Análisis de sistemas de control, Señales y Sistemas

La Función de Transferencia

La Función de Transferencia H(s) es el cociente formado por Y(s), la Transformada de Laplace de la salida de un sistema LTI (Causal, Lineal e Invariante en el tiempo), dividida entre X(s), la Transformada de Laplace de la entrada a dicho sistema, cuando las condiciones iniciales son iguales a cero en el tiempo t=0 :Dónde:Observación: La Función de Transferencia sólo se expresa como una función de la variable compleja s. Para obtenerla, es necesario que las condiciones iniciales sean nulas. De no serlo, se debe obligar a dichas condiciones a ser cero.

Observación: Conociendo la Función de Transferencia H(s) de un sistema, podemos conocer la salida y(t) en el dominio del tiempo para cualquier entrada x(t), aplicando los siguientes pasos:

Veremos un par de comandos en Matlab que ilustran este importante resultado.

Observación: La Función de Transferencia es una propiedad intrínseca del sistema, no depende del tipo o naturaleza de la entrada o excitación.

Observación: La Función de Transferencia no ofrece información sobre las características físicas del sistema. De hecho, sistemas con diferentes estructuras, dimensiones o distribuciones físicas pueden tener la misma Función de Transferencia.

Observación: La Función de Transferencia es una parte importante del primer paso necesario para el diseño y análisis de sistemas de control: el modelo matemático del sistema.

Observación: La Función de Transferencia H(s) de un sistema LTI también se puede definir como la Transformada de Laplace de la Respuesta al Impulso, con todas las condiciones iniciales iguales a cero. Suponiendo que la respuesta del sistema al impulso se denota como h(t), entonces:

La Función de Transferencia se obtiene a partir  de la representación de un sistema LTI por medio de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, el modelo dinámico del sistema.  Se hace uso intensivo de la propiedad de La Transformada de Laplace definida como “derivación n-ésima de una función en el dominio del tiempo”. Dicha propiedad sirve de fundamento para el método que permite separar algebraicamente la salida de la entrada, y obtener la Función de Transferencia.

Ejemplo.

Hallar la Función de Transferencia X(s)/P(s) del siguiente sistema mecánico:

Para obtener la ecuación diferencial que describe el comportamiento dinámico de este sistema, aplicamos la Ley de Newton:

Suponiendo las condiciones iniciales iguales a cero, y que se trata de un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo (LTI), aplicamos superposición y determinamos las fuerzas que actúan sobre la masa m, así obtenemos:

Esta es la ecuación diferencial del sistema, su modelo matemático. Por ser un sistema LTI, los coeficientes de la ecuación son constantes. Se procede ahora a aplicar la Transformada de Laplace a esta ecuación. Sabemos de La Transformada de Laplace que la manera más práctica es actuar sobre cada término de la ecuación por separado:

Así la ecuación del sistema luego de aplicarle Laplace es:

que podemos expresar como:

con el fin de despejar y obtener la Función de Transferencia del sistema:

La Función de Transferencia y el Diagrama de Bloques.

La Función de Transferencia permite representar un sistema mediante una herramienta gráfica que muestra el flujo de información a través de todos los componentes del mismo: El diagrama de bloques.

En construcción…

 

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Sin categoría, Transformada de Laplace

Ejemplo 1: Transformada de Laplace de una función exponencial – Matlab

En general, La Transformada de Laplace de una función x(t) es:

Considere la señal exponencial x(t):

Donde a es un número real cualquiera y  u(t) es la función escalón unitario. La Transformada de Laplace de x(t) es:

Para evaluar el lado derecho es necesario determinar:

Este límite existe si solo si:

Por tanto:

Y:

La región de convergencia de la transformada X(s) es el conjunto de todos los números complejos tales que Re{s}>-a (Parte real de s es mayor que menos a). Nota: Dos señales distintas pueden tener la misma expresión algebraica cuando se le aplica la transformada de Laplace. Por tanto, cuando se especifica la transformada de Laplace de una señal, se requiere tanto la expresión algebraica como el intervalo de valores s para el cual esta expresión es válida. Lo correcto es expresar el resultado anterior de la siguiente manera: 

Observar que en el caso de que a=0, x(t) es simplemente la función escalón unitario, y por tanto se obtiene el importante resultado:

Cálculo de la Transformada de Laplace en Matlab 

Continuando con el caso x(t):

Symbolic Math Toolbox de Matlab calcula la Transformada de Laplace mediante el siguiente comando:

>> syms x a t
>> x=exp(-a*t);
>> X=laplace(x)

X =

1/(a + s)

De igual manera podemos calcular Laplace para la función escalón unitario mediante:

>> x=sym(1);
>> X=laplace(x)

X =

1/s

Teniendo la Transformada de Laplace X(s) podemos aplicar la antitransformada para obtener su equivalente en el dominio del tiempo:

>> X=1/(a + s)

>> x=ilaplace(X)

x =

exp(-a*t)

Por poner un caso más complicado, considere el siguiente ejemplo:

>> syms X s x
>> X=(s+2)/(s^3+4*s^2+3*s);

>> x=ilaplace(X)

x =

2/3 – exp(-3*t)/6 – exp(-t)/2

Además puedo graficar este resultado mediante:

>> ezplot(x,[0,10])

Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas

ANTERIOR: La Transformada de Laplace

Te puede interesar:

  1. Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador
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La Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace X(s) es la Transformada Continua de Fourier después de multiplicarla por una señal exponencial real decreciente. Es por ello que se considera una generalización de la Transformada de Fourier. La notación y la ecuación utilizadas para determinar la Transformada de Laplace son las siguientes:

Es decir, Laplace adapta la Transformada de Fourier para que pueda ser aplicada a un conjunto más amplios de señales para las cuáles no existe la Transformada de Fourier.

