Control System Analysis

Example 1 – Transfer Function of a liquid-level system

We take into account the system of the Figure 3-23.

In accordance with the definitions of the previous article (Dinámica de un sistema de nivel de líquidos), we focus on the capacitances C1 and C2, as well as on the resistors R1 and R2. Thus, the dynamics of this system is determined by the following equations:

From here we can obtain the transfer function depending on what variables we define as input and output. For example, suppose the input to the system is q and the output variable is q2, so to find the transfer function of the system we execute the following operations:

So:

That is to say:

In the other hand:

That is:

Also: 

Applying Laplace to equations a, b and c, we obtain:

Clearing H1(s) of e and substituting this value in d we obtain:

An due to the latter is:

The transfer function of the system is:

 

Written by: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Análisis de sistemas de control, Nivel de líquidos

Ejemplo 1 – Función de transferencia de un sistema de nivel de líquidos

Tomamos en cuenta el sistema de la Figura 3-23.

Atendiendo a las definiciones del artículo anterior (Dinámica de un sistema de nivel de líquidos), nos enfocamos en las capacitancias C1 y C2, así como en las resistencias R1 y R2. Así, la dinámica de este sistema está determinada por las siguientes ecuaciones:

A partir de aquí podemos obtener la función de transferencia dependiendo de a qué variables definimos como entrada y salida. Por ejemplo, supongamos que la entrada al sistema es q y la variable de salida es q2, entonces para hallar la función de transferencia del sistema ejecutamos las siguientes operaciones:

Por tanto:

O sea:

Por otra parte:

Es decir:

Además: 

Aplicando Laplace a las ecuaciones a,b y c, obtenemos:

Despejando H1(s) de e y sustituyendo este valor en d obtenemos:

Que debido a f es:

La función de transferencia del sistema es:

 

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Control System Analysis, PID Control

PID – Study of the proportional action with Matlab

To make the study of proportional action, consider the following system:

1. Implement the locus of the roots indicating the points of interest. We execute the following commands in Matlab:

>> s=tf(‘s’)

>> s1=(1)/(0.2*s+1)

>> s2=(2)/(0.1*s+1)

>> s3=(1)/(s+1)

>> G=s1*s2*s3

The direct transfer function G(s) is:nullReshaping:nullIf we add a proportional controller with a gain Kp, the direct transfer function G(s) is:nullTh closed-loop transfer function Gce(s) is:null

nullThe characteristic equation is:nullThe characteristic equation in its form 1+G(s)H(s) is:

null

To obtain in Matlab the locus of the roots, we execute the following command:

>> rlocus(G)

We obtain:

Through this first exercise we get the locus of the roots of the system, we can observe the most immediate effect of applying a proportional controller: the displacement of the roots.

The change in the gain Kp allows us to change the value of the roots of the characteristic equation (when traveling through the blue, green and red lines of the locus in the previous graph, we see how the Kp gain changes), which is the same as changing the poles of the closed-loop transfer function. By changing these poles, we change the value of the damping coefficient ζ and the natural frequency ωn for a unit step input, thus adapting the transient response of the system to the design requirements that can be requested.

Note that the roots of the characteristic equation are in s=-10, s=-5 and s=-1, when Kp=0.

But in real terms Kp can not be zero, because in practice it means that we cancel the input to the system and thus, the output is zero as well. To represent the system operating without the proportional controller, we do Kp = 1. Under this condition, let’s see what is the value of ζ, as well as the value of three quantities of extreme importance for the designers: the overshoot Mp, the rise time Tr and the steady-state error ess. Then, suppose we want to modify this performance in terms of ζ and we vary Kp (we move the roots) until we achieve ζ = 0.5.

Kp=1

If Kp=1, then:null

The closed-loop transfer function Gce(s) is:

We use the following commands in Matlab to know the values of ζ, the overshoot and the time of establishment:

> >Gce=feedback(G,1)

> >damp(Gce)

We obtain:

Pole Damping Frequency
-2.26e+00 + 2.82e+00i 6.26e-01 3.62e+00
-2.26e+00 – 2.82e+00i 6.26e-01 3.62e+00
-1.15e+01 1.00e+00   1.15e+01

Note that in the previous graph, Kp = Gain = 1. The dominant complex roots are s1 = -2.26 + j2.82 and s2 = -2.26-j2.82, so that, according to the graph, we can consider ζ = 0.626 when Kp = 1. Regarding the overshoot, the rise time and the steady-state error we use the following command:

>> stepinfo(Gce)

RiseTime: 0.5626

Overshoot: 7.5449

Peak: 0.7170

>> step(Gce)

If the input is the unit step and the output reaches the final value of c = 0.663, the steady-state error is ess = 1-0.663 = 0.337. We will see that despite varying the value of Kp and moving the roots, the proportional controller does not completely cancel out the steady-state error, it will always have a value different from zero, so an integral action is required to annul this error. On the other hand, the value of the overshoot is Mp = 7.17%, taking into account that the final value of the system is c = 0.663 and the maximum value reached is of c = 0.7170.

Find Kp to achieve ζ = 0.5.

The locus of the roots allows us to vary the value of the gain Kp until reaching the requested damping, ζ = 0.5. We move on the geometric place of the roots in Matlab by clicking on the line of the dominant poles and dragging the point until it reaches the requested damping:

The previous graph shows us that we can obtain a ζ = 0.5 when the gain Kp has an approximate value of 1.46. If Kp = 1.46, the direct transfer function and the closed-loop transfer function are:

We confirm the value of the damping by:

>> Gce2=(146)/(s^3+16*s^2+65*s+196)

> >damp(Gce2)

Pole Damping Frequency
-2.04e+00 + 3.51e+00i 5.02e-01 4.05e+00
-2.26e+00  – 3.51e+00i 5.02e-01 4.05e+00
-1.19e+01 1.00e+00   1.19e+01

> >stepinfo(Gce2)

RiseTime: 0.4356

Overshoot: 15.0397

Peak: 0.8569

It is observed that the overshoot will be higher (from 7.5449 to 15.0397) after the compensation (change the Kp value from 1 to 1.46) because the damping ζ is lower (from 0.626 to 5.02), while the rise time Tr improves slightly (from 0.5626 to 0.4356)

The answers to the unit step input of both systems (before and after the compensation), can be observed by the following Matlab command:

>> step(Gce,Gce2)

The final value of the system after the compensation (in red color) is approximately c = 0.748, so the steady-state error in this case is slightly lower, ess = 1-0.748 = 0.252. It is clearly seen in the graph that the rise time is shorter after the compensation, but at the cost of a larger overshoot due to a smaller damping.

Another more sophisticated Matlab tool to design compensators is SISO Design Tool. It can be called with rltool.

>> rltool

The graphical user interface is opened (GUI).

Once there, we can import systems fron the Matlab console through file>import>G>browse>available models>G>import>close>ok.

Supongamos el requerimiento ζ=0.5. Placing the cursor on the locus, we right click and select design requirement>new>design requirement type>damping ratio>0.5>ok. 

