Convolución de señales en tiempo discreto – Matlab

La salida y_[n] de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI-system) puede ser determinada mediante la sumatoria siguiente:

La ecuación anterior se denomina Convolución entre las señales discretas x_[n] y h_[n], donde x_[n] es la entrada al sistema y h_[n] es la respuesta al impulso del sistema.

Por convención, la convolución entre x_[n] y h_[n] se expresa mediante al siguiente notación:

Ejemplo 1. 

El pulso rectangular x_[n] definido por la siguiente ecuación es la entrada a un sistema LTI con respuesta l impulso h_[n]:

Determine la salida y_[n] del sistema.

Solucion:

En el link Graficar el escalón unitario hemos diseñado en Matlab la función stepseq para graficar , o cualquier combinación tal como la señal x_[n] del ejemplo 1. El siguiente Script permite graficar x_[n].

n=[0:40];
x=stepseq(0,0,40)-stepseq(10,0,40);
stem(n,x)
xlabel(‘n’); ylabel(‘x[n]’)

Figure 1. Input sequence x[n], example 1.

Por su parte, el siguiente Script permite graficar h_[n].

n=[0:40];
h=(0.9).^n;
stem(n,h)
xlabel(‘n’); ylabel(‘h[n]’)

Figure 2. Impulse response h[n] for system in example 1.

Ahora, utilizamos la función conv del toolbox de Matlab para determinar y_[n]:

y=conv(x,h);
n=[0:80];
stem(n,y);
xlabel(‘n’); ylabel(‘y[n]’)

Figure 3. Output sequence y[n]=x[n]*h[n] for example 1.

Otra aproximación es utilizando la función filter (ver Resolver ecuaciones diferenciales en tiempo discreto):

n=[0:40];
x=stepseq(0,0,40)-stepseq(10,0,40);
h=(0.9).^n;
y=filter(h,1,x);
stem(n,y)
xlabel(‘n’); ylabel(‘y[n]’)
grid

Este comando genera:

Figure 4. Output sequence y[n]=x[n]*h[n] for example 1.

Hay una diferencia en los resultados de estas dos implementaciones que debe tenerse en cuenta. Como puede ver en la Figura 3, la secuencia de salida de la función conv(x, h) tiene una longitud mayor que las secuencias x[n] y h[n]. Por otro lado, la secuencia de salida de la función filter(h, 1, x) en la Figura 4 tiene exactamente la misma longitud que la secuencia de entrada x[n]. En la práctica, se recomienda el uso de la función filter.

Nota: la función filter se ha utilizado para calcular la convolución indirectamente. Eso fue posible debido a que la respuesta al impulso en el ejemplo 1 era una secuencia exponencial de un solo lado (sólo definida pra n>=0), para la cual podríamos determinar una representación en forma de ecuación en diferencias. No todas las respuestas de impulso de longitud infinita se pueden convertir en ecuaciones en diferencias.

Convolución analíticamente

También podemos hacer la convolución entre x_[n] y h_[n] Analíticamente:

Aplicando la ecuación para la convolución obtenemos :

Ahora usamos la expresión para la suma de componentes de una serie geométrica (Serie geométrica):

En consecuencia, la ecuación (1) es equivalente a:

La ecuación (3) tiene la misma forma que la ecuación (2) excepto por el término u_(n-k) el cual toma diferentes valores dependiendo de los valores que toman n y k. Existen tres posibilidades para u_(n-k) que deben ser evaluadas por separado:

Cas0 1. n<0: Entonces u_(n-k)=0 para 0 ≤k ≤9. Por lo tanto:

Caso 2. En este caso, los valores son distintos de cero y no se superponen. Entonces, en el intervalo 0≤n<9, u_(n-k)=1 para 0≤k≤n. Así:

Aplicando la fórmula de la ecuación (2):

Caso 3. En este caso la respuesta al impulso h_[n] se superpone parcialmente con x_[n]. Así, en el intervalo 9 ≤n, u_(n-k)=1 para 0 ≤k ≤9. En consecuencia:

En el último caso h_[n] se superpone completamente a la entrada x_[n].