Bajo ciertas condiciones iniciales, La Transformada de Laplace nos permite visualizar el efecto que un sistema LTI (causal, lineal e invariante en el tiempo) tiene sobre cualquier señal de entrada a dicho sistema.

La Transformada de Laplace a partir de la Transformada de Fourier

Dada una señal de tiempo continuo x(t) se define la Transformada de Fourier X(ω) de x(t) como:

La ecuación (1) genera las componentes de frecuencia que forman la señal x(t). Para algunas señales de uso común en la ingeniería, esta integral no existe. Para resolver este inconveniente, se añade un factor de convergencia exponencial  e^-σt a la integral de la ecuación (1), donde sigma (σ) es un número real. De esa manera obtenemos:

La cual puede escribirse como:

Para ser más prácticos, hacemos:

Así podemos escribir la ecuación (3) como:

La ecuación (4) es conocida como La Transformada de Laplace de una señal general x(t).

La transformada de Laplace convierte las funciones expresadas en término de la variable real t  en funciones de una variable completamente diferente, la variable compleja s. Nos mueve desde el dominio del tiempo a lo que a menudo se denomina el dominio de frecuencia.

La Transformada de Laplace comparte las propiedades algebraicas de La Transformada de Fourier: transforman una señal en el tiempo en la suma de varias señales en frecuencia. De allí su enorme utilidad para determinar, por ejemplo, la salida de un sistema a partir de la ecuación diferencial que describe la dinámica de dicho sistema, aplicando La transformada de Laplace y el conjunto de propiedades que se definen a continuación.

Por otra parte, no es necesario calcular la integral de la ecuación (4) en la mayoría de los casos de interés científico ya que se dispone de tablas para determinar la Transformada de Laplace de dichos casos.

Ejemplo 1: La Transformada de Laplace de una función exponencial

Considere la señal x(t):

Donde a es un número real cualquiera y  u(t) es la función escalón unitario. Aplicando la ecuación (4), La Transformada de Laplace de x(t) es:

Para evaluar el lado derecho es necesario determinar:

Este límite existe si solo si:

Por tanto:

Y:

La región de convergencia de la transformada X(s) es el conjunto de todos los números complejos tales que Re{s}>-a (Parte real de s es mayor que menos a). Nota: Dos señales distintas pueden tener la misma expresión algebraica cuando se le aplica la transformada de Laplace. Por tanto, cuando se especifica la transformada de Laplace de una señal, se requiere tanto la expresión algebraica como el intervalo de valores s para el cual esta expresión es válida. Lo correcto es expresar el resultado anterior de la siguiente manera: 

Observar que en el caso de que a=0, x(t) es simplemente la función escalón unitario, y por tanto se obtiene el importante resultado:

Para realizar este cálculo mediante matlab ver: Ejemplo 1: Transformada de Laplace de una función exponencial – Matlab

Propiedades de la Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace satisface un número de propiedades útiles en una gran variedad de aplicaciones. Las siguientes propiedades fundamentales permiten calcular sin necesidad de calcular la integral de la ecuación (4), la Transformada de Laplace de la mayoría de situaciones de interés para la ingeniería. Daremos algunos ejemplos de aplicación:

  1. Linealidad. La Transformada de Laplace es una operación lineal, por tanto:

Ejemplo:

  1. Desplazamiento en el tiempo por la derecha. Para cualquier número real positivo c:

Ejemplo: sea x(t) la función pulso rectangular en términos de la función escalón:

  1. Escalamiento en el tiempo. Para cualquier número real positivo a:

Ejemplo: sea x(t) la función escalón escalada en el tiempo:

  1. Multiplicación por una potencia de t. Para cualquier número entero positivo N:

Ejemplo: sea x(t) la función rampa unitaria:      5. Derivación en el dominio del tiempo.

La propiedad de derivación en el dominio del tiempo de la Transformada de Laplace es de suma importancia en el campo de la ingeniería ya que permite determinar la respuesta de un sistema LTI, o señal de salida y(t), a una entrada al sistema, o señal de excitación. Una vez determinada la Transformada de Laplace de la ecuación diferencial que representa la dinámica del sistema, se obtiene la expresión para la salida Y(s) y se aplica anti-transformada de Laplace. Pero existe una herramienta poderosa para observar el comportamiento de la salida en el dominio del tiempo. Veamos como funciona La Función de Transferencia de un sistema LTI.

