Análisis de sistemas de control, Ingeniería Eléctrica, Lugar geométrico de las raíces

Diseño de la Respuesta Transitoria de un sistema de control vía LGR – Compensación en Cascada

En este artículo, se analizan la Compensación PD y la Compensación Lead, dos formas de mejorar la respuesta transitoria de un Sistema de control con realimentación, mediante el uso del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) y de la compensación en cascada. Por lo general el objetivo consiste en diseñar un respuesta que tenga un porcentaje de sobrepaso deseable y un tiempo de establecimiento más corto que el que tiene el sistema antes de la compensación.

Mejorar el desempeño de la Respuesta Transitoria

Hemos visto antes que, al establecer la ganancia en un valor particular en el lugar geométrico de las raíces, se determina una respuesta transitoria específica, dictada por los polos en ese punto del lugar geométrico. Esto quiere decir que al diseñar una respuesta transitoria estamos limitados a aquellas respuestas que existen a lo largo del lugar geométrico de las raíces. (Ver El lugar geométrico de las raíces con Matlab).

Desafortunadamente, la mayor parte del tiempo los requerimientos de diseño y, en especial, las especificaciones de sobrepaso y tiempo de repuesta para el diseño de sistemas de control, excede las posibilidades del LGR actual. ¿Qué podemos hacer entonces?

En lugar de cambiar el sistema existente, aumentamos o compensamos el sistema con polos y ceros adicionales, de modo que el sistema compensado tenga un LGR que pase por la ubicación deseada del polo para obtener algún valor de ganancia. Una de las ventajas de compensar un sistema de esta manera es que se pueden agregar polos y ceros adicionales en el extremo de baja potencia del sistema, justo antes de la planta. Debemos evaluar la respuesta transitoria a través de la simulación una vez que el diseño esté completo para asegurarnos de que se cumplan los requerimientos exigidos.

Principalmente, existen dos configuraciones de compensación utilizadas en el diseño de sistemas de control: compensación en cascada y compensación por retroalimentación. Estos métodos se modelan en la Figura 1 y la Figura 2:

Figura 1. Compensación en cascada de un sistema de control.

Con la compensación en cascada, la red de compensación, G1(s), se coloca en la zona de baja potencia, justo delante y en cascada con la planta G3(s), o delante del controlador original G2(s) de la planta, como se puede ver en la Figura 1.

Figura 2. Compensación en realimentación de un sistema de control.

Con la compensación de realimentación (feedback compensator), el compensador, H1(s), se coloca en la ruta de realimentación, Figura 2.

Ambos métodos cambian los polos y ceros a lazo abierto, creando así un nuevo LGR a lazo cerrado, que atraviesa la ubicación requerida por las especificaciones de diseño.

La primera técnica que presentada será la compensación derivativa ideal. Se agrega un diferenciador puro a la trayectoria directa del sistema de control con retroalimentación.

Compensación en Cascada - Controlador PD 

Como se señalaba anteriormente, ante la inconveniencia de cambiar la estructura física de la planta, y con el fin de cumplir con los requerimientos de diseño de un sistema de control, frecuentemente es necesario agregar polos y zeros a la función de transferencia directa de dicho sistema con el fin de obtener un Lugar Geométrico de las Raíces donde podamos seleccionar una ganancia que permita al sistema cumplir con las exigencias de diseño. Una manera de acelerar el sistema, que generalmente funciona de manera aceptable, es agregar un Zero en el camino de transferencia directa, justo antes de la planta y su controlador original.

Este Zero está representado por un compensador en cascada cuya función de transferencia Gc(s) es:


Esta función, la suma de un diferenciador s y una ganancia pura Zc, es llamada compensación derivativa ideal  (ideal derivative compensation), o controlador PD (Proportional-Derivative). En resumen, una respuesta transitoria que no puede ser alcanzada con un simple ajuste de ganancia (controlador proporcional) puede ser obtenida aumentando la cantidad de zeros del sistema mediante un Controlador PD.

Vamos a utilizar el LGR de la Figura 3 para descubrir como trabaja un Controlador PD. En dicha figura tenemos un LGR para un sistema de control cuya función de transferencia directa G(s) con realimentación unitaria, está dada por:

Si consideramos a K=1, los comandos para trabajar en Matlab serían:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> rlocus(G);

Figura 3. Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) para G(s)

Suponga que queremos operar el sistema de la Figura 3 con un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4. La Figura 4 muestra que podemos lograr ese coeficiente de amortiguamiento con un simple ajuste de ganancia, para lo cual podemos utilizar un compensador proporcional que establezca una ganancia K=23.7:

>> z=0.4;
>> sgrid(z,0);

Utilizamos click derecho para seleccionar el factor de amortiguamiento deseado:

Figura 4. Localización en el LGR de ξ=0.4 a una ganancia K=23.7 

La Figura 5 nos muestra la respuesta al escalón unitario del sistema de control a lazo cerrado utilizando un controlador proporcional con una ganancia Kp=23.7, con lo que alcanzamos un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4 en el LGR del sistemaSe muestra además el valor de los parámetros más importantes de una respuesta transitoria:

>> G1=23.7/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> sys1=feedback(G1,1);
>> step(sys1);
>> stepinfo(sys1)

Figura 5. Respuesta al escalón unitario del sistema a lazo cerrado, antes de la compensación.

