Control System Analysis, Matemática aplicada - Appd Math

Example 1 – Linearization of non-linear systems.

Linearize a function

Suppose we have a system represented by the following function:
nullOur task is to linearize f (x) around xo = π / 2. As:
nullWe find the following values and substitute them in the previous equation:
nullThen we can represent our nonlinear system by means of the following negative line equation:
null

The result of the linearization of f (x) around xo = π / 2 can be seen in Figure 2.48:

null

null

Linearize a differential equation

Suppose now that our system is represented by the following differential equation:
nullThe presence of the term cosx makes the previous one a non-linear equation. It is requested to linearize said equation for small excursions around x = π / 4.

To replace the independent variable x with the excursion δx, we take advantage of the fact that:
nullSo:nullWe proceed then to the substitution in the differential equation:nullWe now apply the derivation rules:nullAnd for the term that involves the cosx function we apply the same methodology that we have just seen in the previous example for a given function, that is, linearize f (x) around xo = π / 4:

Note that in the previous equation the excursion is zero when the function is evaluated exactly at the point xo. The same happens when the slope is evaluated in xo:So:

Therefore, we can rewrite the differential equation in a linear fashion around the point xo =π /4 as follows:

That is to say:

NEXT: Example 2 – Linearization of a Magnetic Levitation (MAGLEV) system – sphere. 

 

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Control System Analysis, Matemática aplicada - Appd Math

Linearization of non-linear systems.

Introduction

Many components and actuators have non-linear characteristics and the effectiveness of their action requires that they remain at the point of operation where they act approximately linearly, which can be a very limited interval. For example, the music that we all hear must be amplified by a circuit composed of electronic devices that only amplify the signal when they are acting at the point of operation in which the system is designed to act linearly; proof of this is that the output of the system as a whole is proportional to the input, that is, a linear system.

What is linearization? It is to express a non-linear function or differential equation with an approximate linear version, only valid in a very small range of values of the independent variable. Something like expressing a quadratic function by the mathematical formula of a straight line. To what end? Well, to be able to apply to the system represented by this function all the control techniques for linear systems studied up to now. Our objective is to design a strategy to generate a linear equation that represents a non-linear system in a very limited region, a strategy that we configure next.

To obtain a linear mathematical model of a non-linear system it is necessary to suppose that the variable to be controlled only deviates very slightly from an operation point A of coordinates (xo, f (xo)), where xo is the input to the system and f (xo) is the output. At point A we can place a line with a certain slope and assume that for small changes δx around xo we have the output f (xo+δx) moving along this line, as shown in Figure 2-47:null

We can use point A as a new center of coordinates where the independent variable δx corresponds to the input to the system, while the dependent variable δf (x) represents the output of the system. We make this convenient change of coordinates to use the equation of the slope ma of the line in the following way:
null

OrnullAnd so:null

In the same way that:null

The latter is a linear mathematical approximation for f (x).

This technique allows us to obtain a linear expression for f (x), around the point of operation A. Now, we are going to combine the obtained expressions for f (x) and δf (x). Another way of thinking it is to think that, around the point of operation A, f (x) has the value of f (xo) plus a small component of value maδx along a straight line of slope ma:
nullWhere (x-xo) is so small that it approaches δx. Mission accomplished, we will do this:
null

What theory allows us to do this? The Taylor series.

Taylor Series

The Taylor series are the expansion of a function f (x) in terms of the value of that function at a particular point xo, around that point and in terms of the derivatives of the function evaluated at that point:
null

When the excursion around the point xo is small, as the case that interests us, the derivatives of higher order can be ignored, so:
null

Knowing that the mx slope of a line at point xo is the derivative of the line evaluated in xo, we can adapt this last equation to our strategy and we obtain the formula that interests us:
nullWhere mx = df / dx evaluated at x = xo. Note that δx is now the independent variable, for which we use only a valid range of values around xo, so that δx is an excursion. Returning to Figure 2.47, this is the key tactic of the linearization process, we have created a coordinate system centered at point A, to replace the independent variable x with δx. We can continue using the δx notation or any other more practical notation such as:
nullLet’s see how this works through examples.

Linearize a function

Suppose we have a system represented by the following function:
nullOur task is to linearize f (x) around xo = π / 2. As:
nullWe find the following values and substitute them in the previous equation:
nullThen we can represent our nonlinear system by means of the following negative line equation:
null

The result of the linearization of f (x) around xo = π / 2 can be seen in Figure 2.48:

null

null

Linearize a differential equation

Suppose now that our system is represented by the following differential equation:
nullThe presence of the term cosx makes the previous one a non-linear equation. It is requested to linearize said equation for small excursions around x = π / 4.

