Ejemplo – Error en estado estable para dos entradas: escalón y rampa.

Dado el sistema de la siguiente figura, aplicar las siguientes señales de entrada: Escalón unitario, Rampa unitaria y Escalón de amplitud factor*2:

Se consideran las dos plantas siguientes:

Se pide: 1) Observar la respuesta temporal simulada durante 20 segundos para cada sistema y para cada entrada. 2) Obtener gráficamente el valor del error que presenta la respuesta cada sistema al cabo de 10 segundos.  3) Calcular la expresión analítica de dicho error en estado estacionario para cada una de las señales de entrada.

4. Incluir un controlador proporcional, esto es, una ganancia (bloque Gain) en el diagrama. Dar el valor 10 a la ganancia y obtener de nuevo su respuesta ante las entradas utilizadas en el apartado anterior.
5. De forma análoga, obtener gráficamente el valor del error que presenta la respuesta del sistema al cabo de 10 segundos. Calcular la expresión analítica de dicho error en estado estacionario para cada una de las señales de entrada.
6. El sistema con la función de transferencia 1 se prueba con dos controladores: un P con ganancia proporcional 0.7 y un PI con la misma ganancia proporcional y con ganancia integral 10. Observar la respuesta obtenida ante un escalón unitario para el sistema sin controlador, para el sistema con el controlador P y para el que tiene el PI.
7. Buscar una posible modificación en las ganancias de ambos controladores para mejorar la respuesta.

Respuesta:

Antes de simular la respuesta a las diferentes señales, definimos en Matlab las funciones de transferencia de cada planta mediante:

>> G1=tf([1],[1 1]);

>> G2=tf([1],[1 1 0]);

Estos comandos arrojan el siguiente resultado:

Definimos los sistemas de realimentación unitaria para cada una de las plantas:

>> sys1=feedback(G1,1);

>> sys2=feedback(G2,1);

Entrada Escalón unitario: Con la función step() simulamos la respuesta al escalón unitario de cada sistema de realimentación definido, durante 20 segundos:

>>  step(sys1)

Gráfica 1

>> step(sys2)

Gráfica 2

Mediante estas gráficas podemos calcular el valor del error que presenta la respuesta de cada sistema a la entrada escalón al cabo de 10 segundos. Comenzamos con sys1:

Gráfica 3

En la gráfica 3 podemos observar que la salida del sistema de realimentación 1, el cual involucra a G_1(s), a los 10 segundos es igual a 0.5. Por lo tanto el error, e_1(t) de este sistema a la entrada escalón cuando t=10s, es:

También se observa en la gráfica 3 que a los 10s el sistema 1 ha alcanzado su estado estable. Esto lo podemos corroborar mediante el comando stepinfo():

Por lo que el error a la entrada escalón unitario a los 10 segundos es igual al error e_1step(∞) del sistema a la entrada escalón en estado estable:

En consecuencia, se puede calcular analíticamente este error utilizando la constante de posición K_p:

El error en estado estable e_1step(∞) del sistema 1 a la entrada escalón unitario es:

Aplicamos este mismo procedimiento para calcular el valor del error que presenta la respuesta del sys2 a la entrada escalón unitario al cabo de 10 segundos:

Gráfica 4

En la gráfica 4 podemos observar que la salida del sistema de realimentación 2, el cual involucra a G_2(s), a los 10 segundos es igual a 1. Por lo tanto el error, e_2(t) de este sistema a la entrada escalón cuando t=10s, es:

Se observa en la gráfica 4 que a los 10s el sistema 2 ha alcanzado su estado estable.

Por lo que el error a la entrada escalón unitario a los 10 segundos es igual al error e_2step(∞) del sistema a la entrada escalón en estado estable:

En consecuencia, se puede calcular analíticamente este error utilizando la constante de posición K_p:

El error en estado estable e_2step(∞) del sistema 2 a la entrada escalón unitario es:

Entrada Rampa unitaria:

Para evaluar la respuesta de cada sistema a la rampa unitaria debemos en primer lugar definir la función rampa unitaria mediante:

>> t=0:0.01:21;

>> x=t;

>> lsim(sys1,x,t)

Gráfica 5 (la salida del sistema 1 en azul)

>> lsim(sys2,x,t)

Gráfica 6 (la salida del sistema 2 en azul)

