipo 2, … si N = 0, 1, 2 … respectivamente. A medida que el tipo aumenta, la precisión mejora. Sin embargo, esto agrava el problema de estabilidad. Si G (s) se escribe para que cada término en el numerador y el denominador, excepto el término S elevado a la N, se acerque a la unidad cuando s se acerca a cero, entonces la ganancia de bucle abierto K está directamente relacionada con el error de estado estacionario.

Constante de error estático. Las constantes de error estático definidas a continuación son figuras de mérito de los sistemas de control. Cuanto más altas sean las constantes, menor será el error de estado estacionario.

  • La Constante de Error de Posición Kp (error escalón). El error en estado estable de un sistema para una entrada escalón unitario es:

La Constante de Error de Posición Kp está definida por:

Por lo tanto, el error de estado estacionario definido en términos de la constante de error escalón Kp es:

Para el sistema tipo cero:

Para un sistema tipo 1 o mayor:

  • La Constante de Error de Velocidad Kv (error rampa). El error en estado estable de un sistema para una entrada rampa unitaria es:

La Constante de Error de Velocidad Kv está definida por:

Por lo tanto, el error de estado estacionario definido en términos de la constante de error rampa Kv es:

Para el sistema tipo cero:

Para un sistema tipo 1:

Para un sistema tipo 2 o mayor:

  • La Constante de Error de Aceleración Ka (error parabólico). El error en estado estable de un sistema para una entrada parábola unitaria es:

La Constante de Error de Aceleración Ka está definida por:

Por lo tanto, el error de estado estacionario definido en términos de la constante de error aceleración Ka es:

Para el sistema tipo cero:

Para el sistema tipo 1:

Para el sistema tipo 2:

Para el sistema tipo 3 o mayor:

La Tabla 7.2 vincula los conceptos de error de estado estacionario, constantes de error estático y tipo de sistema. La tabla muestra las constantes de error estático y el error de estado estable como funciones de la forma de onda de entrada y el tipo de sistema.

Error de estado estable para sistemas de realimentación no unitarios.

Los sistemas de control a menudo no tienen retroalimentación unitaria debido a la compensación utilizada para mejorar el rendimiento o debido al modelo físico del sistema. En estos casos, la forma práctica de analizar el error en estado estable es tomar el sistema y transformarlo en otro sistema con realimentación unitaria al agregar y restar rutas de realimentación unitaria como se muestra en la Figura 7.15

 

Donde G(s)=G1(s)G2(s) y H(s)=H1(s)/G1(s). Tenga en cuenta que estos pasos requieren que las señales de entrada y salida tengan las mismas unidades.

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Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise pp 340, 353
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo pp 390, 395
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t pp 301,305

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. 00593998524011

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Atención:

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab. En el link encontrará la descripción del servicio y su costo.

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Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Estabilidad de un sistema de control

Estabilidad de un sistema de control

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Introducción

El problema más resaltante de un sistema de control lineal es el relativo a su estabilidad. Estabilidad es la especificación más importante que debe cumplirse entre los requerimientos a la hora de diseñar un sistema de control. Sin estabilidad, las otras dos especificaciones, respuesta transitoria y error en estado estable, son irrelevantes.

Entonces, las preguntas más urgentes a la hora de diseñar un sistema de control son las siguientes: ¿Bajo qué condiciones un sistema se vuelve inestable?. ¿Si el sistema es inestable, que debemos hacer para estabilizar dicho sistema?

La respuesta total de un sistema es la suma de la respuesta natural y la respuesta forzada, tal como lo señala la siguiente relación:

Usando este concepto presentamos la siguiente definición para estabilidad, inestabilidad y estabilidad crítica o marginal:

  • Un sistema lineal e invariante en el tiempo es estable si su respuesta natural tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito.
  • Un sistema lineal e invariante en el tiempo es inestable si su respuesta natural crece ilimitadamente cuando el tiempo tiende a infinito.
  • Un sistema lineal e invariante en el tiempo es críticamente estable si su respuesta natural no decae ni crece y tiende a permanecer constante cuando el tiempo tiende a infinito.