To replace the independent variable x with the excursion δx, we take advantage of the fact that:
nullSo:nullWe proceed then to the substitution in the differential equation:nullWe now apply the derivation rules:nullAnd for the term that involves the cosx function we apply the same methodology that we have just seen in the previous example for a given function, that is, linearize f (x) around xo = π / 4:

Note that in the previous equation the excursion is zero when the function is evaluated exactly at the point xo. The same happens when the slope is evaluated in xo:So:

Therefore, we can rewrite the differential equation in a linear fashion around the point xo =π /4 as follows:

That is to say:

Linearization of a system with two independent variables

The Taylor series enables us to work with functions or differential equations that have two independent variables. In this regard, the Taylor series applies the following formula:

null

Where the point of operation has the coordinates ¯x1 y ¯x2. For small excursions around the equilibrium point, we can obviate the higher order derivatives. The linear mathematical model for this nonlinear system around the point of operation is obtained from:

Example. Linearization of a system with two independent variables.

Linearization of magnetic sphere levitation system.

The magnetic suspension system of a sphere is shown in Figure 1.

The objective of the system is to control the position of the steel sphere by adjusting the current in the electromagnet through the input voltage e(t). The dynamics of the system is represented by the following differential equations:
Where:

It is requested to linearize the system around its equilibrium point.

See the complete answer in the following link: Example 2 – Linearization of a Magnetic Levitation (MAGLEV) system – sphere. 

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Ejemplo 1 – Linealización de sistemas no lineales

Linealizar una función

Supongamos que tenemos un sistema representado por la siguiente función:  nullNuestra tarea es linealizar f(x) alrededor de xo=π/2. Como:nullHallamos los siguientes valores y los sustituimos en la ecuación anterior:nullEntonces podemos representar nuestro sistema no lineal mediante la siguiente ecuación de recta con pendiente negativa:null

El resultado de la linealización de f(x) alrededor de xo=π/2 se puede observar en la Figura 2.48:

null

null

Linealizar una ecuación diferencial

Supongamos ahora que nuestro sistema está representado por la siguiente ecuación diferencial:nullLa presencia del término cosx hace de la anterior una ecuación no lineal. Se pide linealizar dicha ecuación para pequeñas excursiones alrededor de xo=π/4.

Para sustituir la variable independiente x por la excursión δx aprovechamos el hecho de que:nullAsí:nullProcedemos entonces a la sustitución en la ecuación diferencial:nullAplicamos ahora las reglas de derivación:nullY para el término que involucra a la función cosx aplicamos la misma metodología que acabamos de ver en el ejemplo anterior para una función determinada, es decir,  linealizar f(x) alrededor de xo=π/4:

Observar que en la anterior ecuación la excursión vale cero cuando la función se evalúa exactamente en el punto xo. Lo mismo pasa cuando se evalúa la pendiente en xo:Así:

Por tanto, podemos reescribir la ecuación diferencial de forma lineal alrededor del punto xo=π/4 como sigue:

O lo que es lo mismo:

SIGUIENTE: Ejemplo 2 – Linealización de un Sistema de levitación magnética de una esfera.

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Linealización de sistemas no lineales.

Introducción

Muchos componentes y actuadores poseen características no lineales y la eficacia de su acción requiere mucho de que se mantengan en el punto de operación donde actúan aproximadamente de manera lineal, el cuál puede ser un intervalo muy limitado. Por ejemplo, la música que todos escuchamos debe ser amplificada por un circuito compuesto por dispositivos electrónicos que sólo amplifican cuando están actuando en el punto de operación en el que se diseña el sistema para que actúe linealmente; muestra de ello es que la salida del sistema en su totalidad es proporcional a la entrada, es decir, un sistema lineal.

¿En qué consiste linealizar? En expresar una función o ecuación diferencial no lineal con una versión lineal aproximada, sólo válida en un intervalo muy pequeño de valores de la variable independiente. Algo así como expresar una función cuadrática mediante la fórmula matemática de una línea recta. ¿Con qué fin? Pues, poder aplicarle al sistema representado por dicha función o ecuación diferencial, todas las técnicas de control para sistemas lineales estudiadas hasta ahora. Nuestro objetivo es diseñar una estrategia para generar una ecuación lineal que represente a un sistema no lineal en una región muy limitada, estrategia que configuramos a continuación.

Para obtener un modelo matemático lineal de un sistema no lineal es necesario suponer que la variable a controlar sólo se desvía muy ligeramente de un punto de operación A de coordenadas (xo, f(xo)), donde xo es la entrada al sistema y f(xo) es la salida. En el punto A podemos colocar una recta con cierta pendiente (slope) y suponer que para pequeños cambios δx alrededor de xo la salida f(xo+δx) se mueve a lo largo de esta recta, tal como se muestra en la Figura 2-47:null

Podemos utilizar el punto A como un nuevo centro de coordenadas donde la variable independiente δx se corresponde con la entrada al sistema, mientras que la variable dependiente δf(x) representa la salida del sistema. Hacemos este conveniente cambio de coordenadas para utilizar la ecuación de la pendiente ma de la recta de la siguiente manera:null

ÓnullY así:null

Al igual que:null

Esta última es una aproximación matemática lineal para f(x) , una función que a grandes rasgos no es lineal, como se puede constatar en la Figura 2-47.