The lower legend is obtained by placing the course on the pink dot, a hand is formed and left click. We can vary the graph until we achieve approximately the desired damping. If we place the course on the left side of the graph (white color), the legend appears Loop gain changed to 1.47. That is to say Kp=1.47.

Although, to be more exact, the value of the gain is Kp = 1.4663. This value can be seen in the other window that opens simultaneously with the Editor: Control and estimation tools manager. There, when selecting the Compensator Editor tab, we can see that C = 1.4663. Therefore, the tool allows us to be much more specific in terms of the value of the gain.

Going back to the graphic editor (SISO design task), we select analysis>response to step command, we obtain the unit step response in a new window. Once there, right click, we select plot type>step. We can see the value of main characteristics of transient response with Kp=1.46:

characteristics>rise time

characteristics>peak response

Respuesta transitoria para diferentes valores de Kp.

To complete the study it is only necessary to assign several values to Kp and analyze the transient response as well as the steady-state error of the different systems, through the programming tools presented so far. It should be noted how sensitive the system is for very close Kp values. This is shown in the following graph where the answers to the unit step input appear simultaneously for different values of Kp:

Kp=0.2, Kp=0.5, Kp=1, Kp=1.5,  Kp=1.7, Kp=2.

null

Step response, Kp=2

 

 

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Análisis de sistemas de control, Nivel de líquidos

Dinámica de un sistema de nivel de líquidos

El sistema de nivel de líquido se considera lineal si el flujo es laminar.

Los parámetros de un sistema de nivel de líquido son la resistencia y la capacitancia. Si consideramos un flujo de líquido a través de un tubo corto, la resistencia R para dicho flujo se define como la diferencia de nivel de líquido H de dos tanques necesaria para producir un cambio en la velocidad del flujo Q entre los dos tanques, entonces:

Por su parte, la capacitancia C de un tanque se define como el cambio necesario de la cantidad de líquido en el tanque para producir un cambio en el nivel de líquido H. Ahora bien, ese cambio de cantidad de líquido se puede representar en términos de la velocidad de flujo Q. Para darnos una idea gráfica, considere la Figura 3-22 (a):

(a)

Supongamos que al tanque entra líquido a un flujo constante , llamado también velocidad de flujo de líquido en estado estable porque es la misma a la entrada que a la salida del tanque. Intuitivamente podemos ver que para producir un pequeño cambio de cantidad de líquido dentro del tanque es necesario un cambio de flujo, igual a qi-qo, en un pequeño intervalo de tiempo dt. Entonces, en términos generales, de acuerdo a su definición:

Donde:

Si consideramos qi-qo=q, podemos escribir la ecuación 1 como:

Con respecto a este valor para la resistencia R, en la Figura 3-22(a) h es la diferencia de altura entre dos tanques necesaria para definir la resistencia, considerando que no hay un segundo tanque. Esta última ecuación se puede apoyar además si consideramos que el sistema de nivel de líquidos trabaja alrededor  de un punto de operación donde la curva H(Q) tiene pendiente P, como se observa en la Figura 3-22(b):

Figura 3-22(b)

De ahora en adelante se consideran variaciones pequeñas para las variables de importancia, a partir de sus valores en estado estable.

Es interesante notar la analogía que se establece entre esta teoría y la de un circuito eléctrico de corriente i y voltaje v:

Circuito eléctrico Sistema de nivel de líquidos
Resistencia:

 

Resistencia:

Capacitancia:

Capacitancia:

Atendiendo a esta analogía, podemos aplicar la teoría de circuitos a la Figura 3-22(a), donde tenemos una fuente de poder y una carga. La fuente de poder está conformada por la válvula de control y el tanque de capacitancia c, mientras la carga está constituida por la válvula de carga de resistencia r. De acuerdo con la definición para resistencia representada en la ecuación 1:

Así, podemos reescribir la ecuación 2 como:

De esta manera, la ecuación que determina la dinámica del sistema de la Figura 3-22(a) es entonces:

Si consideramos qi como la entrada y h como la salida, aplicando Laplace:

La función de transferencia de este sistema es:

Sin embargo, cuando se trata de sistemas colocados en serie, a diferencia de lo que se supone en el caso de un sistema eléctrico, los tanques que conforman el sistema interactúan entre sí. Por ello, la función de transferencia del sistema total no es igual a la multiplicación de las funciones de transferencia de cada sistema por separado.

Sistema de nivel de líquido con interacción

Tomamos en cuenta ahora el sistema de la Figura 3-23.

Atendiendo a las definiciones del apartado anterior, nos enfocamos en las capacitancias C1 y C2, así como en las resistencias R1 y R2. Así, la dinámica de este sistema está determinada por las siguientes ecuaciones:

A partir de aquí podemos obtener la función de transferencia dependiendo de a qué variables definimos como entrada y salida. Por ejemplo, supongamos que la entrada al sistema es q y la variable de salida es q2, entonces para hallar la función de transferencia del sistema ejecutamos las siguientes operaciones:

Por tanto:

O sea:

Por otra parte:

Es decir:

Además:

 

Aplicando Laplace a las ecuaciones a,b y c, obtenemos:

Despejando H1(s) de e y sustituyendo este valor en d obtenemos:

Que debido a f es:

La función de transferencia del sistema es:

Ejemplo 2

Hallar la función de transferencia Qo(s)/Qe(s) del sistema mostrado en la siguiente figura:

En construcción…

Control System Analysis, PID Control

Example 1 – PI Controller Design (Proportional-Integral) – Matlab

To better appreciate the effect of the PI controller, let’s look at the following example. Suppose we have the system of Figure 7-23.

null

The direct transfer function G(s) for this system is as follows:

null

Where K is the pre-amplifier constant.

Teh design specifications for this system are:

nullDonde:

  • ess: steady-state error due to a parabolic input
  • Mp: Maximum overshoot
  • Tr: Rise time
  • Ts: Settling time

The first thing we are going to do is analyze the steady-state error ess of the system before compensating, and see how much it meets or not with the first design requirement.

