Ingeniería Eléctrica, Teoría Electromagnética

Ley de Gauss y el concepto de Densidad de Flujo Eléctrico

Ley de Gauss: “El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie”. La formulación matemática de la ley de Gauss es:Esta ecuación significa que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada, la cual podría estar constituida por un conjunto de cargas puntuales, una línea de carga, una carga superficial o una carga volumétrica. Esta última, que utiliza el concepto de Densidad de Carga Volumétrica  es la que se utiliza por convención científica (ecuación 1), pero podría ser cualquiera de las mencionadas.

Densidad de flujo eléctrico

La dirección de la densidad de flujo D en un punto es la dirección de las líneas de flujo en ese punto, y su magnitud es igual al número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas, dividida entre el área de la superficie”. Podemos definir a D en el espacio libre como:

Alrededor de 1837 Michael Faraday realizó su famoso experimento para analizar la transmisión de cargas entre dos esferas metálicas, una pequeña y cargada dentro de otra más grande y descargada, con un material dieléctrico (que no conduce, aislante) entre ellas. Pudo comprobar que la carga de la pequeña se transmitía a la más grande independientemente del dieléctrico. A ese “desplazamiento” de carga se le denominó Flujo Eléctrico . Faraday también descubrió que una carga positiva mayor en el interior de la esfera inducía una correspondiente carga negativa mayor en la esfera exterior. Esto condujo a establecer la existencia de una proporcionalidad directa entre el flujo eléctrico y la carga Q de la esfera interior. En el sistema SI esa constante de proporcionalidad es igual a uno, por lo que del experimento de Faraday se obtiene que:De manera que el flujo eléctrico se mide en Coulombs.

Considerando una esfera interior de radio a y una exterior de radio b, con cargas Q y Q, respectivamente (Figura 3.1), las trayectorias del flujo eléctrico  se extienden desde la esfera interior a la exterior. Las líneas de flujo tienen forma radial y simétrica desde una esfera a otra. En la superficie de la esfera interior ψ coulombs de flujo eléctrico los produce la carga de Q coulombs distribuidos uniformemente sobre una superficie que tiene un área de 4πaˆ2  m2. La densidad de flujo en esta superficie es  entonces  ψ/4πaˆ2 , ó Q/4πaˆ2  C/m2.  

A la densidad de flujo eléctrico D, medida en coulombs por metro cuadrado, es un campo vectorial que pertenece a la clase de campos vectoriales de “densidades de flujo” y distinta de la clase “campos de fuerza”, en la que se incluye la intensidad de campo eléctrico E. La dirección de D en un punto es la dirección de las líneas de flujo en ese punto, y su magnitud es igual al número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas, dividida entre el área de la superficie.

Para la esfera interior:

Para la esfera exterior: 

Para una distancia r, donde ar≤b:

Esta será la densidad de flujo inclusive llevando al límite el radio de la esfera interior hasta reducirla a una carga puntual. Si ahora comparamos este resultado con el obtenido para la intensidad del campo eléctrico radial debido a una carga puntual en el espacio libre (Definición de Campo Eléctrico):Llegamos a la conclusión de que:

De manera similar, si una distribución de carga volumétrica en el vacío (Densidad de Carga Volumétrica) produce una intensidad de campo eléctrico E:

La densidad de flujo eléctrico D debido a dicha distribución de carga volumétrica en el vacío es:Podemos considerar a la ecuación (2) como la definición de densidad de flujo eléctrico D en el vacío.

Ley de Gauss

La generalización del experimento realizado por Faraday conduce al siguiente enunciado conocido como Ley de Gauss:

 “El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie”.

La gran contribución de Gauss no consiste en haber descubierto el fenómeno del flujo eléctrico sino en expresarlo en forma matemática. Supóngase una distribución de carga Q, que se muestra como una nube de cargas puntuales en la figura 3.2, rodeada por una superficie cerrada de cualquier forma:

Considérese, en cualquier punto P, un pequeño elemento de superficie ΔS y que la densidad de flujo eléctrico Ds en ese punto de la superficie forma un ángulo θ con ΔS como lo muestra la figura 3.2. El flujo eléctrico a través de ΔS es, entonces, el producto de la componente normal de Ds y ΔS:

El flujo total que pasa a través de la superficie cerrada producido por una carga Q “dentro de la superficie encerrada”, se obtiene sumando las contribuciones diferenciales que cruzan cada elemento de superficie S:

Como dS implica el producto de dos coordenadas, la integral de la ecuación (3) es una integral triple. El círculo sobre la integral indica que la integración debe hacerse sobre una superficie cerrada. La formulación matemática de la Ley de Gauss es:

Por otra parte, sabemos que el flujo eléctrico ψ=Q. Esta carga Q puede ser una carga puntual, en cuyo caso:Q también puede ser una línea de carga:O también una carga superficial:O también una distribución de carga volumétrica:

 Por convención los científicos siempre hacen referencia a este último caso. Por tanto, podemos reescribir la ecuación (4) como:Esta ecuación matemática es una de las más básicas de la electrostática y significa simplemente que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada, carga total que puede mostrar cualquiera de las propiedades señaladas.

Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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Densidad de Carga Volumétrica y Campo Eléctrico

Se puede definir la densidad de carga volumétrica matemáticamente mediante la ecuación:

Como ingenieros eléctricos, en raras ocasiones es necesario conocer una corriente electrón por electrón. Casi siempre nuestros resultados finales están en términos de la corriente en una antena receptora, del voltaje en un circuito electrónico, o de la carga en un condensador, o en general en términos de algún fenómeno macroscópico a gran escala.

