Control System Analysis, Electromechanical Systems

Solved Example 2 – Electromechanical system transfer function.

Find in generic terms, the transfer function of the unit feedback system shown in Figure P5.52 (b) of which the electromechanical system of Figure P5.52 (a) is a part.

1. System Dynamic

where:

2. Laplace Transform

3. Motor&Load Transfer Function (θm(s)/Ea(s))

4. Direct Transfer Function

For the system:

The open-loop transfer function Ga(s) is:

5. Closed-loop transfer function

The closed-loop transfer function Gc(s) is:

That is to say:

This problem is the first part of one where the transient response is requested so that the overshoot is 20% and the settling time is 2 seconds, see the complete problem in the following link: Example 1 – Transient response of an electromechanical system

Written by Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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Control System Analysis, Electromechanical Systems

Solved Example 1- Electromechanical System Transfer Function

Obtain the mathematical model of the position control system of the figure. Get the block diagram and the ansfer function between the angle of the load and the reference angle θc(s)/θc(s).

null

Data:

null

1. System dynamic

null

2. Laplace Transform

null

3. Block Diagram

null

Simplifying conveniently to obtain a model whose transfer function is known:

null

4. Transfer function of each block of the previous diagram.

Starting from:

nullWe obtain the following:nullThen, using:null

and substituting, we obtain:

null

Substituting the value of the data in the previous equation, we obtain:

null

Simplifying:null

On the other hand, the gain of the amplifier is obtained using:

null

From where:

null

null

Finally, the gear constant is given by the data and is n = 1/10. We then obtain a block diagram with the following transfer functions:

null

5. System Transfer function.

The open-loop transfer function Ga(s) of the system shown in the previous diagram is:

null

From where we can easily obtain the closed-loop transfer function Gc (s), which is what the statement asked, using the unit feedback:

null

NEXT: Example 2 – Electromechanical system transfer function (English)

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Electrical Engineer, Power Electronics

DC Motor Drive – Power Electronic

Introduction

A motor driver is a little current amplifier; the function of motor drivers is to take a low-current control signal and then turn it into a higher-current signal that can drive a motor.

A typical motor drive system is expected to have some of the system blocks indicated in Fig. 27.1. The load may be a conveyor system, a traction system, the rolls of a mill drive, the cutting tool of a numerically controlled machine tool, the compressor of an air conditioner, a ship propulsion system, a control valve for a boiler, a robotic arm, and so on.

null

The power electronic converter block may use diodes, MOSFETS, GTOs, IGBTs, or thyristors. The controllers may consist of several control loops, for regulating voltage, current, torque, flux, speed, position, tension, or other desirable conditions of the load. Each of these may have their limiting features purposely placed in order to protect the motor, the converter, or the load.

DC Motor Drives

Direct-current motors are extensively used in variable-speed drives and position-control systems where good dynamic response and steady-state performance are required. Examples are in robotic drives, printers, machine tools, process rolling mills, paper and textile industries, and many others. Control of a dc motor, especially of the separately excited type, is very straightforward, mainly because of the incorporation of the commutator within the motor. The commutator brush allows the motor-developed torque to be proportional to the armature current if the field current is held constant. Classical control theories are then easily applied to the design of the torque and other control loops of a drive system.

The mechanical commutator limits the maximum applicable voltage to about 1500 Vand the maximum power capacity to a few hundred kilowatts. Series or parallel combinations of more than one motor are used when dc motors are applied in applications that handle larger loads. The maximum armature current and its rate of change are also limited by the commutator.

Small servo-type dc motors normally have permanent magnet excitation for the field, whereas larger size motors tend to have separate field-supply Vf for excitation. The separately excited dc motors represented in Fig. 27.2a have fixed field excitation, and these motors are very easy to control via the armature current that is supplied from a power electronic converter.

Thyristor ac–dc converters with phase angle control are popular for the larger motors, whereas duty-cycle controlled pulse-width modulated switching dc–dc converters are popular for servo motor drives.

The series-excited dc motor has its field circuit in series with the armature circuit as shown in Fig. 27.2b. Such a connection gives high torque at low speed and low torque at high speed, a pseudo-constant-power-like characteristic that may match traction-type loads well.

We recall the block diagram for an armature-controlled DC motor:

null

Converters for dc Drives

Depending on application requirements, the power converter for a dc motor may be chosen from a number of topologies. For example, a half-controlled thyristor converter or a singlequadrant PWM switching converter may be adequate for a drive that does not require controlled deceleration with regenerative braking. On the other hand, a full four-quadrant thyristor or transistor converter for the armature circuit and a two-quadrant converter for the field circuit may be required for a high-performance drive with a wide speed range.

Thyristor

Thyristors are used to construct the first stage of an electric motor drive in order to vary the amplitude of the voltage waveform across the windings of the electrical motor as it is shown in Fig. 3.35.

null

An electronic controller controls the gate current of these thyristors. The rectifier and inverter sections can be thyristor circuits. A controlled rectifier is used in conjunction with a square wave or pulse-width modulated (PWM) voltage source inverter (VSI) to create the speed-torque controller system. Figure 3.36 shows a square-wave or PWM VSI with a controlled rectifier on the input side. The switch block inverter is made of thyristors (usually GTOs) for high power. Lowpower motor controllers often use IGBT inverters.

PWM

null

One of the basic functions in Power Electronic is Switching. Based on Figure 1.15, Switching Functions can be characterized completely with three parameters:

  1. The duty ratio D is the fraction of time during which the switch is on. For control purposes the pulse width can be adjusted to achieve a desired result. We can term this adjustment process as pulse-width modulation (PWM), perhaps the most important process for implementing control in power converters.
  2. The frequency fswitch =1/T (with radian frequency ω=2πfswitch) is most often constant, although not in all applications. For control purposes, frequency can be adjusted. This is unusual in power converters because the operating frequencies are often dictated by the application.
  3. The time delay t0 or phase Ø0=ωt0: Rectifiers often make use of phase control to provide a range of adjustment. A few specialized ac-ac converter applications use phase modulation

 

Source:

  1. Libro Rashid – Power Electronic Handbook

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Ingeniería Eléctrica, Power Electronics

Driver de motor DC – Electrónica de potencia

Introducción

Un controlador (Driver) de motor es un pequeño amplificador de corriente; la función de los Drivers de motor es tomar una señal de control de baja corriente y luego convertirla en una señal de corriente más alta que pueda conducir un motor.