A tabla siguiente ofrece un resumen del resto de las propiedades, junto con las ya mencionadas:

Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

SIGUIENTE: Ejemplo 1: Transformada de Laplace de una función exponencial – Matlab

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Convolución de señales discretas – Sumatoria de convolución

Dadas dos señales de tiempo discreto x[n] y v[n], la convolución de ambas señales se define como: 

La expresión del lado derecho de la ecuación (1) se conoce como sumatoria de convolución. En el caso de que ambas señales x[n] y v[n] sean iguales a cero para n<0, entonces x[i]=0 para i<0, y v[n-i]=0 para n-i<0, entonces la ecuación (1) se puede escribir como:

Ejemplos
  1. Suponiendo que x[n]=anu[n], donde u[n] es la función escalón, y v[n]= bnu[n]. La convolución entre ambas señales es igual a:

Si a=b:Entonces:

Si ab:

Por tanto: 

2. La convolución de dos señales discretas puede representarse en Matlab mediante el siguiente código. Por ejemplo, la convolución de una señal p[n] consigo misma:

>> p=[0 ones(1,11) zeros(1,5)]%correspondiente a n=-1 a n=14

>>x=p

>> v=p

>> y=conv(x,v)

>> n=-2:25;

>> stem(n,y(1:length(n)),’filled’)

Convolución de una señal (p{n]=1 ) consigo misma.

 

3. Si aplicamos la convolución entre una entrada discreta x[n] a un sistema y la respuesta h[n] al impulso unitario discreto de dicho sistema, obtendremos la salida. Si h[n]=sen(0.5n) para n0, y la entrada x[n]=sen(0.2n) para n ≥0, podemos representar la salida mediante Matlab como sigue:

>> n=0:40;

>> x=sin(.2*n);

>> h=sin(.5*n);

>>y=conv(x,h);

>> stem(n,y(1:length(n)),’filled’) 

Salida y[n] para el sistema con entrada x[n]=sen(0.2n) y respuesta al impulso h[n]=sen(0.5n)

Fuente:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

ANTERIOR: Señales de tiempo discreto – muestreo en matlab

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Matemática aplicada - Appd Math, Matemática Financiera

Solución de problemas financieros mediante ecuaciones lineales – método.

Introducción - Definición de ecuación lineal

Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad. Un valor de la variable que haga que la ecuación sea una proposición cierta se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación. Así, por ejemplo, 5 es una raíz de la ecuación 2x 3 = x + 2. De manera similar, -2 es solución de la ecuación:

Porque cuando 2 sustituye a y en la ecuación, obtenemos:

La cual es una proposición verdadera.

Una clase importante de ecuaciones consta de aquellas denominadas ecuaciones polinomiales. En una ecuación polinomial, los dos lados pueden constar de uno o varios términos sumados algebraicamente; cada término incluye una potencia entera no negativa de la variable multiplicada por un coeficiente constante. El grado de la ecuación polinomial es la máxima potencia de la variable que aparece en la ecuación. Así, por ejemplo:

Una ecuación polinomial de grado 1 se denomina ecuación lineal; en tanto que una ecuación polinomial de grado 2 se llama ecuación cuadrática. La forma canónica de una ecuación lineal en la variable x es:

donde a y b son constantes. Esta la ecuación lineal tiene una y sólo una solución, es decir, x=-b/a. Para graficar una ecuación lineal, es necesario fabricar una función lineal, generalmente mediante la estructura función afín:

Donde a es la pendiente de una recta (representa el aumento del valor de la función si x aumenta en 1) y b es el punto donde la recta intersecta el eje y. Para repasar esta materia ver: The graph of a polynomial function, de donde extraemos la siguiente figura:

Ejemplo: Solución de problemas financieros mediante ecuaciones lineales

Los métodos algebraicos y la teoría vista sobre función afín, a menudo son útiles en la solución de problemas aplicados en finanzas y administración. En general, tales problemas se establecen en forma verbal; antes de que podamos utilizar nuestras herramientas algebraicas, es necesario cambiar las declaraciones verbales a proposiciones algebraicas correspondientes.

EJEMPLO 1. (Ingresos mensuales) Una vendedora gana un salario base de $600 por mes más una comisión del 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio, le toma una  hora y media realizar ventas por un valor de $100. ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000?

Paso 1 Representar la cantidad desconocida (es decir, la cantidad que debe determinarse) mediante un símbolo algebraico, tal como x. En algunos problemas, deben determinarse dos o más cantidades; en tales casos, denotamos sólo una de ellas con x.

En este ejemplo, x: horas de trabajo de la vendedora.

Paso 2 Expresar todas las demás cantidades, si las hay, en términos de x.

La otra cantidad relevante en este problema es  V: ventas en dólares.

El enunciado sugiere que la relación entre las ventas (V) y las horas de trabajo (x) es lineal y se puede expresar como V en función de x de la siguiente manera:

Donde a es la pendiente de una recta y b el punto de su intersección (offset) con el eje vertical.

Paso 3 Traduzca las expresiones verbales que aparezcan en el problema en expresiones algebraicas en las cuales intervenga x.

Según el enunciado, la vendedora requiere de hora y media para realizar una venta de 100 dólares. Como la unidad de medida de x es la hora, debemos reacomodar este enunciado y expresarlo en horas. Lo podemos hacer de la siguiente forma, siempre buscando facilidad de comprensión. Si la vendedora en hora y media vende 100 dólares, en tres horas venderá 200 dólares, o sea, en una hora vende 200/3. Hay que recordar que este dato nos indica la pendiente de la recta que representa la relación entre x y V, siendo x la abscisa y V  la ordenada (representa el aumento del valor de la función si x aumenta en 1). Es decir, a=200/3. Luego, sabemos también que en cero horas de trabajo la vendedora obtiene cero dólares en venta, es decir, b=0. Por tanto:

Por otra parte, el salario S será de $600 por mes más una comisión del 10% de las ventas. Es decir, en un mes:

Sustituyendo:

Paso 4 Resolver la expresión o expresiones algebraicas de acuerdo con los métodos algebraicos.