Si luego de determinar el campo eléctrico debido a una carga puntual, se visualiza una región del espacio con un enorme número de cargas separadas por distancias diminutas —por ejemplo, el espacio entre la rejilla de control y el cátodo de un cañón de electrones de un tubo de rayos catódicos que opera con una carga espacial—, se observa que es posible reemplazar esta distribución de muchas partículas pequeñas por una distribución suave y continua de carga, caracterizada por una densidad de carga volumétrica.

La densidad de carga volumétrica se simboliza con ρν, cuyas unidades son coulomb por metro cúbico (C/m3). La pequeña cantidad de carga Q en un volumen pequeño ν es:

Se puede definir ρν matemáticamente mediante la utilización de un proceso de límite sobre la ecuación (1):

La carga total dentro de cualquier volumen finito se obtiene por integración sobre todo el volumen:

La diferencial dν significa una integración a través de todo el volumen e implica una integración triple; sin embargo, se acostumbra indicarla con un solo símbolo de integración. Por fortuna, es posible conformarse con sólo indicar la integración, pues existen muchas dificultades para evaluar las integrales múltiples en la mayoría de los problemas, excepto en los simétricos.

Ya se mencionó en Definición de Campo Eléctrico e Intensidad del Campo Eléctrico que el campo eléctrico en la dirección R desde el origen, puede ser expresado como:

Sustituyendo la ecuación (3) en (4) obtenemos que para una distribución de carga volumétrica en general en el espacio libre:

Lógicamente, la integral de la ecuación (5) no es la forma más conveniente o apropiada de evaluar un campo eléctrico. Por ello recurrimos a la Ley de Gauss y el concepto de la Densidad de Flujo, que conduce a expresar el campo eléctrico en forma de ecuaciones diferenciales.

Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

ANTERIOR: El campo eléctrico debido a una distribución continua de carga volumétrica

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Definición de campo eléctrico e intensidad del campo eléctrico

Un campo eléctrico es un campo vectorial o campo de fuerzas generado por un cuerpo o un conjunto de cuerpos con carga eléctrica. Cuantitativamente puede ser definido como la fuerza por unidad de carga que actúa sobre un determinado punto en el espacio o en la materia.

Experimentalmente el proceso mediante el cual se mide el campo eléctrico debido a un cuerpo (o varios cuerpos) cargado eléctricamente, consiste en colocar una carga de prueba en un punto cercano a dicho cuerpo (o conjunto de cuerpos) y medir la fuerza que siente la carga de prueba, haciendo dicha carga de prueba cada vez más pequeña. Estos valores límites, a medida que la carga de prueba se hace más y más pequeña, llegan a ser constantes en dirección y magnitud.

Intensidad de campo eléctrico

Se define la intensidad de campo eléctrico como el vector fuerza sobre cada unidad de carga positiva de prueba“. La intensidad de campo eléctrico radial debido a una carga puntual en el espacio libre se define como:

Un vez enunciada  la Ley de Coulomb y su base vectorial en Ley de Coulomb y su aplicación en forma vectorial, si ahora se considera una carga en posición fija, por ejemplo Q1, y se mueve lentamente una segunda carga Qt a su alrededor, se nota que en todas partes existe una fuerza sobre esta segunda carga. En otras palabras, esta segunda carga muestra la existencia de un campo de fuerza. A esta segunda carga se le llama carga de prueba Qt. La fuerza sobre ella está dada por la ley de Coulomb:

En la ecuación (1), R1t es la distancia entre ambas cargas, y a1t es el vector unitario que define la dirección de la fuerza como la misma dirección de la línea recta que une las cargas. Si se escribe esta fuerza como una fuerza por unidad de carga se obtiene:

  

La ecuación (2) es un campo vectorial denominado intensidad del campo eléctrico y es función únicamente de Q1 y del segmento de línea dirigido desde Q1 a Qt.

Tomando en cuenta el sistema MKS, la intensidad de campo eléctrico debe medirse en unidades de newtons por coulomb (fuerza por unidad de carga). Si se introduce por adelantado una nueva cantidad dimensional, el volt (V), cuyas unidades son joules por coulomb (J/C) o newton-metros por coulomb (N · m/C); la intensidad de campo eléctrico se medirá de una vez en las unidades prácticas de volts por metro (V/m). Si se utiliza una E mayúscula para designar el vector intensidad del campo eléctrico se obtiene finalmente que:

Es decir:

La ecuación (3) es la expresión que define la intensidad de campo eléctrico y la ecuación (4) es la expresión para la intensidad de campo eléctrico en el vacío debido a una carga puntual Q1.

Evidentemente se obtendrán expresiones más complicadas para la intensidad de campo eléctrico debido a configuraciones de carga más complicadas, como líneas de carga o planos de carga. Por economía, también conviene obviar la mayoría de los subíndices en (4), sin renunciar al derecho de aprovecharlos de nuevo cuando exista la posibilidad de un malentendido. Por tanto, nos permitimos el abuso de definir la intensidad de campo eléctrico radial debido a una carga puntual en el espacio libre como:

La ecuación (5) funciona muy bien para calcular E si la carga Q se encuentra en el origen del sistema de coordenadas que se esté utilizando. Si se considera una carga que no esté en el origen del sistema de coordenadas, el campo ya no tiene simetría esférica (ni simetría cilíndrica) y en este caso es posible utilizar las coordenadas cartesianas. Para una carga Q situada como fuente puntual en r’ = xax + yay ´+zaz, como se ilustra en la figura 2.2:

La intensidad de campo eléctrico en un punto r cualquiera del campo con coordenadas  r = xax +yay + zaz se encuentra expresando R como r r, lo cual da como resultado:

Al principio se definió un campo vectorial como una función vectorial del vector de posición, y esto se destaca sustituyendo la simple letra E por la notación funcional E(r). Considerando los componentes vectoriales de cada posición, la ecuación (7) se puede expresar como:

La ecuación (5) no es más que un caso especial de la (8), donde x’= y’ = z’= 0.