Un Driver es un sistema. Se espera que un Driver de motor típico, tenga un diagrama de bloques semejante al de la Figura 27.1. La carga puede ser un sistema de transporte, un sistema de tracción, los rodillos de accionamiento de un molino, la herramienta de corte de una máquina o herramienta numéricamente controlada, el compresor de un acondicionador de aire, un sistema de propulsión de barcos, una válvula de control para una caldera, el brazo de un robot, y así sucesivamente.

null

El bloque convertidor electrónico de potencia puede usar diodos, MOSFETS, GTO, IGBT o tiristores. Los controladores pueden constar de varios bucles de control para regular el voltaje, la corriente, el par, el flujo, la velocidad, la posición, la tensión u otras condiciones deseables de la carga. Cada uno de estos puede tener sus características limitantes intencionalmente colocados para proteger el motor, el convertidor o la carga.

DC Motor Drivers

Los motores de corriente continua (Motor DC) se utilizan ampliamente en sistemas de velocidad variable y sistemas de control de posición en los que se requiere una buena respuesta transitoria y un buen rendimiento en estado estable. Los ejemplos se encuentran en unidades robóticas, impresoras, máquinas-herramientas, laminadoras de procesos, industrias del papel y textiles, y muchos otros. El control de un motor de corriente continua es sencillo, principalmente debido a la incorporación del conmutador dentro del motor. El cepillo del conmutador permite que el par desarrollado por el motor sea proporcional a la corriente del inducido si la corriente de campo se mantiene constante. Por esto último, las teorías clásicas de control se aplican fácilmente al diseño del par.

El conmutador mecánico limita el voltaje máximo aplicable a aproximadamente 1500 vatios y la capacidad de potencia máxima a unos pocos cientos de kilovatios. Se utilizan combinaciones en serie o en paralelo de más de un motor cuando los motores DC se utilizan en aplicaciones que manejan cargas más grandes. La corriente de armadura máxima y su tasa de cambio también están limitados por el conmutador.

Los pequeños motores DC de tipo servo normalmente tienen excitación por imanes permanentes para el campo, mientras que los motores de mayor tamaño tienden a tener un suministro de campo por separado para la excitación. Los motores DC excitados por separado representados en la Figura 27.2(a) tienen excitación de campo fijo (corriente de campo if constante),  son muy fáciles de controlar a través de la corriente de armadura ia que se suministra desde un convertidor electrónico de potencia.

Los convertidores Thyristor de ac-dc con control de ángulo de fase son populares para los motores más grandes, mientras que los conmutadores de voltaje On-Off, también llamados convertidores dc-dc de conmutación modulada de ancho de pulso (PWM – Pulse Width Modulation por sus siglas en Inglés ) son populares para las unidades de servomotor.

El motor de corriente continua excitado en serie tiene su circuito de campo en serie con el circuito de armadura, como se muestra en la figura 27.2(b). Dicha conexión proporciona un alto par a baja velocidad y bajo par a alta velocidad, una característica que puede combinar bien con las cargas de tipo de tracción.

Es buen momento para recordar el diagrama de bloques típico para un motor DC controlado por armadura (para un repaso ver Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC):

null

Cuando un sistema Driver controla la corriente de armadura a través de un convertidor electrónico de potencia, lo que realmente controla es el nivel de la relación velocidad-torque del motor, la cual se muestra en la Figura 27.3(a):

null

Convertidores para DC Drives (Power Electronic Converters)

Dependiendo de los requisitos de la aplicación, el convertidor de potencia para un motor de corriente continua (que en el diagrama de bloques de la Figura 27.1 está identificado como Power Electronic Converter) puede elegirse entre una serie de topologías. Por ejemplo, un convertidor de tiristor semicontrolado o un convertidor de conmutación PWM de un solo componente puede ser adecuado para un drive que no requiere desaceleración controlada con frenado regenerativo. Por otro lado, un convertidor de tiristor o transistor de cuatro cuadrantes para el circuito de armadura y un convertidor de dos cuadrantes para el circuito de campo pueden ser necesarios para un variador de alto rendimiento con un amplio rango de velocidad.

Convertidor de tiristor

Los tiristores se utilizan para construir la primera etapa de un Driver para motor eléctrico con el fin de variar la amplitud de la forma de onda del voltaje  (Va en la Figura 27.2(a)) a través de los devanados del motor, como se muestra en la figura 3.35.

null

Las secciones del rectificador y del inversor pueden ser circuitos de tiristores. Se usa un rectificador controlado junto con un inversor de fuente de voltaje (VSI – Voltage Source Inverter) modulado por onda cuadrada o ancho de pulso (PWM) para crear el sistema controlador de velocidad-par. La Figura 3.36 muestra una onda cuadrada o PWM VSI con un rectificador controlado en el lado de entrada. 

El interruptor del bloque inversor está hecho de tiristores (generalmente GTO Gate Turn-Off Thyristor) para alta potencia. Los controladores de motores de baja potencia suelen utilizar inversores IGBT (Insulated-Gate Bipolar Transistor).

Pulse-Width Modulation

null

Una de las funciones básicas de la electrónica de potencia es la conmutación, el interruptor que apaga-enciende, conocido como Switcher. Podríamos entonces hablar de la Función Switching. Basándonos en la Figura 1.15, las funciones de Switching se pueden caracterizar por completo con tres parámetros:

  1. La relación de trabajo D (Duty Ratio): fracción de tiempo durante el cual el interruptor está en su posición de encendido. Para fines de control, el ancho del pulso se puede ajustar para lograr un resultado deseado. Podemos denominar este proceso de ajuste como modulación por ancho de pulso (PWM – Pulse Width Modulation), tal vez el proceso más importante para implementar el control en los convertidores de potencia, por lo cual será nuestro siguiente tema.
  2. La frecuencia fswitch :  suele ser constante, aunque no en todas las aplicaciones. Para fines de control, la frecuencia puede ajustarse. Esto es inusual en los convertidores de potencia porque las frecuencias de operación a menudo son dictadas por la aplicación. (ω=2πfswitch; fswitch=1/T).
  3. El tiempo de retardo t0 o la fase Ø0 = ωt0: los rectificadores a menudo hacen uso del control de fase para proporcionar un rango de ajuste. Algunas aplicaciones especializadas de convertidores ac-ac usan modulación de fase

 

Fuente:

  1. Libro Rashid – Power Electronic Handbook

 

Revisión literaria hecha por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Efectos del Gradiente de carretera

ANTERIOR: Gradiente de carretera.

