Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

Análisis fasorial de sistemas eléctricos de corriente alterna (CA) – Nodos y Mallas

En este artículo vamos a transformar circuitos eléctricos típicos al dominio fasorial (frecuencia) y vamos a resolver problemas utilizando las técnicas de Kirchhoff  (Análisis de Mallas y Nodos).

Análisis de Mallas (Análisis de Lazo)

Recordando La Ley de Voltaje de Kirchhoff (LVK), la misma establece que la suma algebraica de las elevaciones y caídas de potencial alrededor de un lazo (o trayectoria) cerrado es cero. Un lazo cerrado es cualquier trayectoria continua que sale de un punto en una dirección y regresa al mismo punto desde otra dirección sin abandonar el circuito. En forma simbólica:

De manera alternativa, la LVK establece que el voltaje aplicado de un circuito en serie equivale a la suma de las caídas de voltaje en los elementos en serie.

La LVK es la base del análisis de malla.

  1. Determine la corriente Io en el circuito de la Figura 1.
Figura 1.

Claramente tenemos tres mallas. Aplicamos LVK de la siguiente manera:

Malla 1: se corresponde con aquella asignada con la corriente I1. Aplicando Kirchhoff a la malla 1 obtenemos la siguiente ecuación:

La corriente I1 atraviesa tres impedancias, mientras que I2 e I3 atraviesan solo una impedancia, desde el punto de vista de la malla 1.

De acuerdo con Kirchhoff, la caída de voltaje a través de las impedancias que atraviesa la corriente I1 se consideran de signo contrario a aquellas caídas de voltaje que atraviesan otras corriente en sentido contrario. Fíjese por ejemplo que en la impedancia –j2 la corriente I1 va hacia abajo, mientras que la corriente I2 va hacia arriba. Es por ello que la caída de voltaje determinada por el producto –j2* I1 tiene signo positivo en la ecuación (1) mientras que la caída de voltaje determinada por el producto –j2* I2 tiene signo negativo en la ecuación (1). Fíjese que si cambiamos los signos de la ecuación (1), la ecuación es igualmente válida:

Malla 2: se corresponde con aquella asignada con la corriente I2. El mismo criterio que para la malla 1 obtenemos la siguiente ecuación:

Malla 3: se corresponde con aquella asignada con la corriente I3. En este caso, la corriente I3 tiene un valor constante, lo que reduce el número de incógnitas que tenemos en el sistema. Es decir, si:

Entonces, sustituyendo en la ecuaciones (1) y (2), obtenemos que:

Simplificando:

Expresado en términos matriciales:

En vista de que nuestro problema consiste en determinar el valor para Io, y que según el diagrama de la Figura 1:

Resolvemos la ecuación (3). Primero hallamos el determinante de la matriz principal:

Luego resolvemos la ecuación (3) para I2:  

De esta manera:

Por tanto:

Análisis de Nodos 

La Ley de Corriente de Kirchhoff (LCK), establece que la suma algebraica de las corrientes que entran y salen de un área, sistema o unión, es cero.

De manera alternativa, la LCK establece que la suma de las corrientes que entran a un área, sistema o unión, debe ser igual a la suma de las corrientes que salen de dicha área, sistema o unión. En forma simbólica:

La LCK es la base del análisis de nodos.

2. Hallar Ix en el circuito de la Figura 2.

Figura 2.

 

Como primer paso debemos transformar los valores al dominio de la frecuencia:

Luego de la transformación, la Figura 3 muestra el circuito equivalente y los nodos que serán considerados para el análisis nodal:

Figura 3.

 

Nodo 1: se corresponde con aquel asignado con el voltaje V1. Aplicando la LCK al nodo 1 obtenemos la siguiente ecuación:

Es decir, las corrientes que entran a un nodo tienen el signo contrario al de las corrientes que salen.

Simplificando la ecuación anterior:

Nodo 2: se corresponde con aquel asignado con el voltaje V2. Aplicando la LCK al nodo 2 obtenemos la siguiente ecuación:

Sabemos además en el nodo 1 que:

                               

Sustituyendo esta última relación en la ecuación (5) obtenemos:

Simplificando, obtenemos que:

Con las ecuaciones (4) y (6) obtenemos la representación matricial del sistema:

Ya que el problema consiste en hallar Ix, podemos resolver la ecuación (7) para V1 como sigue:

Luego resolvemos la ecuación (7) para V1:

De esta manera:

Por tanto:

Fuentes:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta

 

Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica, Sin categoría

Ejercicio de cálculo de corriente y voltaje mediante fasores.

Mediante este ejercicio podremos ver la gran ventaja que ofrece trabajar con fasores para hallar voltajes y corrientes en un circuito eléctrico. En otras palabras, la ventaja de trabajar en el dominio de la frecuencia en vez de trabajar en el dominio del tiempo.

Hallar eo(t) e i(t) en el circuito de la Figura 1 sabiendo que R=5 Ω y C=0.1 F:

Figura 1. Circuito eléctrico de corriente alterna (CA).