Aplicamos el mismo procedimiento para calcular el valor del error que presenta la respuesta del sys1 a la entrada rampa al cabo de 10 segundos:

Gráfica 7 (la salida del sistema 1 en azul)

En la gráfica 7 podemos observar que la salida del sistema de realimentación 1, a los 10 segundos es igual a 4.75. Por lo tanto el error e_1(t) de este sistema a la entrada rampa cuando t=10s, es:

El error e_1rampa(∞) del sistema 1 a la entrada rampa, se puede calcular analíticamente utilizando la constante de posición K_v:

El error en estado estable e_1ramp(∞) del sistema 1 a la entrada rampa es:

Si vemos la gráfica 7 podemos ver que la entrada crece indefinidamente, y también crece infinitamente la separación con la salida del sistema. Por eso el error en estado estable del sistema 1 a la entrada rampa es infinito.

Para el sys2 al cabo de 10 segundos:

Gráfica 8 (la salida del sistema 2 en azul)

En la gráfica 8 podemos observar que la salida del sistema de realimentación 2, a los 10 segundos es igual a 9. Por lo tanto el error e_2(t) de este sistema a la entrada rampa cuando t=10s, es:

El error e_2rampa(∞) del sistema 2 a la entrada rampa, se puede calcular analíticamente utilizando la constante de posición K_v:

El error en estado estable e_2ramp(∞) del sistema 2 a la entrada rampa es:

Si vemos la gráfica 8 podemos ver que ambas señales, entrada y salida, crecen en paralelo indefinidamente, con una diferencia constante de 1. En conclusión, el error en estado estable del sistema 2 a la entrada rampa es igual a 1.

Escalón de amplitud factor*2:

Utilizamos el factor=0.7

Por tanto, el escalón tendrá una amplitud de 1.4

Para evaluar la respuesta de cada sistema al escalón de amplitud 1.4 simplemente multiplicamos cada sistema por 1.4 y evaluamos la respuesta para el escalón unitario. A cada sistema nombramos 1.1 y 2.2 respectivamente. Entonces:

>> sys11= 1.4*sys1

>> sys22=1.4* sys2;

Procedemos a graficar los sistemas anteriormente definidos:

>> step(sys11)

Gráfica 9

>> step(sys22)

Gráfica 10

Aplicamos el procedimiento para calcular el valor del error que presenta la respuesta del sys1.1 a la entrada escalón de amplitud 1.4 al cabo de 10 segundos:

Gráfica 11

En la gráfica 11 podemos observar que la salida del sistema 1.1, a los 10 segundos es igual a 0.7. Por lo tanto el error, e_1.1(t) de este sistema a la entrada escalón con amplitud 1.4 cuando t=10s, es:

Utilizando el principio de superposición, podemos calcular el error a la entrada escalón utilizando la constante de posición K_p y sumando 0.4 a la expresión para e_1.1step(∞):

Dónde:

Nota: se determinó G_eq mediante la regla siguiente:

Por tanto:

Se confirma que el error en estado estable del sistema 1.1 a la entrada escalón con amplitud 1.4 es:

Aplicamos el procedimiento para calcular el valor del error que presenta la respuesta del sys2.2 a la entrada escalón al cabo de 10 segundos:

Gráfica 12

En la gráfica 12 podemos observar que la salida del sistema 2.2, a los 10 segundos es igual a 1.4. Por lo tanto el error, e_2.2(t) de este sistema a la entrada escalón con amplitud 1.4 cuando t=10s, es:

Se puede calcular el error a la entrada escalón utilizando la constante de posición K_p:

Dónde:

Por tanto:

Se confirma que el error en estado estable del sistema 2.2 a la entrada escalón con amplitud 1.4 es:

2DA PARTE

4. Incluir un controlador proporcional, esto es, una ganancia (bloque Gain) en el diagrama. Dar el valor 10 a la ganancia y obtener de nuevo su respuesta ante las entradas utilizadas en el apartado anterior.
5. De forma análoga, obtener gráficamente el valor del error que presenta la respuesta del sistema al cabo de 10 segundos. Calcular la expresión analítica de dicho error en estado estacionario para cada una de las señales de entrada.

Respuesta: Error Est Estable 2da parte

3RA PARTE

6. El sistema con la función de transferencia 1 se prueba con dos controladores: un P con ganancia proporcional 0.7 y un PI con la misma ganancia proporcional y con ganancia integral 10. Observar la respuesta obtenida ante un escalón unitario para el sistema sin controlador, para el sistema con el controlador P y para el que tiene el PI.