SIGUIENTE: Modelo matemático de un vehículo. Simulación en Matlab/Simulink.

En esta presentación, discutiremos qué tan empinados son las pendientes de carretera en las carreteras reales. También presentaremos una simplificación de la expresión de fuerza de gradiente y otra simplificación de la expresión de resistencia a la marcha.

Estas imágenes muestran diferentes gradientes desde -30% hasta +30% y el ángulo de inclinación del camino alfa correspondiente en grados. Si traducimos alfa en radianes, podemos ver que el ángulo en radianes es casi exactamente el mismo que el gradiente. Esta es una aproximación útil y pronto la usaremos para simplificar los cálculos de fuerza.

Los gradientes de camino típicos están aproximadamente dentro del rango de -10% a +10%. Aunque puede que no parezca un gradiente pronunciado en la figura, ya alrededor del 10%, hay señales de advertencia para gradientes más grandes, ya que el conductor puede necesitar adaptar la conducción al gradiente. Esto es especialmente importante para vehículos pesados, como camiones. Existen gradientes de hasta aproximadamente 20%, pero son raros.

Puede haber algunos caminos con gradientes superiores al 20%, pero pueden verse como casos extremos que la mayoría de los conductores rara vez experimentan.

Para valores pequeños de alfa, tanto el seno alfa como el tangente alfa son iguales a alfa si alfa se expresa en radianes. Como el gradiente es igual a la tangente alfa y ahora sabemos que el seno alfa es igual a alfa y, por lo tanto, también es igual a la tangente alfa, obtenemos que el seno alfa es aproximadamente igual al gradiente de la carretera.

Al trazar la aproximación y la ecuación exacta, podemos ver que son casi exactamente las mismas para los gradientes de baja pendiente. Hasta un 20% de gradiente, el error es menor o igual al 2%. E incluso por encima del 20%, la aproximación es lo suficientemente precisa para muchos propósitos.

Si usamos la aproximación para la fuerza del gradiente y la comparamos con la fuerza requerida para la aceleración, vemos que son muy similares. A partir de esto, podemos observar que la fuerza de gradiente tiene el mismo tamaño que la fuerza requerida para una aceleración si la aceleración de un vehículo es igual a la aceleración de la gravedad, g, multiplicada por el gradiente de la carretera.

Esto se puede ilustrar con un ejemplo. Supongamos que un vehículo tiene exactamente la fuerza de tracción correcta para conducir a una velocidad constante en una carretera llana. ¿Qué pasaría con el vehículo si estuviera conduciendo con la misma fuerza de tracción y la misma velocidad, pero en un gradiente? En un gradiente de -30%, la fuerza del gradiente creará una fuerza neta hacia adelante, que, de acuerdo con lo que acabamos de señalar, dará lugar a una aceleración igual a la aceleración de la gravedad, 9.8 metros por segundo al cuadrado, multiplicada por el gradiente, 30% , que es igual a aproximadamente +3 metros por segundo al cuadrado.

Del mismo modo, por – 20%, obtenemos +2 metros por segundo al cuadrado. Y -10%, obtenemos +1.

Conduciendo hacia arriba la aceleración se vuelve negativa a medida que la fuerza del gradiente cambia de signo. +10% conduce a -1 metro por segundo cuadrado, +20% conduce a -2, y +30% conduce a -3.

Esto ilustra que la fuerza de un gradiente de -10% es suficiente para acelerar el vehículo 1 metro por segundo al cuadrado, o viceversa. Una fuerza que puede acelerar el vehículo 1 metro por segundo al cuadrado es suficiente para subir el gradiente del 10% a velocidad constante.

Acabamos de presentar una aproximación para la fuerza de gradiente y ahora presentaremos una aproximación similar para la resistencia a la marcha. La resistencia al rodamiento depende del gradiente de la carretera, solo porque la fuerza normal entre el vehículo y la carretera es proporcional al coseno alfa.

Sin embargo, para un valor de alfa pequeño, el coseno de alfa es aproximadamente 1. Por lo tanto, para valores de alfa pequeños, no hay dependencia significativa de alfa. La resistencia a la rodadura se puede aproximar como el coeficiente de resistencia a la rodadura multiplicado por la masa de los tiempos del vehículo g.

Por lo tanto, la fuerza de resistencia de rodadura aproximada no es una función del gradiente de la carretera. El error que se presenta al considerar el coseno alfa en 1 para diferentes gradientes de camino se puede ver en el gráfico anterior. Se puede demostrar que el error es menor o igual al 2% para gradientes de carretera de hasta 20%.

La expresión simplificada para resistencia a la rodadura también muestra similitudes con la expresión de fuerza de gradiente simplificada. Esto se puede usar para dibujar otro paralelo, que es útil para entender qué efecto tiene la resistencia a la rodadura. Se puede notar que la fuerza de resistencia a la rodadura es igual a una fuerza de gradiente si el gradiente es igual al coeficiente de resistencia a la rodadura. El coeficiente de resistencia a la rodadura exacto, por supuesto, varía para diferentes vehículos. Pero en las carreteras pavimentadas, la mayoría de los vehículos tienen una resistencia a la rodadura del orden del 1%.

Por lo tanto, la resistencia a la rodadura tiene un efecto similar en el vehículo al que tiene el hecho de conducir una pendiente ascendente con un gradiente constante del 1%.

El efecto de la resistencia a la rodadura se puede entender con un simple ejemplo. La resistencia a la rodadura es lo suficientemente grande como para mantener el vehículo estacionario, pero si el vehículo está en un 1% de pendiente descendente, eso es suficiente para hacer que la fuerza de gradiente sea igual a la fuerza de resistencia de rodadura y el vehículo comenzará a rodar lentamente. Este ejemplo ilustra el hecho de que la resistencia a la rodadura es, de hecho, una fuerza pequeña en comparación con las fuerzas de gradiente y las fuerzas de aceleración. Pero como veremos más adelante, la resistencia a la rodadura sigue siendo muy importante cuando se analiza el consumo total de energía del vehículo, ya que está presente todo el tiempo.