For a parabolic input we must work with the acceleration constant Ka:nullThis means an infinite error for a parabolic input:To improve the steady-state error we incorporate a PI controller in the direct path of the system, which will now have the following transfer function:
nullBy increasing the typology of the system from type 1 to type 2 we immediately improve the steady-state error. Now, the ess due to the parabolic input will be a constant:
nullThat is to say:

This exercise we already worked with the PD controller. For that case we select a value of K=181.17 (Example 1 – PD Controller Design (Proportional-Diferential) – Matlab)

We allow ourselves the freedom to consider the same value for K in this case in order to maintain the transient response under acceptable and known conditions when applying the PD of Example 1. If necessary we will adjust the value of K later. We can appreciate that to achieve an ess as specified in the design, the larger K is, the smaller will have to be Ki, which may be convenient. With the values of K and ess we can calculate a first approximate value of Ki to meet the requirements:

The next thing we will do is analyze the stability of the system because the selection of the Kp and Ki parameters depends on it. We will apply the Routh-Hurwitz criterion to calculate the limit values of the mentioned parameters in such a way that the system remains stable. For this we need the characteristic equation that arises from the transfer function of the closed loop system Gce(s):

null

The characteristic equation of the system is:

null

With this equation we apply the Routh-Hurwitz criterion. In this way we discovered that the system is stable for the following range of values:

null

This result indicates that the Ki / Kp of the controller can not be very close to zero, so a value as low as Ki = 0.002215 is not convenient. Another criterion for selecting Ki / Kp is that it is convenient to select the zero added by the controller in s = -Ki / Kp so that it is located near the origin and far from the most significant poles of the system. Through the locus of the roots in Matlab we can see which are the most significant poles of the characteristic equation, assuming an acceptable relationship between the Ki and Kp parameters from the point of view of the previous stability study but relatively close to the origin, say Ki / Kp = 10, keeping Ki constant and varying Kp. 

First, we reshape the characteristic equation in its form 1+G(s)H(s):

Note that in this way the controller PI is adding a zero in s=-10.

We apply the following command in Matlab to obtain the locus of the roots of this compensated system:

>> s=tf(‘s’)

>> sys=(815265*(s+10))/(s^3+361.2*s^2)

>> rlocus(sys)

So we get:

As it can be seen, the most significant pole of the characteristic equation is located in s=-361. Therefore, the criterion that we must use to select s=-Ki/Kp is:nullWith this result, the direct transfer function G(s):nullIt would be simplified as:null

The term Ki / Kp would be negligible compared to the magnitude of s when s assumes values along the root locus that corresponds to a convenient relative damping factor of 0.7 <ζ <0.1. Then, a zero cancels a pole at zero. The maximum overshoot must be equal to or less than 5%. This means that you want a relative damping factor ζ approximate to the following:

null

null

With the help of the locus we can locate the poles that correspond to this value of ζ:

According to the graph, the value of Kp required to obtain the desired damping factor is:

And so:

We also observe in the previous graph that if Kp = 0.0838, then the roots of the characteristic equation (the poles of the system) are in s1 = -175 + j184 and in s2 = -175-j184 If we look around these roots we can notice that the zero added by the controller at s = -10 is very close to the origin compared to the poles of s1 and s2, practically canceling a pole at the origin, thus ratifying the approach we made earlier for the direct transfer function of this system then of the compensation:

So:

We can observe the response to the step according to these partial results and the comparison of the compensated and uncompensated systems, by means of the following simulation:

>> Ga=(815265)/(s*(s+361.2))

>> Gd=(68319)/(s*(s+361.2))

>> Gce1=feedback(Ga,1)

>> Gce2=feedback(Gd,1)

>> step(Gce1,Gce2)

The previous graph, with the system after the compensation in red line, shows that the PI improves the steady-state error and reduces the overshoot, but at the expense of significantly increasing the rise time. The graph also shows that the maximum overshoot is 5%, therefore the requirement is met. It is necessary to note that another relationship can be selected for Ki and Kp that meets the requirement and still improve the overshoot, for example Ki / Kp = 5, or Ki / Kp = 2. You just have to pay attention to the issue of the stability of the system. With the calculated values, we re-calculate the overshoot, and we evaluate the rise time tr and the settlement time ts . The following command gives us the value of ζ and ωn, the relative damping factor and the natural frequency respectively.

>> damp(Gce2)

Pole: -1.81e+02 + 1.89e+02i /   -1.81e+02 + 1.89e+02i

Damping: 6.91e-01

Frequency: 2.61e+02

  •  Maximum Overshoot (MP):

  • Rise Time (Tr):

>> Gd=(68319)/(s*(s+361.2))

>> sys=feedback(Gd,1)

>> step(sys)

  • Settling time (Ts):null

Values that we can also see in the response to the step input graph generated previously:

We can conclude that the compensated system fulfills the requirements of the design, although it exceeds a little in the settling time. The latter can be reduced slightly with a Ki / Kp = 2 ratio, but at the expense of getting too close to the unstable area of the system

BEFORE: Example 1 – PD Controller Design (Proportional-Diferential) – Matlab

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Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Estabilidad de un sistema de control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

 

Análisis de sistemas de control, PID

Ejemplo 1 – Diseño de un controlador PI (Proporcional-Diferencial)

Para apreciar mejor el efecto del controlador PI, veamos el siguiente ejemplo. Supongamos que tenemos el sistema de la Figura 7-23.

null

La función de transferencia directa G(s) de este sistema viene dada por la siguiente expresión:null

Donde K es la constante del preamplificador.

Las especificaciones de diseño para este sistema son las siguientes:

nullDonde:

  • ess: Error en estado estable debido a una entrada parábola
  • Mp: Sobrepaso máximo
  • Tr: Tiempo de levantamiento
  • Ts: Tiempo de asentamiento

Lo primero que vamos a hacer es analizar el error en estado estable ess del sistema antes de compensar, y ver que tanto cumple o no con el primer requerimiento de diseño (Para un repaso de este tema ver: Error en estado estable de un sistema de control).

Para una entrada parabólica debemos trabajar con la constante de aceleración Ka:nullEsto significa un error infinito para una entrada parabólica:Para mejorar el error en estado estable incorporamos un controlador PI en la trayectoria directa del sistema, el cual ahora tendrá la siguiente función de transferencia:nullAl aumentar la tipología del sistema de tipo 1 a tipo 2 de inmediato mejoramos el error en estado estable. Ahora, el ess debido a la entrada parábola será una constante:nullEs decir:

Este ejercicio ya lo trabajamos con el controlador PD. Para ese caso seleccionamos un valor de K=181.17 (Ejemplo 1 – Diseño de un controlador PD (Proporcional-Diferencial) – Matlab)

Nos permitimos la libertad de considerar el mismo valor para K en este caso con el fin de mantener la respuesta transitoria bajo condiciones aceptables y conocidas al aplicar el PD del ejemplo 1. De ser necesario ajustaremos el valor de K más adelante. Podemos apreciar que para lograr un ess según se especifica en el diseño, mientras más grande sea K, más pequeño tendrá que ser Ki, algo que puede ser conveniente. Con los valores de y ess podemos calcular un primer valor aproximado de Ki para cumplir con los requerimientos:

Lo siguiente que haremos será analizar la estabilidad del sistema debido a que de ello depende enormemente la selección de los parámetros Kp y Ki. Aplicaremos el criterio de Routh-Hurwitz (para un repaso ver Estabilidad de un sistema de control) para calcular los valores límites de los mencionados parámetros de manera tal que el sistema permanezca estable. Para ello requerimos de la ecuación característica que surge de la función de transferencia del sistema en lazo cerrado Gce(s):

null

La ecuación característica del sistema es:

null

Con esta ecuación aplicamos el criterio de Routh-Hurwitz. De esta manera descubrimos que el sistema es estable para el siguiente rango de valores:

null

Este resultado indica que el Ki/Kp del controlador no puede estar muy cerca del cero, por lo que no resulta conveniente un valor tan bajo tal como Ki=0.002215. Otro criterio para seleccionar Ki/Kp es que resulta conveniente seleccionar el cero añadido por el controlador en s=-Ki/Kp para que esté localizado cerca del origen y lejos de los polos más significativos del sistema. Mediante el lugar geométrico de las raíces en Matlab podemos ver cuáles son los polos más significativos de la ecuación característica, suponiendo una relación aceptable entre los parámetros Ki y Kp desde el punto de vista del estudio de estabilidad anterior pero relativamente cerca del origen, digamos Ki/Kp=10, manteniendo Ki constante y variando Kp (Para un repaso del tema ver: El lugar geométrico de las raíces con Matlab) Primero, arreglamos la ecuación característica en su forma 1+G(s)H(s):

Notar que de esta manera el controlador PI está añadiendo un zero en s=-10.