Esta técnica nos permite entonces obtener una expresión lineal para f(x), alrededor del punto de operación A. Ahora, vamos a combinar las expresiones obtenidas para f(x) y δf(x). Otra forma de razonar es pensar que, alrededor del punto de operación A,  f(x) tiene el valor de f(xo) más un pequeño componente de valor maδx a lo largo de una línea recta de pendiente ma:null

Donde (x-xo) es tan pequeño que se aproxima a δx. Misión cumplida, haremos que:
null

¿Qué teoría nos permite hacer esto? Las series de Taylor son como guante a la mano.

Series de Taylor

Las series de Taylor son la expansión de una función  f(x) en términos del valor de esa función en un punto xo en particular, alrededor de ese punto y en términos de las derivadas de la función evaluadas en ese punto:null

Cuando la excursión alrededor del punto xo es pequeña, como el caso que nos interesa, las derivadas de orden mayor se pueden ignorar, por lo que:null

Sabiendo que la pendiente mx de una recta en el punto xo es la derivada de la recta evaluada en xo, podemos adaptar esta última ecuación a nuestra estrategia y obtenemos la fórmula que nos interesa:nullDonde mx=df/dx evaluado en x=xo. Note que δx es ahora la variable independiente, para la cual utilizamos sólo un rango válido de valores alrededor de xo, por lo que a δx le llamamos excursión. Volviendo a la Figura 2.47, ésta es la táctica clave del proceso de linealización, hemos creado un sistema de coordenadas centrado en el punto A, para sustituir la variable independiente x por δx. Podemos seguir utilizando la notación δx o cualquier otra más práctica como:nullVeamos cómo funciona esto mediante ejemplos.

Linealizar una función

Supongamos que tenemos un sistema representado por la siguiente función:  nullNuestra tarea es linealizar f(x) alrededor de xo=π/2. Como:nullHallamos los siguientes valores y los sustituimos en la ecuación anterior:nullEntonces podemos representar nuestro sistema no lineal mediante la siguiente ecuación de recta con pendiente negativa:null

El resultado de la linealización de f(x) alrededor de xo=π/2 se puede observar en la Figura 2.48:

null

null

Linealizar una ecuación diferencial

Supongamos ahora que nuestro sistema está representado por la siguiente ecuación diferencial:nullLa presencia del término cosx hace de la anterior una ecuación no lineal. Se pide linealizar dicha ecuación para pequeñas excursiones alrededor de xo=π/4.

Para sustituir la variable independiente x por la excursión δx aprovechamos el hecho de que:nullAsí:nullProcedemos entonces a la sustitución en la ecuación diferencial:nullAplicamos ahora las reglas de derivación:nullY para el término que involucra a la función cosx aplicamos la misma metodología que acabamos de ver en el ejemplo anterior para una función determinada, es decir,  linealizar f(x) alrededor de xo=π/4:

Observar que en la anterior ecuación la excursión vale cero cuando la función se evalúa exactamente en el punto xo. Lo mismo pasa cuando se evalúa la pendiente en xo:Así:

Por tanto, podemos reescribir la ecuación diferencial de forma lineal alrededor del punto xo=π/4 como sigue:

O lo que es lo mismo:

Linealización de un sistema con dos variables independientes

Las series de Taylor nos habilitan para trabajar con funciones o ecuaciones diferenciales que tienen dos variables independientes. Al respecto, la serie de Taylor aplica la siguiente fórmula:

null

Donde el punto de operación tiene las coordenadas ¯x1 y ¯x2. Para excursiones pequeñas alrededor del punto de equilibrio, podemos obviar las derivadas de mayor orden. El modelo matemático lineal para este sistema no lineal alrededor del punto de operación se obtiene mediante:

Donde:

Ejemplo. Linealización de un sistema con dos variables independientes.

Linealización de Sistema de levitación magnética de una esfera.

El sistema de suspensión magnética de una esfera se muestra en la Figura 1.

El objetivo del sistema es controlar la posición de la esfera de acero mediante el ajuste de la corriente en el electroimán a través del voltaje de entrada e(t). La dinámica del sistema está representada por las siguientes ecuaciones diferenciales:

Donde:

Se pide linealizar el sistema alrededor de su punto de equilibrio.

Para ver la solución de este problema ver: Ejemplo 2 – Linealización de un Sistema de levitación magnética de una esfera.

 

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Señales de tiempo discreto – muestreo en matlab

Se denomina señal de tiempo discreto a aquella señal que es función de una variable de tiempo discreto t en n, donde n toma sólo valores enteros.


Variable de tiempo discreto

Se dice que la variable de tiempo t es una variable de tiempo discreto, si t toma los valores discretos:

para algún intervalo de valores enteros de n. Por ejemplo, t podría tomar los valores enteros t=0,1,2…; es decir,

Señal de tiempo discreto

Un señal de tiempo discreto una señal que es una función de la variable de tiempo discreto tn , donde n toma sólo valores enteros.