Supongamos que un vehículo conduce 100 kilómetros y tiene que subir un gradiente del 1% todo el tiempo. Eso conducirá a una escalada total de 1% por 100 kilómetros, lo que equivale a 1,000 metros. Entonces, la resistencia a la rodadura causará la misma pérdida de energía en +100 kilómetros que cuando el vehículo sube una montaña de 1.000 metros de altura.

Fuente: Road Gradient Effects del curso Section 1: Vehicles and powertrains

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SIGUIENTE: Modelo matemático de un vehículo. Simulación en Matlab/Simulink.

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Gradiente de carretera

ANTERIOR: Desaceleración y control de velocidad del vehículo

SIGUIENTE: Efectos del Gradiente de carretera. 

En esta presentación, discutiremos qué sucede con las fuerzas que actúan en el vehículo cuando se conduce en una pendiente de subida o bajada. También interpretaremos los efectos que tiene el gradiente de la carretera en el diagrama de resistencia en ejecución. El gradiente es un número adimensional. En este caso, es el cambio de altitud dividido por el movimiento horizontal correspondiente.

La masa del vehículo da lugar a una gran fuerza que es igual a la masa multiplicada por la aceleración gravitacional g. Esta fuerza actúa desde el centro de gravedad del vehículo hacia el centro de la Tierra. En una carretera plana es perpendicular a la carretera, y por lo tanto, no tiene ningún componente en la dirección longitudinal del vehículo.

Pero esto cambiará cuando estamos conduciendo cuesta arriba o cuesta abajo. La inclinación de la carretera la mayor parte del tiempo se describe como el gradiente de la carretera.

En los cálculos, a menudo también necesitamos expresar la inclinación de la carretera como el ángulo de inclinación alfa entre el plano horizontal y la superficie de la carretera. Desde el triángulo rectángulo, podemos ver que el gradiente es igual a la tangente de alfa.

Con frecuencia, el gradiente es dado en porcentaje. Y tanto el gradiente como el alfa son negativos al conducir cuesta abajo. Si el vehículo está en un gradiente ascendente con ángulo alfa, la fuerza de masa (fuerza gravitacional) ya no es perpendicular a la carretera. Por lo tanto, ahora tiene un componente de fuerza en la dirección longitudinal del vehículo, a la que llamamos fuerza de gradiente. La fuerza del gradiente se puede determinar con esta ecuación:

El siguiente diagrama muestra la resistencia de funcionamiento en una carretera plana:

Como la fuerza de gradiente es independiente de la velocidad del vehículo, solo agrega una constante a la fuerza de resistencia en marcha para una carretera plana. De modo que la fuerza de resistencia de carrera total es igual a la resistencia aerodinámica más la resistencia a la rodadura más la fuerza del gradiente.

Observe que ya con un gradiente modesto de 5%, la fuerza del gradiente es mayor que la suma de la resistencia a la rodadura más la resistencia aerodinámica hasta llegar a una velocidad de 130 kilómetros por hora para este vehículo.

Si el vehículo en su lugar es conducido cuesta abajo, las condiciones son las mismas, excepto que el ángulo alfa se vuelve negativo. Eso cambia la dirección de la fuerza del gradiente, por lo que ahora actúa en la dirección de avance. La geometría es similar en cuanto a la situación cuesta arriba, por lo tanto, podemos usar la misma ecuación que antes para calcular el tamaño de la fuerza del gradiente. Esta ecuación también dará automáticamente un signo negativo de la fuerza del gradiente al ingresar en un ángulo negativo de la carretera.

Entonces, una fuerza de gradiente positiva debe interpretarse como que actúa en la dirección inversa del vehículo, mientras que la fuerza negativa actúa en la dirección de avance.

Un gradiente descendente producirá una fuerza de resistencia hacia abajo en el diagrama. De nuevo, la fuerza de resistencia de funcionamiento total es igual a la resistencia aerodinámica más la resistencia a la rodadura más la fuerza de gradiente, sólo que ahora es negativa hasta llegar a una velocidad aproximada de 130 Km por hora para este vehículo en particular.

La fuerza de resistencia de ejecución resultante es la curva negra. El resultado es que, teóricamente, este vehículo en un gradiente de descenso del 5% podría alcanzar 130 kilómetros por hora sin ninguna fuerza de tracción de un tren motriz. Podría ser impulsado solo por la fuerza del gradiente. Sin embargo, llevaría mucho tiempo alcanzar esa velocidad solo acelerada por la fuerza de los gradientes.

En resumen, usted ha aprendido cómo la masa del vehículo da lugar a una fuerza de gradiente en la dirección longitudinal del vehículo cuando conduce cuesta arriba o cuesta abajo. El valor de la fuerza del gradiente puede calcularse como la masa del vehículo multiplicada por la aceleración gravitacional g multiplicada por el seno de alfa. Esta fuerza cambia con el gradiente de la carretera, pero es independiente de la velocidad. Si el gradiente cuesta abajo es significativo, la resistencia de marcha se vuelve negativa y actuará para acelerar el vehículo.

ANTERIOR: Desaceleración y control de velocidad del vehículo

SIGUIENTE: Efectos del Gradiente de carretera. 

Fuente: Road Gradient del curso Section 1: Vehicles and powertrains

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Desaceleración y control de velocidad del vehículo

ANTERIOR: Fuerza neta y control de la aceleración del vehículo

SIGUIENTE: Gradiente de carretera

En esta oportunidad, veremos qué sucede cuando no hay suficiente tracción para que podamos superar las fuerzas de resistencia en marcha, o cuando se aplica una fuerza de tracción negativa. Comenzamos el análisis desde un vehículo que conduce a velocidad constante de 100 kilómetros por hora con una fuerza de tracción lo suficientemente fuerte como para equilibrar la resistencia a la rodadura y la resistencia aerodinámica. ¿Qué pasará si la fuerza de tracción se vuelve 0? Nosotros, de nuevo, calculamos la suma de las fuerzas restantes que actúan en el vehículo, y eso nos da la fuerza neta.

Observe que la fuerza neta ahora está en la dirección inversa. Y, por lo tanto, obtenemos una aceleración de menos 0,33 metros por segundo al cuadrado en este caso, lo que significa una desaceleración. Tenga en cuenta que la dirección del vector de fuerza corresponde al cambio de signo en la fuerza en las ecuaciones.