Intensidad de campo eléctrico debido a dos o más cargas puntuales

Dado que las fuerzas de coulomb son lineales, la intensidad de campo eléctrico en un punto r debido a dos cargas puntuales, Q1 en r1 y Q2 en r2, es la suma de las fuerzas sobre Q ubicada en r, causadas por Q1 y Q2 cuando actúan individualmente, o sea:

 

Donde a1 y a2 son vectores unitarios en la dirección de (r r1) y (r r2), respectivamente.

Si se agregan más cargas en otras posiciones el campo debido a n cargas puntuales será:

Esta expresión ocupa menos espacio cuando se usa el signo de Σ y un índice de suma m que toma todos los valores enteros sucesivos entre 1 y n:

Como ingenieros eléctricos, en raras ocasiones es necesario conocer una corriente electrón por electrón. Casi siempre nuestros resultados finales están en términos de la corriente en una antena receptora, del voltaje en un circuito electrónico, o de la carga en un condensador, o en general en términos de algún fenómeno macroscópico a gran escala. Es por eso que ahora el siguiente paso es centrar nuestra atención en el campo eléctrico debido a una distribución continua de carga volumétrica.

Alternativamente, algunos países utilizan el sistema cgs en vez del MKS, donde k=1  en la ecuación (5), por tanto también se puede expresar el campo eléctrico E como:

Ejemplo

Con la finalidad de mostrar la aplicación de la ecuación (11), encontrar E en el punto  P(1, 1, 1) causado por cuatro cargas idénticas de 3-nC (nanocoulombs) localizadas en los puntos P1(1, 1, 0), P2(−1, 1, 0), P3(−1, −1, 0) y P4(1, −1, 0), como lo muestra la figura 2.4.

Solución:

 Mediante algebra vectorial podemos determinar cada una de las siguientes magnitudes:

Como:

Obtenemos: 

Es decir:

Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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Ingeniería Eléctrica, Teoría Electromagnética

Ley de Coulomb y su aplicación en forma vectorial

“La fuerza entre dos objetos muy pequeños separados en el vacío, o en el espacio libre por una distancia comparativamente grande en relación con el tamaño de los objetos, es proporcional a la carga en cada uno e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”:

donde Q1 y Q2 son las cantidades de carga positiva o negativa, R es la separación y k es una constante de proporcionalidad. Si se utiliza el Sistema Internacional de Unidades (SI), Q se mide en culombios (coulombs) (C), R en metros (m) y la fuerza en newtons (N). Esto se cumple si la constante k se escribe como:

Donde la constante épsilon sub-cero se denomina permitividad del espacio libre y tiene una magnitud medida en faradios por metro (F/m):

 

Una vez fijado los conceptos elementales del análisis vectorial en Descripción de un vector mediante el sistema de coordenadas rectangular, estudiamos su aplicación en la Ley experimental de Coulomb.

Escribir la forma vectorial de la ecuación 1 requiere el hecho adicional (también proporcionado por el coronel Coulomb) de que la fuerza actúa a lo largo de la línea que une a las dos cargas y es repulsiva si las cargas son similares en signo, y atractiva si son de signos opuestos. Sea r1 el vector que localiza a Q1 y r2 el que localiza a Q2. Entonces, el vector R12= r2− r1 representa el segmento de recta dirigido de Q1 a Q2, como lo muestra la figura 2.1:

El vector F2 es la fuerza sobre Q2 y se muestra para el caso en el que Q1 y Q2 tienen el mismo signo. La ley de Coulomb en forma vectorial es:

donde a12 es un vector unitario en la dirección de R12, o sea:

 

Ejemplo

Ubiquemos una carga Q1= 3 × 10−4 C en M(1, 2, 3) y otra carga Q2 =−10−4 C en N(2, 0, 5) en el vacío. Se desea encontrar la fuerza F12 que ejerce Q1 en Q2.

1. Lo primero que debemos hacer es encontrar el vector unitario a12 que determina la dirección de la fuerza que ejerce Q1 sobre Q Para ello construimos el vector M y el vector N, luego sustraemos, obtenemos módulo y aplicamos la ecuación 3:

2. Luego, utilizamos la ecuación 2 para hallar el módulo del vector F12:

3, La fuerza F12 en forma vectorial queda como:

  

La fuerza F12 ejercida por la carga Q1 sobre Q2 también puede ser representada como la suma de tres componentes vectoriales:

Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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Análisis de sistemas de control, Sistema Electromecánico

Servomotores – Sistema de control de posición

Se denomina Servomotor a los motores DC utilizados en los sistemas de control de posición, también llamados sistemas de seguimiento. En la industria, un Servomotor es aquel que lleva incorporado un sensor de rotación, un amplificador de error y está diseñado específicamente para ser usado en un sistema de control. Gracias a los avances de la electrónica de potencia, los servomotores están siendo sustituidos por el Motor paso a paso (Stepper), versión “digital” de un motor eléctrico, debido a que estos últimos son más económicos cuando se trata de lograr alto desempeño (alta precisión) en el control del movimiento de cargas livianas a velocidad moderada. Por otra parte, los servomotores forman parte de un servosistema,  o servomecanismo, que es otra manera de llamar a un sistema de control  a lazo cerrado. En la Figura 4-8 podemos apreciar un Servomotor, es decir, un motor DC, en este caso controlado por armadura, formando parte de un sistema de control de posición:

null

El modelo matemático de un motor DC se desarrolla en el siguiente link: Dinámica de un Motor DC,

Aplicando las ecuaciones del modelo matemático para un motor DC, podemos encontrar la función de transferencia Gm(s) del motor operando a lazo abierto y representar el esquema de la Figura 4-8 mediante el diagrama de bloques siguiente:

null

null
Figura 4-9

Donde:

