Cálculo, Límites

Teorema principal de Límites – Ejemplos

Teorema A. Teorema principal de los límites.

Aunque el Teorema A se establece en términos de límites por los dos lados, sigue cumpliéndose tanto para límites por la izquierda como para límites por la derecha.

Ejemplos de aplicación:
  1. Calcular

Solución:

 

Teorema B. Teorema de sustitución.

10. Si f(x) es una función polinomial o una función racional, entonces:

Con tal que f(c) esté definida. En el caso de una función racional, esto significa que el valor del denominador de f(c) no sea cero.

Ejemplos:

  1. Calcular

Solución: 

 2. Calcular

En este caso no se aplica el teorema B ya que el denominador de f(1)=0. Decimos que le límite no existe. Más adelante, con la definición de límites infinitos, nos permitiremos decir que el límite que nos piden calcular es +∞. 

Teorema C. Teorema de igualación.

11. Si f(x)=g(x) para toda x en un intervalo abierto que contenga a c, excepto posiblemente en el mismo número c, y si existe lím g(x) cuando x tiende a c, entonces existe lím f(x) cuando x tiende a c:

Ejemplos:

  1. Calcular

Solución:

  

  1. Calcular

Solución: 

Teorema D. Teorema del emparedado.

12. Sen f(x), g(x) y h(x) que satisfacen:

Para toda x cercana a c, excepto posiblemente en c. Si lím g(x) cuando x tiende a c es igual a L, e igual a lím h(x) cuando x tiende a c, entonces:

Ejemplos:

  1. Calcular

Si se ha demostrado que:

Para toda x cercana pero distinta de cero.

Solución: 

Por tanto:

 

Teorema E. Límites de funciones trigonométricas.

Límites trigonométricos especiales:  

Ejemplos:

  1. Calcular

Solución:

 

  1. Calcular

Solución:

Calcular 

Solución:

Calcular

Solución:

 

Escrito por: Profesor Larry Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Cálculo, Límites

Límites por definición – ejemplos

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) conforme x se aproxima a a es L, lo que se escribe como:

La siguiente proposición es verdadera:

Para muchos esta es la definición más importante del cálculo.

Para explicar esta definición se hace referencia a la Figura 1:

 

En otras palabras, de acuerdo con la Figura 1, al restringir x en el eje horizontal, de modo que siempre esté entre a-δ1 y a+δ1, se restringe a f(x) en el eje vertical, de manera tal que f(x) esté entre L-ε1 y L+ε1. Al aplicar este principio, el número ε se debe dar primero; el número δ debe producirse y por lo general depende de ε.

Encontrar o demostrar que el límite de f(x)=L cuando se acerca a a, por definición, consiste  en hallar un valor para δ (generalmente un intervalo o valor que depende de ε)  tal que se cumpla que:

Veamos como funciona esta declaración mediante el método propuesto en el siguiente ejemplo. Observación: el siguiente es un método estándar, pero existen muchos métodos. Su elección depende de la aproximación que quiera dar el usuario a cada problema.

 Ejemplos

Ejemplo 1. Demostrar por definición que:

Solución. Puesto que la función f(x)=4x-5 está definida en cualquier intervalo abierto que contenga a x=2, se debe demostrar que para cualquier ε>0 existe una δ>0 tal que:

Aplicando álgebra podemos mostrar que:

Entonces:

La ecuación (2) nos indica que podemos seleccionar δ=ε/4 , entonces se cumple la ecuación (1), lo que demuestra que: 

Una vez que demostramos la existencia de un δ, tal que se cumpla la proposición de la ecuación (1), podemos elegir cualquier ε, no importa que tan pequeño, y luego comprobar que se cumple lo demostrado. Por ejemplo, si ε=0.1, entonces δ=0.025. Esto es como preguntarse lo siguiente: ¿Qué tan cerca debe estar x de 2 para garantizar que f(x) esté a no menos de 0.1 de 3? Para que f(x) esté a menos de 0.1 de 3, debemos tener:  Esto significa que existe x1 y x2 tal que:

Debido a que:

Vemos que:

Por tanto, x debe estar a menos de 0.025 de 2 para que f(x) esté a menos de 0.1 de 3. Lo que confirma el resultado teórico de que δ=ε/4.

Ejemplo 2. Demostrar por definición que:

Solución. Puesto que la función f(x)=xˆ2 está definida en cualquier intervalo abierto que contenga a x=2, se debe demostrar que para cualquier ε>0 existe una δ>0 tal que:

Aplicando álgebra podemos mostrar que:

Entonces:

Para demostrar la ecuación (4) se debe imponer una restricción adicional a δ con el fin de obtener una desigualdad que contenga el factor ⌈(x+2)⌉. Dicha restricción consiste en elegir el intervalo abierto requerido en la ecuación (3) de modo que este intervalo sea (1,3), lo cual implica que δ≤1. Entonces:

Así que:

Implica que:

Lo que conduce a afirmar que:

Recordamos que la ecuación (4) es el objetivo, por lo que debe pedirse que:

Es decir:De esta forma se han impuesto dos restricciones a δ: δ≤1 y δ≤ε/5. Para que ambas restricciones se cumplan se debe tomar el menor de los dos valores. Como de antemano no sabemos cuánto vale ε, esta condición se puede escribir como: Queda demostrado entonces que para cualquier ε, la elección de  δ=mín(1,ε/5) hace verdadera la siguiente proposición:

Esto demuestra que:

Ejemplo 3. Demostrar por definición que:

Solución. Puesto que f(x)=4xˆ3+ 3xˆ2-24x+22 está definido en cualquier intervalo abierto que contenga a x=1, se debe demostrar que para cualquier ε existe una δ tal que:

Aplicando álgebra:Por propiedad del valor absoluto:Imponemos una nueva restricción:Ahora observamos que si:También se verifica que:Entonces:Ahora bien, para que:Basta con que:Por consiguiente, dado cualquier número ε, se puede encontrar un δ menor que  ε/25  que satisface la condición de límite (ecuación (5)). Queda así demostrado que:

Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

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