En el diagrama de velocidad de fuerza, nuestra fuerza de tracción es solo 0, por lo que no se suma a la suma vectorial de todas las fuerzas en el vehículo. Y así, la fuerza neta se convierte en la suma de la resistencia a la rodadura y la resistencia aerodinámica. El resultado es un vehículo de desaceleración. Tenga en cuenta que dado que la fuerza de tracción es menor que la resistencia de conducción total, el vehículo está desacelerando.

Cuando la velocidad disminuye, el arrastre aerodinámico es más pequeño y la desaceleración disminuirá. Sin embargo, el tren motriz puede aumentar la desaceleración produciendo una fuerza de tracción negativa. Si ahora calculamos la fuerza neta, se vuelve aún más negativa. Esto da como resultado una aceleración de menos 0,40 metros por segundo al cuadrado en este caso. Esta fuerza de tracción negativa puede crearse por pérdidas en el tren motriz o por un motor eléctrico que funciona como generador. Si eso no es suficiente, los frenos del vehículo pueden generar una fuerza negativa mayor.

Esta desaceleración activa se puede ilustrar en el diagrama de velocidad de fuerza. Observe que el eje y ha cambiado y ahora incluye valores de fuerza negativa. La resistencia aerodinámica y la resistencia a la rodadura se agregan a la fuerza de tracción ahora negativa, lo que resulta en una mayor fuerza neta negativa y, por lo tanto, aún más desaceleración.

Ahora que hemos estudiado las fuerzas y la aceleración en diferentes situaciones de manejo, podemos sacar algunas conclusiones generales sobre cómo se controla la velocidad del vehículo.

Uno, el conductor solo puede controlar la fuerza del tren motriz y los frenos para influir en la velocidad del vehículo. Dos, al cambiar la fuerza de tracción, se puede controlar la fuerza neta, de modo que el vehículo lea la aceleración deseada. Tres, con el tiempo, la aceleración o la desaceleración pueden hacer que el vehículo alcance la velocidad deseada. También podemos resumir algunas reglas de control simples.

La fuerza de tracción debe exceder la resistencia de conducción total para que el vehículo se acelere. La fuerza de tracción y la resistencia de conducción total deben estar en equilibrio para que el vehículo tenga una velocidad constante. Y la fuerza de tracción debe ser menor que la resistencia de conducción total para que el vehículo desacelere. Ahora conoce los conceptos básicos de cómo determinar qué fuerza de tracción se requiere al conducir un vehículo y cómo el conductor controla la velocidad del vehículo al controlar la fuerza de tracción del tren motriz. Hay una fuerza más importante que incluir, y esa es la fuerza causada por el gradiente de la carretera.

ANTERIOR: Fuerza neta y control de la aceleración del vehículo

SIGUIENTE: Gradiente de carretera

Fuente: Deceleration and speed control del curso Section 1: Vehicles and powertrains

 

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Fuerza neta y control de la aceleración del vehículo

ANTERIOR: Aerodinámica y resistencia al rodamiento de un auto.

SIGUIENTE: Desaceleración y control de velocidad del vehículo

En esta presentación, agregaremos la fuerza de tracción del tren motriz y veremos cómo calcular la fuerza neta total en el vehículo. La Segunda Ley de Newton puede decirnos cuánto acelerará el vehículo con una determinada fuerza de tracción. Bien, ahora veremos cómo el tren motriz influye en el vehículo. El tren de potencia aplica una fuerza de tracción al vehículo, tal como lo muestra la siguiente imagen:

La fuerza se distribuye en todas las ruedas, pero sólo vamos a considerar la fuerza de tracción total. Aquí se ilustra como actuando sobre las ruedas delanteras del automóvil. Una vez que conocemos la fuerza de tracción y todas las fuerzas de resistencia de conducción, podemos calcular la fuerza neta total en dirección longitudinal.

La Segunda Ley de Newton nos dice que la fuerza neta es igual a la masa del vehículo multiplicada por la aceleración del vehículo. Podemos usar esto para controlar la aceleración controlando la fuerza neta. Para hacer eso, el tren motriz necesita producir una fuerza de tracción igual a la resistencia a la rodadura, más resistencia aerodinámica, más la masa del vehículo por la aceleración deseada. Y una vez que obtengamos una aceleración, con el tiempo, la velocidad también cambiará.

De modo que el conductor controla la velocidad solo de forma indirecta controlando la fuerza del tren de potencia y, por lo tanto, la aceleración.

Ahora suponemos que la fuerza de tracción es de 750 newtons a una velocidad de 50 kilómetros por hora. Cuando conocemos la fuerza de tracción, la fuerza neta puede calcularse como la suma vectorial de la fuerza de tracción, la resistencia a la rodadura y la resistencia aerodinámica. La suma del vector es la fuerza neta, y a partir de eso podemos calcular la aceleración.

Ahora, mostraremos cómo se puede ilustrar el mismo análisis en un diagrama de fuerza-velocidad con las curvas mostrando la resistencia a la rodadura más la resistencia aerodinámica. El resultado es la fuerza neta, y es igual a la masa del vehículo por la aceleración.

Observamos que la aceleración es proporcional a la diferencia entre la fuerza de tracción y la curva de resistencia de la carretera a la velocidad real. Si mantenemos la fuerza de tracción constante, la velocidad aumentará. Y cuando la velocidad aumenta, la resistencia aerodinámica también aumentará. Si ahora calculamos la suma vectorial de las fuerzas, obtenemos la fuerza neta. Tenemos en cuenta que, esta vez, es un poco más pequeño que a 50 kilómetros por hora debido a la mayor resistencia aerodinámica.

La situación a 75 kilómetros por hora también se puede analizar en el diagrama de fuerza-velocidad. La suma de vectores con la misma fuerza de tracción de 750 newtons da una fuerza neta de 75 kilómetros por hora. Lo que conduce a una aceleración un poco más baja, ya que la resistencia de conducción total es más alta a 75 que a 50 kilómetros por hora.

Si queremos seguir acelerando a 100 kilómetros por hora, podemos mantener la fuerza de tracción en 750 newtons. La velocidad aumenta y eso lleva a un mayor aumento en la resistencia aerodinámica. Una vez que alcanzamos los 100 kilómetros por hora, queremos dejar de acelerar y mantener la velocidad en 100. Luego, el conductor tiene que disminuir la fuerza de tracción de manera que sea igual a las fuerzas de resistencia de conducción. Y el resultado es una fuerza neta igual a cero. Y sin fuerza neta, la aceleración se detiene, y luego la velocidad es constante.