Una señal de tiempo discreto suele denotarse x[n]. En esta notación, la variable entera n corresponde a los instantes tn. La gráfica de una señal de tiempo discreto x[n] siempre estará en términos de los valores de x[n] contra los valores de la variable de tiempo discreto n.

Con frecuencia, los valores de x[n] se indican en la gráfica mediante círculos rellenos, con líneas verticales que conectan a dichos círculos con el eje del tiempo. Esto da como resultado una gráfica de tallo, la cual es una forma común de desplegar señales de tiempo discreto.

Como ejemplo, vamos a graficar en matlab la señal x[n] determinada por:

null

Introducimos en matlab el siguiente script en un archivo .m. He utilizado la plantilla para crear funciones:

n=-2:6;

x=[0 0 1 2 1 0 -1 0 0];

stem (n,x,’filled’);

xlabel (‘n’)

ylabel (‘x[n]’)

La gráfica de x[n] en matlab aparece a continuación:

Muestreo

La forma más común de generar una señal de tiempo discreto es muestreando una señal de tiempo continuo.

Supongamos que una señal continua x(t) se aplica a un interruptor electrónico que se cierra cada T segundos.

Si el lapso durante el cual el interruptor se cierra es mucho más pequeño que T, la salida del interruptor puede considerarse como una señal de tiempo discreto tn:

La señal de tiempo discreto resultante se conoce como versión muestreada de la señal original x(t), y a T se le conoce como período de muestreo. Debido a que la duración de T entre instantes adyacentes de muestreo tn y t(n+1) es igual a una constante, es decir:

El proceso de muestreo bajo estas condiciones se conoce como muestreo uniforme.

La Figura 1.10 muestra una señal x(t) de tiempo continuo:

La Figura 1.14 muestra una señal en tiempo discreto que surge de un proceso de muestreo uniforme de la señal de tiempo continuo mostrada en la Figura 1.10. En este caso, la variable entera n denota el instante nT. Primero incorporamos el código matlab para generar esta gráfica:

t=0:1:30;

x=exp(-.1*t).*sin(2/3*t);

y_out=stem(t,x,’filled’);

grid

xlabel(‘time[sec]’)

ylabel(‘x[n]’)

 

Por definición del proceso de muestreo, el valor de x[n] para cualquier valor entero, está dado por:

En el ejemplo anterior, la señal de tiempo continuo x(t) de la Figura 1.10, es muestreada con T=1, el resultado es la señal de tiempo discreto x[n] de la Figura 1.14.

Fuente:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
    1. 1.2 Señales en tiempo discreto
    2. 1.2.1 Muestreo

ANTERIOR: Señales de tiempo continuo – Definición

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Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

  1. Control Systems Engineering, Nise, p 101

Desarrollamos diagrama de fuerzas a cada unidad de masa, aplicando transformada de Laplace a cada fuerza por separado debido a la propiedad de superposición. Para la Masa 1 el diagrama de cuerpo libre es el siguiente:

Para la Masa 2 el diagrama de cuerpo libre es:

Para la Masa 3 el diagrama de cuerpo libre es:

La dinámica del sistema (ecuaciones de movimiento) es:

Para hallar cualquier relación equivalente a una Función de Transferencia, ejecutamos operaciones típicas del álgebra lineal.

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Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab. En el link encontrará la descripción del servicio y su costo.

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Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques de Sistema Electromecánico con Motor DC

Dinámica de sistemas, Física Aplicada, Ingeniería Mecánica, Transformada de Laplace

Ejemplo 1 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Obtener la Función de Transferencia X1(s)/U(s) del sistema mecánico de la Figura 3-83 Ejercicio B318, Modern_Control_Engineering, Ogata 4t p 149.

null

Desarrollamos diagrama de fuerzas a cada unidad de masa, aplicando transformada de Laplace a cada fuerza por separado debido a la propiedad de superposición. Para la Masa 1 el diagrama de cuerpo libre es el siguiente (el análisis debido a cada movimiento X(s) se hace por separado para mayor claridad):

null

 

Para la Masa 2 el diagrama de cuerpo libre es:

null

La dinámica del sistema (ecuaciones de movimiento) es:

Así, aplicando álgebra lineal obtenemos la Función de Transferencia X2(s)/U(s) como:

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Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab

Estabilidad de un sistema de control

Análisis de sistemas de control, Circuit Analysis, Control System Analysis, Electrical Engineer, Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Sistemas LDCID, Time Domain

UNDERDAMPED SECOND-ORDER SYSTEM

Fuentes:

Control Systems Engineering, Norman Nise

    1. Introduction Chapter 4 pp 162 (162)
    2. Poles and Zeros 4.1 pp 162 –
    3. First Order System 4.3 pp 165-168
    4. Second Order System 4.4 pp 168-177
    5. Underdamped Second-Order System 4.6 pp 177-186
  1. Modern_Control_Engineering__4t
    1. Introduction Chapter 5 pp 219 (232)
    2. First Order Systems 221 (234)-224
    3. Second Order System pp 224 (237)-234

Literature Review, Martes 14 noviembre 2017, 05:07 am – Caracas, Quito, Guayaquil.