7. Buscar una posible modificación en las ganancias de ambos controladores para mejorar la respuesta.

Respuesta: Error Est Estable 3ra parte

Fuentes:

1. Control Systems Engineering, Nise
2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

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FT a partir de la respuesta al escalón unitario de un sistema de primer orden

Sea una planta cuyo comportamiento se modela como un sistema de primer orden. La respuesta de todo el sistema controlado frente a un escalón unitario es la representada en la siguiente figura:

Esta planta es controlada mediante un regulador P, cuya ganancia vale 13.37, y el sistema  tiene  realimentación unitaria.

Se pide determinar:

1. La función de transferencia de la planta.
2. Se sustituye el controlador proporcional por uno integral, y en el lazo de realimentación se introduce un sensor cuya ganancia estática es 1.1 y cuya constante de tiempo es 1.02 s. Determinar el máximo valor que puede tomar la ganancia del controlador para que el sistema sea estable.

Respuesta:

Debido a que el sistema se comporta como un sistema de primer grado, podemos suponer que la función de transferencia de dicho sistema es de la forma siguiente:

La constante de tiempo T es el tiempo en que el sistema alcanza un 63.2% de su valor final. De acuerdo con la gráfica de la respuesta del sistema a la entrada escalón unitario, este valor final es de 0.89, por lo tanto, T es el tiempo en que el sistema alcanza el valor de 0.562:

En la gráfica anterior podemos ver que el valor de 0.562 se logra aproximadamente a los 0.36 s. Entonces:

En la función de transferencia predeterminada para el sistema:

La variable a se relaciona con la constante de tiempo T de la manera siguiente:

 

Para encontrar la constante K debemos considerar que analíticamente la respuesta del sistema a la función escalón es como sigue:

La antitransformada de Laplace de C_(s) nos permite obtener c_(t):

La ecuación para c_(t) nos permite ver que el valor final de la respuesta del sistema es k/a. De la gráfica podemos afirmar entonces que:

Es decir:

De esta manera podemos afirmar que la función de transferencia del sistema es:

Este resultado lo podemos corroborar con la siguiente simulación:

>> Gs=tf([2.47],[1 2.78]);

>> step(Gs)

La planta es controlada mediante un regulador P, de ganancia k₁=13.37, y realimentación unitaria. Ambos componentes se pueden representar mediante el siguiente diagrama de bloque:

Es decir:

Dónde:

Entonces:De donde:

En definitiva, la función de transferencia de la planta es:

2da parte

Se sustituye el controlador proporcional por uno integral, y en el lazo de realimentación se introduce un sensor cuya ganancia estática es 1.1 y cuya constante de tiempo es 1.02 s. Determinar el máximo valor que puede tomar la ganancia del controlador para que el sistema sea estable.

Respuesta 2:

La nueva situación se representa mediante el siguiente diagrama de bloques:

Dónde:

La función de transferencia del lazo realimentado es:

La función de transferencia del sistema en su totalidad es:

Para estudiar la estabilidad del sistema nos enfocamos en su ecuación característica para aplicar el criterio de Routh-Hurwitz:

Para lograr estabilidad deben cumplir estas dos condiciones:

Del análisis de estabilidad del sistema concluimos que el valor máximo de la constante del controlador integral para garantizar estabilidad es 13.14.

SIGUIENTE:

• Expansión en fracciones parciales – Solución y(t) a partir de la FT

ADEMÁS:

• La Transformada de Laplace
• Transformada de Laplace del Pulso Rectangular
• La Transformada Z
• La antitransformada de Laplace
• Ejemplo de antitransformada de Laplace
• Ejemplo 1: Transformada de Laplace de una función exponencial – Matlab
• La Función de Transferencia
• La respuesta al impulso, la salida y la integral de convolución de un sist. LIT
• Convolución de señales discretas – Sumatoria de convolución
• Convolución en el tiempo continuo – Ejemplos
• Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab
• Método gráfico de convolución de señales continuas
• Sistemas lineales e invariantes en el tiempo

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Circuito eléctrico de primer grado – Simulación en Simulink

Objetivo del taller: Simular el comportamiento del circuito eléctrico de la figura 1 utilizando la herramienta de Matlab Simulink:

Figura 1

Considerar para los componentes los valores que se indican a continuación:

Para cada uno de los circuitos (casos a y b) llevar a cabo las siguientes acciones:

1. Obtener la función de transferencia.
2. Realizar un diagrama de bloques en Simulink y obtener la respuesta del circuito a una entrada escalón (step)
   1. Puesto que son sistemas muy rápidos, para realizar la simulación hay que cambiar los valores que Simulink usa por defecto: simular durante 0.05 s en el caso a) y 0.005 s en el caso b).
   2. No olvidar poner el comienzo del escalón unitario en el instante t=0 (doble click sobre el bloque ‘step’ una vez situado en la ventana en la que estamos haciendo el modelo y cambir ‘step time’ a 0)
3. Calcular sobre la gráfica obtenida en el osciloscopio la constante de tiempo del sistema, la ganancia estática y su tiempo de establecimiento.
4. Verificar analíticamente los resultados obtenidos en la simulación, es decir, compararlos con los valores que se obtienen al hacer los cálculos matemáticos.
5. ¿Qué relación hay entre el valor de la constante de tiempo y la velocidad de respuesta del sistema?
6. Cambiar la entrada y obtener la respuesta del circuito a una entrada rampa unitaria (ramp).
7. Medir el error en el estado estacionario para los dos circuitos. ¿Qué relación hay entre el valor medido y la constante de tiempo de cada sistema?

Respuesta

1. Obtener la función de transferencia

Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff al circuito de la figura 1 obtenemos la siguiente relación:

Suponiendo condiciones iniciales iguales a cero y aplicando la transformada de Laplace a la ecuación anterior obtenemos:Es decir:

De donde:La salida es v_o(t):

La transformada de Laplace de la salida v_o(t) es:

De donde obtenemos la función de trasferencia del sistema:

En el caso del sistema a):

En el caso del sistema b):

2. Realizar un diagrama de bloques en Simulink y obtener la respuesta del circuito a una entrada escalón (step)

El siguiente diagrama de bloques representa en general a un sistema de primer orden como lo es la función de transferencia del sistema de la figura 1:

Figura 2

En el diagrama de bloques de la figura 2, la variable T es la constante de tiempo del sistema. En el caso del sistema de figura 1, la contante de tiempo del sistema es:

Sistema a):

Sistema b):

Simulación en Simulink

En Simulink corremos la simulación para el sistema general de la Figura 2 para una entrada escalón unitario y T=1 s, y obtenemos:      

Figura 3

En la gráfica 1 el tiempo está representado por el eje de las abscisas mientras la amplitud de la salida está representada en el eje de las ordenadas. Y en una gráfica más amplia de la pantalla del scope (Figura 4) podemos ver que la salida sigue a la entrada en estado estable, es decir, su valor final es uno, mientras que en t=T=1 s, la respuesta del sistema ha alcanzado alrededor del 63,2% de su valor final, es decir, 0.633, como lo señala la definición teórica de constante de tiempo de un sistema de primer orden.

Gráfica 1

Hacemos la simulación para los sistemas a) y b):

Sistema a):

Gráfica 2

La gráfica 2 muestra la forma de la curva para el voltaje de salida del sistema de la figura 1, típica respuesta para un sistema RC en serie, donde se espera que el voltaje en el capacitor sea cero en t=0 s, para luego aumentar exponencialmente hasta igualarse en valor al voltaje de entrada (v_in=1, escalón unitario) cuando ha transcurrido bastante tiempo, es decir, en estado estable, cuando el capacitor se comporta como un circuito abierto.

Sistema b):

Gráfica 3

La gráfica 3 muestra nuevamente la forma de la curva para el voltaje de salida del sistema de la figura 1. La única diferencia con respecto a la respuesta de la gráfica 2 es que el tiempo está multiplicado por un factor 10^-4, en vez de 10^-3,es decir, el sistema b) es 10 veces más rápido que el sistema a).

3. Calcular sobre la gráfica obtenida en el osciloscopio la constante de tiempo del sistema, la ganancia estática y su tiempo de establecimiento.

Sistema a)

Gráfica 4

En la gráfica 4 repetimos la gráfica 2, señalando los parámetros del sistema. La constante de tiempo es T=0.52 ms aproximadamente, mientras que aplicando el criterio del 2% podemos ver que el tiempo de establecimiento es de 2 ms, cuando la salida está a 0.02 puntos de alcanzar su valor final. La ganancia estática es 1.