La fuerza de tracción no es cero, tiene que ser positiva y constante para equilibrar la suma de las fuerzas de resistencia. En el diagrama de fuerza-velocidad, podemos ver que la fuerza de tracción se mantiene constante durante la aceleración. Una vez que se alcanzan los 100 kilómetros por hora, la fuerza de tracción se reduce para coincidir perfectamente con la resistencia de conducción a 100 kilómetros por hora, según se muestra en el siguiente diagrama:

En conclusión:

Fuente: Net force and control of vehicle acceleration del curso Section 1: Vehicles and powertrains

ANTERIOR: Aerodinámica y resistencia al rodamiento de un auto.

SIGUIENTE: Desaceleración y control de velocidad del vehículo

 

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

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Automóvil, Electrical Engineer, Ingeniería Eléctrica, Tren de poder - Dinámica de Fuerzas

Aerodinámica y resistencia al rodamiento de un auto

SIGUIENTE: Fuerza neta y control de la aceleración del vehículo

Introducción

Sólo se analizarán las fuerzas en la dirección longitudinal, ya que influyen en el tren de potencia. Las fuerzas en otras direcciones se ignoran momentáneamente, ya que principalmente influyen en la dirección y la suspensión. Cuando el vehículo está parado en una carretera plana, no hay fuerzas longitudinales que actúen sobre el vehículo. Cuando el vehículo avanza, los neumáticos causan resistencia a la rodadura. Elegimos ilustrar la fuerza de resistencia a la rodadura solo en la rueda trasera en esta imagen:

La resistencia a la rodadura es 0 en parada. Cuando la velocidad no es cero, se puede calcular como el coeficiente de resistencia a la rodadura multiplicado por la fuerza normal entre el vehículo y la carretera. La resistencia a la rodadura es aproximadamente independiente de la velocidad, como se muestra en este diagrama.

Cambia ligeramente con el ángulo de la carretera, ya que la fuerza normal disminuye si el vehículo desciende por una carretera que se vuelve muy empinada.

El coeficiente de resistencia a la rodadura debería ser lo más bajo posible para mantener bajo el consumo de energía. Y típicamente su valor está alrededor de 0.01. Una vez que el vehículo se mueve un poco más rápido, también hay resistencia aerodinámica, que es causada por el aire, ya que se ve forzado a fluir alrededor del vehículo cuando está conduciendo. Las fuerzas aerodinámicas ocurren alrededor del vehículo, pero aquí las ilustramos como una fuerza concentrada que actúa en la parte trasera del vehículo.

La resistencia aerodinámica es principalmente causada por una mayor presión de aire en la parte delantera del vehículo y una menor presión detrás de él. Cuando la velocidad del vehículo aumenta, más aire tiene que pasar el mismo por segundo, lo que lleva a una mayor fuerza de arrastre aerodinámica. A una velocidad de alrededor de 75 kilómetros por hora, la fuerza aerodinámica es similar en tamaño a la resistencia a la rodadura de un automóvil típico. A medida que la velocidad aumenta aún más, la fuerza aerodinámica aumenta más y más rápidamente, cuadráticamente según la curva Fuerza-Velocidad anterior.

El coeficiente aerodinámico de arrastre debe ser lo más bajo posible y, por lo general, es de aproximadamente 0,25 a 0,35 para un automóvil moderno. Para camiones y autobuses, es mayor, alrededor de 0.7. En esta presentación, consideramos dos fuerzas que siempre están presentes cuando un vehículo está conduciendo. Es la resistencia a la rodadura, que es bastante constante con la velocidad del vehículo y la resistencia aerodinámica, que aumenta con el cuadrado de la velocidad.

A baja velocidad, la resistencia a la rodadura es mayor que la resistencia aerodinámica.

Y para un automóvil moderno, la resistencia aerodinámica es mayor, por encima de aproximadamente 70 kilómetros por hora, como se puede apreciar en la Figura siguiente:

SIGUIENTE: Fuerza neta y control de la aceleración del vehículo

Fuente: Aerodynamic- and rolling resistance del curso Section 1: Vehicles and powertrains

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Block Diagram, Control System Analysis, Electrical Engineer, Electromechanical Systems

Block Diagram of Electromechanical Systems – DC Motor

Introduction

Electromechanical Systems are hybrids of electrical and mechanical variables. Applications for electromechanical components range from robot control, sun and star trackers, disk-drive position control, DC machines control and central Air-Conditioning systems for residences.

The structure of an Electromechanical Drive System is given in Figure 2.1. It consist of energy/power source, reference values for the quantities to be controlled, electronic controller, gating circuit for converter, electronic converter (rectifier, inverter, power electronic controller), current sensors (shunts, current transformer, Hall sensor), voltage sensor (voltage divider, potential transformer), speed sensors (tachometers) and displacement sensors (encoders), rotating three-phase machines, mechanical gearbox, and the application-specific load (pump, fan, automobile). In Figure 2-1 all but the mechanical gear are represented by a Transfer Functions (output variables as a function of time). Meanwhile, the mechanical gear is represented by the Transfer Characteristic (output variable Xout as a function of the input variable Xin).

[1]

The armature-controlled dc servomotor is perhaps the most important component found in robotic applications. But in general, in electromechanical systems, we can use induction motors and synchronous motors as well, the two most common three-phase AC Machines. Here, we just derive the Dynamic of the DC Motor in order to represent it through block diagrams. So we will have to pass from schematic to block diagram as shown in Figure 2.35:

[2]

The Block Diagram for a DC Motor

To derive the block diagram representation for a separately excited DC machine, firstly we must derive the Dynamic of the System, the differential equations that govern the DC machine. After that, we use the Laplace Transform to build the block diagram. The motor can be controlled by field or by armature. In this case, let’s suppose that a stationary permanent magnet or a stationary electromagnet generates a constant magnetic flux Ф called the Fixed Field according to Figure 2.35. As a result, the motor is controlled by a voltage ea applied to the armature terminals. The armature is a rotating circuit through which a current ia, flows. When the armature passes through Ф at right angles, it feels a force F=BLia where B is the magnetic field strength and L is the length of the conductor. The resulting torque Tm turns the rotor, the rotating member of the motor. For linear analysis it is supposed that this torque or par is proportional to the flux Ф and the armature current ia, and from here, we obtain the first important relation:

[3]

As Ф is constant, KmФ = Ki, so the previous equation is as follows,

Where Ki is The Constant of Proportionality, also called the motor torque constant (or par constant) and is one the parameter given by the manufacturers when selling a motor. Ki also frequently called KT comes in N-m/A.