Método gráfico de convolución

Para desarrollar la convolución entre dos señales también podemos utilizar un método gráfico, como en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 2

The input signal x_[n] to an LTI system with impulse response h_[n]:

Determine graphically y_[n] through:

Solution:

Sequences x_[k] and h_[n-k], and the convolution of both signals can be seen as follows:

El método de convolución gráfica anterior involucra los siguientes pasos:

1. La respuesta al impulso h_[k] se invierte en el tiempo (es decir, se refleja sobre el origen) para obtener h_[-k]  y posteriormente se desplaza mediante n para formar h_[n-k] = h_[-(k-n)], que es una función de k con parámetro n;
2. Las dos secuencias x_[k] y h_[n-k] se multiplican entre sí para todos los valores de k con n fija en algún valor;
3. El producto x_[k]h_[n-k] se suma sobre todas las k para producir una sola muestra de salida y_[n];
4. Los pasos 1 a 3 se repiten a medida que n varía en el intervalo de –infinito a +infinito para producir la salida completa y_[n].

Ejemplo 3

Convolution Properties.

Otras propiedades de interés son:

Ante una entrada x_[n], la respuesta y_[n] de un sistema LTI es:

Se conoce que la respuesta al impulso h_[n] del sistema:

Determinar x_[n]. Seleccionar la respuesta correcta de las siguientes alternativas:

Respuesta:

Nuestra estrategia será utilizar las siguientes propiedades:

Expresamos la respuesta al impulso en términos de deltas de Dirac desplazados:

Luego, si seleccionamos:

Entonces:

Podríamos demostrar gráficamente que la anterior ecuación coincide con la gráfica para y_[n] dada en el enunciado. Por lo tanto, la opción correcta es la letra a). Vamos a demostrarlo con Matlab.

La respuesta al impulso h_[n] y la opción a) para la entrada x_[n] pueden ser graficadas en Matlab utilizando:

n=[-3:10];
h=stepseq(0,-3,10)-stepseq(4,-3,10);
stem(n,h)
xlabel(‘n’); ylabel(‘h[n]’)

Figure 5. Impulse response h[n] for system in example 3.

n=[-3:10];
x=stepseq(-3,-3,10)-stepseq(1,-3,10);
stem(n,x)
xlabel(‘n’); ylabel(‘x[n]’)

Figure 6. Input signal x[n] for system in example 3.

Ahora, podemos graficar y_[n] utilizando:

n=[-3:10];
h=stepseq(0,-3,10)-stepseq(4,-3,10);
x=stepseq(-3,-3,10)-stepseq(1,-3,10);
x1=stepseq(-2,-3,10)-stepseq(2,-3,10);
x2=stepseq(-1,-3,10)-stepseq(3,-3,10);
x3=stepseq(0,-3,10)-stepseq(4,-3,10);
y=x+x1+x2+x3;
stem(n,y)

Figure 7. Output sequence y[n] for example 3.

El mismo resultado lo hubiésemos obtenido utilizando:

n=[-3:10];;
h=stepseq(0,-3,10)-stepseq(4,-3,10);
x=stepseq(-3,-3,10)-stepseq(1,-3,10);
y=conv(h,x);
n=[0:26];
stem(n,y)
xlabel(‘n’); ylabel(‘y[n]’)

Figure 8. Output sequence y[n]=x[n]*h[n] for example 3.

Fuente:

• Digital Signal Processing Using Matlab, 3erd ed
• Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
• Oppenheim – Señales y Sistemas
• Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

Relacionado:

• Convolución – Problemas resueltos – Catálogo 11
• Convolución de señales discretas – Sumatoria de convolución
• Sumatoria de Convolución
• Ecuaciones diferenciales en tiempo discreto
• Convolución de señales discretas en Matlab
• Convolución en el tiempo continuo – Ejemplos
• Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab
• Método gráfico de convolución de señales continuas
• Autofunciones de sistemas LTI analógicos

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Sumatoria de Convolución – Convolución en tiempo discreto

En general, cualquier señal discreta x_[n] puede ser representada como una combinación lineal de deltas desplazadas. En general se cumple que:

Ejemplo:

Sea la función x_[n] representada por la siguiente gráfica:

La función x_[n] de la gráfica anterior puede ser representada mediante la siguiente sumatoria:

A continuación se observa cada una de las gráficas que se suman para formar x_[n]:

Suma de convolución

En el ejemplo anterior se ve claramente la importancia de las propiedades de muestreo y selección definidas anteriormente para la función impulso unitario (El Impulso Unitario). Su importancia reside en el hecho de que x_[n] se puede representar como una superposición de versiones escaladas de un conjunto muy sencillo de funciones elementales, es decir, de impulsos unitarios δ_[n-k] desplazados. A partir de este simple hecho vamos a presentar ahora uno de los conceptos más importante del análisis de sistemas lineales, la idea de la sumatoria de convolución.

Decíamos antes que cualquier señal discreta x_[n] puede representarse como una combinación lineal de deltas desplazadas:

Supongamos ahora que x_[n] representa toda entrada para un arbitrario Sistema A cuya salida es y_[n]. Recordemos del párrafo anterior que en realidad x_[n] es una suma de versiones escaladas (con peso x_[k]) de impulsos unitarios δ_[n-k] desplazados.

Designemos a h_k[n] como la respuesta del sistema al impulso unitario desplazado δ_[n-k]. Debido a que el sistema es un LTI  (cumple con la propiedad de linealidad y de invarianza en el tiempo) podemos expresar matemáticamente la salida y_[n] del Sistema A como una sumatoria de las respuestas individuales del sistema a cada impulso unitarios δ_[n-k] con peso x_[k]:

Entonces, de acuerdo con la ecuación anterior, si conocemos la respuesta de un sistema lineal al conjunto de impulsos unitarios desplazados, podemos construir la respuesta a cualquier entrada arbitraria. Debido a que δ_[n-k] es la versión desplazada de δ_[n], así h_k[n] es una versión desplazada de su versión en el origen h_0[n]. Por lo tanto:

Por convención científica se obvia el subíndice en h_0[n] y se deja simplemente como h_[n]. De esta manera, la salida y_[n] del Sistema A se puede expresar como:

Este importante resultado se conoce como suma de convolución, y el miembro derecho de la ecuación se conoce como convolución de las secuencias x_[n] y h_[n].

Para la convolución de las secuencias x_[n] y h_[n] se utiliza el signo *. De esta manera, la salida y_[n] del Sistema A se puede expresar como:

Dónde:

La Figura siguiente presenta un resumen de los resultados obtenidos hasta ahora:

ANEXO

Let h_k[n]  be the response of the system to δ_[n-k], an impulse occurring at n=k. Then:

From the principle of superposition in linearity, we can write:

According to equation 2.51, the system response to any input can be expressed in terms of the responses of the system to the sequences δ_[n-k]. If only linearity is imposed, h_k[n] depends on both n and k, in which case the computational usefulness of equation 2.51 is limited. We obtain a more useful result if we impose the additional constraint of time invariance.

The property of time invariance implies that if h_[n] is the response to δ_[n], the response to δ_[n-k] is h_[n-k]. With this additional constraint, equation 2.51 becomes:

As a consequence of equation 2.52, a linear-time invariant system (which we will sometimes abbreviate as LTI) is completely characterized by it impulse response h_[n] in the sense that, given h_[n], it is possible to use equation 2.52 to compute the output y_[n] due to any input x_[n]. Equation 2.52 is commonly called the convolution sum, and is represented by:

Source: Discrete-Time Signal Processing (Alan Oppenheim pp 22-23)

La aplicación de este resultado lo podemos ver gráficamente mediante el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Sean la entrada x_[n] a un sistema y su repuesta al impulso h_[n], tal como se especifica a continuación:

Determinar la salida y_[n]  del sistema.