θ(s): posición angular del rotor a la salida del motor DC

Ev(s): señal actuante, igual a la señal de error amplificada por K0:nullKo: constante de proporcionalidad de los potenciómetros de entrada y salida:nullK2: es la constante de par del motor, también conocida como Km en la bibliografía sobre el tema, que es proporcional al par Tm desarrollado por el motor frente a una corriente ia aplicada a la armadura:nullK3: es la constante de la fuerza contraelectromotriz eb:

Jo es el momento de inercia equivalente vista por la flecha del motor, luego de reflejar el momento de inercia de la carga Jl a través del tren de engranajes de constante n, y sumarlo al momento de inercia del motor Jm. El mismo procedimiento se aplica para obtener  bo, el coeficiente de fricción equivalente visto por la flecha del motor:null

Nos conviene simplificar el diagrama de bloques de la Figura 4-9. Así obtenemos lo siguiente:

Figura 4-10

Donde:

Logramos así una representación del servosistema que muestra con claridad el hecho de que es un sistema de segundo orden, equivalente al sistema prototipo que se utiliza en sistemas de control para calcular los parámetros ωn y ζ (frecuencia natural y coeficiente de amortiguamiento relativo) de la respuesta transitoria, o para calcular las constantes de error Kp, Kv o Ka en la evaluación del error en estado estable. Al respecto, ver Respuesta Transitoria de un Sistema de ControlError en estado estable de un sistema de control

Respuesta transitoria de un sistema de control de posición

La Función de Transferencia del sistema de lazo cerrado mostrado en la Figura 4-10 es:

Para el análisis de la respuesta transitoria es conveniente escribir:

Donde  σ es denominado atenuaciónωn es la frecuencia natural sin amortiguamiento del sistema; y ζ el factor de amortiguamiento relativo del sistema. ζ es la razón entre el factor actual de amortiguamiento B y el factor de amortiguamiento crítico Bc que es igual a dos veces la raíz cuadrada de JK:

En términos de ωn y ζ, el sistema mostrado en la Figura 4-10 puede ser expresado como en la Figura 5-6, denominado “Sistema Prototipo”:

Ahora, la Función de Transferencia C(s)/R(s) puede ser escrita como:

Esta última es denominada Forma Estándar. La dinámica del comportamiento de un sistema de segundo orden puede ahora ser descrita en términos de los dos parámetros ωn y ζ. Brevemente, los diferentes tipos de respuestas de un sistema de segundo orden a una entrada escalón en función de ζ pueden ser resumidas mediante la Figura 4-11:

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Para especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control a una entrada escalón, es común analizar los siguientes parámetros asociados mayormente al caso subamortiguado:

1. Tiempo de retardo (Td): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema alcance la mitad del valor final por primera vez.

2. Tiempo de levantamiento (Tr): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema pase del 10% al 90% del valor final. En otras palabras, para que vaya de 0.1 del valor final al 0.9 del valor final.

3. Levantamiento máximo (Mp): es el valor pico máximo de la curva de respuesta medida a partir de la unidad. Según otra bibliografía, es también la cantidad en que la forma de la curva de salida sobrepasa el valor final de la salida, expresada en porcentaje.

4. Tiempo de asentamiento (Ts): ies el tiempo requerido para que las oscilaciones amortiguadas transitorias alcancen y permanezcan dentro del ±2% o del  ±5% del valor final o valor en estado estable.

5. Tiempo pico (Tp): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema alcance el pico del levantamiento máximo.

Estas especificaciones se muestran gráficamente en la Figura 5-8:

Excepto en aquellos casos donde las oscilaciones no son toleradas, es deseable que la respuesta transitoria de un sistema de control dado sea lo suficientemente rápida y lo suficientemente amortiguada. Esto se logra mediante un factor de amortiguamiento entre 0.4 y 0.8. Pequeños valores de σ (σ<0.4) producen excesivo levantamiento máximo en la respuesta transitoria, mientras que un sistema con alto σ (σ>0.8) responde de manera muy lenta. Veremos además que el levantamiento máximo y el tiempo de levantamiento entran en conflicto. Es decir, no es posible disminuir el tiempo de levantamiento y el levantamiento máximo al mismo tiempo.

Sistema de seguimiento con realimentación de velocidad o realimentación taquimétrica. 

En construcción…

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

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Dinámica de sistemas, Sistema Electromecánico

Dinámica de un Motor DC

La dinámica de un Motor DC es determinada por un conjunto de ecuaciones que gobiernan su comportamiento. Obtener estas ecuaciones requiere la aplicación de leyes de mecánica, principios de electricidad y conocimiento de campo magnético. Especialmente, implica el conocimiento de los conceptos básicos del movimiento rotatorio. Para echar un repaso, ver: Movimiento Rotatorio – Conceptos básicos.

Un Motor DC puede estar controlado por campo o por armadura. En referencia a la Figura 2.35., un imán estacionario permanente o un electroimán genera un flujo magnético Φ, constante, denominado Fixed Field. Como resultado, el motor es controlado por un voltaje ea aplicado a los terminales de la armadura.

nullnull

Aplicando la teoría de circuitos de Kirchhoff , deducimos la primera ecuación característica del sistema:

null

Donde La Ra representan la inductancia y la resistencia de la armadura respectivamente.

La armadura es un circuito rotativo a través del cual circula una corriente  ia. Cuando la armadura pasa en ángulos rectos a través del flujo magnético Φ, siente una fuerza F=BLia donde B es la intensidad del campo magnético y L es la longitud de la bobina o conductor. El torque Tm que resulta de esta interacción hace girar el rotor, el cual es el miembro rotatorio del motor. Para un análisis lineal es necesario suponer que este torque o par es proporcional al flujo magnético Φ y a la corriente ia . De aquí podemos obtener la siguiente ecuación del sistema:

null

Como Φ es constante, el factor Km*Φ se reduce a una constante denominada Ki. De esta manera, la ecuación anterior se reduce a:

null

Donde Ki es La Constante de Proporcionalidad, también llamada constante de torque del motor (o constante de par) y es uno de los parámetros dados por los fabricantes de motores. Ki, con frecuencia denominada también Kt en la literatura sobre el tema, viene en N-m/A.