(Note: when the motor is controlled by the current in the field, in order to have a linear system the current of the armature must be considered to be constant and the motor torque is given by Tm= KmiF)

There is another phenomenon that occurs in the motor: A conductor moving at right angles to a magnetic field generates a voltage Vb at the terminals of the conductor. Since the current-carrying armature is rotating in a magnetic field, its voltage is proportional to speed. In this way we obtain the second important equation:

[2]

We call Vb the Back Electromotive Force (or back emf); Kb is a constant of proportionality called the back emf constant, another given parameter. It is also important to notice that θm is the angular displacement and the angular velocity of the motor is ωm:

Although the motor is itself an open-loop system, later we will see that The Back EFM Vb, generates a feedback-loop inside the motor, acting as an “electric friction” that tends to improve the stability of the motor.

After this and applying the Kirchhoff’s law for voltages, we find the relation between the armature current ia, the applied armature voltage ea, and the back efm Vb (or eb). Clearing conveniently we obtain:

Where La and Ra represent the inductance and the resistance of the armature respectively. Vb = eb. (La and Ra are given parameters of the motor)

Now, applying Newton’s Law for Rotational Mechanical Systems and clearing conveniently:

Where TL represents the load, JM is the inertia of the rotor, and Bm viscous friction coefficient (JM and Bm are given parameters of the motor)

Actually, the completed Dynamic of the DC Motor in open-loop operation is the following set of differential equations:

[3]

To get a block diagram of this dynamic we have to apply Laplace Transform to this set of equations while focused on the value we are concerned as the output: θm. So, we now that

After applying Laplace:

θm(s) = Ωm(s)/S =(Ωm(s))*(1/S)

We can represent this simple relationship between θm(s) and Ωm(s) using a Block Diagram by recalling the fact that every block has a Transfer Function inside. In this case, the transfer function is:

θm(s)/Ωm(s) = 1/S

The block diagram to represent this system is:

We see now that we need to know what is Ωm(s). To know that we use

We clear for dθm/dt and apply Laplace. We obtain:

Ωm(s)=(Tm(s) – TL(s))/(Jm(s) + Bm(s))

As a dog following its tail, we continue this procedure using each of the rest of the equations just one time, till all the variables are cleared, except the inputs TL(s) and Ea(s).

To get Tm(s) we use:

And we get:

Tm(s)= KiIa(S)

Finally, from:

We get:

Ia(S)= (Ea(s)-Eb(s))/(SLa+Ra)

Eb(s)=KbΩm(s)

Now, using, the interconnecting, θm(s), Ωm(s), Tm(s), Ia(S), Ea(s), Eb(s) and TL(s), with functional blocks and its transfer functions, summing points and pickoff points, we get The Block Diagram for a DC Motor operating as an open-loop:

[3]

Here we can corroborate what we pointed out before, that the back electromotive force, proportional to Ωm (s), represented in the diagram as Eb (s), generates a feedback loop that tends to stabilize the system.

The most commonly used electromechanical system is shown in Figure 2.15., operating at about constant speed without feedback control. Some of the more commonly occurring drive systems are presented using linear transfer function within each and every block of these diagrams as in Figure 2.15. Consequently, we usually need the transfer function of the motor and its load to represent it just through one block.

 The Transfer Function for a DC Motor and Load

Let’s consider the configuration shown in Figure 2.37:

[2]

The relation between the input Ea(s) and the output θm(s) is given by:

(Note: To see how this equation is derived, please see page 81 of bibliography resource [2])

If we assume that the armature inductance La is small compared to the armature resistance Ra, which is usual for the motor DC, we obtain:

The desired Transfer Function θm(s)/Ea(s) is found to be:

[2]

Where Jm is the equivalent inertia after load inertia JL is reflected back to the armature, and Dm is the equivalent damping after load damping DL is reflected back to the armature, and:

Usually, to find the factors Kt/Ra and Kb, the user counts with the following relations and a Torque-Speed Curve of the motor provided by the manufacturer, as it is shown in the following example:

[2]

As a consequence, we can now represent the motor and its load through one block in the diagram:

Closed-loop operation.

The open-loop operation is acceptable for a lot of drive application where a constant speed (a chainsaw) or position (an elevator) is sufficient. However, if a variable speed is needed (conveyor belt) or the position must be accurate (an Antenna), a closed-loop control, with negative feedback, must be chosen. But, in a closed-loop operation, others devices are needed to assess or transform signals: sensors, transducers and amplifiers. A typical closed-loop operation is the position control schema for an Antenna Azimuth shown as follows:

Which equivalent block diagram is as follows:

[2]

The potentiometer. 

A potentiometer is an electromechanical transducer that converts mechanical energy into electrical energy. The input of the device is a form of mechanical displacement that can be translational or rotational. When a voltage is applied across the fixed terminals of the potentiometer, the output voltage, which is measured between the variable terminal and the ground, is proportional to the input shift. Figure 4-29 shows the schema for a rotational potentiometer.

[3]

When the potentiometer housing is connected to the reference, the output voltage e(t) will be proportional to the position of the axis θc(t) in the case of a rotatory movement. So,

where Ks is the constant of proportionality. So E(s)/θc(s) = Ks will be the transfer function for a block representing this relationship

Potentiometers are often used to feedback the output position in motor control systems. Here it works as a mechanical sensor. Doing so, they allow comparing the actual position of the load with the reference position. The comparison generates an error signal that is then amplified to move the motor until it reaches the correct position. Hence its name, servomotor, slaves of the reference position.

The Tachometer. 

Like potentiometers, tachometers are electromechanical devices that convert mechanical energy into electrical energy. It works essentially as a voltage generator, with the voltage output proportional to the angular velocity of the input shaft. Figure 4-33 reflects the common use of a tachometer in a speed control system:

[3]

The Dynamic of the tachometer can be represented by:

Where et(t) is the output voltage, θ(t) is the displacement of the motor in radians, ω(t) is the speed of the rotor in rad/s, and Kt is the constant of the tachometer. Later, Et(s)/Ω(s) = Kt. In terms of: the displacement of the motor:

The gear train. 

