## PI Controller – Proportional Integral – Control System

Steady-state error can be improved by placing an open-loop pole at the origin,
because this increases the system type by one
. For example, a Type 0 system
responding to a step input with a finite error, will responds with zero error if the system
type is increased by one. But, we want to do this without affecting the transient response.

However, if we add a pole at the origin to increase the system type, the angular contribution of the open-loop poles at hypothetical point A is no longer 180, and the root locus no longer goes through point A, as shown in Figure 1.a and 1.b:

Figure 1.

To solve the problem, we also add a zero close to the pole at the origin, as shown
in Figure 2:

Figure 2.

Now the angular contribution of the compensator zero and compensator pole cancel out, point A is still on the root locus, and the system type has been increased. That is how we can improve the steady-state error without affecting the transient response.

A compensator with a pole at the origin and a zero close to the pole is called an ideal integral compensator, or Proportional-plus-Integral PI compensator, which transfer function Gc(s)  is:

Next example allows to find how PI compensation works.

For control system of Figure 3, it is required to reduce steady-state error to zero, through a PI controller, keeping damping at ξ=0.173. The plant transfer function is G(s) and its original controller is represented by the gain k:

Figure 3.

The first step is to evaluate the system before the compensation, then to find the location of the two closed-loop second-order dominant poles  in order to get the damping requiered by the design specifications.

Figure 4 shows the Root-Locus of the system before compensation:

>> sgrid(z,0)
>> s=tf(‘s’);
>> G=1/((s+1)*(s+2)*(s+10));
>> rlocus(G);

Figure 4.

Using the damping line in Matlab, we can find the intersection point between the root-locus and the value ξ=0.173as we can see in Figure 5:

>> z=0.173;
>> sgrid(z,0)

Figure 5.

The intersection of Figure 5 shows us that adjusting the gain to k=165 of the original controller, we obtain the damping requiered: ξ=0.173. We also see in Figure 5 that the closed-loop second-order dominant poles s1 and s2, before compensation are:

Now we look for the third pole in the root locus. In Figure 6 we must set the same gain k=165 at the third pole line, in consequence s3 is located at:

Figure 6.

With k=165 we calculate the steady-state error e1(∞) for a step input, before compensation:

Where kp1 the position constant before compensation:

Where kG(s) is the system forward transfer function multiplied by the adjusted gain, before compensation, as in Figure 3. Therefore:

We add a PI controller in cascade into the system, as in Figure 7:

Figure 7.

Here, we have matched the gain constant of the compensator with the original gain constant, that is to say k=ki. The constant a is determined by the location of compensator zero, wich must be near the compensator pole. That is why we set the compensator zero at s=-0.1 , that is to say  a=0.1. The root locus of this compensated system is in Figure 8:

>> G=(s+0.1)/(s*(s+1)*(s+2)*(s+10));
>> rlocus(G);

Figure 8.

In view of the fact that we want to maintain the transient response as unchanged as possible, in Figure 9 we draw the damping line in the root locus and search for the point of intersection between the lines of the root locus and ξ=0.173:

>> z=0.173;
>> sgrid(z,0);

Figure 9.

Adjusting the gain to k=159 in Figure 9, we obtain the damping ξ=0.173. We see that closed-loop second-order dominant poles s1 and s2, after compensation, are:

Looking for the third pole in the root locus,  we must set the gain k=159 at the third pole line. After that, s3 is located at:

These results show that approximately the values ​​of the 3 poles before and after the PI compensation have been conserved, indicating a similar transient response after correcting the error in steady state from 0.108 to 0, as shwon later.

The forward transfer function G2(s)  of the system after compensation is:

One more time, we calculate steady-state error e2(∞) for a step input, after compensation:

In consequence:

Figure 10 compares the step response of the closed-loop system  before and after compensatio PI:

>> G1=165/((s+1)*(s+2)*(s+10));
>> sys_antes=feedback(G1,1);
>> G2=(159*(s+0.1))/(s*(s+1)*(s+2)*(s+10));
>> sys_despues=feedback(G2,1);
>> step(G1,G2)

Figure 10.

Figure 10 shows that through PI compensation we have managed to improve the steady-state error without considerably modifying the transient response of the original system.

`Compensación en Cascada - Lag Compensation`

In construction…

Source :

Written by Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

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## Controlador PI – Proporcional Integral – Sistemas de Control

El error en estado estable de un sistema de control puede ser mejorado directamente, colocando un polo en el origen en el camino de transferencia directa (an open-loop pole at the origin), debido a que esto eleva el número de tipo del sistema. Pero generalmente interesa lograr esta reducción sin modificar la respuesta transitoria de dicho sistema.

Por ejemplo, un sistema de tipo 0, que responde a una entrada escalón unitario con un error finito, al ser elevado a sistema tipo 1, responderá a la misma entrada con un error en estado estable igual a cero.

Sin embargo, si añadimos un polo en el origen para incrementar el valor del tipo de sistema, de cero a uno por ejemplo, la contribución angular de los polos a lazo abierto en un punto hipotético A no será de 180, y así el punto A no estará en el LGR (no intercepta el LGR)  del sistema compensado (es decir, se modificará notablemente la respuesta transitoria del sistema), como se puede observar en las Figuras 1.a y 1.b:

Figura 1.

Para resolver este problema, además de añadir el polo en el origen, también añadimos un zero cercano a ese polo en el origen, como se puede observar el la Figura 2:

Figura 2.

Ahora, la contribución angular de los polos y zeros a lazo abierto del punto hipotético A vuelve a ser 180 debido a que la contribución angular del compensador zero se cancela con la compensación angular del compensador polo. Es decir, el punto A vuelve a estar en el LGR del sistema compensado. De esta manera mejoramos el error en estado estable sin modificar la respuesta transitoria del sistema.

Un compensador con un polo en el origen y un zero cerca de dicho polo en el origen, es conocido como  Compensador Ideal Integral (Ideal Integral Compensator), o Proportional-Plus-Integral, mejor conocido como  Controlador PI, cuya función de transferencia Gc(s)  es de la forma:

El siguiente ejemplo nos permitirá descubrir como trabaja un Controlador PI.

Para el sistema de control de la Figura 3, se requiere reducir el error en estado estacionario a cero, mediante un controlador PI, manteniendo un factor de amortiguamiento ξ=0.173. La función de transferencia de la planta es G(s) y su controlador original está representado por la ganancia k:

Figura 3.

El primer paso es evaluar el sistema antes de la compensación, y luego determinar la ubicación de los polos dominantes de segundo orden para el factor de amortiguamiento requerido por el enunciado de diseño.

El Lugar Geométrico de las Raíces del sistema sin compensar, se muestra en la Figura 4:

>> sgrid(z,0)
>> s=tf(‘s’);
>> G=1/((s+1)*(s+2)*(s+10));
>> rlocus(G);

Figura 4.

Utilizando la línea de amortiguamiento con valor de aportada por Matlab, podemos encontrar el punto de intersección entre el LGR del sistema y ξ=0.173como podemos observar en la Figura 5:

>> z=0.173;
>> sgrid(z,0)

Figura 5.

La intersección de la Figura 5 nos muestra que ajustando la ganancia k=165 del sistema original, obtenemos un factor de amortiguamiento ξ=0.173. Vemos también en la Figura 5 que los polos dominantes s1 y s2 de segundo orden del sistema a lazo cerrado, antes de la compensación son:

Ahora buscamos el tercer polo del LGR que requiere el sistema para cumplir con el requerimiento de diseño. Al desplazarnos por el LGR en la Figura 6 hasta alcanzar la ganancia k=165, podemos observar que el tercer polo s3 del sistema a lazo cerrado, está ubicado en:

Figura 6.

Con la ganancia k=165 procedemos a calcular el error en estado estable e1(∞) para una entrada escalón, antes de la compensación:

Donde kp1 es la constante de posición antes de la compensación y se calcula mediante la siguiente fórmula:

Dónde kG(s) es la función de transferencia directa del sistema con el ajuste de ganancia, antes de la compensación, tal como lo muestra la Figura 3. Por tanto:

Figura 7.

Aquí, hemos hecho coincidir la constante de ganancia del compensador con la constante de ganancia original, es decir, k=ki. La constante a está determinada por la posición de decidamos otorgar al zero del compensador. Debido a que es ideal colocar este zero muy cerca del polo en el origen, seleccionamos el punto sobre el eje real s=-0.1 para ubicar el zero del compensador, es decir  a=0.1. El LGR del sistema así compensado se muestra en la Figura 8:

>> G=(s+0.1)/(s*(s+1)*(s+2)*(s+10));
>> rlocus(G);

Figura 8.