Respuesta:

Pasos para aplicar la sumatoria de convolución

Repetimos este importante hallazgo, la salida y_[n] de cualquier sistema LTI de tiempo discreto se puede obtener mediante la convolución de la entrada x_[n]  con la respuesta al impulso h_[n]. Es lo que manifiesta el siguiente esquema:

La suma de convolución anterior involucra los siguientes pasos:

1. La respuesta al impulso h_[k] se invierte en el tiempo (es decir, se refleja sobre el origen) para obtener h_[-k]  y posteriormente se desplaza mediante n para formar h_[n-k] = h_[-(k-n)], que es una función de k con parámetro n;
2. Las dos secuencias x_[k] y h_[n-k] se multiplican entre sí para todos los valores de k con n fija en algún valor;
3. El producto x_[k]h_[n-k] se suma sobre todas las k para producir una sola muestra de salida y_[n];
4. Los pasos 1 a 3 se repiten a medida que n varía en el intervalo de –infinito a +infinito para producir la salida completa y_[n].

Ejemplo 1:

La entrada x_[n] y la respuesta al impulso h_[n] de un sistema LTI están dadas por:

Calcule la salida y_[n] mediante:

Respuesta:

Las secuencias para x_[k] y h_[n-k], y el resultado de la multiplicación y posterior suma, se observan a continuación:

Propiedades de la convolución.

Las siguientes propiedades de la suma de convolución son análogas a las de la integral de convolución:

Otras propiedades de interés son:

También la solución a cierto problema se puede determinar de manera analítica, utilizando las propiedades de la convolución señaladas anteriormente. Tal es el caso del siguiente ejemplo.

Ejemplo 2:

Ante una entrada x_[n], la respuesta y_[n] de un sistema LTI es:

Se conoce que la respuesta al impulso h_[n] del sistema:

Determinar x_[n]. Seleccionar la respuesta correcta de las siguientes alternativas:

Respuesta:

Nuestra estrategia será utilizar las siguientes propiedades:

Expresamos la respuesta al impulso en términos de deltas de Dirac desplazados:

Luego, si seleccionamos:

Entonces:

Podríamos demostrar gráficamente que la anterior ecuación coincide con la gráfica para y_[n] dada en el enunciado. Por lo tanto, la opción correcta es la letra a).

Respuesta al escalón.

La respuesta y_[n] al escalón u_[n] de un sistema LTI de tiempo discreto cuya respuesta al impulso es h_[n], se obtiene fácilmente mediante:

Notar que, de acuerdo con la ecuación anterior:

Notar la estrecha relación que tiene este resultado con el hecho demostrado en El Impulso Unitario de que:

Es decir, podemos conocer la respuesta al impulso de un sistema LTI discreto, a partir de su respuesta a la función escalón, mediante:

SIGUIENTE……..Convolución de señales discretas en Matlab

Relacionado:

• Convolución – Problemas resueltos – Catálogo 11
• Convolución de señales discretas – Sumatoria de convolución
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• El Impulso Unitario, Graficar el impulso Unitario con Matlab
• Señales de tiempo discreto – muestreo en matlab

Fuentes:

1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
4. Oppenheim – Señales y Sistemas
5. Señales y sistemas – Shaum

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La respuesta al impulso, la salida y la integral de Convolución de un sistema LIT

Sea T la salida de un sistema LIT (lineal e invariante en el tiempo) continuo en el tiempo, la respuesta al impulso h_(t) de este sistema se define como la salida del sistema a la entrada impulso  (delta de Dirac):

Propiedad de muestreo del impulso

Para comprender la función de la función impulso en el análisis de señales es menester estudiar primero su propiedad de muestreo. Se puede demostrar que cualquier entrada x_(t) se puede representar como:

La ecuación (2) es una de las aplicaciones más importantes de la función impulso. Hace posible representar cualquier función continua x_(t)  en el tiempo como una sucesión continua de impulsos.