Gear trains are used very frequently in electromechanical systems in order to reduce speed, amplify torque or to achieve the more efficient power transfer by matching the driving member with a given load. Consider the gear train of Figure 2-30 (for a more exhaustive analysis please refer to page 66 of the bibliography [5]):

[5]

Generally, in practice, the most commonly used procedure is to reflect the inertia and the damping of the load arrow to the motor shaft. The result is as follows:

Where J1eq is the equivalent inertia seen by the motor arrow and b1eq is the equivalent damping coefficient seen by the motor arrow. In the block diagrams, it is customary to represent the gear train by a block with a proportional transfer function, a constant Kg (which stands for Kgears) equivalent to the n1/n2.

Example:
  1. Before continuing, let’s see an example of how to apply the theory studied to a fairly common case: Obtain mathematical model of the position control system of the Figure. Obtain your block diagram and the transfer function between the angle of the load and the reference angle θc(s)/θc(s).

null

Solution:

null

To see the whole answer see:

Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

DC Motor/Amplifier System Block Diagram

The CD Motor is always driven by a power amplifier that acts as an energy source. For this reason, it is more practical to present the Torque-Speed Curve of the combinación DC Motor/Amplifier. The Figure 4-51 shows a block diagram for the DC motor-Amplifier arrangement. And Figure 4-52 the Torque-Speed Curve:

[3]

The Proportional amplifier

A good example of a proportional amplifier is an Operational Amplifier with negative resistive feedback and inverting configuration such as shown in Figure 2.7a.

[1]

Operational amplifiers, often called Op Amps, are often used to amplify signals in sensor circuits. The Transfer Function of the Operational Amplifier is shown in Figure 2.7b under the name of G2:

Other configurations of this class are shown in Table 3-1 and Table 4-1 with their respective transfer functions:

Table 3-1

[4]

Table 4-1

[3]

Power Electronic

Performance of servomotors used for robotics applications highly depends on electric power amplifiers and control electronics, broadly termed Power Electronic. The actuators in robotic applications, mostly DC motors, must be controlled precisely so that desired motions of arms and legs may be attained. This requires a power amplifier to drive de desired level of voltage (or current indirectly) to the motor armature. The use of a linear amplifier, as the operational amplifier discussed in the previous section, is power-inefficient and impractical since it entails a large amount of power loss. An alternative is to control the voltage via ON-OFF switching. Pulse Width Modulation or PWM for short is the most commonly used method for varying the average voltage to the DC motor (For a detailed review of PWM see Motor Drives, p 663, bibliography [7])

Briefly, a typical motor drive system is expected to have some of the systems block diagram indicated in Figure 27.1. The load may be a conveyor system, a traction system, the rolls of a mill drive, the cutting tool of a numerically controlled machine tool, the compressor of an air conditioner, a ship propulsion system, a control valve for a boiler, a robotic arm, and so on.

[7]

The Power Electronic converter block in the previous diagram, for PWM control with inner current loop, may use diodes, MOSFETs, GTOs or IGBTs. Servo drive systems normally use the full four-quadrant converter of Figure 27.9, which allows bidirectional drives and regenerative braking capabilities.

[7]

The PWM is a technique to control an effective armature voltage by using the ON-OFF switching alone. Figure 2.3.3 illustrates the PWM signal:

[6]

PWM varies the ratio of the time length of the complete ON state to the complete OFF state. A single cycle of ON and OFF states is called the PWM period, whereas the percentage of the ON stage in a single period is called duty rate. The first PWM signal of Figure 2.3.3, is of 60% duty, and the second one is 25%. If the voltage supply is V=10 volts, the average voltage actually transmitted to the DC motor is 6 volts and 2.5 volts respectively. The PWM period is set to be shorter than the time constant associated with the mechanical motion. The PWM frequency is usually between 2 and 20 KHz, whereas the bandwidth of a motion control system is at most 100 Hz. Therefore, the discrete switching does not influence the mechanical motion in most cases.

If the electric time constant Te is much larger than PWM period, the actual current flowing to the motor armature is a smooth curve, as illustrated in Figure 2.3.4:

[6]

Design of Control Systems - Next Topic

The fundamental objective of analyzing a control system is to facilitate its design. The Block Diagram is the first step because it represents the mathematical model of the system that we want to analyze and improve. The dynamics of a controlled linear process can be represented by the block diagram of Figure 10-1:

[3]

Most control systems are built so that the output vector y (t) meets certain specifications that define what the system should do and how to do it in the desired way. These specifications are unique for each individual application. Relative stability, steady-state precision (error) and transient response are the most commonly used specifications in the market. The essential problem involves determining the control signal U (t) within a prescribed range so that the specifications required by the customer are met.

After determining the above, the engineer must design a fixed configuration of the system and the place where the controller will be placed in relation to the controlled process, which also involves designing the elements that make up the controller, that is, determining the controller parameters. Because most control efforts involve modifying or compensating the performance characteristics displayed by the system during the transient response analysis and steady state response, the design of a fixed configuration is also called compensation.

In short, the art and science of designing control systems can be summarized in three steps, which leads to our following issues:

  1. Determine what should be done and how to do it
    1. Transient Response Specifications
    2. Stability – Routh Criterion
    3. Stead-State Error
  2. Determine the driver configuration
    1. Proportional, Integral and Derivative Control Actions
    2. PD Controller
    3. PI Controller
    4. PID controller
  3. Determine the controller parameters

Source

  1. Chapter 2, Block Diagram of EM Systems, pp 21, 43(23) (Fuchs E.F., Masoum M.A.S. (2011) Block Diagrams of Electromechanical Systems. In: Power Conversion of Renewable Energy Systems. Springer, Boston, MA)
  2. Control Systems Engineering, Nise pp 79, 81
  3. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo pp 159, 203
  4. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t pp 103,
  5. dinamica_de_sistemas p 66
  6. Actuators and Drive System – Robótica
  7. Libro Rashid – Power Electronic Handbook p 663-666

Written by: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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If what you need is to solve urgently a problem of a “Mass-Spring-Damper System ” (find the output X (t), graphs in Matlab of the 2nd Order system and relevant parameters, etc.), or a “System of Electromechanical Control “… to deliver to your teacher in two or three days, or with greater urgency … or simply need an advisor to solve the problem and study for the next exam … send me the problem…I Will Write The Solution To any Control System Problem…

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