Aplicamos el siguiente comando en Matlab para obtener el lugar geométrico de las raíces de este sistema compensado:

>> s=tf(‘s’)

>> sys=(815265*(s+10))/(s^3+361.2*s^2)

>> rlocus(sys)

Y obtenemos:

Como se puede observar, el polo más significativo de la ecuación característica está ubicado en s=-361. Por tanto, el criterio que debemos utilizar para seleccionar s=-Ki/Kp es:nullCon este resultado, la función de transferencia directa G(s):nullQuedaría simplificada como:null

El término Ki/Kp sería despreciable comparado con la magnitud de s cuando s asume valores a lo largo del lugar geométrico de las raíces que se corresponde con un factor de amortiguamiento relativo conveniente de 0.7<ζ< 0.1. Luego, un zero en cero anula un polo en cero. El sobrepaso máximo debe ser igual o menor al 5%. Esto significa que se desea un factor de amortiguamiento relativo ζ aproximado al siguiente valor:

null

null

Con la ayuda del lugar geométrico podemos ubicar los polos que se corresponden con este valor de ζ:

De acuerdo con la gráfica, el valor de Kp requerido para obtener este factor de amortiguamiento es:

Y por tanto:

También observamos en la gráfica anterior que si Kp=0.0838, entonces las raíces de la ecuación característica (los polos del sistema) están en s1=-175+j184 y en s2=-175-j184 Si miramos alrededor de esas raíces podemos notar que el zero añadido por el controlador en s=-10 está muy cerca del origen comparado con los polos de s1 y s2, prácticamente cancelando un polo en el origen, ratificando así la aproximación que hicimos anteriormente para la función de transferencia directa de este sistema luego de la compensación:

Así:

Podemos observar la respuesta del sistema al escalón unitario de acuerdo con estos resultados parciales y la comparación de los sistemas compensado y sin compensar, mediante la siguiente simulación:

>> Ga=(815265)/(s*(s+361.2))

>> Gd=(68319)/(s*(s+361.2))

>> Gce1=feedback(Ga,1)

>> Gce2=feedback(Gd,1)

>> step(Gce1,Gce2)

La gráfica anterior, con el sistema después de la compensación en línea roja, muestra que el PI mejora el error en estado estable y reduce el sobrepaso, pero a expensas de aumentar significativamente el tiempo de levantamiento. La gráfica también nos muestra que el sobrepaso máximo es de 5%, por tanto se cumple el requerimiento. Es necesario notar que se puede seleccionar otra relación para Ki y Kp que cumpla con el requerimiento y aún mejoren el sobrepaso, por ejemplo Ki/Kp=5, Ki/Kp=2. Sólo hay que prestar atención al tema de la estabilidad del sistema. Con los valores calculados, volvemos a calcular el sobrepaso, y vemos como quedan el tiempo de levantamiento tr y el tiempo de asentamiento ts. El siguiente comando nos facilita el valor de ζ y ωn, el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural respectivamente (Para un repaso ver:Respuesta Transitoria de un Sistema de Control).

>> damp(Gce2)

Pole: -1.81e+02 + 1.89e+02i /   -1.81e+02 + 1.89e+02i

Damping: 6.91e-01

Frequency: 2.61e+02

  •  Máximo Sobrepaso (MP):

  • Tiempo de levantamiento (Tr):

>> Gd=(68319)/(s*(s+361.2))

>> sys=feedback(Gd,1)

>> step(sys)

  • Tiempo de asentamiento (Ts):null

Cosa que también podemos constatar en la gráfica de respuesta al escalón unitario generada anteriormente:

Podemos concluir que el sistema compensado cumple con los requerimientos del diseño, aunque se sobrepasa un poco en el tiempo de asentamiento. Este último se puede reducir levemente con una relación Ki/Kp=2pero a expensas de acercarse demasiado a la zona inestable del sistema.

ANTERIOR: PID – Diseño con el controlador PD (Proporcional-Diferencial)

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Atención:

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab.

Relacionado:

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Estabilidad de un sistema de control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

 

Análisis de sistemas de control, PID

PID – Estudio de la acción integral

Para hacer el estudio de la acción integral, considere el siguiente sistema:

1. Realizar el lugar geométrico de las raíces indicando los puntos de interés. Ejecutamos los siguientes comandos en Matlab:

>> s=tf(‘s’)

>> s1=(1)/(0.2*s+1)

>> s2=(2)/(0.1*s+1)

>> s3=(1)/(s+1)

>> G=s1*s2*s3

La función de transferencia directa G(s) es:nullArreglando:nullSi añadimos un controlador integral de ganancia Ki y Ti=1 seg, la función de transferencia directa G(s) es:

Notar que de inmediato el controlador aumenta la tipología del sistema de tipo 0 a tipo 1, mejorando así el error en estado estable. La función de transferencia Gce(s) a lazo cerrado es:

La ecuación característica del sistema es:

La ecuación característica en su forma 1+G(s)H(s) es:

Para obtener en Matlab el lugar geométrico de las raíces, ejecutamos el siguiente comando:

>> sys=(100)/(s*(s^3+16*s^2+65*s+50))

>> rlocus(sys)

Así obtenemos:

Podemos observar que tenemos un polo en el origen, añadido por el controlador, y polos en s=-1, -5 y -10. El valor que podemos darle a la ganancia Ki está bastante restringido porque debemos evitar entrar a la región de inestabilidad (semiplano con valores positivos de la variable independiente s).