Esta definición de estabilidad implica por lo tanto que sólo la respuesta forzada permanece a medida que la respuesta natural tiende a cero. Una definición alternativa para estabilidad considera la respuesta total del sistema y la primera definición basada en la respuesta natural:

  • Un sistema es estable si genera una salida acotada como respuesta a una entrada acotada. Llamamos a ésta definición BIBO de estabilidad, por su siglas en inglés (bounded-input, bounded-output).

Ahora podemos entender que si una entrada acotada produce una salida no acotada, el sistema es inestable. Por otra parte, si la entrada no es acotada con seguridad veremos una salida no acotada pero no podremos llegar a ninguna conclusión respecto a la estabilidad del sistema.

Físicamente hablando, un sistema inestable cuya salida crece ilimitadamente puede causar daño al mismo sistema o a sistemas adyacentes, incluso puede atentar contra la vida humana (imagine el caso de un ascensor cuyo sistema de control se vuelve inestable). Por ello muchos sistemas se diseñan habilitando al mismo tiempo una parada de emergencia que podría ser sencillamente un interruptor de suministro de energía eléctrica (breaker).

La retroalimentación negativa en la mayoría de los sistemas de ingeniería tiende a mejorar la estabilidad. Piense en los efectos beneficiosos de la retroalimentación en los sistemas electrónicos. Del estudio de polos y zeros de la función de transferencia de un sistema de control podemos retomar el hecho de que los polos ubicados en el lado izquierdo del plano complejo producen respuestas naturales en forma de exponenciales decrecientes puras o sinusoides amortiguadas. Estas respuestas naturales tienden a cero a medida que el tiempo tiende a infinito. Por lo tanto, los polos de sistemas de lazo cerrado ubicados en a la izquierda del plano complejo tienen una parte real negativa y producen estabilidad en el sistema, es decir:

  • Los sistemas de lazo cerrado son estables si su función de transferencia tiene sólo polos ubicados a la izquierda del plano complejo (lhp – left half-plane).

Los polos de dichas funciones de transferencia ubicados en el lado derecho del plano complejo producen exponenciales crecientes puras o sinusoides que crecen exponencialmente, cuando el tiempo tiende a infinito. Por lo tanto:

  • Los sistemas de lazo cerrado son inestables si su función de transferencia posee al menos un polo ubicado en el lado derecho del plano complejo o al menos un polo de multiplicidad mayor a 1 en el eje imaginario (rhp – right half-plane).

Finalmente, un sistema que tiene polos en el eje imaginario de multiplicidad igual a 1 produce oscilaciones sinusoidales que no crecen ni decrecen en amplitud. Por lo tanto:

  • Los sistemas de lazo cerrado son críticamente o marginalmente inestables si su función de transferencia posee sólo polos de multiplicidad igual a uno en el eje imaginario y polos en el lado izquierdo del plano complejo.

La Figura 6.1a muestra la respuesta a la entrada escalón unitario de un sistema estable, mientras la Figura 6.1b muestra un sistema inestable.

[1]

Criterio de estabilidad de Routh

El criterio de estabilidad de Routh nos dice si hay o no raíces en una ecuación polinomial que causen inestabilidad, sin explicarnos cómo resolver dicha inestabilidad. Este criterio sólo aplica para polinomios con un número finito de términos. Cuando el criterio es aplicado a sistemas de control, la información sobre la estabilidad absoluta de un sistema puede obtenerse directamente de los coeficientes de la ecuación característica.

El método consiste en la ejecución de dos pasos: 1) Generar la tabla datos denominada Tabla de Routh, 2) Interpretar los resultados de la Tabla de Routh para saber cuantos polos de la función de transferencia se encuentran en el semiplano izquierdo, cuantos en el semiplano derecho y cuántos en el eje imaginario. La gran utilidad del método se aprecia en el proceso de diseño más que en el análisis del sistema. Por ejemplo, si tenemos un parámetro desconocido en el denominador de la función de transferencia es difícil determinar por medio de una calculadora el rango de valor de un parámetro para garantizar estabilidad. Más adelante veremos que gracias al criterio Routh-Hurwitz podremos generar una expresión para el rango de estabilidad para dicho parámetro desconocido.