Este problema nos exige responder la pregunta siguiente: ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000? Es decir, para que S=2000. Entonces:

Es decir:

De donde despejamos x aplicando operaciones algebraicas:

Paso 5 Transforme la solución algebraica en forma verbal.

La vendedora necesitará trabajar 210 horas por mes, en promedio, para poder obtener ingresos por un valor de 2000$.

EJEMPLO 2 (Utilidades) Un comerciante de ganado compró 1000 reses a $150 cada una. Vendió 400 de ellas obteniendo una ganancia del 25%. ¿A qué precio deberá vender las restantes 600 si la utilidad promedio del lote completo debe ser del 30%?

En construcción…

 

Análisis Vectorial, Matemática aplicada - Appd Math

Descripción de un vector mediante el sistema de coordenadas rectangular

Introducción

Los conceptos fundamentales y las operaciones del análisis vectorial son imprescindibles para la ingeniería. En este paper, estos conceptos y operaciones se bosquejan en vez de exponerse rigurosamente, lo cual es bastante práctico para el ingeniero. Una cantidad vectorial tiene tanto magnitud como dirección en el espacio. Sólo serán de interés los espacios de dos y tres dimensiones, aunque en aplicaciones más avanzadas los vectores pueden definirse en espacios de n dimensiones. La fuerza, la velocidad, la aceleración y una línea recta que van de la terminal positiva a la negativa de un acumulador son ejemplos de vectores. A cada cantidad la caracterizan tanto una magnitud como una dirección.

Para describir con precisión un vector, debemos hacer uso de un sistema de coordenadas que permita determinar la longitud, dirección, proyección o componentes de un vector. Los tres sistemas más sencillos para lograr esto son el de coordenadas cartesianas o rectangulares, el de coordenadas cilíndricas y el de coordenadas esféricas. En esta oportunidad trataremos el primer caso.

Sistema de coordenadas rectangular

Utiliza tres ejes coordenados perpendiculares entre sí, llamados eje x, y y z. Se acostumbra elegir un sistema de coordenadas de mano derecha en el cual una rotación (que describe un pequeño ángulo) del eje x hacia el eje y causaría que un tornillo derecho avanzara en la dirección del eje z. Los dedos de la mano derecha, pulgar, índice y medio, pueden entonces identificar los ejes x, y y z, respectivamente. La figura 1.2a muestra un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha:

La localización de un punto se hace por medio de sus coordenadas x, y y z. Éstas son, respectivamente, las distancias desde el origen a cada una de las intersecciones de una proyección perpendicular desde el punto de los ejes x, y y z. Un método opcional para interpretar los valores de las coordenadas, y que corresponde al que debe usarse en todos los demás sistemas de coordenadas, es considerar el punto como la intersección de tres superficies, los planos x = constante, y = constante y z = constante, siendo las constantes los valores de las coordenadas del punto. La figura 1.2b muestra los puntos P y Q, cuyas coordenadas son (1, 2, 3) y (2, −2, 1), respectivamente. Por consiguiente, el punto P se localiza en la intersección de los planos x = 1, y = 2 y z = 3, mientras que el punto Q se localiza en la intersección de los planos x = 2y = −2, z = 1.

Si se visualiza la intersección de tres planos en cualquier punto P, cuyas coordenadas sean x, y y z, puede incrementarse el valor de cada coordenada por una cantidad diferencial y obtenerse tres planos ligeramente desplazados que se intersecten en un punto P, cuyas coordenadas serán x + dx, y + dy y z + dz. Los seis planos definen un paralelepípedo rectangular cuyo volumen es dv = dxdydz; las superficies tienen diferenciales de áreas dS de dxdy, dydz y dzdx. Por último, la distancia dL de P a P es la diagonal del paralelepípedo y tiene una longitud:

El elemento diferencial de volumen lo muestra la figura 1.2c; el punto P está indicado, pero el punto P se localiza en la única esquina invisible.

Componentes vectoriales y vector unitario

Para describir un vector en un sistema de coordenadas cartesianas se considera primero un vector r que se extiende alejándose del origen. Una manera lógica de identificar este vector es proporcionar los tres componentes vectoriales, que se encuentran a lo largo de los tres ejes coordenados y cuya suma vectorial debe ser igual al vector dado. Si las componentes vectoriales de un vector r son x, y y z, entonces r = x + y + z. Las componentes vectoriales se muestran en la figura 1.3a. En vez de un vector ahora se tienen tres, pero esto significa un paso hacia adelante porque los tres vectores son de naturaleza muy sencilla y cada uno se orienta siempre a lo largo de uno de los ejes coordenados.

