Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica, Sin categoría

Ejercicio de cálculo de corriente y voltaje mediante fasores.

Mediante este ejercicio podremos ver la gran ventaja que ofrece trabajar con fasores para hallar voltajes y corrientes en un circuito eléctrico. En otras palabras, la ventaja de trabajar en el dominio de la frecuencia en vez de trabajar en el dominio del tiempo.

Hallar eo(t) e i(t) en el circuito de la Figura 1 sabiendo que R=5 Ω y C=0.1 F:

Figura 1. Circuito eléctrico de corriente alterna (CA).

Respuesta:

Colocamos la fuente de alimentación como referencia y la expresamos en forma fasorial:

La impedancia Z es:

Con ambas expresiones podemos determinar la corriente i(t) en forma fasorial como sigue:

Como se trata de una división, lo más práctico es tener ambas ecuaciones (voltaje e impedancia) en su forma polar. Por tanto:

De esta manera:

Que en su forma rectangular es:

Para hallar eo(t)  por su parte, en forma fasorial, utilizamos la siguiente relación:

Aplicando el mismo procedimiento que con la corriente I, podemos expresar el voltaje Eo en su forma rectangular como:

Una vez que tenemos estos resultados, podemos expresarlos fácilmente en el dominio del tiempo:

Como era de esperarse en un circuito capacitivo, la corriente adelanta al voltaje.

Para graficar estas señales en Matlab debemos expresar los ángulos en radianes:

null

Así, tenemos que:

null

Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab para eo(t):

>> t=0:0.01:10;

>> eo=4.48*cos(4*t-0.7048);

>> plot(t,x)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’

null
Figura 4. Simulación en Matlab de eo(t)=4.48cos(4t -0.7048)

Ambas señales:

>> t=0:0.01:10;

>> eo=4.48*cos(4*t-0.7048);

>> i=1.79*cos(4*t+0.4637);

>> plot(t,x,t,y)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’)

Figura 5. Simulación en Matlab de i(t)eo(t). 

Para repasar la teoría en esta materia recomiendo ver:

Fuentes:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta

 

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

La impedancia y la admitancia de un circuito eléctrico – análisis fasorial

La impedancia Z de un circuito es la razón entre la tensión fasorial V y la corriente fasorial I, medida en ohms (Ω). Es decir:

La admitancia Y es el inverso de la impedancia, medida en siemens (S):

A veces resulta más conveniente trabajar con la admitancia en vez de trabajar con la impedancia.

La impedancia representa la oposición que ejerce un circuito eléctrico al paso de la corriente senoidal. La admitancia por su parte, representa lo contrario, la falta de oposición al paso de la corriente senoidal.

De lo estudiado en Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico, podemos extraer las expresiones para la impedancia en una resistencia R, un inductor L o un capacitor C, particulares, como sigue:

Resumiendo mediante un cuadro:

Figura 1. Impedancia t admitancia para los elementos pasivos de un circuito eléctrico.

Si bien, tanto la impedancia como la admitancia se pueden expresar como cantidades complejas en forma rectangular o polar, es necesario resaltar que la impedancia no es un fasor, porque no varía senoidalmente.

En la Figura (1) resaltan dos casos extremos, cuando ω=0  y cuando ω=∞:

Es decir, cuando  (circuito CD), un inductor es lo mismo que un circuito cerrado, por lo tanto se puede reemplazar por un cable que conduce corriente libremente, mientras que un capacitor representa un circuito abierto que se puede reemplazar por un cable interrumpido (cortado), por el que no puede pasar la corriente. Mientras que, cuando  (circuito de alta frecuencia) , sucede totalmente lo contrario. Estas posibilidades se muestran en la siguiente Figura (2):

Figura 2. Circuitos equivalentes de CD y alta frecuencia para a) el inductor; b) el capacitor.
La impedancia y la admitancia como cantidades complejas

En sus formas rectangular y polar, la impedancia Z se puede expresar como sigue:

Dónde:

Por su parte, la admitancia Y se puede expresar como sigue:

Dónde:

Algebraicamente se podría comprobar que:

Dónde:

Aplicación – ejemplo

Mediante este ejercicio podremos ver la gran ventaja que ofrece trabajar con fasores para hallar voltajes y corrientes en un circuito eléctrico. En otras palabras, la ventaja de trabajar en el dominio de la frecuencia en vez de trabajar en el dominio del tiempo.