Según la gráfica anterior, para Ki=1.02 el factor de amortiguamiento relativo es apenas ζ=0.145, por lo que podemos esperar que el sistema oscile bastante en su estado transitorio, mientras posee un sobrepaso máximo de 63,1%, características poco deseables para un sistema de control. Utilizando los siguientes comandos podemos corroborar esta aseveración mediante la respuesta al escalón unitario (step) para un valor exacto de Ki=1.00 para la ganancia:

>> sys2=feedback(sys,1)

>> step(sys2)

Mediante la siguiente gráfica podemos verificar el valor de las características importantes, haciendo uso del click derecho sobre la gráfica anterior y seleccionar characteristics>peak response/settling time/steady state:

La gráfica anterior señala que el valor final de la salida del sistema para una entrada escalón unitario es 1, por lo tanto el error en estado estable es cero, y es ésta la principal función de la porción integral de un controlador PID, minimizar el error para las entradas escalón, rampa o parábola. Sin embargo vemos que la respuesta transitoria no es muy satisfactoria para un controlador integral puro.

Vamos a observar como varían los valores de máximo sobrepaso (Mp), el tiempo de establecimiento (Ts) y el error en estado estable para entrada escalón (ess) para varios valores de Ki, de manera tal que se haga evidente la necesidad de combinar esta acción con la proporcional ya estudiada para el mismo sistema en PID – Estudio de la acción proporcional. Incluso vamos a intentar igualar las condiciones de diseño requeridas en el mencionado estudio: un factor de amortiguamiento ζ=0.5.

Para agilizar este estudio (no tener que aplicar el comando feedback para cada cambio de ganancia, por ejemplo), utilizaremos la herramienta de Matlab rltool:

>> rltool(sys)

Inmediatamente obtenemos el lugar geométrico de las raíces:

Ya vimos como se comporta el sistema para Ki=1.0. A partir de aquí variamos la ganancia para ver los valores de los parámetros y características de importancia.

Haremos Ki=1.2. Para ello, hacemos click derecho sobre la gráfica del lugar geométrico de las raíces y seleccionamos edit compensator, seleccionamos la casilla de valores de la ganancia c del controlador, y le adjudicamos el valor a analizar.

Apretamos enter y volvemos al lugar geométrico. El punto rosado se ha desplazado al valor actual de las raíces. Aparece una mano al colocar el cursor en dicho punto. Al hacer click izquierdo justo allí, aparece el valor del factor de amortiguamiento relativo al pie de la gráfica.

Para la ganancia Ki=1.2, ζ=0.105. La respuesta al escalón unitario se puede obtener seleccionando analysis>response to step command.

Una vez en repuesta al impulso, hacer click derecho y seleccionar systems>closed-loop r to y (blue) para obtener la siguiente gráfica:

A partir de aquí obtenemos:

Si cambiamos la ganancia en la ventana Control and estimation tool manager, cambian automáticamente el lugar geométrico y la respuesta al escalón unitario, Los resultados para valores de Ki cada vez mayores se muestran en la siguiente tabla:

Ganancia Ki=1.0 Ki=1.2 Ki=1.4 Ki=1.8
Factor de amortiguamiento  ζ=0.15 ζ =0.105  ζ=0.069  ζ=0.0149
Máximo sobrepaso Mp=59.9% Mp=68.9 Mp=76.8 Mp=90.7
Tiempo de levantamiento Tr=0.921 Tr=0.824 Tr=0.752 Tr=0.653
Tiempo de establecimiento Ts=19.8 Ts=24.9 Ts=35.4 Ts=151

A medida que Ki crece, aunque mejora el tiempo de respuesta, las condiciones generales empeoran. El factor de amortiguación casi se hace cero y aún para pequeños incrementos la inestabilidad aumenta vertiginosamente. A continuación se observa el desempeño para un Ki=1.8.

Por ello podemos afirmar que la acción integral permite un rango muy limitado de selección de la ganancia Ki. Es por ello que se acostumbra mejorar las capacidades del controlador combinando la acción integral con la proporcional (controlador PI).

Al reducir los valores de Ki podemos esperar el efecto contrario, según se observa en la siguiente tabla:

Ganancia Ki=0.2 Ki=0.5 Ki=0.8 Ki=1
Factor de amortiguamiento  ζ=0.686  ζ=0.345  ζ=0.208  ζ=0.15
Máximo sobrepaso Mp=5.1% Mp=30.9 Mp=49.7 Mp=59.9%
Tiempo de levantamiento Tr=3.39 Tr=1.48 Tr=0.752 Tr=0.921
Tiempo de establecimiento Ts=9.94 Ts=11.7 Ts=14.6 Ts=19.8

Los valores anteriores muestran que es posible conseguir un ζ=0.5. Para dar con los valores exactos hacemos click derecho sobre el lugar geométrico, seleccionamos design requirements>new>design requirement type>damping ratio>0.5. Obtenemos el lugar geométrico dividido en dos regiones.

Moviendo el cursor podemos observar que región se corresponde con un damping igual o mayor a 0.5. Arrastrando el punto rosado sobre el lugar geométrico, variamos el damping hasta lograr un 0.5. Una vez allí, podemos ver el valor correspondiente de la ganancia, (Ventana de control, c=0.317). También podemos obrar a la inversa, variando c y viendo cuánto vale el damping en el lugar geométrico. Entonces, para lograr un ζ=0.5, debemos hacer Ki=0.317. A continuación se observa la respuesta al escalón unitario y las características de importancia para esta ganancia:

Ganancia Ki=0.317
Factor de amortiguamiento  ζ=0.5
Máximo sobrepaso Mp=16.1%
Tiempo de levantamiento Tr=2.15
Tiempo de establecimiento Ts=10.7
Respuesta al impulso para diversos valores de Ki
Respuesta a la función escalón unitario, con KP=1, FA=0.15

 

Respuesta a la función escalón unitario, con KP=0.5, FA=0.345
Respuesta a la función escalón unitario, con KP=1.5, FA=0.0518

 

ANTERIOR: PID – Estudio de la acción proporcional

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Atención:Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab.

Relacionado:

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Estabilidad de un sistema de control

Análisis de sistemas de control, PID

PID – Estudio de la acción proporcional

Para hacer el estudio de la acción proporcional, considere el siguiente sistema:

1. Realizar el lugar geométrico de las raíces indicando los puntos de interés. Ejecutamos los siguientes comandos en Matlab:

>> s=tf(‘s’)

>> s1=(1)/(0.2*s+1)

>> s2=(2)/(0.1*s+1)

>> s3=(1)/(s+1)

>> G=s1*s2*s3

La función de transferencia directa G(s) es:nullArreglando:nullSi añadimos un controlador proporcional de ganancia Kp, la función de transferencia directa G(s) es:nullLa función de transferencia Gce(s) a lazo cerrado es:null

nullLa ecuación característica del sistema es:nullLa ecuación característica en su forma 1+G(s)H(s) es:

null

Para obtener en Matlab el lugar geométrico de las raíces, ejecutamos el siguiente comando:

>> rlocus(G)

Así obtenemos:

Para un repaso del tema, ver: El lugar geométrico de las raíces con Matlab

Mediante este primer ejercicio que nos proporciona el lugar geométrico de las raíces del sistema en estudio, podemos observar el efecto más inmediato de aplicar un controlador proporcional: el desplazamiento de las raíces.