En vista de que queremos mantener inalterada en lo posible la respuesta transitoria, en la Figura 9 trazamos la línea de amortiguamiento en el LGR y buscamos nuevamente el punto de intersección entre ξ=0.173  y las líneas del LGR:

>> z=0.173;
>> sgrid(z,0);

Figura 9.

La Figura 9 nos muestra que ajustando la ganancia k=159 del sistema compensado, obtenemos un factor de amortiguamiento ξ=0.173. Vemos también que los polos dominantes s1 y s2 de segundo orden del sistema a lazo cerrado, después de la compensación son:

Para ubicar el tercer polo a lazo cerrado del LGR que requiere el sistema para cumplir con el requerimiento de diseño, aprovechamos la misma Figura 9 y ajustamos la ganancia en la rama del tercer polo hasta alcanzar k=159, así obtenemos que:

Estos resultados muestran que aproximadamente se han conservado los valores de los 3 polos antes y después de la compensación PI, lo que indica una respuesta transitoria semejante luego de corregir el error en estado estable de 0.108 a 0, como se demuestra a continuación.

La función de transferencia directa G2(s)  de nuestro sistema después de la compensación es:

Calculamos nuevamente el error en estado estable e2(∞) para una entrada escalón, después de la compensación:

En consecuencia:

La Figura 10 compara la respuesta al escalón unitario del sistema  lazo cerrado antes y después de la compensación PI:

>> G1=165/((s+1)*(s+2)*(s+10));
>> sys_antes=feedback(G1,1);
>> G2=(159*(s+0.1))/(s*(s+1)*(s+2)*(s+10));
>> sys_despues=feedback(G2,1);
>> step(G1,G2)

Figura 10.

La Figura 10 demuestra que mediante la compensación PI hemos logrado mejorar el error en estado estable sin modificar considerablemente la respuesta transitoria del sistema original.

`Compensación en Cascada - Lag Compensation`

En construcción…

Fuente:

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## Diseño del error en estado estable de un sistema de control vía LGR – Compensación en Cascada

Analizamos dos vías para mejorar el error en estado estable de un sistema de control con realimentación, utilizando la compensación en cascada. Un objetivo fundamental de este diseño es mejorar el error en estado estable sin modificar significativamente la respuesta transitoria.

`Mejorar el desempeño de la Respuesta Transitoria`

Hemos visto antes que, al establecer la ganancia en un valor particular en el lugar geométrico de las raíces, se determina una respuesta transitoria específica, dictada por los polos en ese punto del lugar geométrico. Esto quiere decir que al diseñar una respuesta transitoria estamos limitados a aquellas respuestas que existen a lo largo del lugar geométrico de las raíces. (Ver El lugar geométrico de las raíces con Matlab).

Desafortunadamente, la mayor parte del tiempo los requerimientos de diseño y, en especial, las especificaciones de sobrepaso y tiempo de repuesta para el diseño de sistemas de control, excede las posibilidades del LGR actual. ¿Qué podemos hacer entonces?

En lugar de cambiar el sistema existente, aumentamos o compensamos el sistema con polos y ceros adicionales, de modo que el sistema compensado tenga un LGR que pase por la ubicación deseada del polo para obtener algún valor de ganancia. Una de las ventajas de compensar un sistema de esta manera es que se pueden agregar polos y ceros adicionales en el extremo de baja potencia del sistema, justo antes de la planta. Debemos evaluar la respuesta transitoria a través de la simulación una vez que el diseño esté completo para asegurarnos de que se cumplan los requerimientos exigidos.

Principalmente, existen dos configuraciones de compensación utilizadas en el diseño de sistemas de control: compensación en cascada y compensación por retroalimentación. Estos métodos se modelan en la Figura 1 y la Figura 2:

Con la compensación en cascada, la red de compensación, G1(s), se coloca en la zona de baja potencia, justo delante y en cascada con la planta G3(s), o delante del controlador original G2(s) de la planta, como se puede ver en la Figura 1.

Con la compensación de realimentación (feedback compensator), el compensador, H1(s), se coloca en la ruta de realimentación, Figura 2.

Ambos métodos cambian los polos y ceros a lazo abierto, creando así un nuevo LGR a lazo cerrado, que atraviesa la ubicación requerida por las especificaciones de diseño.

`Compensación en Cascada - Controlador PI `

El error en estado estable de un sistema de control puede ser mejorado directamente, colocando un polo en el origen en el camino de transferencia directa (an open-loop pole at the origin), debido a que esto eleva el número de tipo del sistema. Pero generalmente interesa lograr esta reducción sin modificar la respuesta transitoria de dicho sistema.

Por ejemplo, un sistema de tipo 0, que responde a una entrada escalón unitario con un error finito, al ser elevado a sistema tipo 1, responderá a la misma entrada con un error en estado estable igual a cero.

Sin embargo, si añadimos un polo en el origen para incrementar el valor del tipo de sistema, de cero a uno por ejemplo, la contribución angular de los polos a lazo abierto en un punto hipotético A no será de 180, y así el punto A no estará en el LGR (no intercepta el LGR)  del sistema compensado (es decir, se modificará notablemente la respuesta transitoria del sistema), como se puede observar en las Figuras 3.a y 3.b:

Figura 3.

Para resolver este problema, además de añadir el polo en el origen, también añadimos un zero cercano a ese polo en el origen, como se puede observar el la Figura 4:

Figura 4.

Ahora, la contribución angular de los polos y zeros a lazo abierto del punto hipotético A vuelve a ser 180 debido a que la contribución angular del compensador zero se cancela con la compensación angular del compensador polo. Es decir, el punto A vuelve a estar en el LGR del sistema compensado. De esta manera mejoramos el error en estado estable sin modificar la respuesta transitoria del sistema.

Un compensador con un polo en el origen y un zero cerca de dicho polo en el origen, es conocido como  Compensador Ideal Integral (Ideal Integral Compensator), o Proportional-Plus-Integral, mejor conocido como  Controlador PI, cuya función de transferencia Gc(s)  es de la forma:

El siguiente ejemplo nos permitirá descubrir como trabaja un Controlador PI.

Para el sistema de control de la Figura 5, se requiere reducir el error en estado estacionario a cero, mediante un controlador PI, manteniendo un factor de amortiguamiento ξ=0.173. La función de transferencia de la planta es G(s) y su controlador original está representado por la ganancia k:

Figura 5.

El primer paso es evaluar el sistema antes de la compensación, y luego determinar la ubicación de los polos dominantes de segundo orden para el factor de amortiguamiento requerido por el enunciado de diseño.

El Lugar Geométrico de las Raíces del sistema sin compensar, se muestra en la Figura 6:

>> sgrid(z,0)
>> s=tf(‘s’);
>> G=1/((s+1)*(s+2)*(s+10));
>> rlocus(G);

Figura 6.

Utilizando la línea de amortiguamiento con valor de aportada por Matlab, podemos encontrar el punto de intersección entre el LGR del sistema y ξ=0.173como podemos observar en la Figura 7:

>> z=0.173;
>> sgrid(z,0)

Figura 7.

La intersección de la Figura 7 nos muestra que ajustando la ganancia k=165 del sistema original, obtenemos un factor de amortiguamiento ξ=0.173. Vemos también en la Figura 5 que los polos dominantes s1 y s2 de segundo orden del sistema a lazo cerrado, antes de la compensación son:

Ahora buscamos el tercer polo del LGR que requiere el sistema para cumplir con el requerimiento de diseño. Al desplazarnos por el LGR en la Figura 8 hasta alcanzar la ganancia k=165, podemos observar que el tercer polo s3 del sistema a lazo cerrado, está ubicado en:

Figura 8.

Con la ganancia k=165 procedemos a calcular el error en estado estable e1(∞) para una entrada escalón, antes de la compensación:

Donde kp1 es la constante de posición antes de la compensación y se calcula mediante la siguiente fórmula:

Dónde kG(s) es la función de transferencia directa del sistema con el ajuste de ganancia, antes de la compensación, tal como lo muestra la Figura 5. Por tanto:

Figura 9.

Aquí, hemos hecho coincidir la constante de ganancia del compensador con la constante de ganancia original, es decir, k=ki. La constante a está determinada por la posición de decidamos otorgar al zero del compensador. Debido a que es ideal colocar este zero muy cerca del polo en el origen, seleccionamos el punto sobre el eje real s=-0.1 para ubicar el zero del compensador, es decir  a=0.1. El LGR del sistema así compensado se muestra en la Figura 10:

>> G=(s+0.1)/(s*(s+1)*(s+2)*(s+10));
>> rlocus(G);

Figura 10.

En vista de que queremos mantener inalterada en lo posible la respuesta transitoria, en la Figura 11 trazamos la línea de amortiguamiento en el LGR y buscamos nuevamente el punto de intersección entre ξ=0.173  y las líneas del LGR:

>> z=0.173;
>> sgrid(z,0);

Figura 11.