Introduction

Now that we have become familiar with second-order systems and their responses, we generalize the discussion and establish quantitative specifications defined in such a way that the response of a second-order system can be described to a designer without the need for sketching the response. We define two physically meaningful specifications for second-order systems. These quantities can be used to describe the characteristics of the second-order transient response just as time constants describe the first-order system response.

Natural Frequency, Wn

The natural frequency of a second-order system is the frequency of oscillation of the system without damping. For example, the frequency of oscillation of a series RLC circuit with the resistance shorted would be the natural frequency.

Damping Ratio,

We have already seen that a second-order system’s underdamped step response is characterized by damped oscillations. Our definition is derived from the need to quantitatively describe this damped oscillations regardless of the time scale.Thus, a system whose transient response goes through three cycles in a millisecond before reaching the steady state would have the same measure as a system that went through three cycles in a millennium before reaching the steady state. For example, the underdamped curve in Figure 4.10 has an associated measure that defines its shape. This measure remains the same even if we change the time base from seconds to microseconds or to millennia.

 A viable definition for this quantity is one that compares the exponential decay frequency of the envelope to the natural frequency. This ratio is constant regardless of the time scale of the response. Also, the reciprocal, which is proportional to the ratio of the natural period to the exponential time constant, remains the same regardless of the time base.

We define the damping ratio, , to be:

Consider the general system:

Without damping, the poles would be on the jw-axis, and the response would be an undamped sinusoid. For the poles to be purely imaginary, a = 0. Hence:

Assuming an underdamped system, the complex poles have a real part, , equal to -a/2. The magnitude of this value is then the exponential decay frequency described in Section 4.4. Hence,

from which

Our general second-order transfer function finally looks like this:

Now that we have defined and Wn, let us relate these quantities to the pole location. Solving for the poles of the transfer function in Eq. (4.22) yields:

From Eq. (4.24) we see that the various cases of second-order response:

Underdamped Second-Order System

Now that we have generalized the second-order transfer function in terms of and Wn, let us analyze the step response of an underdamped second-order system.

Not only will this response be found in terms of and Wn, but more specifications
indigenous to the underdamped case will be defined. The underdamped second order system, a common model for physical problems, displays unique behavior that
must be itemized; a detailed description of the underdamped response is necessary
for both analysis and design. Our first objective is to define transient specifications
associated with underdamped responses. Next we relate these specifications to the
pole location, drawing an association between pole location and the form of the
underdamped second-order response. Finally, we tie the pole location to system
parameters, thus closing the loop: Desired response generates required system
components.

Let us begin by finding the step response for the general second-order system of Eq. (4.22). The transform of the response, C(s), is the transform of the input times the transfer function, or:

where it is assumed that < 1 (the underdamped case). Expanding by partial fractions, using the methods described, yields:

Taking the inverse Laplace transform, which is left as an exercise for the student, produces:

where:

A plot of this response appears in Figure 4.13 for various values of , plotted along a time axis normalized to the natural frequency.

We now see the relationship between the value of and the type of response obtained: The lower the value of , the more oscillatory the response.

The natural frequency is a time-axis scale factor and does not affect the nature of the response other than to scale it in time.

Other parameters associated with the underdamped response are rise time, peak time, percent overshoot, and settling time. These specifications are defined as follows (see also Figure 4.14):

  1. Rise time, Tr. The time required for the waveform to go from 0.1 of the final value to 0.9 of the final value.
  2. Peak time, TP. The time required to reach the first, or maximum, peak.
  3. Percent overshoot, %OS. The amount that the waveform overshoots the steady-state, or final value at the peak time, expressed as a percentage of the steady-state value.
  4. Settling time, Ts. The time required for the transient’s damped oscillations to reach and stay within 2% of the steady-state value.

All definitions are also valid for systems of order higher than 2, although analytical expressions for these parameters cannot be found unless the response of the higher-order system can be approximated as a second-order system.

Rise time, peak time, and settling time yield information about the speed of the transient response. This information can help a designer determine if the speed and the nature of the response do or do not degrade the performance of the system.

For example, the speed of an entire computer system depends on the time it takes for a hard drive head to reach steady state and read data; passenger comfort depends in part on the suspension system of a car and the number of oscillations it goes through after hitting a bump.

Evaluation of Tp

Tp is found by differentiating c(t) in Eq. (4.28) and finding the first zero crossing after t = 0.

Evaluation of %OS.

From Figure 4.14 the percent overshoot, %OS, is given by:

 Evaluation of Ts

In order to find the settling time, we must find the time for which c(t) in Eq. (4.28) reaches and stays within ₎±2% of the steady-state value, C final.

 Evaluation of Tr

A precise analytical relationship between rise time and damping ratio cannot be found. However, using a computer and Eq. (4.28), the rise time can be found. Let us look at an example.