  • Generar la tabla de Routh. Consideremos la función de transferencia equivalente para el sistema de la Figura 6.3. Debido a que lo que nos interesa son los polos de la función de transferencia, nos enfocamos en el denominador de dicha función. Luego, creamos la tabla de Routh mostrada en la Tabla 6.1:

Comenzamos por etiquetar las filas con las s elevadas a la potencia, comenzando por el valor más alto de las potencias en el denominador de la función de transferencia, hasta llegar a cero. Luego, iniciamos la fila con el coeficiente de la potencia más alta del denominador y creamos una lista horizontal como se aprecia en la Tabla 6.1

En la segunda fila, lista horizontal, comenzamos con el coeficiente de la potencia siguiente y se completa con los coeficientes que faltaron en la fila anterior. Luego, las entradas restantes se rellenan como sigue:

Cada entrada es un determinante negativo de entradas en las dos filas anteriores dividido por la entrada en la primera columna directamente sobre la fila calculada. La columna de la izquierda del determinante es siempre la primera columna de las dos filas anteriores, y la columna de la derecha es los elementos de la columna de arriba y a la derecha.

La Figura 6.4 muestra un ejemplo en la construcción de la tabla de Routh:

La matriz completa de coeficientes es triangular. Tenga en cuenta que al desarrollar la matriz, una fila entera puede dividirse o multiplicarse por un número positivo para simplificar el cálculo numérico subsiguiente sin alterar la conclusión de estabilidad.

Considere la siguiente ecuación característica, ejemplo 5-13 del Ogata:

Las dos primeras filas se pueden obtener directamente del polinomio dado. El segundo está dividido por dos, pero llegamos a la misma conclusión.

  • Interpretar la tabla básica de Routh. En pocas palabras, el criterio de Routh-Hurwitz declara que el número de raíces del polinomio que están en el plano de la mitad derecha es igual al número de cambios de signo en la primera columna.

Si la función de transferencia de circuito cerrado tiene todos los polos en el plano de la izquierda, el sistema es estable. Por lo tanto, el sistema es estable si no hay cambios de signo en la primera columna de la Tabla de Routh.

El caso del ejemplo 5-13, es el de un sistema inestable. En ese ejemplo el número de cambio de signo de la primera columna es igual a dos. Esto significa que el sistema tiene dos polos con valores reales positivos. En la Tabla 6.3 también tenemos el caso de otro sistema inestable. Aquí, el primer cambio ocurre del 1 en la fila de s^2 , a -72 en la fila de s^1. El segundo cambio ocurre del -72 en la fila de s^1 hacia el 103 en la fila de s^0. Por lo tanto, el sistema tiene dos polos en el lado derecho del plano complejo.

El criterio de estabilidad de Routh tiene una utilidad limitada cuando se aplica al análisis del sistema de control porque no sugiere cómo mejorar la estabilidad relativa o cómo estabilizar un sistema inestable. Sin embargo, es posible determinar los efectos de cambiar uno o dos parámetros del sistema examinando los valores que causan inestabilidad. A continuación, consideramos el problema de determinar el rango de estabilidad de un valor de parámetro. Considere el sistema de la Figura 5-38. Vamos a determinar el rango de K para que el sistema sea estable.

La función característica de este sistema es:

Y la tabla de Routh luce así:

Para un sistema estable, K debe ser positivo al igual que todos los coeficientes de la primera columna. Por lo tanto:

Cuando K=14/9 el sistema se vuelve oscilatorio y, matemáticamente, la oscilación se mantiene con una amplitud constante.

Casos especiales del criterio Routh-Hurwitz.