La Figura 11 nos muestra que ajustando la ganancia k=159 del sistema compensado, obtenemos un factor de amortiguamiento ξ=0.173. Vemos también que los polos dominantes s1 y s2 de segundo orden del sistema a lazo cerrado, después de la compensación son:

Para ubicar el tercer polo a lazo cerrado del LGR que requiere el sistema para cumplir con el requerimiento de diseño, aprovechamos la misma Figura 11 y ajustamos la ganancia en la rama del tercer polo hasta alcanzar k=159, así obtenemos que:

Estos resultados muestran que aproximadamente se han conservado los valores de los 3 polos antes y después de la compensación PI, lo que indica una respuesta transitoria semejante luego de corregir el error en estado estable de 0.108 a 0, como se demuestra a continuación.

La función de transferencia directa G2(s)  de nuestro sistema después de la compensación es:

Calculamos nuevamente el error en estado estable e2(∞) para una entrada escalón, después de la compensación:

En consecuencia:

La Figura 12 compara la respuesta al escalón unitario del sistema  lazo cerrado antes y después de la compensación PI:

>> G1=165/((s+1)*(s+2)*(s+10));
>> sys_antes=feedback(G1,1);
>> G2=(159*(s+0.1))/(s*(s+1)*(s+2)*(s+10));
>> sys_despues=feedback(G2,1);
>> step(G1,G2)

Figura 12.

La Figura 12 demuestra que mediante la compensación PI hemos logrado mejorar el error en estado estable sin modificar considerablemente la respuesta transitoria del sistema original.

`Compensación en Cascada - Lag Compensation`

En construcción…

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Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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## Diseño de un compensador PD para alcanzar un sobrepaso de 16% – Sistema de control

Dado el sistema de la Figura 1, diseñar un controlador PD que genere un 16% de sobrepaso, y un tiempo de establecimiento que sea 1/3 del sistema sin compensar.

Figura 1.

Primero, vamos a evaluar el desempeño del sistema sin compensar. El Lugar Geométrico de la Raíz del sistema sin compensar se muestra en la Figura 2:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/(s*(s+4)*(s+6));

Figura 2.

Ya que un sobrepaso de 16% es equivalente a un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.504, buscamos a lo largo de la línea de amortiguamiento aquel punto que coincida con esta condición en la Figura 3:

>> z=0.504;
>> sgrid(z,0);

Figura 3.

De acuerdo con la Figura 3, ajustando la ganancia a k=43.4 obtenemos ξ=0.504, un sobrepaso de 16% , y una frecuencia natural ω=2.39 rad/s.

Basándonos en una aproximación de segundo orden, podemos utilizar el criterio del 2%, y podemos calcular el tiempo de establecimiento Ts1 antes de la compensación, en función de la frecuencia natural ω  y el factor de amortiguamiento ξ mediante la siguiente fórmula:

Sustituyendo los valores aportados por la simulación de la Figura 3 en la ecuación (1) obtenemos que:

Por otra parte, el valor del producto ω*ξ =1.2045 coincide con la parte real σ de los polos dominantes a lazo cerrado, lo que podemos constatar en la simulación de la Figura 3 ó mediante el siguiente comando en Matlab, tomando en cuenta que la función de transferencia directa es ahora G1:

>> G1=43.4/(s*(s+4)*(s+6));
>> sys_antes=feedback(G1,1)

>> damp(sys_antes)

El requerimiento de diseño, además de alcanzar un sobrepaso de 16%, es lograr una reducción del tiempo de establecimiento hasta 1/3 del original. Entonces, el tiempo de establecimiento Ts2 después de la compensación será:

Utilizando nuevamente la ecuación (1) en combinación con el resultado anterior, podemos saber que el valor del producto ω*ξ  después de la compensación debería ser:

Es decir, la parte real de los polos dominantes a lazo cerrado después de la compensación es σ=3.6137. Para hallar la parte imaginaria wd de dichos polos, nos valemos del triángulo formado por ambas partes en el LGR de la Figura 4:

Figura 4.

Es decir, después de la compensación, para lograr las condiciones solicitadas, deseamos como polo dominante de segundo orden, aquel localizado en  p=-3.6137+j6.1940.

Pero no debemos olvidar que se trata de una aproximación a un sistema de segundo orden, por lo que debemos utilizar el punto p como referencia.

Controlador que podemos implementar mediante la siguiente configuración:

Figura 5.

El próximo paso entonces es diseñar la localización del zero zc utilizando el punto como referencia, y luego ver a que valores equivalen las ganancias k1 y k2.

Se deben sumar todos los ángulos aportados al diseño: el de los polos y zeros a lazo abierto antes de la compensación y el del punto de prueba p. El resultado es -275.6. La diferencia entre este resultado y 180 será la contribución requerida para el zero zc. Por lo tanto, la contribución angular requerida para el compensador zc es:

La geometría se muestra en la Figura 6, de donde podemos obtener la parte real zc para el compensador PD requerido mediante la siguiente fórmula:

Figura 6.

De donde:

Analizamos el LGR del sistema compensado en la Figura 7, tomando en cuenta que ahora la función de transferencia directa es G2:

>> G2=(s+3.006)/(s*(s+4)*(s+6));
>> rlocus(G2)

Figura 7.

De acuerdo con la Figura 8, ajustando la ganancia a k=47.4 (arrastrando el ratón con click derecho sobre el LGR) mantenemos ξ=0.504, un sobrepaso de 16% ,  el polo dominante de segundo orden deseado en s=-3.6137+j6.1940, a una frecuencia natural ω=7.17 rad/s.

>> z=0.504;
>> sgrid(z,0);

Figura 8.

Con estos datos, analizamos el valor del tiempo de establecimiento Ts2 después de la compensación:

Lo que muestra que se ha cumplido con el objetivo. Mediante la Figura 9 podemos comparar la respuesta al escalón unitario del sistema a lazo cerrado antes y después de la compensación:

>> G=43.4/(s*(s+4)*(s+6));
>> G3=(47.4*(s+3.006))/(s*(s+4)*(s+6));
>> sys_antes=feedback(G,1);
>> sys_despues=feedback(G3,1);
>> step(sys_antes,sys_despues)

Figura 9.

La respuesta mostrada en la Figura 9 permite evidenciar una considerable mejora en el tiempo de establecimiento y en general, la compensación permite contar con un sistema más rápido con un sobresalto que no varía mucho. Antes de la compensación, el tiempo de establecimiento a lazo cerrado es de  Ts=3.4712 s. Luego de la compensación, a lazo cerrado obtenemos un Ts=1.1527 s.

`Un proceso de diseño alternativo en Matlab`

Utilice MATLAB y su “Control System Toobox“, y los siguientes pasos y comandos para desarrollar el diseño del pasado ejemplo, por medio de SISOTOOL:

1. Escriba sisotool en el MATLAB Command Window.
2. Seleccione Import en el File menu de SISO Design para SISO Design Task Window.
3. En Data field para G, escriba zpk([],[0,-4,-6],1) y apriete ENTER. Click OK.
4. En el Edit menu elija SISO Tool Preferences . . . y seleccione Zero/pole/gain: en el Options tab. Click OK.
5. Right-click en el espacio en blanco del LGR  y seleccione Design Requirements/New . . .
6. Sellecione Percent overshoot y escriba 16. Click OK.
7. Right-click en el espacio en blanco del LGR  y seleccione Design Requirements/New . . .
8. Elija Settling time y click OK.
9. Arrastre la linea vertical de settling time hasta interceptar el LGR con la linea radial equivalente a 16% de overshoot.
10. Lea el settling time en la parte inferior de la ventana.
11. Arrastre la linea vertical de settling time hasta el tiempo equivalente al 1/3 del valor determinado en el paso 9.
12. Click en red zero icon en la barra del menú. Coloque el zero en el eje real del LGR con un clicking-again en el eje real.
13. Left-click en el eje real zero y arrastrelo a lo largo del eje real hasta que el LGR intercepte el settling time y la linea del percent overshoot .
14. Arrastre un cuadro rojo a lo largo del LGR hasta que el cuadro esté en intersección con la línea de settling time, y la línea de percent overshoot.
15. Click el Compensator Editor tab de la ventana de Control and Estimation Tools Manager para ver los valores del compensador que arroja el sistema como resulatdo del diseño, incluyendo el valor de la ganancia.

Fuente:

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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## Controlador PD – Proporcional Diferencial – Sistemas de control

Analizamos el funcionamiento, diseño e implementación del controlador PD, Proporcional-plus-Diferencial. El controlador PD se utiliza principalmente para mejorar la respuesta transitoria de un sistema de control.