Nota: cuando el motor es controlado por una corriente en el campo, con el fin de obtener un sistema lineal la corriente de armadura debe ser considerada constante y así el torque del motor viene dado por Tm= Kmif, donde if es la corriente de campo.

Otro importante fenómeno ocurre en el motor: Cuando un conductor se mueve en ángulos rectos a través de un campo magnético se genera un voltaje Vb en las terminales del conductor. Ya que la armadura rota en un campo magnético, el voltaje generado en el conductor que rodea la armadura es proporcional a la velocidad de rotación de la armadura, denominada ωm. De esta manera obtenemos otra ecuación de gran importancia:

null

Donde:

null

Denominamos a Vb la Fuerza Contraelectromotriz (o back emf por sus siglas en inglés); Kb es la constante de proporcionalidad llamada también constante emf.

Aunque el Motor DC es por sí mismo un sistema en lazo abierto, veremos más adelante que la fuerza contraelectromotriz Vb, provoca un lazo realimentado dentro del motor, actuando como una “fricción eléctrica” que tiende a mejorar la estabilidad del motor.

Por último, aplicando las leyes de Newton para movimientos mecánicos rotacionales obtenemos:

null

Donde TL representa la carga, Jm es el momento inercial (inercia) del rotor, y Bm es el coeficiente de fricción viscosa del motor.

De esta manera hemos logrado definir el conjunto de ecuaciones que determina la Dinámica del Motor DC operando en lazo abierto:

nullnull

null

null

donde:

null

Para representar esta dinámica en diagrama de bloques, el siguiente paso consiste en aplicar la Transformada de Laplace a cada ecuación y despejar la salida θcomo función de las otras variables de estado.

Luego de aplicar Laplace, obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:

null

Este sistema de ecuaciones, tomando a Ea(s) como la entrada y a θm(s) como la salida,  se representan a continuación mediante El Diagrama de Bloques para un Motor DC operando a lazo abierto:null

Aquí podemos corroborar lo que señalamos antes, que la fuerza contraelectromotriz, proporcional a Ωm(s), representado en el diagrama como Eb(s), genera un lazo realimentado que tiende a estabilizar el sistema.

El Servomotor DC controlado por armadura es ampliamente utilizado en sistemas electromecánicos. La configuración del sistema electromecánico más comúnmente utilizado se muestra en la  Figura 2.15 mediante un diagrama de bloques, y en la Figura 4-38, operando a una velocidad constante y sin lazo de realimentación.

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Para continuar leyendo sobre sistemas electromecánicos visitar el siguiente link:

SIGUIENTE: Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC

Fuentes:

 

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Automóvil, Ingeniería Eléctrica, Tren de poder - Dinámica de Fuerzas

Modelo matemático de un vehículo. Simulación en Matlab/Simulink

ANTERIOR: Efectos del Gradiente de Carretera

A continuación, mostraremos cómo las ecuaciones para las fuerzas que actúan en el vehículo se combinan en un modelo matemático que se puede usar para la simulación. Dicho modelo estará en capacidad de determinar cómo responde el vehículo como un todo a diferentes entradas. En nuestro caso, el modelo de vehículo solo modela el comportamiento longitudinal. Tenga en cuenta que el modelo del vehículo no incluye un modelo del tren de potencia (powertrain). En su lugar, el tren de potencia utilizará la salida del modelo del vehículo como entrada, y se presentará más adelante. La salida del modelo matemático del vehículo, que vamos a presentar a continuación, será la fuerza de tracción requerida del tren de potencia en una situación de conducción específica.

Las entradas (inputs) al modelo matemático del vehículo serán la velocidad del vehículo, la aceleración del vehículo y el ángulo de inclinación del camino, ya que describen la situación de conducción. El ángulo de inclinación del camino puede, por supuesto, expresarse como el gradiente de la carretera si así se prefiere. También hay otros parámetros que influyen en el diseño del modelo. Los más importantes son la masa del vehículo, el área frontal del vehículo y los coeficientes de fricción y resistencia. Estos se denominan parámetros del modelo del vehículo y, por lo general. se establecen una vez y son constantes al analizar ese vehículo en particular, independientemente de la situación de conducción analizada, mientras que las variables de entrada pueden variar constantemente cuando el vehículo está conduciendo.

La ecuación principal del modelo de vehículo es, por supuesto, la ecuación presentada anteriormente para la fuerza de tracción requerida que es igual a la suma de la resistencia aerodinámica, resistencia a la rodadura, fuerza de gradiente y fuerza neta requerida.

Cada una de las cuatro fuerzas se puede determinar con las ecuaciones obtenidas en presentaciones anteriores y que se muestran a continuación. Estas ecuaciones muestran que necesitamos las tres variables de entrada mencionadas anteriormente, para poder calcular el valor de cada una de las cuatro fuerzas.

Ahora veremos cómo se ve el modelo del vehículo en el modelado QSS Simulink.

El bloque modelo de vehículo QSS se ve así:

Se pueden reconocer de inmediato las tres entradas mencionadas con anterioridad. Sin embargo, el modelo tiene tres salidas en lugar de solo una. Se puede ver que dos de ellos son solo la velocidad del vehículo y la aceleración del vehículo, que son las mismas que dos de las entradas. Estos solo se envían como salidas, ya que hace que sea más fácil construir el modelo de simulación de esta manera.