El cambio en la ganancia Kp nos permite cambiar el valor de las raíces de la ecuación característica (al viajar a través de las líneas de color azul, verde y rojo del lugar geométrico en la gráfica anterior, vemos cómo cambia la ganancia Kp), lo que es lo mismo que cambiar los  polos de la función de transferencia a lazo cerrado. Al cambiar dichos polos, cambiamos el valor del coeficiente de amortiguamiento relativo ζ y la frecuencia natural ωn para una entrada escalón unitario, adaptando así la respuesta transitoria del sistema a los requerimientos de diseño que se puedan solicitar.

Notar que las raíces de la ecuación característica están en s=-10, s=-5 y s=-1, cuando Kp=0.

Pero en términos reales Kp no puede valer cero, porque en la práctica significa que anulamos la entrada al sistema y así, la salida es cero también. Para representar al sistema funcionando sin el controlador proporcional, hacemos  Kp=1. Bajo esta condición, veamos cuál es el valor de ζ , así como el valor de tres cantidades de extrema importancia para los diseñadores: el sobrepaso Mp, el tiempo de levantamiento Tr y el error en estado estable ess. Luego, supongamos que queremos modificar este desempeño en términos de ζ y variamos Kp (desplazamos las raíces) hasta lograr un  ζ=0.5.

Para un repaso del tema, ver: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Kp=1

Si Kp=1, entonces:null

La función de transferencia a lazo cerrado Gce(s) es:

Utilizamos los siguientes comandos en Matlab para conocer los valores de ζ, el sobrepaso y el tiempo de establecimiento:

> >Gce=feedback(G,1)

> >damp(Gce)

Obtenemos:

Pole Damping Frequency
-2.26e+00 + 2.82e+00i 6.26e-01 3.62e+00
-2.26e+00 – 2.82e+00i 6.26e-01 3.62e+00
-1.15e+01 1.00e+00   1.15e+01

Notar que en la gráfica anterior, Kp=Gain=1. Las raíces complejas dominantes son s1=-2.26+j2.82 y s2=-2.26-j2.82, de tal modo que, según la gráfica, podemos considerar a ζ=0.626 cuando Kp=1. Con respecto al sobrepaso, el tiempo de levantamiento y el error en estado estable utilizamos el siguiente comando:

>> stepinfo(Gce)

RiseTime: 0.5626

Overshoot: 7.5449

Peak: 0.7170

>> step(Gce)

Si la entrada es el escalón unitario y la salida alcanza el valor final de c=0.663, el error en estado estable es ess=1-0.663=0.337. Vamos a ver que a pesar de variar el valor de Kp y desplazar las raíces, el controlador proporcional no anula por completo el error en estado estable, siempre tendrá un valor diferente de cero por lo que se requiere una acción integral para anular dicho error. Por otra parte, el valor del sobrepaso es Mp=7.17%, tomando en cuenta que el valor final del sistema es c=0.663 y el máximo valor alcanzado es de c=0.7170.

Hallar Kp para lograr un ζ=0.5. 

El lugar geométrico de la raíces nos permite variar el valor de la ganancia Kp hasta alcanzar el damping solicitado, ζ=0.5. Nos desplazamos sobre el lugar geométrico de las raíces en Matlab haciendo un click sobre la línea de los polos dominantes y arrastrando el punto hasta que se alcance al damping solicitado:

La gráfica anterior nos muestra que podemos obtener un ζ=0.5 cuando la ganancia Kp tiene un valor aproximado de 1.46. Si Kp=1.46, la función de transferencia directa y la función de transferencia a lazo cerrado son:

Confirmamos el valor del damping mediante:

>> Gce2=(146)/(s^3+16*s^2+65*s+196)

> >damp(Gce2)

Pole Damping Frequency
-2.04e+00 + 3.51e+00i 5.02e-01 4.05e+00
-2.26e+00  – 3.51e+00i 5.02e-01 4.05e+00
-1.19e+01 1.00e+00   1.19e+01

> >stepinfo(Gce2)

RiseTime: 0.4356

Overshoot: 15.0397

Peak: 0.8569

Se observa que el sobrepaso será mayor (de 7.5449 a 15.0397) después de la compensación (cambiar el valor de Kp de 1 a 1.46) debido a que el factor de amortiguamiento relativo ζ es menor (de 0.626 a 5.02), mientras el tiempo de levantamiento Tr mejora ligeramente (de 0.5626 a 0.4356).

Las respuestas a la entrada escalón unitario de ambos sistemas (antes y después de la compensación), pueden observarse mediante el siguiente comando de Matlab:

>> step(Gce,Gce2)

El valor final del sistema después de la compensación (en color rojo) es aproximadamente c=0.748, así que el error en estado estable en este caso es ligeramente más bajo, ess=1-0.748=0.252. Se observa claramente en la gráfica que el tiempo de levantamiento es menor después de la compensación, pero a costa de un sobrepaso mayor debido a un amortiguamiento menor.

Otra herramienta de Matlab más sofisticada para diseñar compensadores es SISO Design Tool. Se puede invocar mediante el comando rltool.

>> rltool

Se abre una interface para el diseño gráfico (GUI).

Una vez allí, podemos importar sistemas desde la consola de Matlab, mediante file>import>G>browse>available models>G>import>close>ok. De manera automática, el diseñador ofrece el lugar geométrico de las raíces del sistema:

Supongamos el requerimiento ζ=0.5. Colocando el cursor  sobre el lugar geométrico, hacemos click derecho y seleccionamos design requirement>new>design requirement type>damping ratio>0.5>ok. Obtenemos el gráfico siguiente:

La leyenda inferior la obtenemos colocando el curso sobre el punto rosado, se forma una mano y hacemos click izquierdo. Podemos variar el gráfico hasta lograr aproximadamente el damping deseado. Si colocamos el curso del lado izquierdo del gráfico (color blanco), aparece la leyenda Loop gain changed to 1.47. Es decir, Kp=1.47.

Aunque, para ser más exactos, el valor de la ganancia es de Kp=1.4663. Este valor lo podemos ver en la otra ventana que se abre simultáneamente con el Editor: Control and estimation tools manager. Allí, al seleccionar la pestaña Compensator Editor, podemos ver que C=1.4663. Por tanto, la herramienta nos permite ser mucho más específicos en cuanto al valor de la ganancia.

Volviendo al editor gráfico (SISO design task), seleccionando analysis>response to step command, obtenemos la respuesta al escalón unitario en una nueva ventana. Una vez allí, haciendo click derecho podemos seleccionar el tipo de gráfica con plot type>step. Podemos comprobar los valores de la respuesta transitoria obtenidos para Kp=1.46 si seleccionamos la característica que nos interesa calcular mediante:

characteristics>rise time

characteristics>peak response

Respuesta transitoria para diferentes valores de Kp.