Hallar eo(t) e i(t) en el circuito de la Figura 3 sabiendo que R=5 Ω y C=0.1 F:

Figura 3. Ejercicio de aplicación.

Respuesta:

Colocamos la fuente de alimentación como referencia y la expresamos en forma fasorial:

La impedancia Z es:

Con ambas expresiones podemos determinar la corriente i(t) en forma fasorial como sigue:

Como se trata de una división, lo más práctico es tener ambas ecuaciones (voltaje e impedancia) en su forma polar. Por tanto:

De esta manera:

Que en su forma rectangular es:

Para hallar eo(t)  por su parte, en forma fasorial, utilizamos la siguiente relación:

Aplicando el mismo procedimiento que con la corriente I, podemos expresar el voltaje Eo en su forma rectangular como:

Una vez que tenemos estos resultados, podemos expresarlos fácilmente en el dominio del tiempo:

Como era de esperarse en un circuito capacitivo, la corriente adelanta al voltaje.

Para graficar estas señales en Matlab debemos expresar los ángulos en radianes:

null

Así, tenemos que:

null

Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab para eo(t):

>> t=0:0.01:10;

>> eo=4.48*cos(4*t-0.7048);

>> plot(t,x)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’

null
Figura 4. Simulación en Matlab de eo(t)=4.48cos(4t -0.7048)

Ambas señales:

>> t=0:0.01:10;

>> eo=4.48*cos(4*t-0.7048);

>> i=1.79*cos(4*t+0.4637);

>> plot(t,x,t,y)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’)

Figura 5. Simulación en Matlab de i(t)eo(t). 

ANTERIOR: Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico

Fuentes:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta

 

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Circuit Analysis, Electrical Engineer, Ingeniería Eléctrica

Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico

La resistencia, el inductor y el capacitor en circuitos de corriente alterna, requieren de un método de estudio particular. El siguiente método permite transformar la relación tensión-corriente del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia (dominio fasorial), de los elementos pasivos de una red: resistencia, inductor y capacitor.

Resistor o resistencia

Supongamos que la corriente ir(t) que pasa a través de un resistor r, tiene la siguiente expresión matemática:

De acuerdo a lo discutido en Representación Fasorial de voltajes y corrientes – Fasores, en notación fasorial polar, ir(t)  puede ser escrita como:

De acuerdo con la Ley de Ohm, la tensión a través del resistor está dada por:

La ecuación (1) podemos expresarla mediante notación fasorial de la siguiente manera:

La relación entre el voltaje y la corriente en un resistor se puede apreciar en la Figura (1) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia:

Figura 1. Relación de voltaje-corriente del resistor; a) dominio del tiempo; b) dominio de la frecuencia.

La ecuación (2) indica que el voltaje y la corriente en un resistor tienen la misma fase, es decir, están en fase, lo que se puede apreciar en el diagrama fasorial de la Figura (2):

Figura 2. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el resistor r.
Inductor o inductancia

Supongamos que la corriente il(t) que pasa a través de un inductor L, tiene la siguiente expresión matemática y expresión fasorial exponencial:

De acuerdo con la Ley de Ohm, la tensión a través del inductor está dada por:

Debido a que:

La ecuación (3) se transforma en:

La ecuación (4) podemos expresarla mediante notación fasorial de la siguiente manera:

Debido a que:

Podemos reescribir la ecuación (5):

La relación entre el voltaje y la corriente en un resistor se puede apreciar en la Figura (3) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia:

Figura 3. Relación de voltaje-corriente del Inductor L; a) dominio del tiempo; b) dominio de la frecuencia.

 

La ecuación (5) indica que el voltaje se adelanta 90 grados con respecto a la corriente. En ingeniería eléctrica por convención se prefiere decir que la corriente se atrasa con respecto a el voltaje, lo que se puede apreciar en el diagrama fasorial de la Figura (4):

Figura 4. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el inductor l. La corriente se atrasa 90° respecto al voltaje.

 

Capacitor o capacitancia

Supongamos que la corriente vc(t) que pasa a través de un capacitor c, tiene la siguiente expresión matemáticany expresión fasorial exponencial:

De acuerdo con la Ley de Ohm, la tensión a través del capacitor está dada por:

La ecuación (6) podemos expresarla mediante notación fasorial de la siguiente manera:

Podemos reescribir la ecuación (7):

Es decir:

La relación entre el voltaje y la corriente en un capacitor se puede apreciar en la Figura (5) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia:

Figura 5. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el capacitor C. La corriente se adelanta 90° respecto al voltaje.