Podemos configurar los parámetros del modelo en la ventana de diálogo, que abrimos haciendo doble clic en el modelo. En esta ventana, podemos ver qué valores predeterminados tienen los parámetros del modelo. Si necesitamos otros valores, solo debemos ingresarlos y presionar el botón Apply o Ok.

También podemos abrir el bloque del modelo de vehículo QSS para ver qué hay dentro. Si miramos el modelo, encontramos que calcula la fuerza de tracción como la suma de otras cuatro fuerzas, como lo hemos venido tratando en nuestras ecuaciones.

De igual manera, cada una de las cuatro fuerzas se calcula en el subsistema correspondiente a las cuatro funciones que definimos. Estos cuatro subsistemas también usan las tres entradas del modelo de vehículo como sus entradas. Observe también que la velocidad y la aceleración del vehículo no se modifican dentro del modelo del vehículo, sino que solo se transmiten a la salida. Así que podemos concluir señalando que el modelo de vehículo QSS es simplemente una implementación en Simulink de las ecuaciones de fuerza que hemos discutido con anterioridad.

Fuente: Vehicle model del curso Section 1: Vehicles and powertrains

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Ingeniería Eléctrica, Power Electronics

Driver de motor DC – Electrónica de potencia

Introducción

Un controlador (Driver) de motor es un pequeño amplificador de corriente; la función de los Drivers de motor es tomar una señal de control de baja corriente y luego convertirla en una señal de corriente más alta que pueda conducir un motor.

Un Driver es un sistema. Se espera que un Driver de motor típico, tenga un diagrama de bloques semejante al de la Figura 27.1. La carga puede ser un sistema de transporte, un sistema de tracción, los rodillos de accionamiento de un molino, la herramienta de corte de una máquina o herramienta numéricamente controlada, el compresor de un acondicionador de aire, un sistema de propulsión de barcos, una válvula de control para una caldera, el brazo de un robot, y así sucesivamente.

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El bloque convertidor electrónico de potencia puede usar diodos, MOSFETS, GTO, IGBT o tiristores. Los controladores pueden constar de varios bucles de control para regular el voltaje, la corriente, el par, el flujo, la velocidad, la posición, la tensión u otras condiciones deseables de la carga. Cada uno de estos puede tener sus características limitantes intencionalmente colocados para proteger el motor, el convertidor o la carga.

DC Motor Drivers

Los motores de corriente continua (Motor DC) se utilizan ampliamente en sistemas de velocidad variable y sistemas de control de posición en los que se requiere una buena respuesta transitoria y un buen rendimiento en estado estable. Los ejemplos se encuentran en unidades robóticas, impresoras, máquinas-herramientas, laminadoras de procesos, industrias del papel y textiles, y muchos otros. El control de un motor de corriente continua es sencillo, principalmente debido a la incorporación del conmutador dentro del motor. El cepillo del conmutador permite que el par desarrollado por el motor sea proporcional a la corriente del inducido si la corriente de campo se mantiene constante. Por esto último, las teorías clásicas de control se aplican fácilmente al diseño del par.

El conmutador mecánico limita el voltaje máximo aplicable a aproximadamente 1500 vatios y la capacidad de potencia máxima a unos pocos cientos de kilovatios. Se utilizan combinaciones en serie o en paralelo de más de un motor cuando los motores DC se utilizan en aplicaciones que manejan cargas más grandes. La corriente de armadura máxima y su tasa de cambio también están limitados por el conmutador.

Los pequeños motores DC de tipo servo normalmente tienen excitación por imanes permanentes para el campo, mientras que los motores de mayor tamaño tienden a tener un suministro de campo por separado para la excitación. Los motores DC excitados por separado representados en la Figura 27.2(a) tienen excitación de campo fijo (corriente de campo if constante),  son muy fáciles de controlar a través de la corriente de armadura ia que se suministra desde un convertidor electrónico de potencia.

Los convertidores Thyristor de ac-dc con control de ángulo de fase son populares para los motores más grandes, mientras que los conmutadores de voltaje On-Off, también llamados convertidores dc-dc de conmutación modulada de ancho de pulso (PWM – Pulse Width Modulation por sus siglas en Inglés ) son populares para las unidades de servomotor.

El motor de corriente continua excitado en serie tiene su circuito de campo en serie con el circuito de armadura, como se muestra en la figura 27.2(b). Dicha conexión proporciona un alto par a baja velocidad y bajo par a alta velocidad, una característica que puede combinar bien con las cargas de tipo de tracción.

Es buen momento para recordar el diagrama de bloques típico para un motor DC controlado por armadura (para un repaso ver Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC):

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Cuando un sistema Driver controla la corriente de armadura a través de un convertidor electrónico de potencia, lo que realmente controla es el nivel de la relación velocidad-torque del motor, la cual se muestra en la Figura 27.3(a):

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Convertidores para DC Drives (Power Electronic Converters)

Dependiendo de los requisitos de la aplicación, el convertidor de potencia para un motor de corriente continua (que en el diagrama de bloques de la Figura 27.1 está identificado como Power Electronic Converter) puede elegirse entre una serie de topologías. Por ejemplo, un convertidor de tiristor semicontrolado o un convertidor de conmutación PWM de un solo componente puede ser adecuado para un drive que no requiere desaceleración controlada con frenado regenerativo. Por otro lado, un convertidor de tiristor o transistor de cuatro cuadrantes para el circuito de armadura y un convertidor de dos cuadrantes para el circuito de campo pueden ser necesarios para un variador de alto rendimiento con un amplio rango de velocidad.

Convertidor de tiristor

Los tiristores se utilizan para construir la primera etapa de un Driver para motor eléctrico con el fin de variar la amplitud de la forma de onda del voltaje  (Va en la Figura 27.2(a)) a través de los devanados del motor, como se muestra en la figura 3.35.