Suponga ahora que queremos mantener el factor de amortiguamiento en el valor ξ=0.4, pero debemos mejorar el tiempo de alzamiento (rise time) y el tiempo de establecimiento (settling time). Es decir, queremos que el sistema sea más rápido. Esa tarea sería imposible utilizando sólo un controlador proporcional porque estamos limitados por el LGR del sistema según consta en las Figuras 3 y 4.

El sistema sin compensar, de la Figura 3, podría transformarse en un sistema compensado mediante la suma de un zero en s= -2. En la Figura 6 vemos como se transforma el LGR, utilizando un compensador en cascada (cascade compensator) cuya función de transferencia Gc(s) es:

>> G2=((s+2))/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> rlocus(G2);

Figura 6. LGR para el sistema compensado.

La Figura 7 nos muestra una vez más que podemos obtener un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4. estableciendo una ganancia de K=51.2:

>> z=0.4;
>> sgrid(z,0);

Utilizamos click derecho para seleccionar el factor de amortiguamiento deseado::

Figura 7. Localización en el LGR de ξ=0.4

La Figura 8 ilustra la respuesta al escalón unitario del sistema de control a lazo cerrado que utiliza el controlador PD de función de transferencia Gc(s), en cascada con un controlador proporcional de ganancia Kp=51.2, con el fin de lograr un ξ=0.4. Se muestra además los parámetros de la respuesta transitoria obtenida:

>> G3=(51.2*(s+2))/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> sys2=feedback(G3,1);
>> step(sys2);
>> stepinfo(sys2)

Figur8 8. Respuesta al escalón unitario del sistema compensado a lazo cerrado. 

Manteniendo un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4, hemos mejorado el Tiempo de Levantamiento  (de 0.6841 s a 0.1955 s) y el Tiempo de Establecimiento  (de 3.7471 s a 1.1218 s). Sin embargo, lo hemos logrado a costa de un mayor Sobrepaso (de 23.3070 a 25.3568) y a costa de un pico más alto (de 0.8672 a 1.1420).

La Figura 9 compara las respuestas antes y después de la compensación PD:

>>step(sys1, sys2)

Figura 9. Respuesta al escalón unitario del sistema antes y después de la compensación.

La Figura 9 muestra también que el valor final del sistema compensado está más cerca del valor de referencia (1), por lo tanto el error en estado estable también ha mejorado después de la compensación PD (de 0.297 a 0.088). Sin embargo, los lectores no deben asumir que, en general, la mejora en la respuesta transitoria siempre produce una mejora en el error de estado estable.

Ahora que hemos visto lo que la compensación PD puede hacer, estamos preparados para diseñar nuestro propio compensador PD para cumplir con especificaciones específicas de diseño para la respuesta transitoria.

1) Dado el sistema de la Figura 10, diseñar un controlador PD que genere un 16% de sobrepaso, y una reducción considerable del tiempo de establecimiento.

Figure 10.

En construcción…

Pero, cómo implementamos una compensación PD?

La compensación PD utilizada hasta ahora para mejorar la respuesta transitoria de un sistema de control, es implementada por un controlador PD (proportional-plus-derivative controller). En la Figura 11 se muestra una manera de implementar la compensación PD. La función de transferencia del controlador PD de la Figura 11 es:

Figure 11. Implementación del controlador PD.

Lead Compensation

Un compensador PD activo puede aproximarse con un compensador pasivo. Cuando se usan redes pasivas, un solo cero no puede ser producido. Más bien, se utiliza un compensador con un cero y un  polo. Sin embargo, si el polo está más lejos del eje imaginario que el cero, la contribución angular del compensador sigue siendo positivo y, por lo tanto, se aproxima a un solo cero equivalente al producido por un PD.

Es decir, la contribución angular del polo compensador se resta de la contribución angular del cero, pero no excluye el uso del compensador para mejorar la respuesta transitoria, ya que la contribución angular neta es positiva, al igual que para una
controlador PD de un solo cero.

Las ventajas de una red pasiva sobre un controlador de PD activo son (1) que no se requieren fuentes de alimentación adicionales y (2) que el ruido debido a la diferenciación es reducido.

En construcción…

Fuente:

  1. Control Systems Engineering, Nise

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Análisis fasorial de sistemas eléctricos de corriente alterna (CA) – Nodos y Mallas

En este artículo vamos a transformar circuitos eléctricos típicos al dominio fasorial (frecuencia) y vamos a resolver problemas utilizando las técnicas de Kirchhoff  (Análisis de Mallas y Nodos).

Análisis de Mallas (Análisis de Lazo)

Recordando La Ley de Voltaje de Kirchhoff (LVK), la misma establece que la suma algebraica de las elevaciones y caídas de potencial alrededor de un lazo (o trayectoria) cerrado es cero. Un lazo cerrado es cualquier trayectoria continua que sale de un punto en una dirección y regresa al mismo punto desde otra dirección sin abandonar el circuito. En forma simbólica:

De manera alternativa, la LVK establece que el voltaje aplicado de un circuito en serie equivale a la suma de las caídas de voltaje en los elementos en serie.