Para completar el estudio sólo queda adjudicar varios valores a Kp y analizar la respuesta transitoria así como el error en estado estable de los diferentes sistemas que resulten, mediante las herramientas de programación presentadas hasta ahora. Cabe resaltar lo sensible que es el sistema para valores de Kp  muy cercanos. Ello se muestra en la siguiente gráfica donde de manera simultánea aparecen las respuestas a la entrada escalón unitario para diferentes valores de Kp:

Kp=0.2, Kp=0.5, Kp=1, Kp=1.5,  Kp=1.7, Kp=2.

null

Veremos mediante el siguiente estudio que, a diferencia de la acción integral, la acción proporcional ofrece un rango muy amplio para seleccionar la ganancia del controlador.

Respuesta al escalón unitario para varios valores de Kp

SIGUIENTE: PID – Estudio de la acción integral

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Estabilidad de un sistema de control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

 

 

Análisis de sistemas de control, PID

PID – Diseño con el controlador PD (Proporcional-Diferencial)

Configuración del controlador.

El PID es uno de los controladores más ampliamente utilizados en los esquemas de compensación siguientes, algunas de las cuáles se ilustran en la Figura 10-2:

  1. Compensación en serie (cascada),
  2. Compensación mediante realimentación,
  3. Compensación mediante realimentación de estado,
  4. Compensación en serie-realimentada,
  5. Compensación prealimentada,

En general, la dinámica de un proceso lineal controlado puede representarse mediante el diagrama de la Figura 10-1.

El objetivo de diseño es que las variables controladas, representadas por el vector de salida y(t), se comporten de cierta forma deseada. El problema esencialmente involucra el determinar la señal de control u(t) dentro de un intervalo prescrito para que todas las especificaciones de diseño sean satisfechas (ver Estabilidad de un sistema de control, Respuesta transitoria, Error en estado estable).

El controlador PID aplica una señal al proceso de control mostrado en la Figura 10-1, que es una combinación proporcional, integral y derivada de las señal de actuación e(t). Debido a que estos componentes de la señal se pueden realizar y visualizar fácilmente en el dominio del tiempo, los controladores PID se diseñan comúnmente empleando métodos en el dominio del tiempo.

Después de que el diseñador ha seleccionado una configuración para el controlador, debe escoger además el tipo de controlador. En general, mientras más complejo el controlador, más costoso, menos confiable y más difícil de diseñar. Por ende, en la práctica se selecciona el tipo de controlador más simple que permita cumplir con las especificaciones de diseño, lo que involucra experiencia, intuición, arte y ciencia.

Las componentes integral y derivativo de un controlador PID tienen una implicación individual en el desempeño, y sus aplicaciones requieren un entendimiento de las bases de estos elementos. Por ello, se consideran por separado, iniciando con la porción PD.

Diseño con el controlador PD

 

La Figura 10-3 muestra el diagrama de bloques de un sistema de control realimentado que deliberadamente tiene una planta prototipo de segundo orden con la siguiente función de transferencia Gp(s):null

El controlador en serie es del tipo proporcional-derivativo (PD) con la función de transferencia:null

Por lo tanto, la señal de control U(s) aplicada a la planta es:nullen donde Kp y Kd son las constantes proporcional y derivativa respectivamente, mientras E(s) es la señal de error. La realización del controlador PD mediante circuitos electrónicos se muestra en la Figura 10-4:

La función de transferencia del circuito de la Figura 10-4 es:nullAl comparar con la Figura 10-3:nullLa función de transferencia directa del compensador mostrado en la Figura 10-3 es:nulllo cual muestra que el control PD equivale a añadir un cero simple en s=-Kp/Kd a la función de transferencia directa. El efecto de control PD sobre la respuesta transitoria de un sistema de control se puede investigar al referirse a la respuesta en tiempo del sistema como se muestra en la Figura 10-5:

Se supone que la respuesta al escalón unitario de un sistema estable con el control proporcional es solamente como la que se presenta en la Figura 10-5(a). Se observa un sobrepaso máximo relativamente grande y un poco oscilatorio. La señal de error e(t) correspondiente, que es la diferencia entre la entrada r(t) escalón unitario y la salida y(t), y la derivada de dicho error en el tiempo, se muestran en las Figuras (b) y (c) respectivamente.

Durante el intervalo 0<t<t1, la señal de error es positiva, el sobrepaso es grande y se observa gran oscilación en la salida debido a la falta de amortiguamiento en este período. Durante el intervalo t1<t<t2, la señal de error es negativa, la salida se invierte y tiene un sobrepaso negativo. Este comportamiento se alterna sucesivamente hasta que la amplitud del error se reduce con cada oscilación, y la salida se establece eventualmente en su valor final. Se observa que el controlador PD puede añadir amortiguamiento a un sistema y reduce el sobrepaso máximo, pero no afecta el estado estable directamente.

Ejemplo. 

Para apreciar mejor el efecto del controlador PD, veamos el siguiente ejemplo. Supongamos que tenemos el sistema de la Figura 7-23.

null

La función de transferencia directa G(s) de este sistema viene dada por la siguiente expresión:null

Donde K es la constante del preamplificador.

Las especificaciones de diseño para este sistema son las siguientes:

nullDonde:

  • ess: Error en estado estable debido a una entrada de rampa unitaria
  • Mp: Sobrepaso máximo
  • Tr: Tiempo de levantamiento
  • Ts: Tiempo de asentamiento
  1. Selección del valor de K

Lo primero que vamos a hacer es hallar K para cumplir con el primer requerimiento de diseño, error en estado estable ess debido a una entrada rampa:

(Para repasar el concepto de error en estado estable ver Error en estado estable de un sistema de control)

1.a Hallar la constante de velocidad Kv porque es la relacionada a una entrada rampa:

null

1.b Hallar ess en función de K:

null

1.c Hallar para ess=0.000433:

null

Con este valor de K, la función de transferencia directa G(s) es:

null

2. Cálculo de sobrepaso

Veamos ahora como queda el sobrepaso para el valor de K obtenido.

(Para un repaso del concepto de sobrepaso y la respuesta transitoria ver Respuesta Transitoria de un Sistema de Control)

2.a La función de transferencia de lazo cerrado Gce(s) es:

2.b Hallamos a partir de aquí el factor de amortiguamiento relativo ζ y la frecuencia natural del sistema ωn.

2.c Con estos valores, hallamos el sobrepaso máximo Mp:

En porcentaje:

Este valor supera la exigencia de la especificación, por lo que se considera insertar un controlador PD en la trayectoria directa del sistema con el fin de mejorar el amortiguamiento y ajustar el sobrepaso máximo a la especificación de diseño exigida, manteniendo sin embargo el error en estado estable en 0.000433.