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Las secciones del rectificador y del inversor pueden ser circuitos de tiristores. Se usa un rectificador controlado junto con un inversor de fuente de voltaje (VSI – Voltage Source Inverter) modulado por onda cuadrada o ancho de pulso (PWM) para crear el sistema controlador de velocidad-par. La Figura 3.36 muestra una onda cuadrada o PWM VSI con un rectificador controlado en el lado de entrada. 

El interruptor del bloque inversor está hecho de tiristores (generalmente GTO Gate Turn-Off Thyristor) para alta potencia. Los controladores de motores de baja potencia suelen utilizar inversores IGBT (Insulated-Gate Bipolar Transistor).

Pulse-Width Modulation

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Una de las funciones básicas de la electrónica de potencia es la conmutación, el interruptor que apaga-enciende, conocido como Switcher. Podríamos entonces hablar de la Función Switching. Basándonos en la Figura 1.15, las funciones de Switching se pueden caracterizar por completo con tres parámetros:

  1. La relación de trabajo D (Duty Ratio): fracción de tiempo durante el cual el interruptor está en su posición de encendido. Para fines de control, el ancho del pulso se puede ajustar para lograr un resultado deseado. Podemos denominar este proceso de ajuste como modulación por ancho de pulso (PWM – Pulse Width Modulation), tal vez el proceso más importante para implementar el control en los convertidores de potencia, por lo cual será nuestro siguiente tema.
  2. La frecuencia fswitch :  suele ser constante, aunque no en todas las aplicaciones. Para fines de control, la frecuencia puede ajustarse. Esto es inusual en los convertidores de potencia porque las frecuencias de operación a menudo son dictadas por la aplicación. (ω=2πfswitch; fswitch=1/T).
  3. El tiempo de retardo t0 o la fase Ø0 = ωt0: los rectificadores a menudo hacen uso del control de fase para proporcionar un rango de ajuste. Algunas aplicaciones especializadas de convertidores ac-ac usan modulación de fase

 

Fuente:

  1. Libro Rashid – Power Electronic Handbook

 

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Ingeniería Eléctrica, Señales y Sistemas

Señales de tiempo discreto – muestreo en matlab

Se denomina señal de tiempo discreto a aquella señal que es función de una variable de tiempo discreto t en n, donde n toma sólo valores enteros.


Variable de tiempo discreto

Se dice que la variable de tiempo t es una variable de tiempo discreto, si t toma los valores discretos:

para algún intervalo de valores enteros de n. Por ejemplo, t podría tomar los valores enteros t=0,1,2…; es decir,

Señal de tiempo discreto

Un señal de tiempo discreto una señal que es una función de la variable de tiempo discreto tn , donde n toma sólo valores enteros.

Una señal de tiempo discreto suele denotarse x[n]. En esta notación, la variable entera n corresponde a los instantes tn. La gráfica de una señal de tiempo discreto x[n] siempre estará en términos de los valores de x[n] contra los valores de la variable de tiempo discreto n.

Con frecuencia, los valores de x[n] se indican en la gráfica mediante círculos rellenos, con líneas verticales que conectan a dichos círculos con el eje del tiempo. Esto da como resultado una gráfica de tallo, la cual es una forma común de desplegar señales de tiempo discreto.

Como ejemplo, vamos a graficar en matlab la señal x[n] determinada por:

null

Introducimos en matlab el siguiente script en un archivo .m. He utilizado la plantilla para crear funciones:

n=-2:6;

x=[0 0 1 2 1 0 -1 0 0];

stem (n,x,’filled’);

xlabel (‘n’)

ylabel (‘x[n]’)

La gráfica de x[n] en matlab aparece a continuación:

Muestreo

La forma más común de generar una señal de tiempo discreto es muestreando una señal de tiempo continuo.

Supongamos que una señal continua x(t) se aplica a un interruptor electrónico que se cierra cada T segundos.

Si el lapso durante el cual el interruptor se cierra es mucho más pequeño que T, la salida del interruptor puede considerarse como una señal de tiempo discreto tn:

La señal de tiempo discreto resultante se conoce como versión muestreada de la señal original x(t), y a T se le conoce como período de muestreo. Debido a que la duración de T entre instantes adyacentes de muestreo tn y t(n+1) es igual a una constante, es decir:

El proceso de muestreo bajo estas condiciones se conoce como muestreo uniforme.

La Figura 1.10 muestra una señal x(t) de tiempo continuo:

La Figura 1.14 muestra una señal en tiempo discreto que surge de un proceso de muestreo uniforme de la señal de tiempo continuo mostrada en la Figura 1.10. En este caso, la variable entera n denota el instante nT. Primero incorporamos el código matlab para generar esta gráfica:

t=0:1:30;

x=exp(-.1*t).*sin(2/3*t);

y_out=stem(t,x,’filled’);

grid

xlabel(‘time[sec]’)

ylabel(‘x[n]’)

 

Por definición del proceso de muestreo, el valor de x[n] para cualquier valor entero, está dado por:

En el ejemplo anterior, la señal de tiempo continuo x(t) de la Figura 1.10, es muestreada con T=1, el resultado es la señal de tiempo discreto x[n] de la Figura 1.14.

Fuente:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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Ingeniería Eléctrica, Máquinas Eléctricas

Movimiento rotatorio – Conceptos básicos

MOVIMIENTO ROTATORIO, LEY DE NEWTON Y RELACIONES DE POTENCIA – Introducción.

Casi todas las máquinas eléctricas rotan sobre un eje llamado flecha. En general, se requiere un vector tridimensional para describir la rotación de un objeto en el espacio. Sin embargo, dado que las máquinas giran sobre un eje fijo, su rotación queda restringida a una dimensión angular. Con relación a un extremo del eje de la máquina, la dirección de rotación puede ser descrita ya sea en el sentido de las manecillas del reloj (SMR) o en sentido contrario al de las manecillas del reloj (SCMR). Como referencia, supondremos que SCMR es el sentido positivo.