La LVK es la base del análisis de malla.

  1. Determine la corriente Io en el circuito de la Figura 1.
Figura 1.

Claramente tenemos tres mallas. Aplicamos LVK de la siguiente manera:

Malla 1: se corresponde con aquella asignada con la corriente I1. Aplicando Kirchhoff a la malla 1 obtenemos la siguiente ecuación:

La corriente I1 atraviesa tres impedancias, mientras que I2 e I3 atraviesan solo una impedancia, desde el punto de vista de la malla 1.

De acuerdo con Kirchhoff, la caída de voltaje a través de las impedancias que atraviesa la corriente I1 se consideran de signo contrario a aquellas caídas de voltaje que atraviesan otras corriente en sentido contrario. Fíjese por ejemplo que en la impedancia –j2 la corriente I1 va hacia abajo, mientras que la corriente I2 va hacia arriba. Es por ello que la caída de voltaje determinada por el producto –j2* I1 tiene signo positivo en la ecuación (1) mientras que la caída de voltaje determinada por el producto –j2* I2 tiene signo negativo en la ecuación (1). Fíjese que si cambiamos los signos de la ecuación (1), la ecuación es igualmente válida:

Malla 2: se corresponde con aquella asignada con la corriente I2. El mismo criterio que para la malla 1 obtenemos la siguiente ecuación:

Malla 3: se corresponde con aquella asignada con la corriente I3. En este caso, la corriente I3 tiene un valor constante, lo que reduce el número de incógnitas que tenemos en el sistema. Es decir, si:

Entonces, sustituyendo en la ecuaciones (1) y (2), obtenemos que:

Simplificando:

Expresado en términos matriciales:

En vista de que nuestro problema consiste en determinar el valor para Io, y que según el diagrama de la Figura 1:

Resolvemos la ecuación (3). Primero hallamos el determinante de la matriz principal:

Luego resolvemos la ecuación (3) para I2:  

De esta manera:

Por tanto:

Análisis de Nodos 

La Ley de Corriente de Kirchhoff (LCK), establece que la suma algebraica de las corrientes que entran y salen de un área, sistema o unión, es cero.

De manera alternativa, la LCK establece que la suma de las corrientes que entran a un área, sistema o unión, debe ser igual a la suma de las corrientes que salen de dicha área, sistema o unión. En forma simbólica:

La LCK es la base del análisis de nodos.

2. Hallar Ix en el circuito de la Figura 2.

Figura 2.

 

Como primer paso debemos transformar los valores al dominio de la frecuencia:

Luego de la transformación, la Figura 3 muestra el circuito equivalente y los nodos que serán considerados para el análisis nodal:

Figura 3.

 

Nodo 1: se corresponde con aquel asignado con el voltaje V1. Aplicando la LCK al nodo 1 obtenemos la siguiente ecuación:

Es decir, las corrientes que entran a un nodo tienen el signo contrario al de las corrientes que salen.

Simplificando la ecuación anterior:

Nodo 2: se corresponde con aquel asignado con el voltaje V2. Aplicando la LCK al nodo 2 obtenemos la siguiente ecuación:

Sabemos además en el nodo 1 que:

                               

Sustituyendo esta última relación en la ecuación (5) obtenemos:

Simplificando, obtenemos que:

Con las ecuaciones (4) y (6) obtenemos la representación matricial del sistema:

Ya que el problema consiste en hallar Ix, podemos resolver la ecuación (7) para V1 como sigue:

Luego resolvemos la ecuación (7) para V1:

De esta manera:

Por tanto:

Fuentes:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta

 

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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Función de Transferencia, Ingeniería Eléctrica, Sistema Electromecánico

Función de transferencia del Motor DC y su carga

Hallar la función de transferencia del sistema formado por un Motor DC y su carga, como se muestra en la Figura 1:

Figura 1. Motor DC con su carga.

 

Dinámica del sistema

Considerando que:

La dinámica de este sistema es la siguiente:

Transformada de Laplace

Al aplicar la transformada de Laplace a este sistema de ecuaciones obtenemos:

Función de transferencia

La función de transferencia directa del motor Gm(s), donde:

la obtenemos mediante el siguiente procedimiento. Sustituimos la ecuación (6) en (9) y luego despejamos Ia(s):

Luego, sustituimos este resultado y la ecuación (8) en la ecuación (7):

Es decir:

 

De donde obtenemos Gm(s), la función de transferencia directa del motor:

Utilizando las ecuaciones (10) y (11), podemos representar el sistema de la Figura 1 mediante el siguiente diagrama de bloques:

Para ilustrar el caso de un lazo cerrado, presentamos ahora el siguiente ejemplo, donde el motor DC y su carga se incorporan a un sistema de control de posición.

Hallar la función de transferencia del sistema de seguimiento de la la Figura 2:

Figura 2. Sistema de control de posición.

Este caso ha sido analizado al detalle en el siguiente link: Servomotores – Sistema de control de posición

Considerando que:

Al aplicar la transformada de Laplace:

Con estas últimas y las ecuaciones del sistema motor-carga, podemos asegurar que la función de transferencia θL(s)/ θr(s) del sistema de seguimiento de la Figura 2, y su diagrama de bloques, son:

Figura 3. Diagrama de bloques del sistema de control de posición de la Figura 2.