`Compensación en Cascada - Controlador PD `

Ante la inconveniencia de cambiar la estructura física de la planta, y con el fin de cumplir con los requerimientos de diseño de un sistema de control en su etapa transitoria, frecuentemente es necesario agregar polos y zeros a la función de transferencia directa de dicho sistema con el fin de obtener un Lugar Geométrico de las Raíces donde podamos seleccionar una ganancia que permita al sistema cumplir con las exigencias de diseño. Una manera de acelerar el sistema, que generalmente funciona de manera aceptable, es agregar un Zero en el camino de transferencia directa, justo antes de la planta y su controlador original.

Esta función, la suma de un diferenciador s y una ganancia pura Zc, es llamada compensación derivativa ideal  (ideal derivative compensation), o controlador PD (Proportional-Derivative). En resumen, una respuesta transitoria que no puede ser alcanzada con un simple ajuste de ganancia (controlador proporcional) puede ser obtenida aumentando la cantidad de zeros del sistema mediante un Controlador PD.

Vamos a utilizar el LGR de la Figura 3 para descubrir como trabaja un Controlador PD. En dicha figura tenemos un LGR para un sistema de control cuya función de transferencia directa G(s) con realimentación unitaria, está dada por:

Si consideramos a K=1, los comandos para trabajar en Matlab serían:

>> s=tf(‘s’);
>> G=1/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> rlocus(G);

Suponga que queremos operar el sistema de la Figura 3 con un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4. La Figura 4 muestra que podemos lograr ese coeficiente de amortiguamiento con un simple ajuste de ganancia, para lo cual podemos utilizar un compensador proporcional que establezca una ganancia K=23.7:

>> z=0.4;
>> sgrid(z,0);

Utilizamos click derecho para seleccionar el factor de amortiguamiento deseado:

La Figura 5 nos muestra la respuesta al escalón unitario del sistema de control a lazo cerrado utilizando un controlador proporcional con una ganancia Kp=23.7, con lo que alcanzamos un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4 en el LGR del sistemaSe muestra además el valor de los parámetros más importantes de una respuesta transitoria:

>> G1=23.7/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> sys1=feedback(G1,1);
>> step(sys1);
>> stepinfo(sys1)

Figura 5. Respuesta al escalón unitario del sistema a lazo cerrado, antes de la compensación.

Suponga ahora que queremos mantener el factor de amortiguamiento en el valor ξ=0.4, pero debemos mejorar el tiempo de alzamiento (rise time) y el tiempo de establecimiento (settling time). Es decir, queremos que el sistema sea más rápido. Esa tarea sería imposible utilizando sólo un controlador proporcional porque estamos limitados por el LGR del sistema según consta en las Figuras 3 y 4.

El sistema sin compensar, de la Figura 3, podría transformarse en un sistema compensado mediante la suma de un zero en s= -2. En la Figura 6 vemos como se transforma el LGR, utilizando un compensador en cascada (cascade compensator) cuya función de transferencia Gc(s) es:

>> G2=((s+2))/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> rlocus(G2);

Figura 6. LGR para el sistema compensado.

La Figura 7 nos muestra una vez más que podemos obtener un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4. estableciendo una ganancia de K=51.2:

>> z=0.4;
>> sgrid(z,0);

Utilizamos click derecho para seleccionar el factor de amortiguamiento deseado::

Figura 7. Localización en el LGR de ξ=0.4

La Figura 8 ilustra la respuesta al escalón unitario del sistema de control a lazo cerrado que utiliza el controlador PD de función de transferencia Gc(s), en cascada con un controlador proporcional de ganancia Kp=51.2, con el fin de lograr un ξ=0.4. Se muestra además los parámetros de la respuesta transitoria obtenida:

>> G3=(51.2*(s+2))/((s+1)*(s+2)*(s+5));
>> sys2=feedback(G3,1);
>> step(sys2);
>> stepinfo(sys2)

Figur8 8. Respuesta al escalón unitario del sistema compensado a lazo cerrado.

Manteniendo un coeficiente de amortiguamiento ξ=0.4, hemos mejorado el Tiempo de Levantamiento  (de 0.6841 s a 0.1955 s) y el Tiempo de Establecimiento  (de 3.7471 s a 1.1218 s). Sin embargo, lo hemos logrado a costa de un mayor Sobrepaso (de 23.3070 a 25.3568) y a costa de un pico más alto (de 0.8672 a 1.1420).

La Figura 9 compara las respuestas antes y después de la compensación PD:

>>step(sys1, sys2)

Figura 9. Respuesta al escalón unitario del sistema antes y después de la compensación.

La Figura 9 muestra también que el valor final del sistema compensado está más cerca del valor de referencia (1), por lo tanto el error en estado estable también ha mejorado después de la compensación PD (de 0.297 a 0.088). Sin embargo, los lectores no deben asumir que, en general, la mejora en la respuesta transitoria siempre produce una mejora en el error de estado estable.

Ahora que hemos visto lo que la compensación PD puede hacer, estamos preparados para diseñar nuestro propio compensador PD para cumplir con especificaciones específicas de diseño para la respuesta transitoria.

1) Dado el sistema de la Figura 10, diseñar un controlador PD que genere un 16% de sobrepaso, y una reducción considerable del tiempo de establecimiento.

Figure 10.

Ejercicio completo en el siguiente link: Diseño de un compensador PD para alcanzar un sobrepaso de 16%

`Pero, cómo implementamos una compensación PD?`

La compensación PD utilizada hasta ahora para mejorar la respuesta transitoria de un sistema de control, es implementada por un controlador PD (proportional-plus-derivative controller). En la Figura 11 se muestra una manera de implementar la compensación PD. La función de transferencia del controlador PD de la Figura 11 es:

Figure 11. Implementación del controlador PD.

En construcción…

Fuente:

Escrito por:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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## PID – Estudio de la acción Proporcional-Integral

Para el estudio de la acción proporcional integral se considera el sistema de la Figura 3:

1. Simule la respuesta del sistema utilizando rltool() y observe su respuesta fijando Ti en 1s y para 3 diversos valores de Kp evitando la saturación. Observe en cada caso el sobrepico porcentual, el tiempo de establecimiento y el error en régimen estacionario. Comente y analice lo observado.

>> s=tf(‘s’)

>> s1=(1)/(0.2*s+1)

>> s2=(2)/(0.1*s+1)

>> s3=(1)/(s+1)

>> G=s1*s2*s3

Como resultado de la ejecución de este comando en Matlab obtenemos que la función de transferencia directa G(s) es:

Es decir:

Veamos cómo es la respuesta  a la entrada escalón unitario de este sistema antes de añadir un controlador PI:

>> Gce=feedback(G,1)

>> step(Gce)

Lo más notable es que el error en estado estable es ess=1-0.667=0.333, y que se trata de un sistema que no alcanza el valor de la señal de referencia en ningún momento.

Añadir un controlador PI significa juntar las ventajas de los controladores antes estudiados (PID – Estudio de la acción proporcional, PID – Estudio de la acción integral), es decir, un amplio margen para cambiar la ubicación de las raíces de la ecuación característica, lo que incide en el amortiguamiento y el tiempo de respuesta de la respuesta transitoria, y un aumento de la tipología del sistema, lo que significa un mejoramiento en el error en estado estable

Si añadimos un controlador proporcional-integral de ganancia Kp, la función de transferencia directa G1(s) es:

Es decir:

Se puede constatar que los efectos inmediatos de aplicar el controlador PI es agregar un cero simple en s=-1 y agregar un polo simple en s=0 en la función de transferencia directa.

Mediante la herramienta de diseño rltool vamos a variar el valor de la ganancia Kp y analizar como varían el sobrepaso (Mp), el tiempo de establecimiento (Ts) y el error en régimen estacionario (ess).

`Kp=1`

>> G1=G*(s+1)/s

>> rltool(G1)

La gráfica de El Lugar de las Raíces obtenida anteriormente se corresponde con un valor de Kp=1, para el cual obtenemos los siguientes valores de importancia:

ess=0

El error en estado estable es cero, ya que el valor final de la salida es uno. Representa una mejoría fundamental para justificar el uso de un PI.

Mp=8.49%; Ts=2.11 seg

Este valor del sobrepaso se corresponde con el siguiente para el factor de amortiguamiento relativo :

`Kp>1`

Para valores de la ganancia mayores que uno, se genera una tendencia al incremento de los parámetros estudiados. Por ejemplo, para Kp=1.5 obtenemos:

Mp=20.1%; Ts=2.43 seg; ζ=0.455

Si aumentamos el Kp a 2.5, obtenemos lo siguiente:

Un sistema cada vez más oscilante, con un sobrepaso cerca de 40% y un tiempo de establecimiento de 3.2 s.

