Obtener la representación en espacio de estados de y(t) a partir de la función de transferencia Y(s)/U(s):
HallaPara obtener la representación en espacios de estados del sistema utilizamos la expresión para Y(s)/U(s) de la siguiente manera:
Representamos este sistema mediante el siguiente diagrama de bloques:
Dónde:
Al aplicar la antitransformada de Laplace obtenemos:
Asignamos las siguientes variables de estado:
Sustituimos:
Además vemos que:
De esta manera, la primera parte de la representación en espacios de estados del sistema es:
Para determinar el resto de la representación tomamos en cuenta que:
Al aplicar la antitransformada de Laplace obtenemos que:
Al sustituir las variables de estado ya definidas obtenemos que:
Por lo tanto, la salida y(t) a partir del espacio de estados es:
2. Graficar y(t) en Matlab y explicar a partir de la gráfica la estabilidad del sistema.
Para graficar y(t) para una entrada escalón unitario utilizamos la función de transferencia y el siguiente comando en Matlab:
>> sys=tf([1 3 7],[1 6 9 4]);
>> step(sys)
Así obtenemos:
En la gráfica anterior podemos ver claramente que el estado final del sistema es estable, ya que el valor de la salida y(t) se estabiliza en:
El valor final, o valor en estado estable, para y(t), y el tiempo de establecimiento en t=5.76 s, se pueden comprobar en la gráfica siguiente:
Además se le puede preguntar a la cónsola de Matlab si el sistema es estable mediante el siguiente comando (el número 1 significa verdadero):
>> isstable(sys)
ans = 1
SIGUIENTE:
ADEMÁS:
- La Transformada de Laplace
- Transformada de Laplace del Pulso Rectangular
- La Transformada Z
- La antitransformada de Laplace
- Ejemplo de antitransformada de Laplace
- Ejemplo 1: Transformada de Laplace de una función exponencial – Matlab
- La Función de Transferencia
- La respuesta al impulso, la salida y la integral de convolución de un sist. LIT
- Convolución de señales discretas – Sumatoria de convolución
- Convolución en el tiempo continuo – Ejemplos
- Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab
- Método gráfico de convolución de señales continuas
- Sistemas lineales e invariantes en el tiempo
Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch
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Respuesta:
2. Hallar la función de transferencia θL(s) / Ei(s) del Sistema Motor-Carga mostrado en la Figura 2.
3. 
5. Hallar la función de transferencia θL(s) / θr(s) del Sistema Motor-Carga mostrado en la Figura 4.
6. 
7. Hallar
Considerar bm=5, bL=800 N-m-s/rad, Jm=1, JL=400 Kg-m2.
8. 
10. 
11. 
Contacto a través de:
2. Variables de estado
Definición:
Debemos hallar la expresión en términos de las variables de estado para 
Ello lo podemos lograr utilizando las ecuaciones del sistema:
Despejamos 
:
Utilizando la definición de variables de estado:
Igualmente despejamos 
:
Utilizando la definición de variables de estado:
Si la salida del sistema es x2(t), y la entrada es f(t), utilizando las ecuaciones (1), (2) (3) y (4), la representación matricial del sistema es:
3. Función de Transferencia
La representación matricial del sistema tiene la forma:
Dónde:
De la teoría de sistemas de control se extrae que:
En este caso:
Donde I es la matriz identidad y s es la variable compleja utilizada en la transformada de Laplace.
Buscando ayuda en Matlab:
>> s=sym(‘s’);
…..
>> k3=sym(‘k3’) // declarar todas las variables
>> sIA= [s -1 0 0;(k1+k2)/m1 s+(fv1+fv3)/m1 -k2/m1 -fv3/m1;0 0 s -1;-k2/m2 -fv3/m2 (k2+k3)/m2 s+(fv2+fv3)/m2]
>> C=[0 0 1 0]
>> B= [0;1/m1;0;0]
>> V=(sI-A)^-1
>> G=C*V*B
G = (k2 + fv3*s)/(k1*k2 + k1*k3 + k2*k3 + fv1*m2*s^3 + fv2*m1*s^3 + fv3*m1*s^3 + fv3*m2*s^3 + k1*m2*s^2 + k2*m1*s^2 + k2*m2*s^2 + k3*m1*s^2 + m1*m2*s^4 + fv1*k2*s + fv2*k1*s + fv1*k3*s + fv2*k2*s + fv3*k1*s + fv3*k3*s + fv1*fv2*s^2 + fv1*fv3*s^2 + fv2*fv3*s^2)
Dónde:
Definimos el determinante como:
Por lo tanto:
Para revisar la teoría sobre Variables de Estado ver: 
El diagrama de bloques para representar esta operación es:
En cuanto a las variables de estado definidas en este ejercicio, el diagrama de bloques anterior es equivalente a:
Luego, deducimos que:
Dónde m1 es la masa del punto 1 donde se concentra la fuerza del remolque, por ello se considera de masa=0. De allí obtenemos la ecuación (1) del sistema:
Por otra parte:
Dónde m es la masa del remolque. De aquí obtenemos la ecuación (2) del sistema:
Se han formulado las ecuaciones en este orden con el fin de facilitar la determinación de las variables de estado y el arreglo matricial que permita encontrar rápidamente la función de transferencia del sistema. Para mayor información teórica sobre este tema ver: 
El siguiente paso consiste en encontrar 
en función de las variables de estado definidas:
Utilizamos las ecuaciones (1) y (2) para sustituir, despejar y completar estas últimas relaciones:
Si la salida del sistema es x2(t), la entrada es f(t), y debemos obtener la función de transferencia X2(s)/F(s), lo más práctico es utilizar dx2(t)/dt como salida (ya que la tenemos de una vez despejada en la definición de variables de estado) y luego despejar X2(s). Es decir, calculamos la velocidad y luego integramos para hallar el desplazamiento, aprovechando el hecho de que el resultado que obtendremos estará expresado en el dominio de la frecuencia, y en ese caso la integración es una simple operación algebraica, tal como lo muestra la siguiente figura:
3. Transformar la Representación Matricial en Función de Transferencia
La anterior representación matricial del sistema tiene la forma:
Dónde:
De la teoría de sistemas de control se extrae que:
Donde I es la matriz identidad y s es la variable compleja utilizada en la transformada de Laplace. Entonces:
Buscando ayuda en Matlab:
>> s=sym(‘s’)
>>Kh=sym(‘Kh’)
…… // declarar todas las variables
>> sIA= [s+(Kh/Bh) 0;0 s+(Bt/m)]
>> C=[0 1]
>> B= [1/Bh;1/m]
>> V=(sIA)^-1
>> G=C*V*B
G = 1/(Bt + m*s)
Por tanto:
Se confirma que:
Para revisar la teoría sobre Variables de Estado ver: 
en la ecuación anterior.
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