SIGUIENTE:

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Función de Transferencia, Respuesta en el tiempo, Sistema Electromecánico

Sistema de control de posición con realimentación de velocidad (taquimétrica).

Considere un sistema de control de posición como el de la Figura 1:

Figura 1. Sistema de Control de posición. 

Anteriormente vimos que el diagrama de bloques del sistema de la Figura 1 es el siguiente:

Figura 2. Diagrama de bloques del sistema de control de posición de la Figura 1.

Ver deducción en el siguiente link: Servomotores – Sistema de control de posición

La derivada del desplazamiento angular de salida del motor m(s)/dt, se realimenta negativamente a la entrada del sistema para mejorar el desempeño. En este caso se utiliza un tacómetro en lugar de diferenciar físicamente θm(s).

El sistema de seguimiento de la Figura 1 con realimentación tacométrica tendrá entonces el siguiente diagrama de bloques:

Figura 3. Diagrama de bloques del Sistema de seguimiento con realimentación de velocidad.

Dónde kt es la constante de ganancia del tacómetro. Reduciendo la realimentación negativa interna obtenemos el diagrama de la Figura 4:

Figura 4. 

De esta manera obtenemos la Función de Transferencia Directa Gm(s) del sistema de control de posición con realimentación de velocidad:

Figura 5.

Comparación de la respuesta transitoria del sistema antes y después de la realimentación de velocidad.

En construcción…

Breve reseña sobre El Tacómetro.

Al igual que los potenciómetros, los tacómetros son dispositivos electromecánicos que convierten energía mecánica en energía eléctrica. Trabaja esencialmente como un generador de voltaje, con la salida de voltaje proporcional a la magnitud de la velocidad angular del eje de entrada. La Figura 4-33 refleja el uso común de un tacómetro en un sistema de control de velocidad:

La dinámica del tacómetro se puede representar como:

null

Donde et(t) es el voltaje de salida, θ(t) es el desplazamiento del motor en radianes, ω(t) es la velocidad del rotor en rad/s, y Kt es la constante del tacómetro. Luego, términos del desplazamiento del motor:

null

Análisis de sistemas de control, Respuesta en el tiempo, Sistema Electromecánico

Respuesta transitoria de un sistema de control de posición – Servomotores – Simulación en Matlab

Para el estudio de la respuesta transitoria de un sistema de control, lo más conveniente es contar con la representación prototipo. Es decir, si tenemos el modelo matemático de un sistema, debemos representar dicho sistema mediante un diagrama de bloques donde esté claramente expresada la función de transferencia directa G(s) y una realimentación negativa unitaria como se ilustra en la Figura 1:

Figura 1. Sistema de control con realimentación unitaria

Ya sabemos que la función de transferencia a lazo cerrado C(s)/R(s)  del sistema de control de la Figura 1 se determina mediante la siguiente fórmula:

Denominamos a C(s)/R(s) “modelo prototipo” (o configuración prototipo), cuando tiene la siguiente forma:

 

Dónde: null

Otra forma de verlo es:

Para el análisis de la respuesta transitoria es conveniente escribir:

Donde  σ es denominado atenuación; el factor actual de amortiguamiento B y el factor de amortiguamiento crítico Bc que es igual a dos veces la raíz cuadrada de JK:

Para más teoría sobre respuesta transitoria ver: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Respuesta transitoria de un sistema de control de posición

Aplicaremos esta teoría al modelo para el sistema de control de posición deducido anteriormente, cuyo esquema se ilustra en la Figura 2:

Figura 2. Sistema de Control de posición. 

Para el sistema de la Figura 2 hemos desarrollado el siguiente diagrama de bloques:

Figura 3. Diagrama de bloques de un sistema de control de posición.

Como podemos ver en la Figura 3, la función de transferencia directa G(s)  que utilizaremos para determinar el modelo prototipo y a partir de allí analizar la respuesta transitoria, es:

Dónde:

Mientras que:

Dónde:

Estas funciones han sido deducidas en el siguiente link: Servomotores – Sistema de control de posición

Antes de determinar la ecuación prototipo (representación prototipo) para el sistema de seguimiento de la Figura 2, equivalente a la ecuación (1), considere los siguientes valores para los parámetros de la función G(s):

Tabla 1. 

Sustituimos estos valores en la ecuación (2), despejamos convenientemente y obtenemos la función de transferencia directa G(s) evaluada en el punto de operación de interés en el cual funciona el sistema de seguimiento de la Figura 2:

 

Con este resultado actualizamos el diagrama de bloques de la Figura 3:

Figura 4. Diagrama de bloques del sistema de seguimiento funcionando en el punto de operación determinado por la Tabla 1.

El diagrama de bloques de la Figura 4 ya nos permite utilizar Matlab para evaluar la respuesta transitoria del sistema a una entrada escalón unitario. Sin embargo, podemos calcular dicha respuesta de forma analítica utilizando las ecuaciones (3) y (4), y el modelo prototipo de la ecuación (1):

La ecuación (5) es el equivalente de la ecuación (1) para el sistema de seguimiento de la Figura 2. Entonces, podemos asegurar que la frecuencia natural ωn y el factor de amortiguamiento relativo ζ de dicho sistema son:

Este resultado para el valor del factor de amortiguamiento relativo ζ indica que estamos en presencia de un sistema subamortiguado.