`K<1`

Si lo que se desea es aumentar el factor de amortiguamiento relativo, podemos fijarlo mediante la ventana del lugar geométrico de las raíces, haciendo click derecho y seleccionando design requirement. Supongamos que deseamos un ζ=0.7, entonces con design requirement>new>damping ratio, obtenemos:

Arrastrando las raíces al límite sugerido por las líneas negras, modificamos el sistema. Para conocer el valor de Kp correspondiente a esa situación nos referimos a la ventana de control, donde vemos que Kp=0.8789. En la ventana de la respuesta al escalón, observamos el cambio:

Mp=5.61%; Ts=2.24 s; ζ≅ 0.7

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## Ejemplo 1 – Diseño de un controlador PI (Proporcional-Diferencial)

Para apreciar mejor el efecto del controlador PI, veamos el siguiente ejemplo. Supongamos que tenemos el sistema de la Figura 7-23.

La función de transferencia directa G(s) de este sistema viene dada por la siguiente expresión:

Donde K es la constante del preamplificador.

Las especificaciones de diseño para este sistema son las siguientes:

Donde:

• Mp: Sobrepaso máximo
• Tr: Tiempo de levantamiento
• Ts: Tiempo de asentamiento

Lo primero que vamos a hacer es analizar el error en estado estable ess del sistema antes de compensar, y ver que tanto cumple o no con el primer requerimiento de diseño (Para un repaso de este tema ver: Error en estado estable de un sistema de control).

Para una entrada parabólica debemos trabajar con la constante de aceleración Ka:Esto significa un error infinito para una entrada parabólica:Para mejorar el error en estado estable incorporamos un controlador PI en la trayectoria directa del sistema, el cual ahora tendrá la siguiente función de transferencia:Al aumentar la tipología del sistema de tipo 1 a tipo 2 de inmediato mejoramos el error en estado estable. Ahora, el ess debido a la entrada parábola será una constante:Es decir:

Este ejercicio ya lo trabajamos con el controlador PD. Para ese caso seleccionamos un valor de K=181.17 (Ejemplo 1 – Diseño de un controlador PD (Proporcional-Diferencial) – Matlab)

Nos permitimos la libertad de considerar el mismo valor para K en este caso con el fin de mantener la respuesta transitoria bajo condiciones aceptables y conocidas al aplicar el PD del ejemplo 1. De ser necesario ajustaremos el valor de K más adelante. Podemos apreciar que para lograr un ess según se especifica en el diseño, mientras más grande sea K, más pequeño tendrá que ser Ki, algo que puede ser conveniente. Con los valores de y ess podemos calcular un primer valor aproximado de Ki para cumplir con los requerimientos:

Lo siguiente que haremos será analizar la estabilidad del sistema debido a que de ello depende enormemente la selección de los parámetros Kp y Ki. Aplicaremos el criterio de Routh-Hurwitz (para un repaso ver Estabilidad de un sistema de control) para calcular los valores límites de los mencionados parámetros de manera tal que el sistema permanezca estable. Para ello requerimos de la ecuación característica que surge de la función de transferencia del sistema en lazo cerrado Gce(s):

La ecuación característica del sistema es:

Con esta ecuación aplicamos el criterio de Routh-Hurwitz. De esta manera descubrimos que el sistema es estable para el siguiente rango de valores:

Este resultado indica que el Ki/Kp del controlador no puede estar muy cerca del cero, por lo que no resulta conveniente un valor tan bajo tal como Ki=0.002215. Otro criterio para seleccionar Ki/Kp es que resulta conveniente seleccionar el cero añadido por el controlador en s=-Ki/Kp para que esté localizado cerca del origen y lejos de los polos más significativos del sistema. Mediante el lugar geométrico de las raíces en Matlab podemos ver cuáles son los polos más significativos de la ecuación característica, suponiendo una relación aceptable entre los parámetros Ki y Kp desde el punto de vista del estudio de estabilidad anterior pero relativamente cerca del origen, digamos Ki/Kp=10, manteniendo Ki constante y variando Kp (Para un repaso del tema ver: El lugar geométrico de las raíces con Matlab) Primero, arreglamos la ecuación característica en su forma 1+G(s)H(s):

Notar que de esta manera el controlador PI está añadiendo un zero en s=-10.

Aplicamos el siguiente comando en Matlab para obtener el lugar geométrico de las raíces de este sistema compensado:

>> s=tf(‘s’)

>> sys=(815265*(s+10))/(s^3+361.2*s^2)

>> rlocus(sys)

Y obtenemos:

Como se puede observar, el polo más significativo de la ecuación característica está ubicado en s=-361. Por tanto, el criterio que debemos utilizar para seleccionar s=-Ki/Kp es:Con este resultado, la función de transferencia directa G(s):Quedaría simplificada como:

El término Ki/Kp sería despreciable comparado con la magnitud de s cuando s asume valores a lo largo del lugar geométrico de las raíces que se corresponde con un factor de amortiguamiento relativo conveniente de 0.7<ζ< 0.1. Luego, un zero en cero anula un polo en cero. El sobrepaso máximo debe ser igual o menor al 5%. Esto significa que se desea un factor de amortiguamiento relativo ζ aproximado al siguiente valor:

Con la ayuda del lugar geométrico podemos ubicar los polos que se corresponden con este valor de ζ:

De acuerdo con la gráfica, el valor de Kp requerido para obtener este factor de amortiguamiento es:

Y por tanto:

También observamos en la gráfica anterior que si Kp=0.0838, entonces las raíces de la ecuación característica (los polos del sistema) están en s1=-175+j184 y en s2=-175-j184 Si miramos alrededor de esas raíces podemos notar que el zero añadido por el controlador en s=-10 está muy cerca del origen comparado con los polos de s1 y s2, prácticamente cancelando un polo en el origen, ratificando así la aproximación que hicimos anteriormente para la función de transferencia directa de este sistema luego de la compensación:

Así:

Podemos observar la respuesta del sistema al escalón unitario de acuerdo con estos resultados parciales y la comparación de los sistemas compensado y sin compensar, mediante la siguiente simulación:

>> Ga=(815265)/(s*(s+361.2))

>> Gd=(68319)/(s*(s+361.2))

>> Gce1=feedback(Ga,1)

>> Gce2=feedback(Gd,1)

>> step(Gce1,Gce2)

La gráfica anterior, con el sistema después de la compensación en línea roja, muestra que el PI mejora el error en estado estable y reduce el sobrepaso, pero a expensas de aumentar significativamente el tiempo de levantamiento. La gráfica también nos muestra que el sobrepaso máximo es de 5%, por tanto se cumple el requerimiento. Es necesario notar que se puede seleccionar otra relación para Ki y Kp que cumpla con el requerimiento y aún mejoren el sobrepaso, por ejemplo Ki/Kp=5, Ki/Kp=2. Sólo hay que prestar atención al tema de la estabilidad del sistema. Con los valores calculados, volvemos a calcular el sobrepaso, y vemos como quedan el tiempo de levantamiento tr y el tiempo de asentamiento ts. El siguiente comando nos facilita el valor de ζ y ωn, el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural respectivamente (Para un repaso ver:Respuesta Transitoria de un Sistema de Control).

>> damp(Gce2)

Pole: -1.81e+02 + 1.89e+02i /   -1.81e+02 + 1.89e+02i

Damping: 6.91e-01

Frequency: 2.61e+02

•  Máximo Sobrepaso (MP):

• Tiempo de levantamiento (Tr):

>> Gd=(68319)/(s*(s+361.2))

>> sys=feedback(Gd,1)

>> step(sys)

• Tiempo de asentamiento (Ts):

Cosa que también podemos constatar en la gráfica de respuesta al escalón unitario generada anteriormente:

Podemos concluir que el sistema compensado cumple con los requerimientos del diseño, aunque se sobrepasa un poco en el tiempo de asentamiento. Este último se puede reducir levemente con una relación Ki/Kp=2pero a expensas de acercarse demasiado a la zona inestable del sistema.

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 Atención: Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab.

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Estabilidad de un sistema de control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

## PID – Estudio de la acción integral

Para hacer el estudio de la acción integral, considere el siguiente sistema:

1. Realizar el lugar geométrico de las raíces indicando los puntos de interés. Ejecutamos los siguientes comandos en Matlab:

>> s=tf(‘s’)

>> s1=(1)/(0.2*s+1)

>> s2=(2)/(0.1*s+1)

>> s3=(1)/(s+1)

>> G=s1*s2*s3

La función de transferencia directa G(s) es:Arreglando:Si añadimos un controlador integral de ganancia Ki y Ti=1 seg, la función de transferencia directa G(s) es:

Notar que de inmediato el controlador aumenta la tipología del sistema de tipo 0 a tipo 1, mejorando así el error en estado estable. La función de transferencia Gce(s) a lazo cerrado es:

La ecuación característica del sistema es:

La ecuación característica en su forma 1+G(s)H(s) es:

Para obtener en Matlab el lugar geométrico de las raíces, ejecutamos el siguiente comando:

>> sys=(100)/(s*(s^3+16*s^2+65*s+50))

>> rlocus(sys)

Así obtenemos:

Podemos observar que tenemos un polo en el origen, añadido por el controlador, y polos en s=-1, -5 y -10. El valor que podemos darle a la ganancia Ki está bastante restringido porque debemos evitar entrar a la región de inestabilidad (semiplano con valores positivos de la variable independiente s).