Respuesta:

Colocamos la fuente de alimentación como referencia y la expresamos en forma fasorial:

La impedancia Z es:

Con ambas expresiones podemos determinar la corriente i(t) en forma fasorial como sigue:

Como se trata de una división, lo más práctico es tener ambas ecuaciones (voltaje e impedancia) en su forma polar. Por tanto:

De esta manera:

Que en su forma rectangular es:

Para hallar eo(t)  por su parte, en forma fasorial, utilizamos la siguiente relación:

Aplicando el mismo procedimiento que con la corriente I, podemos expresar el voltaje Eo en su forma rectangular como:

Una vez que tenemos estos resultados, podemos expresarlos fácilmente en el dominio del tiempo:

Como era de esperarse en un circuito capacitivo, la corriente adelanta al voltaje.

Para graficar estas señales en Matlab debemos expresar los ángulos en radianes:

null

Así, tenemos que:

null

Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab para eo(t):

>> t=0:0.01:10;

>> eo=4.48*cos(4*t-0.7048);

>> plot(t,x)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’

null
Figura 4. Simulación en Matlab de eo(t)=4.48cos(4t -0.7048)

Ambas señales:

>> t=0:0.01:10;

>> eo=4.48*cos(4*t-0.7048);

>> i=1.79*cos(4*t+0.4637);

>> plot(t,x,t,y)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’)

Figura 5. Simulación en Matlab de i(t)eo(t). 

Para repasar la teoría en esta materia recomiendo ver:

Fuentes:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
  3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta

 

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Análisis de circuitos eléctricos, Ingeniería Eléctrica

La impedancia y la admitancia de un circuito eléctrico – análisis fasorial

La impedancia Z de un circuito es la razón entre la tensión fasorial V y la corriente fasorial I, medida en ohms (Ω). Es decir:

La admitancia Y es el inverso de la impedancia, medida en siemens (S):

A veces resulta más conveniente trabajar con la admitancia en vez de trabajar con la impedancia.

La impedancia representa la oposición que ejerce un circuito eléctrico al paso de la corriente senoidal. La admitancia por su parte, representa lo contrario, la falta de oposición al paso de la corriente senoidal.

De lo estudiado en Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico, podemos extraer las expresiones para la impedancia en una resistencia R, un inductor L o un capacitor C, particulares, como sigue:

Resumiendo mediante un cuadro:

Figura 1. Impedancia t admitancia para los elementos pasivos de un circuito eléctrico.

Si bien, tanto la impedancia como la admitancia se pueden expresar como cantidades complejas en forma rectangular o polar, es necesario resaltar que la impedancia no es un fasor, porque no varía senoidalmente.

En la Figura (1) resaltan dos casos extremos, cuando ω=0  y cuando ω=∞:

Es decir, cuando  (circuito CD), un inductor es lo mismo que un circuito cerrado, por lo tanto se puede reemplazar por un cable que conduce corriente libremente, mientras que un capacitor representa un circuito abierto que se puede reemplazar por un cable interrumpido (cortado), por el que no puede pasar la corriente. Mientras que, cuando  (circuito de alta frecuencia) , sucede totalmente lo contrario. Estas posibilidades se muestran en la siguiente Figura (2):

Figura 2. Circuitos equivalentes de CD y alta frecuencia para a) el inductor; b) el capacitor.
La impedancia y la admitancia como cantidades complejas

En sus formas rectangular y polar, la impedancia Z se puede expresar como sigue:

Dónde:

Por su parte, la admitancia Y se puede expresar como sigue:

Dónde:

Algebraicamente se podría comprobar que:

Dónde:

Aplicación – ejemplo

Mediante este ejercicio podremos ver la gran ventaja que ofrece trabajar con fasores para hallar voltajes y corrientes en un circuito eléctrico. En otras palabras, la ventaja de trabajar en el dominio de la frecuencia en vez de trabajar en el dominio del tiempo.

Hallar eo(t) e i(t) en el circuito de la Figura 3 sabiendo que R=5 Ω y C=0.1 F:

Figura 3. Ejercicio de aplicación.

Respuesta:

Colocamos la fuente de alimentación como referencia y la expresamos en forma fasorial:

La impedancia Z es:

Con ambas expresiones podemos determinar la corriente i(t) en forma fasorial como sigue:

Como se trata de una división, lo más práctico es tener ambas ecuaciones (voltaje e impedancia) en su forma polar. Por tanto:

De esta manera:

Que en su forma rectangular es:

Para hallar eo(t)  por su parte, en forma fasorial, utilizamos la siguiente relación:

Aplicando el mismo procedimiento que con la corriente I, podemos expresar el voltaje Eo en su forma rectangular como:

Una vez que tenemos estos resultados, podemos expresarlos fácilmente en el dominio del tiempo:

Como era de esperarse en un circuito capacitivo, la corriente adelanta al voltaje.

Para graficar estas señales en Matlab debemos expresar los ángulos en radianes:

null

Así, tenemos que:

null

Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab para eo(t):

>> t=0:0.01:10;

>> eo=4.48*cos(4*t-0.7048);

>> plot(t,x)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’

null
Figura 4. Simulación en Matlab de eo(t)=4.48cos(4t -0.7048)

Ambas señales:

>> t=0:0.01:10;

>> eo=4.48*cos(4*t-0.7048);

>> i=1.79*cos(4*t+0.4637);

>> plot(t,x,t,y)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’)

Figura 5. Simulación en Matlab de i(t)eo(t). 

ANTERIOR: Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico

Fuentes:

  1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
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