En base a los resultados obtenidos para la frecuencia natural ωn y el factor de amortiguamiento relativo ζ del sistema de control de la Figura 2, podemos evaluar los parámetros de la respuesta transitoria del sistema para una entrada escalón unitario

Para ver la teoría relacionada ver: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control. De acuerdo con este documento, se presentan ahora los parámetros de importancia en la respuesta transitoria de un sistema a una entrada escalón unitario, y de inmediato se evalúa cada parámetro para el sistema de interés:

  • Sobrepaso máximo (Mp)

  • Tiempo de asentamiento (Ts)

null

  • Tiempo de retardo (Td)

null

Simulación en Matlab

Podemos corroborar estos resultados mediante la simulación en Matlab. Para obtener la respuesta transitoria al escalón unitario del sistema de la Figura 2, ejecutamos los siguientes comandos:

>> numg=5.5;

>> deng=conv([1 0],[0.13 1]);

>> G=tf(numg,deng)

>> sys=feedback(G,1)

>> step(sys)

Figura 5. Respuesta al escalón unitario del sistema de seguimiento.

La gráfica de la Figura 5 nos una respuesta deseable. Es deseable que la respuesta transitoria de un sistema de control dado sea lo suficientemente rápida y lo suficientemente amortiguada. Esto se logra mediante un factor de amortiguamiento ζ entre 0.4 y 0.8. Pequeños valores de ζ (ζ<0.4) producen excesivo levantamiento máximo en la respuesta transitoria, mientras que un sistema con alto ζ (ζ>0.8) responde de manera muy lenta. En este ejemplo, resulta aceptable el valor de ζ=0.59. Veremos además que el levantamiento máximo y el tiempo de levantamiento entran en conflicto. Es decir, no es posible disminuir el tiempo de levantamiento y el levantamiento máximo al mismo tiempo.

La respuesta además es bastante rápida (0.22 segundos), y apenas con 10% de sobrepaso. Por último, a medida que pasa el tiempo, la respuesta tiende a uno como valor final, lo que anticipa un error en estado estacionario igual a cero. Esto indica que la salida sigue a la señal de referencia, es decir, la carga estará ubicada en el punto que desea el operador del sistema al indicar él  mismo, mediante el potenciómetro de entrada, dicho valor de referencia.

La información sobre los parámetros de importancia los podemos obtener mediante el siguiente comando:

>> stepinfo(sys)

SettlingTime: 0.9111

Overshoot: 9.9906

En  la Figura 6 podemos observar en la gráfica la ubicación de los valores anteriores:

Figura 6. Valores de los parámetros de respuesta transitoria.

Se puede ver que los resultados de la simulación son bastante parecidos a los obtenidos analíticamente. Utilizando la función damp(), podremos encontrar los valores del coeficiente de amortiguamiento ζ , la constante de tiempo τ y el de la frecuencia natural ωn:

>> damp(sys)

Pole                                       Damping           Frequency Time             Constant
(rad/seconds)                    (seconds)
-3.85e+00 + 5.25e+00i         5.91e-01                 6.50e+00                        2.60e-01
-3.85e+00  – 5.25e+00i         5.91e-01                 6.50e+00                        2.60e-01

Por su parte, se puede ver que los resultados de la simulación para la frecuencia natural ωn y el factor de amortiguamiento relativo ζ del sistema, son exactamente iguales a los obtenidos analíticamente.

Relacionado:

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica, Sin categoría

Ejercicio de cálculo de corriente y voltaje mediante fasores.

Mediante este ejercicio podremos ver la gran ventaja que ofrece trabajar con fasores para hallar voltajes y corrientes en un circuito eléctrico. En otras palabras, la ventaja de trabajar en el dominio de la frecuencia en vez de trabajar en el dominio del tiempo.

Hallar eo(t) e i(t) en el circuito de la Figura 1 sabiendo que R=5 Ω y C=0.1 F:

Figura 1. Circuito eléctrico de corriente alterna (CA).

Respuesta:

Colocamos la fuente de alimentación como referencia y la expresamos en forma fasorial:

La impedancia Z es:

Con ambas expresiones podemos determinar la corriente i(t) en forma fasorial como sigue:

Como se trata de una división, lo más práctico es tener ambas ecuaciones (voltaje e impedancia) en su forma polar. Por tanto:

De esta manera:

Que en su forma rectangular es:

Para hallar eo(t)  por su parte, en forma fasorial, utilizamos la siguiente relación:

Aplicando el mismo procedimiento que con la corriente I, podemos expresar el voltaje Eo en su forma rectangular como:

Una vez que tenemos estos resultados, podemos expresarlos fácilmente en el dominio del tiempo:

Como era de esperarse en un circuito capacitivo, la corriente adelanta al voltaje.