Sistema b)

Gráfica 5

En la gráfica 5 repetimos la gráfica 3, señalando los parámetros del sistema. La constante de tiempo es T=0.052 ms aproximadamente, mientras que aplicando el criterio del 2% podemos ver que el tiempo de establecimiento es de 0.2 ms, cuando la salida está a 0.02 puntos de alcanzar su valor final. La ganancia estática es 1.

4. Verificar analíticamente los resultados obtenidos en la simulación, es decir, compararlos con los valores que se obtienen al hacer los cálculos matemáticos.

Ya habíamos visto que el siguiente diagrama de bloques representa en general a un sistema de primer orden:

Figura 4

La función de transferencia del sistema general de la figura 4 la podemos obtener mediante:

En la ecuación (1), T es la constante de tiempo de un sistema de primer orden. Por otra parte, según el criterio del 2%, el tiempo de establecimiento t_s en el caso de un sistema de primer orden es:

Para cada uno de los sistemas estudiados, a continuación se muestra la función de transferencia con la misma forma de la ecuación (1), la constante de tiempo y el tiempo de establecimiento según el criterio del 2%:

Sistema a):

Si comparamos estos resultados con la simulación hecha en Simulink para el sistema a) vemos que se aproximan los valores de ambos resultados:

Sistema b):

Si comparamos estos resultados con la simulación hecha en Simulink para el sistema b) vemos que se aproximan los valores de ambos resultados:

En cuanto a la ganancia estática, se constata que al obtener el límite cuando t tiende a infinito (s tiende a cero) el valor en estado estable de cada sistema es 1, tal cual como se ve en la simulación de cada sistema:

5. ¿Qué relación hay entre el valor de la constante de tiempo y la velocidad de respuesta del sistema?

La relación entre valor de la constante de tiempo T y la velocidad de respuesta del sistema es la siguiente:

1. Cuando ha pasado un tiempo t=T, el sistema ha alcanzado el 63,2% de su valor final;
2. Cuando ha pasado un tiempo t=2T, el sistema ha alcanzado el 86,5% de su valor final;

• Cuando ha pasado un tiempo t=3T, el sistema ha alcanzado el 95% de su valor final;

98. Cuando ha pasado un tiempo t=4T, el sistema ha alcanzado el 98.2% de su valor final;
99. Cuando ha pasado un tiempo t=5T, el sistema ha alcanzado el 99.3% de su valor final;

Para poner un ejemplo, ubicamos en la gráfica 6, generada por la simulación para el sistema b) , el valor de la salida para t=3T, corroborando que la salida ya ha alcanzado un valor de 0.95 (95% de su valor final):

Gráfica 6

También cabe resaltar, como se dijo antes, que el sistema b) es más rápido que el a) porque su constante de tiempo es más pequeña. En conclusión, mientras más pequeña sea la constante de tiempo de un sistema, más rápido es.

6. Cambiar la entrada y obtener la respuesta del circuito a una entrada rampa unitaria (ramp).

Sistema a):

Gráfica 7

Sistema b):

Gráfica 8

7. Medir el error en el estado estacionario para los dos circuitos. ¿Qué relación hay entre el valor medido y la constante de tiempo de cada sistema?

Por medio de las gráficas 1 y 2 para cada sistema podemos ver que en ambos casos, cuando la entrada es la función escalón unitario, el error en estado estacionario es cero, es decir, el valor de la salida es 1 en estado estacionario, igual al valor de la entrada.

Por otra parte, para visualizar el error en estado estable cuando la entrada es la rampa unitaria, veamos la siguiente gráfica en el caso del sistema a), donde la curva amarilla es la respuesta del sistema y la curva azul es la entrada:

Gráfica 9

En la gráfica 9 podemos ver que después una constante de tiempo, el error en estado estable en el sistema a) es aproximadamente de 0.5×10^-3. En cuanto al sistema b) cuya entrada y salida se muestran en la gráfica 10, este error es de 0.5×10^-4.

Gráfica 10

Para corroborar estas afirmaciones vamos a calcular el error en estado estable analíticamente.