Los conceptos básicos del movimiento rotatorio se pueden resumir en los siguientes:

· Momento de inercia (J)

· Posición angular (Θ)

· Velocidad angular (ω)

· Aceleración angular (α)

· Par, momento de fuerza o torque (τ)

· Trabajo (W)

· Potencia (P)

. Ley de la Fuerza de Lorentz

Momento de inercia (J) se mide en kilogramos-metro.

Al aplicar la segunda ley de Newton para calcular las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en movimiento rotatorio, debemos utilizar el concepto J en vez del concepto M (masa). Es decir:

Dónde:

Dónde dm es un elemento de masa, r es la distancia del eje a dm y la integración se efectúa sobre el cuerpo. Para ilustrar este concepto se muestra el resultado de aplicar la ecuación anterior sobre un cuerpo cilíndrico semejante a la geometría característica de un motor de densidad p:

Puesto que la masa entera m del cuerpo del cilindro es:

Se obtiene que:

Posición angular (Θ) se mide en radianes o grados.

La posición angular  de un objeto es el ángulo en que se sitúa, medido desde algún punto de referencia arbitrario. Por lo general, la posición angular se mide en radianes o grados, lo cual es equivalente al concepto de distancia en el movimiento rectilíneo.

Para propósitos de ingeniería, el desplazamiento o posición angular Θ se define como positivo cuando se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj.

Velocidad angular (ω) se mide en radianes por segundo.

La velocidad angular (o rapidez) es la tasa de cambio en la posición angular con respecto al tiempo:

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Si las unidades de la posición angular están en radianes, la velocidad angular se mide en radianes por segundo. Sin embargo, cuando se trata de máquinas eléctricas normales, los ingenieros utilizan con frecuencia unidades diferentes a los radianes por segundo para describir la velocidad del eje.

Frecuentemente, la velocidad angular se expresa en revoluciones por segundo o revoluciones por minuto. Puesto que la velocidad angular es un concepto importante en el estudio de las máquinas, se acostumbra utilizar diferentes símbolos para representar la velocidad cuando se expresa en unidades distintas, lo cual permite minimizar cualquier posible confusión en cuanto a las unidades.

Los símbolos para describir la velocidad angular son los siguientes:

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En estos símbolos el subíndice m indica una cantidad mecánica en contraposición a una cantidad eléctrica. Estas medidas de velocidad del eje se relacionan entre sí mediante las siguientes ecuaciones:

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Aceleración angular (α) se mide en radianes por segundo al cuadrado.

La aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular con respecto al tiempo:

null

La aceleración angular se mide en radianes por segundo al cuadrado.

Al igual que en el caso de la velocidad angular, si la aceleración angular se mide con respecto a una referencia no acelerada, a la misma se le llama aceleración absoluta; de otra forma se denomina aceleración relativa.

Par, momento de fuerza o torque (τ) se mide en newtons-metro. 

Cuando un objeto rota, su velocidad angular permanece constante a menos que se ejerza un par sobre él. Cuanto mayor sea el par aplicado al objeto, más rápidamente cambiará su velocidad angular.

El par o momento de fuerza se define como cualquier causa que tienda a producir un cambio en el movimiento rotacional de un cuerpo sobre el cual actúa. El par sobre un objeto se define como el producto de la fuerza aplicada al objeto y la distancia más corta entre la línea de acción de la fuerza y el eje de rotación del objeto.

Si r es un vector que apunta desde el eje de rotación hasta el punto de aplicación de la fuerza y si F es la fuerza aplicada, el par puede describirse como:

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Donde θ es el ángulo entre el vector F y el vector r.

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Las unidades del par son newton-metro en las unidades del SI.

Ley de rotación de Newton

La ley de rotación de Newton está dada por la ecuación siguiente:

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Donde τ es el par o momento de fuerza, J es el momento de inercia que se mide en kilogramos-metro y α es la aceleración angular expresada en radianes por segundo al cuadrado.

Las unidades del par son newton-metro en las unidades del SI

Trabajo (W) se mide en joules. 

En el movimiento rotatorio, trabajo es la aplicación de un par a lo largo de un ángulo. En este caso la ecuación es:

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Si el par es constante, entonces:

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Potencia (P) se mide en joules por segundo (watts) o caballos de fuerza (hp)

La potencia es la tasa a la cual se realiza trabajo o el incremento de trabajo por unidad de tiempo. La ecuación de potencia es:

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Generalmente se mide en joules por segundo (watts), pero también se puede medir en caballos de fuerza (hp). Si se aplica esta definición y se supone que la fuerza es constante y colineal con la dirección del movimiento, la potencia está dada por:

null

Así mismo, si el par es constante, en el movimiento rotatorio la potencia está dada por:

null

La ecuación de P anterior es muy importante en el estudio de las máquinas eléctricas porque describe la potencia mecánica aplicada al eje de un motor o de un generador. Indica además la relación correcta entre la potencia, el par y la velocidad angular, si la potencia se mide en watts, el par en newton-metro y la velocidad en radianes por segundo. Si se utilizan otras unidades para medir cualquiera de las cantidades indicadas, se debe introducir una constante en la ecuación como factor de conversión.

Ley de la fuerza magnética de Lorentz

El fenómeno físico subyacente que hace posible que un motor genere un par cuando una corriente pasa a través de los devanados de dicho motor, se puede expresar como sigue:

Donde la carga q, moviéndose a la velocidad V a través del campo magnético B, experimenta una fuerza F.

Esta ecuación se conoce como la Ley de Lorentz para campo magnético y es tema de nuestros siguientes artículos.

SIGUIENTE: Concepto de Campo Magnético

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