La ecuación (6) indica que el voltaje se atrasa 90 grados con respecto a la corriente. En ingeniería eléctrica por convención se prefiere decir que la corriente se adelanta con respecto al voltaje, lo que se puede apreciar en el diagrama fasorial de la Figura (6):

Figura 6. Diagrama Fasorial para la relación voltaje-corriente en el inductor C. La corriente se adelanta 90° respecto al voltaje.

En resumen:

Figura 7. Resumen de relación de voltaje-corriente de los elementos pasivos de un circuito eléctrico: resistencia, inductor y capacitor.

ANTERIOR: Representación Fasorial de voltajes y corrientes – Fasores

SIGUIENTE: La impedancia y la admitancia de un circuito eléctrico.

Fuentes:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta

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Ingeniería Eléctrica

Representación Fasorial de corrientes y voltajes – Fasores

Un fasor es un número complejo que representa la magnitud y la fase de una senoide. Los fasores tienen la forma siguiente:El método más corto para sumar voltajes y corrientes alternos, es el que utiliza el vector radial en rotación. A este vector radial se le llama fasor en ingeniería eléctrica, y tiene magnitud constante con un extremo fijo en el origen.

Los circuitos de voltaje y corriente alterna son excitados por fuentes senoidales. Una senoide es una señal que tiene la forma de la función seno o coseno. La senoide representa la forma más frecuente en la naturaleza, de allí su importancia.

Voltaje

Una tensión senoidal tiene la forma siguiente en el dominio temporal:

Donde Vm es la amplitud máxima de V(t) medida en voltios, ω es la frecuencia angular medida en radianes por segundo, t es el tiempo medido en segundos, y Ø es el ángulo de fase de la tensión senoidal medido en grados con respecto a la tensión o corriente de referencia, tal como se muestra en la Figura (1):

Figura 1

Para ver un fasor en operación, supongamos que queremos sumar dos voltajes que varían en el tiempo, V1(t) y V2(t), los cuáles están representados matemáticamente por las siguientes expresiones:

Podemos apreciar que ambas señales son sinusoidales. Que V1(t)  tiene una amplitud máxima de 2 V, mientras que V2(t) tiene una amplitud máxima de 1 V. Además, entre ambas señales hay un desfase de 90 grados. La trigonometría nos permite saber que la suma de ambos voltajes da como resultado:

La ventaja que ofrece el uso de fasores es que la operación anterior la podemos realizar como suma de vectores, como se muestra a continuación.

Para poder graficar estas señales debemos tomar una “fotografía instantánea” en algún momento específico. Supongamos que ese momento es el tiempo t=0 s. En ese instante, ambas señales cruzan el eje vertical. Las magnitudes de ambas señales son V1(0) =2 V, mientras que V2(0)=0 V. La curva de cada uno de los voltajes, como su suma,  pueden ser representados mediante tres fasores detenidos en el instante t=0 segundos, en un diagrama denominado diagrama fasorialcomo se muestra en la Figura 2:

Figura 2. A la izquierda se observa el diagrama fasorial de la operación en un instante t=0 s. A la derecha se observa la forma de curva de cada señal, y su suma, en función de ωt.

Es necesario recalcar que en una simulación en tiempo real, los fasores rotan. Para que la suma, la resta, la multiplicación o división de dos fasores tenga sentido, ambos deben rotar a la misma frecuencia. Es decir, todas las señales implicadas en la operación fasorial deben tener la misma frecuencia.

Algebra de números complejos (fasores)

El marco teórico del álgebra de fasores es el álgebra de los números complejos. En la Figura (2) los fasores tienen la forma siguiente, conocida como forma exponencial:Donde la letra A en negrita indica que se trata de un vector (un fasor), mientras que A sin negritas, representa la magnitud del vector, y Ø es el ángulo que forma el vector con el eje de la abscisa, tal como se muestra en la Figura (3):

Figura 3

En ingeniería eléctrica se acostumbra utilizar la siguiente notación fasorial, conocida como forma polar:

En el caso del voltaje (o la corriente), la transformación fasorial se manifiesta de la siguiente manera:

Utilizando la forma polar y regresando a nuestro ejemplo, los voltajes V1(t) y V2(t), y su suma Vl(t),  se representan de la siguiente manera en el dominio fasorial:

Notar que hemos retirado la t del subíndice de la variable Vl  ya que hemos pasado del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Será más evidente esto cuando estudiemos las relaciones fasoriales de los elementos de un circuito.