Según la gráfica anterior, para Ki=1.02 el factor de amortiguamiento relativo es apenas ζ=0.145, por lo que podemos esperar que el sistema oscile bastante en su estado transitorio, mientras posee un sobrepaso máximo de 63,1%, características poco deseables para un sistema de control. Utilizando los siguientes comandos podemos corroborar esta aseveración mediante la respuesta al escalón unitario (step) para un valor exacto de Ki=1.00 para la ganancia:

>> sys2=feedback(sys,1)

>> step(sys2)

Mediante la siguiente gráfica podemos verificar el valor de las características importantes, haciendo uso del click derecho sobre la gráfica anterior y seleccionar characteristics>peak response/settling time/steady state:

La gráfica anterior señala que el valor final de la salida del sistema para una entrada escalón unitario es 1, por lo tanto el error en estado estable es cero, y es ésta la principal función de la porción integral de un controlador PID, minimizar el error para las entradas escalón, rampa o parábola. Sin embargo vemos que la respuesta transitoria no es muy satisfactoria para un controlador integral puro.

Vamos a observar como varían los valores de máximo sobrepaso (Mp), el tiempo de establecimiento (Ts) y el error en estado estable para entrada escalón (ess) para varios valores de Ki, de manera tal que se haga evidente la necesidad de combinar esta acción con la proporcional ya estudiada para el mismo sistema en PID – Estudio de la acción proporcional. Incluso vamos a intentar igualar las condiciones de diseño requeridas en el mencionado estudio: un factor de amortiguamiento ζ=0.5.

Para agilizar este estudio (no tener que aplicar el comando feedback para cada cambio de ganancia, por ejemplo), utilizaremos la herramienta de Matlab rltool:

>> rltool(sys)

Inmediatamente obtenemos el lugar geométrico de las raíces:

Ya vimos como se comporta el sistema para Ki=1.0. A partir de aquí variamos la ganancia para ver los valores de los parámetros y características de importancia.

Haremos Ki=1.2. Para ello, hacemos click derecho sobre la gráfica del lugar geométrico de las raíces y seleccionamos edit compensator, seleccionamos la casilla de valores de la ganancia c del controlador, y le adjudicamos el valor a analizar.

Apretamos enter y volvemos al lugar geométrico. El punto rosado se ha desplazado al valor actual de las raíces. Aparece una mano al colocar el cursor en dicho punto. Al hacer click izquierdo justo allí, aparece el valor del factor de amortiguamiento relativo al pie de la gráfica.

Para la ganancia Ki=1.2, ζ=0.105. La respuesta al escalón unitario se puede obtener seleccionando analysis>response to step command.

Una vez en repuesta al impulso, hacer click derecho y seleccionar systems>closed-loop r to y (blue) para obtener la siguiente gráfica:

A partir de aquí obtenemos:

Si cambiamos la ganancia en la ventana Control and estimation tool manager, cambian automáticamente el lugar geométrico y la respuesta al escalón unitario, Los resultados para valores de Ki cada vez mayores se muestran en la siguiente tabla:

 Ganancia Ki=1.0 Ki=1.2 Ki=1.4 Ki=1.8 Factor de amortiguamiento ζ=0.15 ζ =0.105 ζ=0.069 ζ=0.0149 Máximo sobrepaso Mp=59.9% Mp=68.9 Mp=76.8 Mp=90.7 Tiempo de levantamiento Tr=0.921 Tr=0.824 Tr=0.752 Tr=0.653 Tiempo de establecimiento Ts=19.8 Ts=24.9 Ts=35.4 Ts=151

A medida que Ki crece, aunque mejora el tiempo de respuesta, las condiciones generales empeoran. El factor de amortiguación casi se hace cero y aún para pequeños incrementos la inestabilidad aumenta vertiginosamente. A continuación se observa el desempeño para un Ki=1.8.

Por ello podemos afirmar que la acción integral permite un rango muy limitado de selección de la ganancia Ki. Es por ello que se acostumbra mejorar las capacidades del controlador combinando la acción integral con la proporcional (controlador PI).

Al reducir los valores de Ki podemos esperar el efecto contrario, según se observa en la siguiente tabla:

 Ganancia Ki=0.2 Ki=0.5 Ki=0.8 Ki=1 Factor de amortiguamiento ζ=0.686 ζ=0.345 ζ=0.208 ζ=0.15 Máximo sobrepaso Mp=5.1% Mp=30.9 Mp=49.7 Mp=59.9% Tiempo de levantamiento Tr=3.39 Tr=1.48 Tr=0.752 Tr=0.921 Tiempo de establecimiento Ts=9.94 Ts=11.7 Ts=14.6 Ts=19.8

Los valores anteriores muestran que es posible conseguir un ζ=0.5. Para dar con los valores exactos hacemos click derecho sobre el lugar geométrico, seleccionamos design requirements>new>design requirement type>damping ratio>0.5. Obtenemos el lugar geométrico dividido en dos regiones.

Moviendo el cursor podemos observar que región se corresponde con un damping igual o mayor a 0.5. Arrastrando el punto rosado sobre el lugar geométrico, variamos el damping hasta lograr un 0.5. Una vez allí, podemos ver el valor correspondiente de la ganancia, (Ventana de control, c=0.317). También podemos obrar a la inversa, variando c y viendo cuánto vale el damping en el lugar geométrico. Entonces, para lograr un ζ=0.5, debemos hacer Ki=0.317. A continuación se observa la respuesta al escalón unitario y las características de importancia para esta ganancia:

 Ganancia Ki=0.317 Factor de amortiguamiento ζ=0.5 Máximo sobrepaso Mp=16.1% Tiempo de levantamiento Tr=2.15 Tiempo de establecimiento Ts=10.7
`Respuesta al impulso para diversos valores de Ki`

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 Atención:Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab.

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Estabilidad de un sistema de control

## Control Proporcional de un Sistema de Control – PID

Una vez visto como elaborar y utilizar el Lugar Geométrico de las Raíces para el análisis y diseño de sistemas de control – El lugar geométrico de las raíces con Matlab – nos enfocamos en la Acción de Control Proporcional.

Para hacer el estudio de la acción proporcional, considere el siguiente sistema:

1. Realizar el lugar geométrico de las raíces indicando los puntos de interés. Ejecutamos los siguientes comandos en Matlab:

>> s=tf(‘s’)

>> s1=(1)/(0.2*s+1)

>> s2=(2)/(0.1*s+1)

>> s3=(1)/(s+1)

>> G=s1*s2*s3

La función de transferencia directa G(s) es:Arreglando:Si añadimos un controlador proporcional de ganancia Kp, la función de transferencia directa G(s) es:La función de transferencia Gce(s) a lazo cerrado es:

La ecuación característica del sistema es:La ecuación característica en su forma 1+G(s)H(s) es:

Para obtener en Matlab el lugar geométrico de las raíces, ejecutamos el siguiente comando:

>> rlocus(G)

Así obtenemos:

Para un repaso del tema, ver: El lugar geométrico de las raíces con Matlab

Mediante este primer ejercicio que nos proporciona el lugar geométrico de las raíces del sistema en estudio, podemos observar el efecto más inmediato de aplicar un controlador proporcional: el desplazamiento de las raíces.

El cambio en la ganancia Kp nos permite cambiar el valor de las raíces de la ecuación característica (al viajar a través de las líneas de color azul, verde y rojo del lugar geométrico en la gráfica anterior, vemos cómo cambia la ganancia Kp), lo que es lo mismo que cambiar los  polos de la función de transferencia a lazo cerrado. Al cambiar dichos polos, cambiamos el valor del coeficiente de amortiguamiento relativo ζ y la frecuencia natural ωn para una entrada escalón unitario, adaptando así la respuesta transitoria del sistema a los requerimientos de diseño que se puedan solicitar.

Notar que las raíces de la ecuación característica están en s=-10, s=-5 y s=-1, cuando Kp=0.