We now have expressions that relate peak time, percent overshoot, and settling time to the natural frequency and the damping ratio. Now let us relate these quantities to the location of the poles that generate these characteristics. The pole plot for a general, underdamped second-order system is reproduced in Figure 4.17.

Now, comparing Eqs. (4.34) and (4.42) with the pole location, we evaluate peak time and settling time in terms of the pole location. Thus:

where is the imaginary part of the pole and is called the damped frequency of oscillation, and is the magnitude of the real part of the pole and is the exponential damping frequency part.

At this point, we can understand the significance of Figure 4.18 by examining the actual step response of comparative systems. Depicted in Figure 4.19(a) are the step responses as the poles are moved in a vertical direction, keeping the real part the same. As the poles move in a vertical direction, the frequency increases, but the envelope remains the same since the real part of the pole is not changing.

Let us move the poles to the right or left. Since the imaginary part is now constant, movement of the poles yields the responses of Figure 4.19(b). Here the frequency is constant over the range of variation of the real part. As the poles move to the left, the response damps out more rapidly.

Moving the poles along a constant radial line yields the responses shown in Figure 4.19(c). Here the percent overshoot remains the same. Notice also that the responses look exactly alike, except for their speed. The farther the poles are from the origin, the more rapid the response.

Literature Review by: Larry Francis Obando – Technical Specialist

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas

Sistemas lineales e invariantes en el tiempo.

Introducción

Un sistema lineal, en tiempo continuo o discreto, es aquel que posee la importante propiedad de la superposición: si una entrada consiste en la suma ponderada de varias señales, entonces la salida es simplemente la superposición (es decir, la suma ponderada) de las respuestas del sistema a cada una de estas señales.

Sea y1(t) la respuesta del sistema continuo a una entrada x1(t), y sea y2(t) la salida correspondiente a la entrada x2(t). Entonces, el sistema es lineal si:

  • La respuesta a x1(t) + x2(t) es y1(t) + y2(t)
  • La respuesta a k*x1(t) es k*y1(t), donde k es una constante compleja cualquiera.

La primera de estas dos propiedades se llama propiedad de aditividad, mientras que la segunda se conoce como la propiedad de escalamiento u homogeneidad.

Ejemplo

Consideremos un sistema S cuya entrada x(t) y salida y(t) están relacionadas mediante:

null

Ahora consideramos dos entradas arbitrarias x1(t) y x2(t). Ellas generan las siguientes respuestas:

null

Consideremos una tercera entrada x3(t)=a*x1(t)+b*x2(t), la cual genera una salida y3(t) igual a:

null

Concluimos entonces que el sistema es lineal.

El modelo matemático y sus términos

Los sistemas lineales, dinámicos, causales, invariantes en el dominio y deterministas (LDCID) definidos en el dominio del tiempo continuo constituyen parte importante en el estudio de los sistemas eléctricos, debido al hecho de sus innumerables aplicaciones dentro de la ingeniería eléctrica.

En general podría decirse que los sistemas lineales son el resultado de aproximaciones en el modelaje de sistemas. No obstante, aun cuando los sistemas eléctricos forman parte de los llamados sistemas no lineales, su tratamiento como sistemas lineales permiten dar respuestas acertadas a las preguntas que pudiera requerir los profesionales del área.

Los modelos matemáticos de sistemas dinámicos definidos en el dominio continuo presentan términos asociados a operaciones de derivadas de las cantidades externas con respecto a la variable independiente, que por lo general será el tiempo. Estos modelos matemáticos se denominan ecuaciones diferenciales, y sus respectivas respuestas son totalmente definidas por las condiciones de cada sistema representado por el modelo matemático.

Un aspecto importante a estudiar la representación de un sistema a través de su modelo matemático es la identificación de los términos que son expresados en el modelo matemático de un sistema LDCID, el cual es representado por una ecuación diferencial ordinaria ( (ODE) involves derivatives of a function of only one variable) de orden m-ésimo en relación a la señal de excitación x(t), y de orden n-ésimo con respecto a su señal de respuesta y(t), es decir, en general un modelo matemático asociado a un sistema LDCID viene dado por:

donde y(t) representa la señal de respuesta también denominada señal de salida, x(t) representa la señal de excitación o de entrada, y los coeficientes an;a1; …;a0 y bm;b1; … ;b0 representan los parámetros del sistema, que alteran respectivamente la señal de excitación y la señal de respuesta, así como sus derivadas ordinarias, y la variable independiente t, en este caso puede significar el tiempo, con el propósito de contextualizar el dominio en el cual está definido el modelo matemático.

Modelo matemático de primer orden

Un sistema LDCID en el dominio continuo de primer orden es representado mediante una ecuación diferencial dada por:

Note que el modelo debe ser de primer orden en lo que respecta a los operadores ,

es decir, en mayor orden de derivadas de la señal de respuesta y(t) debe ser n = 1.

Sin embargo, podría ser de cualquier orden con relación a los operadores de la excitación para , debido al hecho de que las operaciones de derivadas sobre la señal de excitación no son consideradas parte del sistema.