La forma polar es ideal para realizar multiplicación y división, pero no lo es para suma y resta. Otra manera de representar el fasor es mediante la forma rectangular:

Dónde a=Acos(Ø) se conoce como la parte real, mientras que b=Asen(Ø)  se conoce como la parte imaginaria, como se muestra en la Figura (4):

Figura 4

Al transformar de su forma polar a su forma rectangular los voltajes V1(t) y V2(t), obtenemos los siguiente:

Ahora la suma de V1(t) y V2(t) se ejecuta fácilmente, según la regla que indica sumar las partes reales e imaginarias por separado:

Para obtener la forma polar de Vl(t),  a partir de su forma rectangular, consideramos la siguiente regla:

Por tanto:

Corrientes

Como segundo ejemplo se calculará el valor para i(t) de la red de la Figura (5):

Figura 5

Sabiendo que:

Respuesta:

Cuando estudiemos las relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico, veremos que la corriente que atraviesa una impedancia inductiva se atrasa con respecto al voltaje en los extremos de la impedancia. En el caso de una impedancia capacitiva, la corriente se adelanta al voltaje sobre la impedancia. Y en el caso de una impedancia puramente resistiva, la corriente y el voltaje están en fase. Esto explica los signos de los ángulos de fase de las corrientes en nuestro ejercicio considerando que el voltaje v(t) es el voltaje de referencia. En notación polar:

Para ejecutar la suma, transformamos la forma polar a la forma rectangular:

Luego:

En conclusión, en coordenadas rectangulares:

Y en coordenadas polares:

SIGUIENTE: Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico

Fuentes:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta

 

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Análisis de sistemas de control, Ingeniería Eléctrica

Diseño de un Sistema de Control

El objetivo fundamental de analizar un sistema de control es facilitar su diseño. El Diagrama de Bloques es el primer paso porque representa el modelo matemático del sistema que queremos analizar y mejorar. La dinámica de un proceso lineal controlado puede representarse por el diagrama de bloques de la Figura 10-1:

La mayoría de los sistemas de control se construyen para que el vector de salida y(t) cumpla con ciertas especificaciones que definen que debe hacer el sistema y cómo hacerlo de una manera deseada. Dichas especificaciones son únicas para cada aplicación individual. Estabilidad relativa, precisión en estado estable (error) y respuestas transitoria son las especificaciones más utilizadas en el mercado. El problema esencial involucra determinar la señal de control U(t) dentro de un intervalo prescrito para que se satisfagan las especificaciones requeridas por el cliente.

Luego de determinar lo anterior, el ingeniero debe diseñar una configuración fija del sistema y el lugar donde el controlador estará colocado en relación con el proceso controlado, lo que involucra además diseñar los elementos que conforman el controlador, es decir, determinar los parámetros del controlador. Debido a que la mayoría de los esfuerzos de control involucran la modificación o compensación de las características de desempeño mostradas por el sistema durante el análisis de respuesta transitoria y respuesta en estado estable, al diseño de una configuración fija también se le llama compensación.

En definitiva, el arte y ciencia de diseñar sistemas de control puede resumirse en tres pasos, lo que nos conlleva a nuestros siguientes temas:

  1. Determinar que debe hacerse y cómo hacerlo
    1. Estabilidad de un sistema de control
    2. Respuesta Transitoria de un Sistema de Control
    3. Error en estado estable de un sistema de control
  2. Determinar la configuración del controlador
    1. PID – Acciones Básicas de Sistemas de Control
    2. PID – Efecto de las acciones de control Integral y Derivativo
    3. PID – Diseño y configuración del controlador
  3. Determinar los parámetros del controlador

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  4. dinamica_de_sistemas

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Atención:

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema.. le entrego la respuesta en digital..opcional simulación en Matlab.

Ingeniería Eléctrica, Sistema Electromecánico

Definición de Sistema Electromecánico

“Los Sistemas Electromecánicos son aquellos sistemas híbridos de variables mecánicas y eléctricas”. Las aplicaciones para componentes electromecánicos cubren un amplio espectro, desde sistemas de control para robots y rastreadores de estrellas, hasta electrodomésticos y controles de posición del disco duro en una computadora, o el control de motores DC en sistemas de aire acondicionado para instalaciones residenciales.

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Motor de Imán Permanente para electrodomésticos, detalle del devanado de cobre y el eje – Detail of copper winding, stack and shaft of a electric permeant magnet motor for home appliances.