Para graficar estas señales en Matlab debemos expresar los ángulos en radianes:

null

Así, tenemos que:

null

Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab para eo(t):

>> t=0:0.01:10;

>> eo=4.48*cos(4*t-0.7048);

>> plot(t,x)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’

null
Figura 4. Simulación en Matlab de eo(t)=4.48cos(4t -0.7048)

Ambas señales:

>> t=0:0.01:10;

>> eo=4.48*cos(4*t-0.7048);

>> i=1.79*cos(4*t+0.4637);

>> plot(t,x,t,y)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’)

Figura 5. Simulación en Matlab de i(t)eo(t). 

Para repasar la teoría en esta materia recomiendo ver:

Fuentes:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta

 

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

La impedancia y la admitancia de un circuito eléctrico – análisis fasorial

La impedancia Z de un circuito es la razón entre la tensión fasorial V y la corriente fasorial I, medida en ohms (Ω). Es decir:

La admitancia Y es el inverso de la impedancia, medida en siemens (S):

A veces resulta más conveniente trabajar con la admitancia en vez de trabajar con la impedancia.

La impedancia representa la oposición que ejerce un circuito eléctrico al paso de la corriente senoidal. La admitancia por su parte, representa lo contrario, la falta de oposición al paso de la corriente senoidal.

De lo estudiado en Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico, podemos extraer las expresiones para la impedancia en una resistencia R, un inductor L o un capacitor C, particulares, como sigue:

Resumiendo mediante un cuadro:

Figura 1. Impedancia t admitancia para los elementos pasivos de un circuito eléctrico.

Si bien, tanto la impedancia como la admitancia se pueden expresar como cantidades complejas en forma rectangular o polar, es necesario resaltar que la impedancia no es un fasor, porque no varía senoidalmente.

En la Figura (1) resaltan dos casos extremos, cuando ω=0  y cuando ω=∞:

Es decir, cuando  (circuito CD), un inductor es lo mismo que un circuito cerrado, por lo tanto se puede reemplazar por un cable que conduce corriente libremente, mientras que un capacitor representa un circuito abierto que se puede reemplazar por un cable interrumpido (cortado), por el que no puede pasar la corriente. Mientras que, cuando  (circuito de alta frecuencia) , sucede totalmente lo contrario. Estas posibilidades se muestran en la siguiente Figura (2):

Figura 2. Circuitos equivalentes de CD y alta frecuencia para a) el inductor; b) el capacitor.
La impedancia y la admitancia como cantidades complejas

En sus formas rectangular y polar, la impedancia Z se puede expresar como sigue:

Dónde:

Por su parte, la admitancia Y se puede expresar como sigue:

Dónde:

Algebraicamente se podría comprobar que:

Dónde:

Aplicación – ejemplo

Mediante este ejercicio podremos ver la gran ventaja que ofrece trabajar con fasores para hallar voltajes y corrientes en un circuito eléctrico. En otras palabras, la ventaja de trabajar en el dominio de la frecuencia en vez de trabajar en el dominio del tiempo.

Hallar eo(t) e i(t) en el circuito de la Figura 3 sabiendo que R=5 Ω y C=0.1 F:

Figura 3. Ejercicio de aplicación.

Respuesta:

Colocamos la fuente de alimentación como referencia y la expresamos en forma fasorial:

La impedancia Z es:

Con ambas expresiones podemos determinar la corriente i(t) en forma fasorial como sigue:

Como se trata de una división, lo más práctico es tener ambas ecuaciones (voltaje e impedancia) en su forma polar. Por tanto:

De esta manera:

Que en su forma rectangular es:

Para hallar eo(t)  por su parte, en forma fasorial, utilizamos la siguiente relación:

Aplicando el mismo procedimiento que con la corriente I, podemos expresar el voltaje Eo en su forma rectangular como:

Una vez que tenemos estos resultados, podemos expresarlos fácilmente en el dominio del tiempo:

Como era de esperarse en un circuito capacitivo, la corriente adelanta al voltaje.

Para graficar estas señales en Matlab debemos expresar los ángulos en radianes:

null

Así, tenemos que:

null

Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab para eo(t):

>> t=0:0.01:10;

>> eo=4.48*cos(4*t-0.7048);

>> plot(t,x)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’

null
Figura 4. Simulación en Matlab de eo(t)=4.48cos(4t -0.7048)

Ambas señales:

>> t=0:0.01:10;

>> eo=4.48*cos(4*t-0.7048);

>> i=1.79*cos(4*t+0.4637);

>> plot(t,x,t,y)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’)

Figura 5. Simulación en Matlab de i(t)eo(t). 

ANTERIOR: Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico

Fuentes:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta

 

Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch

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Circuit Analysis, Electrical Engineer, Ingeniería Eléctrica

Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico

La resistencia, el inductor y el capacitor en circuitos de corriente alterna, requieren de un método de estudio particular. El siguiente método permite transformar la relación tensión-corriente del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia (dominio fasorial), de los elementos pasivos de una red: resistencia, inductor y capacitor.