Note que las operaciones definidas sobre la señal de excitación no forman parte del sistema, por cuanto las operaciones matemáticas definidas sobre la excitación constituyen el modelo matemático de la señal de excitación.

Por razones de simplificación en la nomenclatura y mediante la propiedad de superposición, se estudiará la solución de la ecuación diferencial:

Note que para obtener la solución del sistema debe conocerse al menos una condición de la respuesta del sistema, la cual usualmente es especificada a través de su condición inicial, y(0).

Luego de manipulaciones algebraicas convenientes (demostración en Fuente 1), se concluye que la solución a la ecuación diferencial representada por la Ecuación (2.12) viene dada por:

donde:

  1. Respuesta transitoria:

  1. Respuesta permanente

Ejemplo 

La Figura 2.3 muestra un sistema compuesto por una resistencia y un capacitor, y cuyos valores son representados respectivamente por R y C. Además, la figura muestra que el sistema eléctrico es excitado por una señal x(t) = u(t) y su respuesta es medida a través de la tensión sobre el capacitor, donde u(t) representa la función escalón unitario:

El modelo matemático asociado al sistema representado por la Figura 2.3 puede obtenerse empleando elementales ecuación de redes eléctricas:

Entonces, al comparar el modelo matemático definido por la Ecuación (2.12) con el modelo obtenido, se tiene que el coeficiente a0 y la señal de excitación son:

,

Al aplicar la solución expresada por medio de la Ecuación (2.21), se puede afirmar que:

Al operar la Ecuación (2.26) se tiene que la respuesta del sistema es dada por:

Note que:

por cuanto el elemento de memoria representado por el capacitor no permite cambios bruscos y por tal motivo y(0-) = y(0) = y(0+). Además, para buscar una respuesta a la pregunta debe tomarse en cuenta que la excitación tiene un valor de cero y ella ha permanecido en cero desde mucho tiempo atrás, es decir, desde menos infinito, obviamente y(0) = 0.

Modelo matemático de orden superior.

En este apartado se introducirá el operador p, el cual será empleado para representar el orden de la derivada que está operando en cada término de la ecuación diferencial ordinaria bajo estudio.

Definición 2.1 (Operador p) Se define el operador pn al operador diferencial que representa

la derivada n-ésima con respecto a la variable del dominio continuo. Es decir,

Por otra parte, se debe introducir dos definiciones que conforman la solución completa de una ecuación diferencial ordinaria.

Definición 2.2 (Respuesta transitoria) La respuesta transitoria o, también denominada natural o solución homogénea, es la solución de toda ecuación diferencial ordinaria cuando su señal de excitación viene definida por la función nula.

Definición 2.3 (Respuesta permanente) La respuesta permanente o, también denominada forzada o solución particular, es la solución de la ecuación diferencial ordinaria ante una señal de excitación que actúa sobre el sistema.

Observación 2.1 La respuesta transitoria, natural u homogénea es intrínseca del sistema y no de la excitación, a diferencia de que la respuesta permanente, forzada o particular, que además de depender del sistema, depende de la excitación.

Se conocen condiciones del sistema, bien sean condiciones iniciales a través del valor de la respuesta y(t) para t = 0 y sus primeras n-1 derivadas para t = 0, ó n valores conocidos de la respuesta completa y(t) en n distintos instantes de t, o combinación de lo anterior.

Se tiene que:

donde el coeficiente o también denominado parámetro an = 1 (ODE with leading coefficient equal to 1 is called standard ODE form)

Aplicando las Ecuaciones (2.46), se puede escribir el modelo matemático definido por la Ecuación (2.45) como:

donde D(p) es el ampliamente conocido polinomio característico del sistema.

Respuesta Transitoria

Existen diversos métodos para determinar la respuesta transitoria de un modelo matemático asociado a un sistema LDCID en el dominio continuo, el cual es representado por una ecuación diferencial ordinaria.

Método 2.1 (Determinación de la Respuesta Transitoria) Dada la ecuación diferencial ordinaria definida por la Ecuación (2.44),

Ejecute:

Paso 1. Asegúrese de que el término an de la ecuación diferencial sea igual a uno. Si no es así, divida toda la ecuación diferencial entre an.

Paso 2. Aplique el operador “p” a la ecuación diferencial.

Paso 3. Determine las n raíces que anulen el polinomio D(p) y denote las raíces reales como ri para cada i = 1; … ;nr, y las raíces complejas conjugadas como

para cada i = nr +1; ..;n, donde

tomando en cuenta la multiplicidad de cada una de las raíces denotada como mi.

EJEMPLO Respuesta transitoria de un sistema de quinto orden

Suponga el modelo matemático de un sistema LDCID en tiempo continuo definido

por:

donde y(t) es la señal de respuesta del sistema, y x(t) representa la señal de excitación. Para el modelo matemático definido mediante la Ecuación (2.48), determine la solución homogénea del sistema aplicando el Método 2.1.