La Figura 2.1 muestra un sistema de accionamiento electromecánico. Consiste de una fuente de poder y energía, un circuito de compuerta para el convertidor, convertidores electrónicos (rectificador, inversor, controlador electrónico de poder), sensores de corriente (derivadores, transformador de corriente, sensor Hall), sensor de voltaje (divisor de voltaje, transformador de potencial), sensores de velocidad (tacómetros) y sensores de desplazamiento (codificadores), máquinas rotativas trifásicas, cajas de engranajes y cargas específicas (bomba, ventilador, automovil, etc). En la Figura 2-1 todos los componentes, con excepción de los engranajes, están representados por una Función de Transferencia (variables de salida en función del tiempo), mientras que la caja de engranajes está representada por una Función Característica (variable de salida Xout en función de la variable de entrada Xin)

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

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Electrical Engineer, Flujo de Potencia, Ingeniería Eléctrica, Power Distribution, Teoría Electromagnética

Definición de Sistema Eléctrico de Potencia

Un sistema eléctrico de potencia es una herramienta de conversión y transporte de energía. Está compuesto por todas las máquinas, aparatos, redes, procesos y materiales utilizados para la generación, transmisión y distribución de energía eléctrica. 

El manejo de la energía eléctrica en los sistemas de potencia se hace principalmente en la forma conocida como corriente alterna. En la entrada del sistema, la energía que se encuentra disponible en la naturaleza es transformada de diversas formas (hidráulica, eólica, por combustión de fósiles, nuclear, solar, geotérmica) en energía eléctrica. La última etapa en este proceso de generación lo representa el generador eléctrico. En la siguiente ilustración muestra la representación esquemática de una gran turbina eólica comercial (1) que impulsa un generador de inducción de jaula de ardilla (4) por medio de una caja de velocidades (3). El estator del generador está conectado a la red de energía eléctrica (7) por medio de un transformador (6):

Turbina Eólica

Una vez generada la energía eléctrica, inicia el proceso de transmisión, que consiste en el transporte de grandes bloques de energía desde los centros de generación hasta los centros de utilización. Ya disponible la energía eléctrica en los pueblos y ciudades, los usuarios finales son habilitados mediante el proceso de distribución.

Los sistemas de potencia eléctrica se componen de líneas de transmisión de alto voltaje que alimentan a una red de mediano voltaje (MV) por medio de subestaciones.

power lines over sunset and birds flying.

En América, estas redes de mediano voltaje operan generalmente entre los 2.4 KV (kilovoltios) y 69 KV. A su vez, éstas redes abastecen a millones de sistemas de bajo voltaje independientes que funcionan entre 120V y 600V.

Comenzando con la planta de generación, cada parte de un sistema eléctrico de potencia utiliza subestaciones de mediano voltaje, unidades que contienen los siguientes componentes principales:

  1. Transformadores
  2. Cortacircuitos
  3. Interruptores de conexión
  4. Interruptores de conexión a tierra
  5. Relevadores y dispositivos de protección

Las líneas de transmisión poseen todas las propiedades de los elementos básicos de un circuito (resistencias, capacitores, bobinas y las conexiones entre todos ellos). Para el análisis y estudio de las líneas de transmisión, mediante un proceso de abstracción, todos estos elementos se consideran concentrados, aunque en la realidad estas propiedades están distribuidas a través de toda la red. El estudio de las líneas de transmisión de un sistema eléctrico de potencia es el paso inicial para comprender a profundidad el comportamiento ondulatorio de dicho sistema.

A pesar de que la teoría fundamental de la transmisión de energía describe su propagación en términos de la interacción de campos eléctricos y magnéticos, el ingeniero eléctrico especializado en sistemas de potencia, estará más interesado en analizar la razón de cambio de la energía con respecto al tiempo en términos de diferencia de potencial (voltaje) y de la intensidad (corriente). Esta es la definición de potencia eléctrica cuya unidad de medida es el Watt.