En otras palabras, las componentes vectoriales tienen una magnitud que depende del vector dado (tal como el r citado antes), pero cada una tiene una dirección constante conocida. Esto sugiere el uso de vectores unitarios, los cuales tienen magnitud unitaria por definición y se orientan a lo largo de los ejes coordenados en la dirección en la que crecen los valores de las coordenadas. Se reservará el símbolo a para un vector unitario y se identifica su dirección con un subíndice apropiado. Entonces ax ay y az son los vectores unitarios en el sistema de coordenadas cartesianas.3 Son dirigidos a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente, como lo muestra la figura 1.3b.

Si la componente vectorial y tiene una magnitud de dos unidades y se dirige hacia donde aumentan los valores de y, se deberá escribir entonces y = 2ay. Un vector rP que apunta desde el origen a un punto P(1, 2, 3) se escribe como Rp= ax+ 2ay + 3az. El vector desde el punto P a Q se puede obtener aplicando la regla de la suma vectorial. Esta regla muestra que el vector desde el origen a P más el vector desde P a Q es igual al vector desde el origen a Q. El vector deseado desde P(1, 2, 3) a Q(2, 2, 1) es, por lo tanto:

 

Los vectores rP, rQ y RPQ se muestran en la figura 1.3c. Este último vector no empieza en el origen, como lo hacía el vector r considerado al principio. Sin embargo, hemos aprendido que los vectores que tienen la misma magnitud y apuntan en la misma dirección son iguales, así que para ayudar al proceso de visualización se tiene la libertad de desplazar cualquier vector hasta el origen, antes de determinar sus componentes vectoriales. Desde luego, el paralelismo se debe mantener durante el proceso de desplazamiento.

Si se considera un vector fuerza F en vez de cualquier otro vector, excepto uno de desplazamiento tal como el vector r, el problema radica en proporcionar letras apropiadas para los tres componentes vectoriales. No sería apropiado llamarlas x, y y z, pues representan desplazamientos o distancias dirigidas, medidas en metros (abreviado m) o alguna otra unidad de longitud. El problema se evita usando componentes escalares, simplemente llamadas componentes Fx, Fy y Fz. Las componentes son las magnitudes, con signo positivo o negativo, de los componentes vectoriales. Se escribe entonces F = Fxax + Fyay + Fzaz.  Los componentes vectoriales son Fxax, Fyay y Fzaz.

Cualquier vector B, entonces, se puede describir por B = Bxax + Byay + Bzaz. La magnitud de B, denotada por |B| o simplemente B, está dada por:

 

Cada uno de los tres sistemas coordenados tiene tres vectores unitarios fundamentales y mutuamente ortogonales, los cuales se utilizarán para descomponer cualquier vector en sus componentes vectoriales. Sin embargo, los vectores unitarios no se limitarán a esta aplicación. Es muy necesario saber cómo escribir un vector unitario que tenga una dirección específica. Esto es muy sencillo, pues un vector unitario en una dirección dada es simplemente un vector en esa dirección dividido entre su magnitud. Un vector unitario en la dirección B es:

 

Por ejemplo, si es necesario determinar un vector unitario en la dirección del punto G(2,-2,-1) desde el origen, se construye un vector desde el origen hasta G, calculamos su magnitud y aplicamos la ecuación anterior para hallar el vector unitario en esa dirección:

 Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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Control System Analysis, Matemática aplicada - Appd Math

Example 1 – Linearization of non-linear systems.

Linearize a function

Suppose we have a system represented by the following function:
nullOur task is to linearize f (x) around xo = π / 2. As:
nullWe find the following values and substitute them in the previous equation:
nullThen we can represent our nonlinear system by means of the following negative line equation:
null

The result of the linearization of f (x) around xo = π / 2 can be seen in Figure 2.48:

null

null

Linearize a differential equation

Suppose now that our system is represented by the following differential equation:
nullThe presence of the term cosx makes the previous one a non-linear equation. It is requested to linearize said equation for small excursions around x = π / 4.

To replace the independent variable x with the excursion δx, we take advantage of the fact that:
nullSo:nullWe proceed then to the substitution in the differential equation:nullWe now apply the derivation rules:nullAnd for the term that involves the cosx function we apply the same methodology that we have just seen in the previous example for a given function, that is, linearize f (x) around xo = π / 4:

Note that in the previous equation the excursion is zero when the function is evaluated exactly at the point xo. The same happens when the slope is evaluated in xo:So:

Therefore, we can rewrite the differential equation in a linear fashion around the point xo =π /4 as follows:

That is to say:

NEXT: Example 2 – Linearization of a Magnetic Levitation (MAGLEV) system – sphere. 

 

Written by: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Control System Analysis, Matemática aplicada - Appd Math

Linearization of non-linear systems.

Introduction

Many components and actuators have non-linear characteristics and the effectiveness of their action requires that they remain at the point of operation where they act approximately linearly, which can be a very limited interval. For example, the music that we all hear must be amplified by a circuit composed of electronic devices that only amplify the signal when they are acting at the point of operation in which the system is designed to act linearly; proof of this is that the output of the system as a whole is proportional to the input, that is, a linear system.

What is linearization? It is to express a non-linear function or differential equation with an approximate linear version, only valid in a very small range of values of the independent variable. Something like expressing a quadratic function by the mathematical formula of a straight line. To what end? Well, to be able to apply to the system represented by this function all the control techniques for linear systems studied up to now. Our objective is to design a strategy to generate a linear equation that represents a non-linear system in a very limited region, a strategy that we configure next.