Solución. Debido a que el término a5 no es igual a 1, se debe dividir toda la ecuación diferencial entre a5, para luego aplicar el operador p, obteniéndose:

Al calcular las cinco raíces que anulan D(p), se tiene que sus raíces son: r1 = -2, r22= -3 y

z3 = -1 +- j. Entonces, se puede afirmar que las soluciones asociadas a cada raíz viene dada por:

Respuesta Permanente

Al despejar y(t) de la Ecuación (2.47):

se tiene que

donde la fracción N(p)/D(p) representa el operador del sistema L(p).

A fin de estudiar el caso más general de las señales de excitaciones más comúnmente presentes en los sistemas eléctricos, se analizará cuando la señal de excitación es considerada una exponencial definida por:

donde en general s es un parámetro o coeficiente complejo, y cuyo valor es

y B es un parámetro constante de la señal de excitación, que pertenece al conjunto de los números reales

Por otra parte, los casos en los cuales pueden ser aplicado el método que será descrito en este punto, corresponden a aquellos en donde D(s) no es igual a 0.

La Ecuación (2.50) permite representar diversas situaciones para la señal de excitación x(t), y cuyos casos son mostrados a continuación mediante la Tabla 2.1

Es importante hacer notar que la operación

ejecuta mediante la operación límite, es decir,

EJEMPLO 2.6 Considere un sistema LDCID con modelo matemático definido por:

Para el sistema representado por la Ecuación (2.52), determine la respuesta permanente del sistema si la señal de excitación es:

Solución. Dado que el coeficiente a3 es igual a uno, se puede aplicar el operador p a la Ecuación (2.52) obteniéndose:

Respuesta Completa

La respuesta completa del sistema se consigue sumando la respuesta transitoria u homogénea con la respuesta permanente o solución particular, es decir:

donde los coeficientes ci para todo i = 1; …. ;n se obtiene de n condiciones conocidas, en concordancia con el grado de la ecuación característica N(p), es decir, los coeficientes ci para todo i = 1; …. ;n son determinados por el conocimiento de:

Por ejemplo, el problema ahora es hallar la respuesta completa del sistema, bajo las condiciones:

Solución. Claramente se tiene que el término a3 = 1, hecho que permite aplicar el operador p directamente a la Ecuación (2.52), arrojando el polinomio característico

D(p) = p3 +8p2 +19p+12, y cuyas raíces que lo anulan son r1 = -1, r2 = -3 y r3 = -4.

Como consecuencia del análisis hecho, se tiene que la solución homogénea está dada por:

De las Ecuaciones (2.53) y (2.57) se puede afirmar que la solución completa es:

Al resolver el sistema de ecuaciones lineales definido por la Ecuación (2.60)

se obtiene que c1 = 1/3, c2 = -3/2 y c3 = 5/3, los cuales al ser sustituido en la Ecuación (2.58) se llega a:

Fuentes:

  1. Análisis de Sistemas Lineales – Prof. Ebert Brea
    1. Análisis de Sistemas en el Dominio Continuo p 29
  2. Control Systems Engineering, Norman Nise
    1. First Order System 4.3 p 165-168
  3. Oppenheim – Señales y Sistemas
    1. 1.6.6 Linealidad p 53

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FIRST and SECOND ORDER SYSTEMS

FIRST and SECOND ORDER SYSTEMS

 

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Norman Nise
    1. Introduction Chapter 4 pp 162 (162)
    2. Poles and Zeros 4.1 pp 162 –
    3. First Order System 4.3 pp 165-168
    4. Second Order System 4.4 pp 168-177
  2. Modern_Control_Engineering__4t
    1. Introduction Chapter 5 pp 219 (232)
    2. First Order Systems 221 (234)-224
    3. Second Order System pp 225(238)-229

 

 

TIME DOMAIN CONTROL SYSTEMS ANALYSIS

Analisis de sistemas de control en el dominio del tiempo

FIRST ORDER SYSTEMS

We now discuss first-order systems without zeros to define a performance specification for such a system…

We now use Eqs. (4.6), (4.7), and (4.8) to define three transient response performance specifications:

 

  • Time Constant: We call 1/a the time constant of the response. From Eq. (4.7), the time constant can be described as the time for to decay to 37% of its initial value. Alternately, from Eq. (4.8) the time constant is the time it takes for the step response to rise to 63% of its final value.

The reciprocal of the time constant has the units (1/seconds), or frequency. Thus, we can call the parameter a the exponential frequency. Thus, the time constant can be considered a transient response specification for a first order system, since it is related to the speed at which the system responds to a step input.Since the pole of the transfer function is at a, we can say the pole is located at the reciprocal of the time constant, and the farther the pole from the imaginary axis, the faster the transient response.

 

  • Rise Time (Tr): Rise time is defined as the time for the waveform to go from 0.1 to 0.9 of its final value.

 

  • Settling Time (Ts): Settling time is defined as the time for the response to reach, and stay within, 2% of its final value.2

Fuente [1]

Fuente [3]

Fuente [3]

SECOND-ORDER SYSTEMS

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