Los sistemas de potencia funcionan con generadores trifásicos, por lo que el estudio de la potencia eléctrica requiere de destrezas para el análisis fasorial. Conviene antes, sin embargo, analizar la Potencia Eléctrica en Circuitos Monofásicos, y luego extrapolar este análisis al caso trifásico. Para poder analizar la Potencia Eléctrica en circuitos monofásicos, debemos dominar los elemental:

  1. Representación Fasorial de voltajes y corrientes – Fasores
  2. Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico

Fuente:

  1. Libro Analisis_de_sistemas_de_pot
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg
  3. Wildi. Maquinas Electricas y Sistemas de Potencia
  4. Getty Images

Revisión literaria hecha por:

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Análisis de sistemas de control, Power Electronics, Sistema Electromecánico

Sistema de Control de Motor DC en Matlab – PWM (Pulse width Modulation)

Los actuadores en aplicaciones de robótica, en especial los Motores DC, deben ser controlados con precisión con el fin de obtener, por ejemplo, el movimiento deseado en brazos y piernas de un robot. Esto requiere del uso de amplificadores de potencia para suministrar el correcto nivel de voltaje (o corriente) a la armadura del motor. Para lograr esto, el uso de amplificadores proporcionales como el amplificador operacional resulta ser un método muy ineficiente y posiblemente destructivo debido a la gran pérdida de potencia en forma de calor. Una alternativa es el control de voltaje utilizando un conmutador ON-OFF. El PWM (Pulse Width Modulation por sus siglas en Inglés ) es el método más común para variar el voltaje promedio suministrado a un motor DC.

Modelaremos un sistema de control para un motor DC impulsado por una señal de entrada constante y observaremos que la corriente y el movimiento de rotación a la salida del motor cumplan con los valores esperados.

Este modelo muestra cómo utilizar el conmutador de voltaje conocido como PWM (Pulse Width Modulation) y el puente H (H-Bridge) para controlar un motor DC, el cual utiliza los parámetros de la hoja de datos del fabricante, que especifican que el motor entrega 10W de potencia mecánica a 2500 rpm y la velocidad sin carga de 4000 rpm cuando se ejecuta desde una fuente de alimentación de 12V CC. Por lo tanto, si el voltaje de referencia PWM se establece en su valor máximo de + 5V, entonces el motor debe funcionar a 4000 rpm. Si se establece en + 2.5V, entonces debe funcionar a aproximadamente 2000 rpm.

Para una revisión matemática de la dinámica de un motor DC, ver:

¿Qué es PWM?

PWM es una técnica para el control efectivo del voltaje de armadura en un motor DC, utilizando solamente un switch ON-OFF. La Figura 2.3.3 ilustra la señal de salida de un equipo PWM:

null

El PWM varía la relación entre la duración del estado ON con respecto a la duración del estado OFF. Un solo ciclo de estados ON y OFF representa el periodo del PWM, mientras que el porcentaje del estado ON con respecto al periodo del PWM es denominado “Duty Rate” (ritmo de trabajo). La primera señal PWM mostrada en la Figura 2.3.3, está a 60% de trabajo, mientras la segunda lo está a 25%. Si la fuente de voltaje que alimenta el sistema es V=10 volts, el voltaje promedio realmente transmitido al motor DC es de 6 volts en el primer caso y de 2.5 volts en el segundo. El periodo del PWM es establecido de tal manera que sea mucho más corto que la constante de tiempo asociada al movimiento mecánico.  La frecuencia del PWM está usualmente entre los 2 y los 20 KHz, mientras que un ancho de banda típico del sistema de control del motor es de 100 Hz. Por lo tanto, la conmutación discreta no influye sustancialmente al movimiento mecánico en la mayoría de los casos.

Si la constante de tiempo Te es mucho mayor que el período del PWM, la corriente real que fluye hacia la armadura del motor es una curva suave, como se ilustra en la Figura 2.3.4:

Modelo en Simulink
  1. Seleccionar Simulink Library del menú principal de Matlab
  2. Una vez en la librería de Simulink, seleccionar New Model
  3. En librería, seleccionar la siguiente lista de componentes y añadirlos al nuevo modelo. Para agregar componentes la modelo hacer clik derecho sobre el bloque que se desea agregar y seleccionar Add block to the model.

  1. Los bloques se van agregando uno sobre otro, así que debemos ir separándoles en el modelo a medida que son añadidos. Según la versión de Matlab, la ubicación puede cambiar. Una manera de ubicarlos rápidamente es utilizar el buscador de la librería. Al finalizar el proceso de selección, nuestro modelo y sus componentes debería verse como sigue:

  1. Ahora, debemos conectar los componentes de acuerdo al siguiente esquema:

  1. Configuración

 

  1. Configurar el DC Voltage Source block parameters como sigue:
    • Constant voltage:  2.5 V
  2. Configurar el Controlled PWM Voltage block parameters como sigue:
    • PWM frequency: 4000 Hz
    • Simulation modeto Averaged

Este valor le dice al bloque que genere una señal de salida cuyo valor es el valor promedio de la señal PWM. La simulación del motor con una señal promediada calcula el comportamiento del motor en presencia de una señal PWM.