Pero en términos reales Kp no puede valer cero, porque en la práctica significa que anulamos la entrada al sistema y así, la salida es cero también. Para representar al sistema funcionando sin el controlador proporcional, hacemos  Kp=1. Bajo esta condición, veamos cuál es el valor de ζ , así como el valor de tres cantidades de extrema importancia para los diseñadores: el sobrepaso Mp, el tiempo de levantamiento Tr y el error en estado estable ess. Luego, supongamos que queremos modificar este desempeño en términos de ζ y variamos Kp (desplazamos las raíces) hasta lograr un  ζ=0.5.

Para un repaso del tema, ver: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

`Kp=1`

Si Kp=1, entonces:

La función de transferencia a lazo cerrado Gce(s) es:

Utilizamos los siguientes comandos en Matlab para conocer los valores de ζ, el sobrepaso y el tiempo de establecimiento:

> >Gce=feedback(G,1)

> >damp(Gce)

Obtenemos:

 Pole Damping Frequency -2.26e+00 + 2.82e+00i 6.26e-01 3.62e+00 -2.26e+00 – 2.82e+00i 6.26e-01 3.62e+00 -1.15e+01 1.00e+00 1.15e+01

Notar que en la gráfica anterior, Kp=Gain=1. Las raíces complejas dominantes son s1=-2.26+j2.82 y s2=-2.26-j2.82, de tal modo que, según la gráfica, podemos considerar a ζ=0.626 cuando Kp=1. Con respecto al sobrepaso, el tiempo de levantamiento y el error en estado estable utilizamos el siguiente comando:

>> stepinfo(Gce)

RiseTime: 0.5626

Overshoot: 7.5449

Peak: 0.7170

>> step(Gce)

Si la entrada es el escalón unitario y la salida alcanza el valor final de c=0.663, el error en estado estable es ess=1-0.663=0.337. Vamos a ver que a pesar de variar el valor de Kp y desplazar las raíces, el controlador proporcional no anula por completo el error en estado estable, siempre tendrá un valor diferente de cero por lo que se requiere una acción integral para anular dicho error. Por otra parte, el valor del sobrepaso es Mp=7.17%, tomando en cuenta que el valor final del sistema es c=0.663 y el máximo valor alcanzado es de c=0.7170.

`Hallar Kp para lograr un ζ=0.5. `

El lugar geométrico de la raíces nos permite variar el valor de la ganancia Kp hasta alcanzar el damping solicitado, ζ=0.5. Nos desplazamos sobre el lugar geométrico de las raíces en Matlab haciendo un click sobre la línea de los polos dominantes y arrastrando el punto hasta que se alcance al damping solicitado:

La gráfica anterior nos muestra que podemos obtener un ζ=0.5 cuando la ganancia Kp tiene un valor aproximado de 1.46. Si Kp=1.46, la función de transferencia directa y la función de transferencia a lazo cerrado son:

Confirmamos el valor del damping mediante:

>> Gce2=(146)/(s^3+16*s^2+65*s+196)

> >damp(Gce2)

 Pole Damping Frequency -2.04e+00 + 3.51e+00i 5.02e-01 4.05e+00 -2.26e+00  – 3.51e+00i 5.02e-01 4.05e+00 -1.19e+01 1.00e+00 1.19e+01

> >stepinfo(Gce2)

RiseTime: 0.4356

Overshoot: 15.0397

Peak: 0.8569

Se observa que el sobrepaso será mayor (de 7.5449 a 15.0397) después de la compensación (cambiar el valor de Kp de 1 a 1.46) debido a que el factor de amortiguamiento relativo ζ es menor (de 0.626 a 5.02), mientras el tiempo de levantamiento Tr mejora ligeramente (de 0.5626 a 0.4356).

Las respuestas a la entrada escalón unitario de ambos sistemas (antes y después de la compensación), pueden observarse mediante el siguiente comando de Matlab:

>> step(Gce,Gce2)

El valor final del sistema después de la compensación (en color rojo) es aproximadamente c=0.748, así que el error en estado estable en este caso es ligeramente más bajo, ess=1-0.748=0.252. Se observa claramente en la gráfica que el tiempo de levantamiento es menor después de la compensación, pero a costa de un sobrepaso mayor debido a un amortiguamiento menor.

Otra herramienta de Matlab más sofisticada para diseñar compensadores es SISO Design Tool. Se puede invocar mediante el comando rltool.

`>> rltool`

Se abre una interface para el diseño gráfico (GUI).

Una vez allí, podemos importar sistemas desde la consola de Matlab, mediante file>import>G>browse>available models>G>import>close>ok. De manera automática, el diseñador ofrece el lugar geométrico de las raíces del sistema:

Supongamos el requerimiento ζ=0.5. Colocando el cursor  sobre el lugar geométrico, hacemos click derecho y seleccionamos design requirement>new>design requirement type>damping ratio>0.5>ok. Obtenemos el gráfico siguiente:

La leyenda inferior la obtenemos colocando el curso sobre el punto rosado, se forma una mano y hacemos click izquierdo. Podemos variar el gráfico hasta lograr aproximadamente el damping deseado. Si colocamos el curso del lado izquierdo del gráfico (color blanco), aparece la leyenda Loop gain changed to 1.47. Es decir, Kp=1.47.

Aunque, para ser más exactos, el valor de la ganancia es de Kp=1.4663. Este valor lo podemos ver en la otra ventana que se abre simultáneamente con el Editor: Control and estimation tools manager. Allí, al seleccionar la pestaña Compensator Editor, podemos ver que C=1.4663. Por tanto, la herramienta nos permite ser mucho más específicos en cuanto al valor de la ganancia.

Volviendo al editor gráfico (SISO design task), seleccionando analysis>response to step command, obtenemos la respuesta al escalón unitario en una nueva ventana. Una vez allí, haciendo click derecho podemos seleccionar el tipo de gráfica con plot type>step. Podemos comprobar los valores de la respuesta transitoria obtenidos para Kp=1.46 si seleccionamos la característica que nos interesa calcular mediante:

characteristics>rise time

characteristics>peak response

`Respuesta transitoria para diferentes valores de Kp.`

Para completar el estudio sólo queda adjudicar varios valores a Kp y analizar la respuesta transitoria así como el error en estado estable de los diferentes sistemas que resulten, mediante las herramientas de programación presentadas hasta ahora. Cabe resaltar lo sensible que es el sistema para valores de Kp  muy cercanos. Ello se muestra en la siguiente gráfica donde de manera simultánea aparecen las respuestas a la entrada escalón unitario para diferentes valores de Kp:

Kp=0.2, Kp=0.5, Kp=1, Kp=1.5,  Kp=1.7, Kp=2.

Veremos mediante el siguiente estudio que, a diferencia de la acción integral, la acción proporcional ofrece un rango muy amplio para seleccionar la ganancia del controlador.

`Respuesta al escalón unitario para varios valores de Kp`

SIGUIENTE: PID – Estudio de la acción integral

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Mentoring Académico / Empresarial / Emprendedores

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. 00593998524011

WhatsApp: +593981478463

+593998524011

 Atención:Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab.

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Estabilidad de un sistema de control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

## PID – Diseño con el controlador PD (Proporcional-Diferencial)

`Configuración del controlador.`

El PID es uno de los controladores más ampliamente utilizados en los esquemas de compensación siguientes, algunas de las cuáles se ilustran en la Figura 10-2:

2. Compensación mediante realimentación,
3. Compensación mediante realimentación de estado,

En general, la dinámica de un proceso lineal controlado puede representarse mediante el diagrama de la Figura 10-1.

El objetivo de diseño es que las variables controladas, representadas por el vector de salida y(t), se comporten de cierta forma deseada. El problema esencialmente involucra el determinar la señal de control u(t) dentro de un intervalo prescrito para que todas las especificaciones de diseño sean satisfechas (ver Estabilidad de un sistema de control, Respuesta transitoria, Error en estado estable).

El controlador PID aplica una señal al proceso de control mostrado en la Figura 10-1, que es una combinación proporcional, integral y derivada de las señal de actuación e(t). Debido a que estos componentes de la señal se pueden realizar y visualizar fácilmente en el dominio del tiempo, los controladores PID se diseñan comúnmente empleando métodos en el dominio del tiempo.

Después de que el diseñador ha seleccionado una configuración para el controlador, debe escoger además el tipo de controlador. En general, mientras más complejo el controlador, más costoso, menos confiable y más difícil de diseñar. Por ende, en la práctica se selecciona el tipo de controlador más simple que permita cumplir con las especificaciones de diseño, lo que involucra experiencia, intuición, arte y ciencia.

Las componentes integral y derivativo de un controlador PID tienen una implicación individual en el desempeño, y sus aplicaciones requieren un entendimiento de las bases de estos elementos. Por ello, se consideran por separado, iniciando con la porción PD.