Resistor o resistencia

Supongamos que la corriente ir(t) que pasa a través de un resistor r, tiene la siguiente expresión matemática:

De acuerdo a lo discutido en Representación Fasorial de voltajes y corrientes – Fasores, en notación fasorial polar, ir(t)  puede ser escrita como:

De acuerdo con la Ley de Ohm, la tensión a través del resistor está dada por:

La ecuación (1) podemos expresarla mediante notación fasorial de la siguiente manera:

La relación entre el voltaje y la corriente en un resistor se puede apreciar en la Figura (1) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia:

Figura 1. Relación de voltaje-corriente del resistor; a) dominio del tiempo; b) dominio de la frecuencia.

La ecuación (2) indica que el voltaje y la corriente en un resistor tienen la misma fase, es decir, están en fase, lo que se puede apreciar en el diagrama fasorial de la Figura (2):

Figura 2. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el resistor r.
Inductor o inductancia

Supongamos que la corriente il(t) que pasa a través de un inductor L, tiene la siguiente expresión matemática y expresión fasorial exponencial:

De acuerdo con la Ley de Ohm, la tensión a través del inductor está dada por:

Debido a que:

La ecuación (3) se transforma en:

La ecuación (4) podemos expresarla mediante notación fasorial de la siguiente manera:

Debido a que:

Podemos reescribir la ecuación (5):

La relación entre el voltaje y la corriente en un resistor se puede apreciar en la Figura (3) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia:

Figura 3. Relación de voltaje-corriente del Inductor L; a) dominio del tiempo; b) dominio de la frecuencia.

 

La ecuación (5) indica que el voltaje se adelanta 90 grados con respecto a la corriente. En ingeniería eléctrica por convención se prefiere decir que la corriente se atrasa con respecto a el voltaje, lo que se puede apreciar en el diagrama fasorial de la Figura (4):

Figura 4. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el inductor l. La corriente se atrasa 90° respecto al voltaje.

 

Capacitor o capacitancia

Supongamos que la corriente vc(t) que pasa a través de un capacitor c, tiene la siguiente expresión matemáticany expresión fasorial exponencial:

De acuerdo con la Ley de Ohm, la tensión a través del capacitor está dada por:

La ecuación (6) podemos expresarla mediante notación fasorial de la siguiente manera:

Podemos reescribir la ecuación (7):

Es decir:

La relación entre el voltaje y la corriente en un capacitor se puede apreciar en la Figura (5) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia:

Figura 5. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el capacitor C. La corriente se adelanta 90° respecto al voltaje.

La ecuación (6) indica que el voltaje se atrasa 90 grados con respecto a la corriente. En ingeniería eléctrica por convención se prefiere decir que la corriente se adelanta con respecto al voltaje, lo que se puede apreciar en el diagrama fasorial de la Figura (6):

Figura 6. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el inductor C. La corriente se adelanta 90° respecto al voltaje.

En resumen:

Figura 7. Resumen de relación de voltaje-corriente de los elementos pasivos de un circuito eléctrico: resistencia, inductor y capacitor.

ANTERIOR: Representación Fasorial de voltajes y corrientes – Fasores

SIGUIENTE: La impedancia y la admitancia de un circuito eléctrico.

Fuentes:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta

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Ingeniería Eléctrica

Representación Fasorial de corrientes y voltajes – Fasores

Un fasor es un número complejo que representa la magnitud y la fase de una senoide. Los fasores tienen la forma siguiente:El método más corto para sumar voltajes y corrientes alternos, es el que utiliza el vector radial en rotación. A este vector radial se le llama fasor en ingeniería eléctrica, y tiene magnitud constante con un extremo fijo en el origen.

Los circuitos de voltaje y corriente alterna son excitados por fuentes senoidales. Una senoide es una señal que tiene la forma de la función seno o coseno. La senoide representa la forma más frecuente en la naturaleza, de allí su importancia.

Voltaje

Una tensión senoidal tiene la forma siguiente en el dominio temporal:

Donde Vm es la amplitud máxima de V(t) medida en voltios, ω es la frecuencia angular medida en radianes por segundo, t es el tiempo medido en segundos, y Ø es el ángulo de fase de la tensión senoidal medido en grados con respecto a la tensión o corriente de referencia, tal como se muestra en la Figura (1):

Figura 1

Para ver un fasor en operación, supongamos que queremos sumar dos voltajes que varían en el tiempo, V1(t) y V2(t), los cuáles están representados matemáticamente por las siguientes expresiones:

Podemos apreciar que ambas señales son sinusoidales. Que V1(t)  tiene una amplitud máxima de 2 V, mientras que V2(t) tiene una amplitud máxima de 1 V. Además, entre ambas señales hay un desfase de 90 grados. La trigonometría nos permite saber que la suma de ambos voltajes da como resultado:

La ventaja que ofrece el uso de fasores es que la operación anterior la podemos realizar como suma de vectores, como se muestra a continuación.

Para poder graficar estas señales debemos tomar una “fotografía instantánea” en algún momento específico. Supongamos que ese momento es el tiempo t=0 s. En ese instante, ambas señales cruzan el eje vertical. Las magnitudes de ambas señales son V1(0) =2 V, mientras que V2(0)=0 V. La curva de cada uno de los voltajes, como su suma,  pueden ser representados mediante tres fasores detenidos en el instante t=0 segundos, en un diagrama denominado diagrama fasorialcomo se muestra en la Figura 2:

Figura 2. A la izquierda se observa el diagrama fasorial de la operación en un instante t=0 s. A la derecha se observa la forma de curva de cada señal, y su suma, en función de ωt.