3, Configurar el H-Bridge block parameters como sigue:

  • Simulation modeto Averaged

Configurar el Motor block parameters como sigue, dejando las unidades por defecto:

  • Electrical Torque tab:
    • Model parameterizationto By rated power, rated speed & no-load speed
    • Armature inductance; 0.01
    • No-load speed: 4000
    • Rated speed (at rated load): 2500
    • Rated load (mechanical power): 10
    • Rated DC supply voltage: 12

Mechanical tab:

  • Rotor inertia: 2000
  • Rotor damping: 1e-06

Configure los parámetros de “Solver” para usar un “Solver” de tiempo continuo porque los modelos de Simscape Electrical solo se ejecutan con un “Solver” de tiempo continuo. Aumente el tamaño de paso máximo que el solucionador puede tomar para que la simulación se ejecute más rápido, como sigue:

  1. En el menú principal del modelo, seleccione SimulationModel Configuration Parameters para abrir Configuration Parameters dialog box.
  2. Selecciona 0de15s (Stiff/NDF) del submenú Solver
  3. Click OK.

Correr la simulación y observar los resultados

En el menú principal, seleccionar Simulation > Run.

Para ver la corriente y la velocidad hacer doble-click en el Scope windows para cada parámetro, los resultados esperados son los siguientes:

Fuente:

  1. DC Motor Model
  2. PWM-Controlled DC Motor

Escrito por Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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Ingeniería Eléctrica, Teoría Electromagnética

Definición de diferencia de potencial y potencial eléctrico.

Se define la Diferencia de Potencial V como “El trabajo que se realiza (un agente externo) al mover una unidad de carga positiva de un punto a otro en un campo eléctrico

Anteriormente definimos la Intensidad del Campo Eléctrico como “La fuerza por unidad de carga que se ejerce sobre una pequeña carga de prueba unitaria colocada en el punto en donde se desea medir el valor de este campo eléctrico vectorial”. Si intentamos desplazar esta carga de prueba en contra de la dirección del campo eléctrico, se tiene que ejercer una fuerza igual y opuesta  a dicho campo, lo cual implica un gasto de energía debido al trabajo que es preciso realizar. Supongamos que queremos desplazar la carga Q en una distancia dL en un campo eléctrico E. La fuerza FE que ejerce el campo eléctrico sobre la carga Q es:

Es decir, la componente de ala fuerza en la dirección dL  que se debe vencer es:

En donde aL  es un vector unitario en la dirección dL.

Para desplazar la carga Q una distancia dL, se debe aplicar entonces la fuerza siguiente:

En este proceso hay un gasto de energía, que es igual al producto de la fuerza y la distancia desplazada. El trabajo diferencial dW que realiza el agente externo al desplazar Q sobre dL  es:

Dónde dL= aLdL. Es interesante resaltar que, según la ecuación anterior, dW es cero si E y dL  son perpendiculares.

Para determinar el trabajo W necesario para mover la carga Q una distancia infinita es necesario integrar, por lo que obtenemos:

Cómo se definió al principio, la diferencia de potencial V es el trabajo por unidad de carga positiva:

En consecuencia, de la ecuación (2) obtenemos la ecuación (1). La diferencia de potencial se mide entonces en joules por coulomb, de lo cual se define el voltio (V). La diferencia de potencial entre los puntos A y B está dada por:

Dónde VAB es positivo si se realiza trabajo cuando la carga se mueve de B a A.

Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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Ingeniería Eléctrica, Teoría Electromagnética

Ley de Gauss y el concepto de Densidad de Flujo Eléctrico

Ley de Gauss: “El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie”. La formulación matemática de la ley de Gauss es:Esta ecuación significa que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada, la cual podría estar constituida por un conjunto de cargas puntuales, una línea de carga, una carga superficial o una carga volumétrica. Esta última, que utiliza el concepto de Densidad de Carga Volumétrica  es la que se utiliza por convención científica (ecuación 1), pero podría ser cualquiera de las mencionadas.