To obtain a linear mathematical model of a non-linear system it is necessary to suppose that the variable to be controlled only deviates very slightly from an operation point A of coordinates (xo, f (xo)), where xo is the input to the system and f (xo) is the output. At point A we can place a line with a certain slope and assume that for small changes δx around xo we have the output f (xo+δx) moving along this line, as shown in Figure 2-47:null

We can use point A as a new center of coordinates where the independent variable δx corresponds to the input to the system, while the dependent variable δf (x) represents the output of the system. We make this convenient change of coordinates to use the equation of the slope ma of the line in the following way:
null

OrnullAnd so:null

In the same way that:null

The latter is a linear mathematical approximation for f (x).

This technique allows us to obtain a linear expression for f (x), around the point of operation A. Now, we are going to combine the obtained expressions for f (x) and δf (x). Another way of thinking it is to think that, around the point of operation A, f (x) has the value of f (xo) plus a small component of value maδx along a straight line of slope ma:
nullWhere (x-xo) is so small that it approaches δx. Mission accomplished, we will do this:
null

What theory allows us to do this? The Taylor series.

Taylor Series

The Taylor series are the expansion of a function f (x) in terms of the value of that function at a particular point xo, around that point and in terms of the derivatives of the function evaluated at that point:
null

When the excursion around the point xo is small, as the case that interests us, the derivatives of higher order can be ignored, so:
null

Knowing that the mx slope of a line at point xo is the derivative of the line evaluated in xo, we can adapt this last equation to our strategy and we obtain the formula that interests us:
nullWhere mx = df / dx evaluated at x = xo. Note that δx is now the independent variable, for which we use only a valid range of values around xo, so that δx is an excursion. Returning to Figure 2.47, this is the key tactic of the linearization process, we have created a coordinate system centered at point A, to replace the independent variable x with δx. We can continue using the δx notation or any other more practical notation such as:
nullLet’s see how this works through examples.

Linearize a function

Suppose we have a system represented by the following function:
nullOur task is to linearize f (x) around xo = π / 2. As:
nullWe find the following values and substitute them in the previous equation:
nullThen we can represent our nonlinear system by means of the following negative line equation:
null

The result of the linearization of f (x) around xo = π / 2 can be seen in Figure 2.48:

null

null

Linearize a differential equation

Suppose now that our system is represented by the following differential equation:
nullThe presence of the term cosx makes the previous one a non-linear equation. It is requested to linearize said equation for small excursions around x = π / 4.

To replace the independent variable x with the excursion δx, we take advantage of the fact that:
nullSo:nullWe proceed then to the substitution in the differential equation:nullWe now apply the derivation rules:nullAnd for the term that involves the cosx function we apply the same methodology that we have just seen in the previous example for a given function, that is, linearize f (x) around xo = π / 4:

Note that in the previous equation the excursion is zero when the function is evaluated exactly at the point xo. The same happens when the slope is evaluated in xo:So:

Therefore, we can rewrite the differential equation in a linear fashion around the point xo =π /4 as follows:

That is to say:

Linearization of a system with two independent variables

The Taylor series enables us to work with functions or differential equations that have two independent variables. In this regard, the Taylor series applies the following formula:

null

Where the point of operation has the coordinates ¯x1 y ¯x2. For small excursions around the equilibrium point, we can obviate the higher order derivatives. The linear mathematical model for this nonlinear system around the point of operation is obtained from:

Example. Linearization of a system with two independent variables.

Linearization of magnetic sphere levitation system.

The magnetic suspension system of a sphere is shown in Figure 1.

The objective of the system is to control the position of the steel sphere by adjusting the current in the electromagnet through the input voltage e(t). The dynamics of the system is represented by the following differential equations:
Where:

It is requested to linearize the system around its equilibrium point.

See the complete answer in the following link: Example 2 – Linearization of a Magnetic Levitation (MAGLEV) system – sphere. 

Written by: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Ejemplo 1 – Linealización de sistemas no lineales

Linealizar una función

Supongamos que tenemos un sistema representado por la siguiente función:  nullNuestra tarea es linealizar f(x) alrededor de xo=π/2. Como:null

Es decir, vamos a cambiar f(x)=5cosx, que es la representación de una curva con variable independiente x, por f(x)=f(x0)+mxXˆ, que es la representación de una recta con pendiente mx y una nueva variable independiente xˆ, que se supone intercepta al eje y en f(x0(recordar cómo se interpreta la ecuación de una recta. Para un repaso completo ver: Linealización de sistemas no lineales) Esta nueva representación sólo es válida si la variable independiente xˆ se aleja muy poco de x0, por eso se le llama excursión. 

Hallamos los siguientes valores y los sustituimos en la ecuación anterior:nullEntonces podemos representar nuestro sistema no lineal mediante la siguiente ecuación de recta con pendiente negativa:null

El resultado de la linealización de f(x) alrededor de xo=π/2 se puede observar en la Figura 2.48:

null

null

Linealizar una ecuación diferencial

Supongamos ahora que nuestro sistema está representado por la siguiente ecuación diferencial:nullLa presencia del término cosx hace de la anterior una ecuación no lineal. Se pide linealizar dicha ecuación para pequeñas excursiones alrededor de xo=π/4.