3. Diseño en el dominio del tiempo del controlador PD

Añadiendo el controlador Gc(s) de la Figura 10-3 a la trayectoria directa del sistema aeronáutico, y asignando K=185.4503, la función de transferencia directa G(s) del sistema de control de posición de la aeronave es:

Mientras, la función de transferencia a lazo cerrado Gce(s) es:

Esta última ecuación muestra los efectos del controlador PD sobre la función de transferencia de lazo cerrado del sistema al cual se aplica:

  1. Añadir un cero en s=-Kp/Kd
  2. Incrementar el “término asociado al amortiguamiento”, el cual es el coeficiente de s en el denominador de Gce(s). Es decir, de 361.2 hasta 361.2 + 834526.56Kd

3.a Selección de Kp

Para asegurarnos de que se mantenga el error en estado estable para una entrada rampa de acuerdo con las especificaciones, evaluamos dicho error y seleccionamos un valor para Kp:

Al elegir Kp igual a uno, mantenemos el mismo valor para Kv que se tenía antes de añadir el controlador. Es decir, mantenemos el valor del error en estado estable para entrada rampa tal como lo exige la especificación de diseño. Entonces:null3.b Selección de Kd

De acuerdo con la ecuación de sobrepaso máximo:

El sobrepaso máximo depende del factor de amortiguamiento relativo ζ. La ecuación característica del sistema es:

null

Donde:

null

Deducimos la expresión para el factor de amortiguamiento relativo ζ:

null

Este resultado muestra claramente el efecto positivo de Kd sobre el amortiguamiento. Sin embargo, se debe resaltar el hecho de que la función de transferencia directa G(s) ya no representa un sistema prototipo de segundo orden, por lo que la respuesta transitoria también se verá afectada por el cero en s=-Kp/Kd.

Aplicaremos ahora el método del lugar geométrico de la raíces a la ecuación característica para examinar el efecto de variar Kd, mientras se mantiene constante el valor de Kp=1.

(Para un repaso ver El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 1era. parte. El lugar geométrico de las raíces con Matlab)

Si deseamos obtener un Mp=5% tal y como se pide en las especificaciones de diseño, eso significa obtener un factor de amortiguamiento relativo igual a lo siguiente:null

null

La ecuación característica del sistema y su forma 1+G(s)H(s) son:null

Utilizando el siguiente comando en Matlab obtenemos el lugar geométrico de las raíces para G(s)H(s):

>> s=tf(‘s’)

>> sys=(834526.56*s)/(s^2+361.2*s+834526.56)

>> rlocus(sys)

null

La gráfica siguiente muestra como mejora el factor de amortiguamiento relativo ζ a medida que aumenta la ganancia Kd:

null

Mientras, en la gráfica siguiente se muestra que para lograr un factor de amortiguamiento relativo ζ=0.69 o mejor que ese, lo cual significa un sobrepaso menor de 5% como se especifica, es necesario tener una ganancia mínima Kd= 0.00108:

null

Sin embargo, antes de seleccionar un valor definitivo para Kd debemos observar el cumplimiento de los otros requerimientos de diseño.

3.c Evaluación de Tr y Ts según Kd y Kp calculados.

Analizamos a continuación el valor del tiempo de levantamiento Tr para el valor de ζ=0.69 , Kd= 0.00108 y Kp= 1,  utilizando la función de transferencia a lazo cerrado del sistema Gce(s)  y el gráfico de respuesta a la entrada escalón generado por el siguiente comando en Matlab:

>> s=tf(‘s’)

>>sys=(834526.56*(1+0.00108*s))/(s^2+(361.2+834526.56*0.00108)*s+834526.56)

sys =     (901.3 s + 8.345e05) / (s^2 + 1262 s + 8.345e05)

> step(sys)

null

Utilizando la gráfica para la salida C(t) del sistema a una entrada escalón para un valor determinado del factor de amortiguamiento relativo (ζ=0.69). Para hallar Tr, restamos los tiempos para los cuáles C(t)=0.9 C(t)=0.1:

null

La gráfica anterior nos permite determinar el valor de Tr para un valor de ζ=0.69 de la siguiente manera:

Podemos ver que este valor cumple con el requerimiento de que Tr≤0.005 s. Veamos ahora que pasa con Ts. Utilizando el criterio del 2% podemos calcular Ts mediante la siguiente fórmula:null

Así vemos que el factor de amortiguamiento ζ=0.69 genera un Ts que no cumple con la condición de un Ts menor o igual a 0.005 s. Sin embargo, aumentando Kd mejoramos ζ logrando satisfacer dicha condición. Para ser más específicos, despejamos ζ a partir del valor máximo aceptado para Ts:

null

Utilizamos nuevamente el lugar geométrico de las raíces para determinar el valor de Kd que se corresponde con el de ζ=0.8757:

null

Si el valor de Kd=0.00148 y mantenemos el valor de Kp=1, la función de transferencia directa es:null

Mientras, la función de transferencia a lazo cerrado del sistema en estudio es la siguiente:null

Para esta función de transferencia revisamos los valores de sobrepaso Mp y tiempo de levantamiento Tr para asegurarnos que cumplen con las especificaciones de diseño:null

null

null

Por tanto, el valor de Kd debe tener un valor mínimo de:

Y nuestro controlador PD puede tener entonces la siguiente función de transferencia:

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SIGUIENTE: PID – Diseño con el controlador PI (Proporcional-Integral)

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Control System Analysis

Example 2 – Linearization of a Magnetic Levitation (MAGLEV) system – Sphere.

The magnetic suspension system of a sphere is shown in Figure 1.

The objective of the system is to control the position of the steel sphere by adjusting the current in the electromagnet through the input voltage e(t). The dynamics of the system is represented by the following differential equations:
Where:

It is requested to linearize the system around its equilibrium point.

Solutión

Figure 1 shows that the metallic ball is subject to two forces: Fem and G; that is, the electromagnetic force and gravity. From the dynamics of the systems we focus on the equation that relates both forces by Newton’s law:

This equation is non-linear and it is where it will be necessary to apply the linearization process. Writing this equation in another way we can see that the forces acting on the sphere have opposite sign, which means that they act in opposite directions:

Where:

It is logical to think that both forces are equal at the point of equilibrium, with coordinate xo, when the ball levitates and remains immobile. Since the displacement of the ball at this point remains constant, the speed and acceleration of the ball are equal to zero, so we know that:

Therefore, at the point of equilibrium:

Where:

Returning to the dynamics of the system, only one of the equations is non-linear:

To linearize this differential equation, we proceed as we have seen in: Linearization of non-linear systems

The excursion around the equilibrium point is represented by:

From where:

We write equation 1 again substituting its terms for those found for the equilibrium point:

Applying derivative law, taking into account that xo is a constant:

To linearize the electromagnetic force at the equilibrium point, we apply the following Taylor series:

Then:

Where:

Substituting these last results in equation 3 we obtain:

We now substitute this result in equation 2:

And so we achieve the goal of representing the nonlinear system by the following linear differential equations:

Note: The second equation (e (t) = …) can maintain its original form because it is linear, it was only necessary to change the independent variable i for that representing the excursion.

Source: Modelling and simulation of a magnetic levitation system, Valer Dolga, Lia Dolga, 2007.

PREVIOUS: Example 1 – Linearization of non-linear systems

Written by: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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