`Diseño con el controlador PD`

La Figura 10-3 muestra el diagrama de bloques de un sistema de control realimentado que deliberadamente tiene una planta prototipo de segundo orden con la siguiente función de transferencia Gp(s):

El controlador en serie es del tipo proporcional-derivativo (PD) con la función de transferencia:

Por lo tanto, la señal de control U(s) aplicada a la planta es:en donde Kp y Kd son las constantes proporcional y derivativa respectivamente, mientras E(s) es la señal de error. La realización del controlador PD mediante circuitos electrónicos se muestra en la Figura 10-4:

La función de transferencia del circuito de la Figura 10-4 es:Al comparar con la Figura 10-3:La función de transferencia directa del compensador mostrado en la Figura 10-3 es:lo cual muestra que el control PD equivale a añadir un cero simple en s=-Kp/Kd a la función de transferencia directa. El efecto de control PD sobre la respuesta transitoria de un sistema de control se puede investigar al referirse a la respuesta en tiempo del sistema como se muestra en la Figura 10-5:

Se supone que la respuesta al escalón unitario de un sistema estable con el control proporcional es solamente como la que se presenta en la Figura 10-5(a). Se observa un sobrepaso máximo relativamente grande y un poco oscilatorio. La señal de error e(t) correspondiente, que es la diferencia entre la entrada r(t) escalón unitario y la salida y(t), y la derivada de dicho error en el tiempo, se muestran en las Figuras (b) y (c) respectivamente.

Durante el intervalo 0<t<t1, la señal de error es positiva, el sobrepaso es grande y se observa gran oscilación en la salida debido a la falta de amortiguamiento en este período. Durante el intervalo t1<t<t2, la señal de error es negativa, la salida se invierte y tiene un sobrepaso negativo. Este comportamiento se alterna sucesivamente hasta que la amplitud del error se reduce con cada oscilación, y la salida se establece eventualmente en su valor final. Se observa que el controlador PD puede añadir amortiguamiento a un sistema y reduce el sobrepaso máximo, pero no afecta el estado estable directamente.

`Ejemplo. `

Para apreciar mejor el efecto del controlador PD, veamos el siguiente ejemplo. Supongamos que tenemos el sistema de la Figura 7-23.

La función de transferencia directa G(s) de este sistema viene dada por la siguiente expresión:

Donde K es la constante del preamplificador.

Las especificaciones de diseño para este sistema son las siguientes:

Donde:

• ess: Error en estado estable debido a una entrada de rampa unitaria
• Mp: Sobrepaso máximo
• Tr: Tiempo de levantamiento
• Ts: Tiempo de asentamiento
1. Selección del valor de K

Lo primero que vamos a hacer es hallar K para cumplir con el primer requerimiento de diseño, error en estado estable ess debido a una entrada rampa:

(Para repasar el concepto de error en estado estable ver Error en estado estable de un sistema de control)

1.b Hallar ess en función de K:

1.c Hallar para ess=0.000433:

Con este valor de K, la función de transferencia directa G(s) es:

2. Cálculo de sobrepaso

Veamos ahora como queda el sobrepaso para el valor de K obtenido.

(Para un repaso del concepto de sobrepaso y la respuesta transitoria ver Respuesta Transitoria de un Sistema de Control)

2.a La función de transferencia de lazo cerrado Gce(s) es:

2.b Hallamos a partir de aquí el factor de amortiguamiento relativo ζ y la frecuencia natural del sistema ωn.

2.c Con estos valores, hallamos el sobrepaso máximo Mp:

En porcentaje:

Este valor supera la exigencia de la especificación, por lo que se considera insertar un controlador PD en la trayectoria directa del sistema con el fin de mejorar el amortiguamiento y ajustar el sobrepaso máximo a la especificación de diseño exigida, manteniendo sin embargo el error en estado estable en 0.000433.

`3. Diseño en el dominio del tiempo del controlador PD`

Añadiendo el controlador Gc(s) de la Figura 10-3 a la trayectoria directa del sistema aeronáutico, y asignando K=185.4503, la función de transferencia directa G(s) del sistema de control de posición de la aeronave es:

Mientras, la función de transferencia a lazo cerrado Gce(s) es:

Esta última ecuación muestra los efectos del controlador PD sobre la función de transferencia de lazo cerrado del sistema al cual se aplica:

1. Añadir un cero en s=-Kp/Kd
2. Incrementar el “término asociado al amortiguamiento”, el cual es el coeficiente de s en el denominador de Gce(s). Es decir, de 361.2 hasta 361.2 + 834526.56Kd

3.a Selección de Kp

Para asegurarnos de que se mantenga el error en estado estable para una entrada rampa de acuerdo con las especificaciones, evaluamos dicho error y seleccionamos un valor para Kp:

Al elegir Kp igual a uno, mantenemos el mismo valor para Kv que se tenía antes de añadir el controlador. Es decir, mantenemos el valor del error en estado estable para entrada rampa tal como lo exige la especificación de diseño. Entonces:3.b Selección de Kd

De acuerdo con la ecuación de sobrepaso máximo:

El sobrepaso máximo depende del factor de amortiguamiento relativo ζ. La ecuación característica del sistema es:

Donde:

Deducimos la expresión para el factor de amortiguamiento relativo ζ:

Este resultado muestra claramente el efecto positivo de Kd sobre el amortiguamiento. Sin embargo, se debe resaltar el hecho de que la función de transferencia directa G(s) ya no representa un sistema prototipo de segundo orden, por lo que la respuesta transitoria también se verá afectada por el cero en s=-Kp/Kd.

Aplicaremos ahora el método del lugar geométrico de la raíces a la ecuación característica para examinar el efecto de variar Kd, mientras se mantiene constante el valor de Kp=1.

Si deseamos obtener un Mp=5% tal y como se pide en las especificaciones de diseño, eso significa obtener un factor de amortiguamiento relativo igual a lo siguiente:

La ecuación característica del sistema y su forma 1+G(s)H(s) son:

Utilizando el siguiente comando en Matlab obtenemos el lugar geométrico de las raíces para G(s)H(s):

>> s=tf(‘s’)

>> sys=(834526.56*s)/(s^2+361.2*s+834526.56)

>> rlocus(sys)

La gráfica siguiente muestra como mejora el factor de amortiguamiento relativo ζ a medida que aumenta la ganancia Kd:

Mientras, en la gráfica siguiente se muestra que para lograr un factor de amortiguamiento relativo ζ=0.69 o mejor que ese, lo cual significa un sobrepaso menor de 5% como se especifica, es necesario tener una ganancia mínima Kd= 0.00108:

Sin embargo, antes de seleccionar un valor definitivo para Kd debemos observar el cumplimiento de los otros requerimientos de diseño.

3.c Evaluación de Tr y Ts según Kd y Kp calculados.

Analizamos a continuación el valor del tiempo de levantamiento Tr para el valor de ζ=0.69 , Kd= 0.00108 y Kp= 1,  utilizando la función de transferencia a lazo cerrado del sistema Gce(s)  y el gráfico de respuesta a la entrada escalón generado por el siguiente comando en Matlab:

>> s=tf(‘s’)

>>sys=(834526.56*(1+0.00108*s))/(s^2+(361.2+834526.56*0.00108)*s+834526.56)

sys =     (901.3 s + 8.345e05) / (s^2 + 1262 s + 8.345e05)

> step(sys)

Utilizando la gráfica para la salida C(t) del sistema a una entrada escalón para un valor determinado del factor de amortiguamiento relativo (ζ=0.69). Para hallar Tr, restamos los tiempos para los cuáles C(t)=0.9 C(t)=0.1:

La gráfica anterior nos permite determinar el valor de Tr para un valor de ζ=0.69 de la siguiente manera:

Podemos ver que este valor cumple con el requerimiento de que Tr≤0.005 s. Veamos ahora que pasa con Ts. Utilizando el criterio del 2% podemos calcular Ts mediante la siguiente fórmula:

Así vemos que el factor de amortiguamiento ζ=0.69 genera un Ts que no cumple con la condición de un Ts menor o igual a 0.005 s. Sin embargo, aumentando Kd mejoramos ζ logrando satisfacer dicha condición. Para ser más específicos, despejamos ζ a partir del valor máximo aceptado para Ts:

Utilizamos nuevamente el lugar geométrico de las raíces para determinar el valor de Kd que se corresponde con el de ζ=0.8757:

Si el valor de Kd=0.00148 y mantenemos el valor de Kp=1, la función de transferencia directa es:

Mientras, la función de transferencia a lazo cerrado del sistema en estudio es la siguiente:

Para esta función de transferencia revisamos los valores de sobrepaso Mp y tiempo de levantamiento Tr para asegurarnos que cumplen con las especificaciones de diseño:

Por tanto, el valor de Kd debe tener un valor mínimo de:

Y nuestro controlador PD puede tener entonces la siguiente función de transferencia:

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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