Pueden ocurrir dos casos especiales: (1) La tabla de Routh a veces tendrá un cero solo en la primera columna de una fila, (2) La tabla de Routh a veces tendrá una fila completa que consta de ceros.

  • Cero sólo en la primera columna de una fila. Si el primer elemento de una fila es cero, se requerirá una división por cero para formar la siguiente fila. Para evitar este fenómeno, se asigna un epsilon ε para reemplazar el cero en la primera columna. Luego se aproxima el valor de ε a cero desde el lado positivo o el negativo,y así se pueden determinar los signos de las entradas en la primera columna. Para ver la aplicación de esto, veamos el siguiente ejemplo: determinar la estabilidad de la función de transferencia de bucle cerrado T(s):

null

La solución se muestra en la tabla 6.4:

null

Debemos comenzar por ensamblar la tabla de Routh hasta la fila donde aparece un cero solo en la primera columna (la fila s ^ 3). Luego, reemplazamos el cero por un número pequeño ε que permita completar la tabla. Para comenzar la interpretación, primero debemos asumir un signo, positivo o negativo para la cantidad ε. La Tabla 6.5 muestra la primera columna de la tabla 6.4 junto con los signos resultantes para las elecciones de ε positivo y ε negativo.

null

Si se elige ε positivo, la Tabla 6.5 muestra un cambio de signo de la fila s ^ 3 a la fila s ^ 2, y habrá otro cambio de signo de la fila s ^ 2 a la fila s ^ 1. Por lo tanto, el sistema es inestable y tiene dos polos en el semiplano derecho. Alternativamente, podríamos elegir ε negativo. La Tabla 6.5 muestra un cambio de signo de la fila s ^ 4 a la fila s ^ 3. Otro cambio de signo ocurriría desde la fila s ^ 3 a la fila s ^ 2. Nuestro resultado sería exactamente el mismo que para una elección positiva para. Por lo tanto, el sistema es inestable.

  • Una fila entera está compuesta por cerosAhora miramos el segundo caso especial. A veces, al hacer una tabla de Routh, podemos encontrar que una fila entera consta de ceros porque hay un polinomio uniforme que es un factor del polinomio original. Este caso debe manejarse de manera diferente al caso anterior. El siguiente ejemplo muestra cómo construir e interpretar la tabla de Routh cuando hay una fila completa de ceros.

Determine el número de polos del semiplano derecho en la función de transferencia de bucle cerrado T (s):

null

Comenzamos formando la tabla de Routh para el denominador. Obtenemos la Tabla 6.7:

null

En el segundo multiplicamos por 1/7 por conveniencia. Nos detenemos en la tercera fila ya que toda la fila consta de ceros y usamos el siguiente procedimiento. Primero volvemos a la fila inmediatamente superior a la fila de ceros y formamos un polinomio auxiliar usando las entradas en esa fila como coeficientes. El polinomio comenzará con la potencia de s en la columna de la etiqueta y continuará omitiendo cualquier otra potencia de s. Por lo tanto, el polinomio formado para este ejemplo es:

null

A continuación, diferenciamos el polinomio con respecto a s y obtenemos:

null

Finalmente usamos los coeficientes de esta última ecuación para reemplazar la fila de ceros. De nuevo, por conveniencia, la tercera fila se multiplica por ¼ después de reemplazar los ceros. El resto de la tabla se forma de manera directa siguiendo la forma estándar que se muestra en la Tabla 6.2 que repetimos aquí por comodidad:

Obtenemos la Tabla 6.7 ya mostrada con anterioridad. Muestra que todas las entradas en la primera columna son positivas. Por lo tanto, no hay polos del semiplano derecho y el sistema es estable.

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SIGUIENTE: Error en estado estable de un sistema de control

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise pp 301,
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo pp
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t pp 288,

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. 00593998524011

WhatsApp: +593998524011

email: dademuchconnection@gmail.com

Atención:

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab. En el link encontrará la descripción del servicio y su costo.

Relacionado:

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

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