Para sustituir la variable independiente x por la excursión δx aprovechamos el hecho de que:nullAsí:null

Alguien podría preguntar que significa lo anterior. Significa que x-xo es una pequeña distancia que indica lo que nos podemos alejar de xo=π/4, que es el punto “alrededor” del cual debemos hacer la linealización. A esa pequeña distancia se le llama excursión δx. Ya que el símbolo δdebe ser utilizado muchas veces, porque se convierte en la nueva variable independiente, preferimos llamarla xˆ. En el procedimiento anterior despejamos a la variable x para sustituir este resultado en la ecuación original para que dicha ecuación nos quede expresada en función de la nueva variable xˆ.

Ok. Procedemos entonces a la sustitución en la ecuación diferencial:nullAplicamos ahora las reglas de derivación:nullY para el término que involucra a la función cosx aplicamos la misma metodología que acabamos de ver en el ejemplo anterior para una función determinada, es decir,  linealizar f(x) alrededor de xo=π/4:

Entonces de acuerdo con la ecuación (1):

Pero, ya que:Podemos afirmar que:

Por tanto, con estos resultados, podemos reescribir la ecuación diferencial:

null

de forma lineal alrededor del punto xo=π/4 como sigue:

O lo que es lo mismo:

Esta es la nueva representación de nuestra ecuación diferencial original, sólo válida si no nos alejamos mucho de xo=π/2. Note que esta nueva representación es una ecuación diferencial lineal, que es el objetivo del procedimiento.

Ejemplo - Linealización de Sistema de levitación magnética de una esfera.

El sistema de suspensión magnética de una esfera se muestra en la Figura 1.

El objetivo del sistema es controlar la posición de la esfera de acero mediante el ajuste de la corriente en el electroimán a través del voltaje de entrada e(t). La dinámica del sistema está representada por las siguientes ecuaciones diferenciales:Donde:

Se pide linealizar el sistema alrededor de su punto de equilibrio.

Solución

La Figura 1 muestra que la bola metálica está sujeta a dos fuerzas: Fem y G; es decir, la fuerza electromagnética y la gravedad. De la dinámica del sistemas nos enfocamos en la ecuación que relaciona ambas fuerzas mediante la ley de Newton:

Esta ecuación es no lineal y es donde será necesario aplicar del proceso de linealización. Escribiendo esta ecuación de otra forma podemos ver que las fuerzas que actúan sobre la esfera tienen signo contrario, lo que indica que se oponen:

Donde:

Resulta lógico pensar que ambas fuerzas se igualan en el punto de equilibrio, de coordenada xo, cuando la bola levita y permanece inmóvil. Como el desplazamiento de la bola en este punto permanece constante, la velocidad y la aceleración de la bola son iguales a cero, así sabemos que:

Por tanto, en el punto de equilibrio:

Donde:

Volviendo a la dinámica del sistema, sólo una de las ecuaciones es no lineal:

Para linealizar esta ecuación diferencial, procedemos como hemos visto en: Linealización de sistemas no lineales.

La excursión alrededor del punto de equilibrio se representa mediante:

De donde:

Escribimos de nuevo la ecuación 1 sustituyendo sus términos por aquellos encontrados para el punto de equilibrio:

Aplicando ley de derivadas, tomando en cuenta que xo  es una constante:

Para linealizar la fuerza electromagnética en el punto de equilibrio, aplicamos la siguiente serie de Taylor:

Entonces:

Donde

Sustituyendo estos últimos resultados en la ecuación 3 obtenemos:

Sustituimos ahora este resultado en la ecuación 2:

Y así logramos cumplir con el objetivo de representar el sistema no lineal mediante las siguientes ecuaciones diferenciales lineales:

Nota: La segunda ecuación (e(t)=…) puede mantener su forma original porque es lineal, sólo hacía falta cambiar la variable independiente i por aquella que representa la excursión.

Fuente: Modelling and simulation of a magnetic levitation system, Valer Dolga, Lia Dolga, 2007.

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Linealización de sistemas no lineales.

Introducción

Muchos componentes y actuadores poseen características no lineales y la eficacia de su acción requiere mucho de que se mantengan en el punto de operación donde actúan aproximadamente de manera lineal, el cuál puede ser un intervalo muy limitado. Por ejemplo, la música que todos escuchamos debe ser amplificada por un circuito compuesto por dispositivos electrónicos que sólo amplifican cuando están actuando en el punto de operación en el que se diseña el sistema para que actúe linealmente; muestra de ello es que la salida del sistema en su totalidad es proporcional a la entrada, es decir, un sistema lineal.

¿En qué consiste linealizar? En expresar una función o ecuación diferencial no lineal con una versión lineal aproximada, sólo válida en un intervalo muy pequeño de valores de la variable independiente. Algo así como expresar una función cuadrática mediante la fórmula matemática de una línea recta. ¿Con qué fin? Pues, poder aplicarle al sistema representado por dicha función o ecuación diferencial, todas las técnicas de control para sistemas lineales estudiadas hasta ahora. Nuestro objetivo es diseñar una estrategia para generar una ecuación lineal que represente a un sistema no lineal en una región muy limitada, estrategia que configuramos a continuación.