De esta manera, la ecuación (2) representa a x_(t)  como la suma (integral) de una serie de impulsos continuos, donde la magnitud de cada impulso es igual al valor de la función en este instante (propiedad de muestreo). Se utiliza entonces la función impulso para muestrear la función x_(t). Además, las propiedades de la función impulso que aparecen en la Tabla 1, serán muy utilizadas en el procesamiento de señales y el análisis de sistemas lineales:

TABLA 1

Respuesta de un sistema a cualquier entrada

Haciendo uso de las ecuaciones (1) y (2), podemos ahora derivar una expresión para la salida de un sistema a cualquier entrada arbitraria. Puesto que el sistema es lineal, la respuesta y_(t) del sistema a cualquier entrada arbitraria x_(t) puede expresarse como:

Ya vimos que la respuesta al impulso se define como:

Sustituyendo este desplazamiento en la ecuación (3) obtenemos que:

La ecuación (4) pone de manifiesto que, por medio de la respuesta al impulso, se puede obtener la salida y_(t) de un sistema para cualquier entrada x_(t). En otras palabras, la respuesta al impulso caracteriza completamente al sistema….De hecho, la función de transferencia del sistema es igual a la transformada de Laplace de la respuesta al impulso..Nota importante: Observe la redundancia de decir que, si x_(t) es un impulso unitario, entonces, para un sistema LIT, y_(t) = h_(t).

La ecuación (4) es conocida como la integral de convolución o la integral de superposición para un sistema LIT en términos de su respuesta al impulso, y también se puede representar simbólicamente como:

Respuesta al impulso a partir de la respuesta al escalón unitario

Nota importante: Existen varios métodos para obtener la respuesta al impulso de un sistema. Por su simplicidad, uno de los que se utiliza con mayor frecuencia es obtener dicha respuesta a partir de la respuesta al escalón unitario u_(t), ya que, como reza la propiedad 4 de la Tabla 1:

Ejemplo:

Supóngase que la respuesta de un sistema al escalón unitario (step), es y_u(t):

Entonces h_(t):

Operación de la integral de convolución

Antes de aplicar la ecuación (4) para obtener la salida de un sistema mediante la integral de convolución, se debe decidir que es más fácil obtener….h_(t-τ) ó x_(t-τ)  . Porque:

Una vez decidido sobre este asunto (supóngase que se decide por la primera opción), la integral de convolución involucra cuatro pasos:

1. La respuesta al impulso h_(τ) se invierte en el tiempo (se refleja en el origen) para obtener h_(-τ). Después se desplaza en t para formar h_(t-τ), la cual es una función de τ  con parámetro t;
2. Las señales x_(τ) y h_(t-τ) se multiplican entre sí para todos los valores de  con la t fija para algún valor;
3. El producto x_(τ)h_(t-τ) se integra sobre todas las τ para producir un único valor de salida y_(t);
4. Se repiten los pasos 1 al 3 a medida que t varía en el intervalo de [-∞,+∞], para producir la salida completa y_(t).

Ejemplo:

1. Las funciones de respuesta al impulso h_(t) y la entrada x_(t) de un sistema, están dadas por:

Determinar:

1. La salida y_(t) por ambos métodos:

Solución:

2. Las funciones de respuesta al impulso h_(t) y la entrada x_(t) de un sistema, están dadas por:

Determinar:

1. La salida y_(t):

Solución:

3. Las funciones de respuesta al impulso h_(t) y la entrada x_(t) de un sistema, están dadas por:

Determinar:

1. La salida y_(t) por métodos analíticos y por método gráfico:

Solución:

Podemos expresar las funciones de la siguiente manera:

Analíticamente:

Gráficamente:

4. Considere un sistema LIT cuya respuesta a la entrada escalón está dada por:

Determinar la salida y_(t) para la siguiente entrada:

Solución:

Podemos expresar x_(t) como:

Puesto que el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la salida y_(t)  se obtiene directamente como:

5. La señal x1(t) de la figura se hace pasar a través de un sistema LTI cuya respuesta al impulso es h(t).

¿Cuál debe ser el valor del parámetro ‘a’ para que el valor máximo de la salida del sistema esté en el instante t=3? Dibuje el resultado de la convolución para dicho valor

Para ver la respuesta en matlab visitar: Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab

6. Para las siguientes respuestas al impulso, determinar la salida.

Fuente:

• Nota 7 Respuesta Impulsiva Sistema Continuo
• Shaum – Señales y Sistemas

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