Densidad de flujo eléctrico

La dirección de la densidad de flujo D en un punto es la dirección de las líneas de flujo en ese punto, y su magnitud es igual al número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas, dividida entre el área de la superficie”. Podemos definir a D en el espacio libre como:

Alrededor de 1837 Michael Faraday realizó su famoso experimento para analizar la transmisión de cargas entre dos esferas metálicas, una pequeña y cargada dentro de otra más grande y descargada, con un material dieléctrico (que no conduce, aislante) entre ellas. Pudo comprobar que la carga de la pequeña se transmitía a la más grande independientemente del dieléctrico. A ese “desplazamiento” de carga se le denominó Flujo Eléctrico . Faraday también descubrió que una carga positiva mayor en el interior de la esfera inducía una correspondiente carga negativa mayor en la esfera exterior. Esto condujo a establecer la existencia de una proporcionalidad directa entre el flujo eléctrico y la carga Q de la esfera interior. En el sistema SI esa constante de proporcionalidad es igual a uno, por lo que del experimento de Faraday se obtiene que:De manera que el flujo eléctrico se mide en Coulombs.

Considerando una esfera interior de radio a y una exterior de radio b, con cargas Q y Q, respectivamente (Figura 3.1), las trayectorias del flujo eléctrico  se extienden desde la esfera interior a la exterior. Las líneas de flujo tienen forma radial y simétrica desde una esfera a otra. En la superficie de la esfera interior ψ coulombs de flujo eléctrico los produce la carga de Q coulombs distribuidos uniformemente sobre una superficie que tiene un área de 4πaˆ2  m2. La densidad de flujo en esta superficie es  entonces  ψ/4πaˆ2 , ó Q/4πaˆ2  C/m2.  

A la densidad de flujo eléctrico D, medida en coulombs por metro cuadrado, es un campo vectorial que pertenece a la clase de campos vectoriales de “densidades de flujo” y distinta de la clase “campos de fuerza”, en la que se incluye la intensidad de campo eléctrico E. La dirección de D en un punto es la dirección de las líneas de flujo en ese punto, y su magnitud es igual al número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas, dividida entre el área de la superficie.

Para la esfera interior:

Para la esfera exterior: 

Para una distancia r, donde ar≤b:

Esta será la densidad de flujo inclusive llevando al límite el radio de la esfera interior hasta reducirla a una carga puntual. Si ahora comparamos este resultado con el obtenido para la intensidad del campo eléctrico radial debido a una carga puntual en el espacio libre (Definición de Campo Eléctrico):Llegamos a la conclusión de que:

De manera similar, si una distribución de carga volumétrica en el vacío (Densidad de Carga Volumétrica) produce una intensidad de campo eléctrico E:

La densidad de flujo eléctrico D debido a dicha distribución de carga volumétrica en el vacío es:Podemos considerar a la ecuación (2) como la definición de densidad de flujo eléctrico D en el vacío.

Ley de Gauss

La generalización del experimento realizado por Faraday conduce al siguiente enunciado conocido como Ley de Gauss:

 “El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie”.

La gran contribución de Gauss no consiste en haber descubierto el fenómeno del flujo eléctrico sino en expresarlo en forma matemática. Supóngase una distribución de carga Q, que se muestra como una nube de cargas puntuales en la figura 3.2, rodeada por una superficie cerrada de cualquier forma:

Considérese, en cualquier punto P, un pequeño elemento de superficie ΔS y que la densidad de flujo eléctrico Ds en ese punto de la superficie forma un ángulo θ con ΔS como lo muestra la figura 3.2. El flujo eléctrico a través de ΔS es, entonces, el producto de la componente normal de Ds y ΔS:

El flujo total que pasa a través de la superficie cerrada producido por una carga Q “dentro de la superficie encerrada”, se obtiene sumando las contribuciones diferenciales que cruzan cada elemento de superficie S:

Como dS implica el producto de dos coordenadas, la integral de la ecuación (3) es una integral triple. El círculo sobre la integral indica que la integración debe hacerse sobre una superficie cerrada. La formulación matemática de la Ley de Gauss es:

Por otra parte, sabemos que el flujo eléctrico ψ=Q. Esta carga Q puede ser una carga puntual, en cuyo caso:Q también puede ser una línea de carga:O también una carga superficial:O también una distribución de carga volumétrica:

 Por convención los científicos siempre hacen referencia a este último caso. Por tanto, podemos reescribir la ecuación (4) como:Esta ecuación matemática es una de las más básicas de la electrostática y significa simplemente que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada, carga total que puede mostrar cualquiera de las propiedades señaladas.

Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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