Es necesario recalcar que en una simulación en tiempo real, los fasores rotan. Para que la suma, la resta, la multiplicación o división de dos fasores tenga sentido, ambos deben rotar a la misma frecuencia. Es decir, todas las señales implicadas en la operación fasorial deben tener la misma frecuencia.

Algebra de números complejos (fasores)

El marco teórico del álgebra de fasores es el álgebra de los números complejos. En la Figura (2) los fasores tienen la forma siguiente, conocida como forma exponencial:Donde la letra A en negrita indica que se trata de un vector (un fasor), mientras que A sin negritas, representa la magnitud del vector, y Ø es el ángulo que forma el vector con el eje de la abscisa, tal como se muestra en la Figura (3):

Figura 3

En ingeniería eléctrica se acostumbra utilizar la siguiente notación fasorial, conocida como forma polar:

En el caso del voltaje (o la corriente), la transformación fasorial se manifiesta de la siguiente manera:

Utilizando la forma polar y regresando a nuestro ejemplo, los voltajes V1(t) y V2(t), y su suma Vl(t),  se representan de la siguiente manera en el dominio fasorial:

Notar que hemos retirado la t del subíndice de la variable Vl  ya que hemos pasado del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Será más evidente esto cuando estudiemos las relaciones fasoriales de los elementos de un circuito.

La forma polar es ideal para realizar multiplicación y división, pero no lo es para suma y resta. Otra manera de representar el fasor es mediante la forma rectangular:

Dónde a=Acos(Ø) se conoce como la parte real, mientras que b=Asen(Ø)  se conoce como la parte imaginaria, como se muestra en la Figura (4):

Figura 4

Al transformar de su forma polar a su forma rectangular los voltajes V1(t) y V2(t), obtenemos los siguiente:

Ahora la suma de V1(t) y V2(t) se ejecuta fácilmente, según la regla que indica sumar las partes reales e imaginarias por separado:

Para obtener la forma polar de Vl(t),  a partir de su forma rectangular, consideramos la siguiente regla:

Por tanto:

Corrientes

Como segundo ejemplo se calculará el valor para i(t) de la red de la Figura (5):

Figura 5

Sabiendo que:

Respuesta:

Cuando estudiemos las relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico, veremos que la corriente que atraviesa una impedancia inductiva se atrasa con respecto al voltaje en los extremos de la impedancia. En el caso de una impedancia capacitiva, la corriente se adelanta al voltaje sobre la impedancia. Y en el caso de una impedancia puramente resistiva, la corriente y el voltaje están en fase. Esto explica los signos de los ángulos de fase de las corrientes en nuestro ejercicio considerando que el voltaje v(t) es el voltaje de referencia. En notación polar:

Para ejecutar la suma, transformamos la forma polar a la forma rectangular:

Luego:

En conclusión, en coordenadas rectangulares:

Y en coordenadas polares:

SIGUIENTE: Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de Sistemas Lineales asisitido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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Análisis de sistemas de control, Ingeniería Eléctrica

Diseño de un Sistema de Control

El objetivo fundamental de analizar un sistema de control es facilitar su diseño. El Diagrama de Bloques es el primer paso porque representa el modelo matemático del sistema que queremos analizar y mejorar. La dinámica de un proceso lineal controlado puede representarse por el diagrama de bloques de la Figura 10-1:

La mayoría de los sistemas de control se construyen para que el vector de salida y(t) cumpla con ciertas especificaciones que definen que debe hacer el sistema y cómo hacerlo de una manera deseada. Dichas especificaciones son únicas para cada aplicación individual. Estabilidad relativa, precisión en estado estable (error) y respuestas transitoria son las especificaciones más utilizadas en el mercado. El problema esencial involucra determinar la señal de control U(t) dentro de un intervalo prescrito para que se satisfagan las especificaciones requeridas por el cliente.

Luego de determinar lo anterior, el ingeniero debe diseñar una configuración fija del sistema y el lugar donde el controlador estará colocado en relación con el proceso controlado, lo que involucra además diseñar los elementos que conforman el controlador, es decir, determinar los parámetros del controlador. Debido a que la mayoría de los esfuerzos de control involucran la modificación o compensación de las características de desempeño mostradas por el sistema durante el análisis de respuesta transitoria y respuesta en estado estable, al diseño de una configuración fija también se le llama compensación.

En definitiva, el arte y ciencia de diseñar sistemas de control puede resumirse en tres pasos, lo que nos conlleva a nuestros siguientes temas:

  1. Determinar que debe hacerse y cómo hacerlo
    1. Estabilidad de un sistema de control
    2. Respuesta Transitoria de un Sistema de Control
    3. Error en estado estable de un sistema de control
  2. Determinar la configuración del controlador
    1. PID – Acciones Básicas de Sistemas de Control
    2. PID – Efecto de las acciones de control Integral y Derivativo
    3. PID – Diseño y configuración del controlador
  3. Determinar los parámetros del controlador

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  4. dinamica_de_sistemas

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Atención:

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema.. le entrego la respuesta en digital..opcional simulación en Matlab.