Para obtener un modelo matemático lineal de un sistema no lineal es necesario suponer que la variable a controlar sólo se desvía muy ligeramente de un punto de operación A de coordenadas (xo, f(xo)), donde xo es la entrada al sistema y f(xo) es la salida. En el punto A podemos colocar una recta con cierta pendiente (slope) y suponer que para pequeños cambios δx alrededor de xo la salida f(xo+δx) se mueve a lo largo de esta recta, tal como se muestra en la Figura 2-47:null

Podemos utilizar el punto A como un nuevo centro de coordenadas donde la variable independiente δx se corresponde con la entrada al sistema, mientras que la variable dependiente δf(x) representa la salida del sistema. Hacemos este conveniente cambio de coordenadas para utilizar la ecuación de la pendiente ma de la recta de la siguiente manera:null

ÓnullY así:null

Al igual que:null

Esta última es una aproximación matemática lineal para f(x) , una función que a grandes rasgos no es lineal, como se puede constatar en la Figura 2-47.

Esta técnica nos permite entonces obtener una expresión lineal para f(x), alrededor del punto de operación A. Ahora, vamos a combinar las expresiones obtenidas para f(x) y δf(x). Otra forma de razonar es pensar que, alrededor del punto de operación A,  f(x) tiene el valor de f(xo) más un pequeño componente de valor maδx a lo largo de una línea recta de pendiente ma:null

Donde (x-xo) es tan pequeño que se aproxima a δx. Misión cumplida, haremos que:
null

¿Qué teoría nos permite hacer esto? Las series de Taylor son como guante a la mano.

Series de Taylor

Las series de Taylor son la expansión de una función  f(x) en términos del valor de esa función en un punto xo en particular, alrededor de ese punto y en términos de las derivadas de la función evaluadas en ese punto:null

Cuando la excursión alrededor del punto xo es pequeña, como el caso que nos interesa, las derivadas de orden mayor se pueden ignorar, por lo que:null

Sabiendo que la pendiente mx de una recta en el punto xo es la derivada de la recta evaluada en xo, podemos adaptar esta última ecuación a nuestra estrategia y obtenemos la fórmula que nos interesa:nullDonde mx=df/dx evaluado en x=xo. Note que δx es ahora la variable independiente, para la cual utilizamos sólo un rango válido de valores alrededor de xo, por lo que a δx le llamamos excursión. Volviendo a la Figura 2.47, ésta es la táctica clave del proceso de linealización, hemos creado un sistema de coordenadas centrado en el punto A, para sustituir la variable independiente x por δx. Podemos seguir utilizando la notación δx o cualquier otra más práctica como:nullVeamos cómo funciona esto mediante ejemplos.

Linealizar una función

Supongamos que tenemos un sistema representado por la siguiente función:  nullNuestra tarea es linealizar f(x) alrededor de xo=π/2. Como:nullHallamos los siguientes valores y los sustituimos en la ecuación anterior:nullEntonces podemos representar nuestro sistema no lineal mediante la siguiente ecuación de recta con pendiente negativa:null

El resultado de la linealización de f(x) alrededor de xo=π/2 se puede observar en la Figura 2.48:

null

null

Linealizar una ecuación diferencial

Supongamos ahora que nuestro sistema está representado por la siguiente ecuación diferencial:nullLa presencia del término cosx hace de la anterior una ecuación no lineal. Se pide linealizar dicha ecuación para pequeñas excursiones alrededor de xo=π/4.

Para sustituir la variable independiente x por la excursión δx aprovechamos el hecho de que:nullAsí:nullProcedemos entonces a la sustitución en la ecuación diferencial:nullAplicamos ahora las reglas de derivación:nullY para el término que involucra a la función cosx aplicamos la misma metodología que acabamos de ver en el ejemplo anterior para una función determinada, es decir,  linealizar f(x) alrededor de xo=π/4:

Observar que en la anterior ecuación la excursión vale cero cuando la función se evalúa exactamente en el punto xo. Lo mismo pasa cuando se evalúa la pendiente en xo:Así:

Por tanto, podemos reescribir la ecuación diferencial de forma lineal alrededor del punto xo=π/4 como sigue:

O lo que es lo mismo:

Linealización de un sistema con dos variables independientes

Las series de Taylor nos habilitan para trabajar con funciones o ecuaciones diferenciales que tienen dos variables independientes. Al respecto, la serie de Taylor aplica la siguiente fórmula:

null

Donde el punto de operación tiene las coordenadas ¯x1 y ¯x2. Para excursiones pequeñas alrededor del punto de equilibrio, podemos obviar las derivadas de mayor orden. El modelo matemático lineal para este sistema no lineal alrededor del punto de operación se obtiene mediante:

Donde:

Ejemplo. Linealización de un sistema con dos variables independientes.

Linealización de Sistema de levitación magnética de una esfera.

El sistema de suspensión magnética de una esfera se muestra en la Figura 1.

El objetivo del sistema es controlar la posición de la esfera de acero mediante el ajuste de la corriente en el electroimán a través del voltaje de entrada e(t). La dinámica del sistema está representada por las siguientes ecuaciones diferenciales:

Donde:

Se pide linealizar el sistema alrededor de su punto de equilibrio.

Para ver la solución de este problema ver: Ejemplo 2 – Linealización de un Sistema de levitación magnética de una esfera.

 

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