Para medir el error en estado estacionario  utilizamos las constantes de posición y velocidad k_p y k_v, respectivamente, de cada sistema:

Sistema a):

Se confirma que el error en estado estacionario del sistema a) para la entrada escalón unitario es:

Mientras, el error en estado estacionario del sistema a) para la entrada rampa unitaria es:

Como se puede ver, estos resultados corroboran aquellos obtenidos mediante la gráfica para el sistema a). Igual sucede para el sistema b)

Sistema b):

De acuerdo con estos últimos resultados es clara la relación que existe entre la constante de tiempo y el error en estado estable para la entrada rampa. Ambos valores son iguales.

Siguiente:

• Respuesta natural de un circuito RL – Definición y ejemplos
• Respuesta al escalón unitario de un circuito RL – Definición y ejemplos
• Circuitos y sistemas de segundo orden
• Circuito RLC en serie – análisis y ejemplos – circuito de segundo orden
• La función de transferencia de un circuito eléctrico RC, RL o RCL
• Ejemplo de Función de Transferencia de un circuito LC
• Modelo matemático y función de transferencia de un circuito RC – Respuesta Escalón – Simulación en Matlab
• El capacitor – Un circuito abierto para CD
• El Capacitor – Preliminares
• Circuitos con condensadores en serie o en paralelo – Equivalencia, ejemplos
• Circuitos con inductores en serie o en paralelo – Equivalencias, ejemplos
• Problemas con condensadores en serie y en paralelo
• Problemas con inductores en serie y en paralelo
• Inductancia Mutua – Definición
• Problemas de circuitos con inductores

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Ejemplo de la representación en espacios de estados de y(t) a partir la función de transferencia

Obtener la representación en espacio de estados  de y_(t)  a partir de la función de transferencia Y_(s)/U_(s):

HallaPara obtener la representación en espacios de estados del sistema utilizamos la expresión para Y_(s)/U_(s) de la siguiente manera:

Representamos este sistema mediante el siguiente diagrama de bloques:

Dónde:

Al aplicar la antitransformada de Laplace obtenemos:

Asignamos las siguientes variables de estado:

Sustituimos:

Además vemos que:

De esta manera, la primera parte de la representación en espacios de estados del sistema es:

Para determinar el resto de la representación tomamos en cuenta que:

Al aplicar la antitransformada de Laplace obtenemos que:

Al sustituir las variables de estado ya definidas obtenemos que:

Por lo tanto, la salida y_(t)  a partir del espacio de estados es:

2. Graficar y_(t) en Matlab y explicar a partir de la gráfica la estabilidad del sistema.

Para graficar y_(t) para una entrada escalón unitario utilizamos la función de transferencia y el siguiente comando en Matlab:

>> sys=tf([1 3 7],[1 6 9 4]);

>> step(sys)

Así obtenemos:

En la gráfica anterior podemos ver claramente que el estado final del sistema es estable, ya que el valor de la salida y_(t) se estabiliza en:

El valor final, o valor en estado estable, para y_(t), y el tiempo de establecimiento en t=5.76 s, se pueden comprobar en la gráfica siguiente:

Además se le puede preguntar a la cónsola de Matlab si el sistema es estable mediante el siguiente comando (el número 1 significa verdadero):

>> isstable(sys)

ans = 1

SIGUIENTE:

• Expansión en fracciones parciales – Solución y(t) a partir de la FT

ADEMÁS:

• La Transformada de Laplace
• Transformada de Laplace del Pulso Rectangular
• La Transformada Z
• La antitransformada de Laplace
• Ejemplo de antitransformada de Laplace
• Ejemplo 1: Transformada de Laplace de una función exponencial – Matlab
• La Función de Transferencia
• La respuesta al impulso, la salida y la integral de convolución de un sist. LIT
• Convolución de señales discretas – Sumatoria de convolución
• Convolución en el tiempo continuo – Ejemplos
• Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab
• Método gráfico de convolución de señales continuas
• Sistemas lineales e invariantes en el tiempo

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Expansión en fracciones parciales – Solución y(t) a partir de la función de transferencia – ejemplo

Hallar la solución y_(t) a partir de la función de transferencia Y_(s)/U_(s) para una entrada escalón:

Para hallar y_(t) utilizaremos el método de expansión en fracciones parciales. El primer paso es presentar a Y_(s)/U_(s) en su forma factorizada:

La expansión en fracciones parciales es como sigue:

Dónde:Por lo tanto:

Para calcular k₂₁ primero derivamos:

Por lo tanto:

De esta manera, Y_(s)/U_(s) se puede escribir como:

Al aplicar la antitransformada a la ecuación anterior, obtenemos que:

En consecuencia, y_(t) para una entrada escalón es:

2. Graficar y_(t) en Matlab y explicar a partir de la gráfica la estabilidad del sistema.

Para graficar y_(t) para una entrada escalón unitario utilizamos la función de transferencia y el siguiente comando en Matlab:

>> sys=tf([1 3 7],[1 6 9 4]);

>> step(sys)

Así obtenemos:

En la gráfica anterior podemos ver claramente que el estado final del sistema es estable, ya que el valor de la salida y_(t) se estabiliza en:

El valor final, o valor en estado estable, para y_(t), y el tiempo de establecimiento en t=5.76 s, se pueden comprobar en la gráfica siguiente:

Además se le puede preguntar a la cónsola de Matlab si el sistema es estable mediante el siguiente comando (el número 1 significa verdadero):

>> isstable(sys)

ans = 1

SIGUIENTE:

• Ejemplo de obtener la representación en espacio de estados a partir de la FT

ADEMÁS:

• La Transformada de Laplace
• Transformada de Laplace del Pulso Rectangular
• La Transformada Z
• La antitransformada de Laplace
• Ejemplo de antitransformada de Laplace
• Ejemplo 1: Transformada de Laplace de una función exponencial – Matlab
• La Función de Transferencia
• La respuesta al impulso, la salida y la integral de convolución de un sist. LIT
• Convolución de señales discretas – Sumatoria de convolución
• Convolución en el tiempo continuo – Ejemplos
• Convolución de un señal con su respuesta al impulso – Ejemplo en Matlab
• Método gráfico de convolución de señales continuas
• Sistemas lineales e invariantes en el tiempo

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Problemas de Modelo de sistemas eléctricos en variable de estado, función de transferencia, diagrama de bloques, simulación en matlab-simulink

Modelo de sistemas eléctricos en Matlab. Para los circuitos de las Figuras 1, 2, 3 y 4, determinar:

1. Modelo en espacio de estados
2. Diagrama de bloques a partir del modelo en espacio de estados
3. Función de transferencia a partir del modelo en espacio de estados
4. Simular en Matlab – Simulink, según los siguientes estilos de simulación:
   • Diagrama de bloques
   • El modelo en espacio de estados
   • Las funciones de transferencia
   • Interpretar los resultados.

Respuesta:

Para adquirir esta solución se facilita pago a través de Paypal o con TC.

Fuente:

1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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Examen resuelto -Función de transferencia de red eléctrica, diagrama de bloques/flujo, Mason.

Considerando el circuito de la Figura 1 determinar:

a) Las ecuaciones del sistema utilizando la transformada de Laplace; b) Bloques equivalentes a cada ecuación; c) Diagrama de Bloques del Circuito Completo; d) Diagrama de flujo; e) Función de Transferencia V_c3(s)/V_(s):

Figura 1

Respuesta:

Te recomiendo además: Función de transferencia de sistema eléctrico – Problemas resueltos – Catálogo 5

SIGUIENTE:

• Teorema de Thevenin con fuentes dependientes
• El teorema de Norton – Análisis de circuitos
• Principio de superposición – Análisis de circuitos
• Representación Fasorial de voltajes y corrientes – Fasores
• Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito eléctrico
• La impedancia y la admitancia de un circuito eléctrico.
• Ejercicio de cálculo de corriente y voltaje mediante fasores.
• Análisis fasorial de circuitos eléctricos de corriente alterna (CA) – Nodos y Mallas
• Circuitos de primer orden – Circuitos RC y RL
• La función de transferencia de un circuito eléctrico RC, RL o RCL
• Modelo matemático de un circuito RC – Respuesta Escalón – Simulación en Matlab
• El capacitor – Un circuito abierto para CD
• El Inductor – Un cortocircuito para CD
• Método de Mallas – Análisis de circuitos
• Ejemplo de Función de Transferencia de un circuito LC
• Función de transferencia de sistema eléctrico – Problemas resueltos – Catálogo 5

Fuente:

1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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Protegido: Ejercicio red eléctrica tres mallas – función de transferencia vía Mason.

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Ejercicio de variables de estado – circuito eléctrico

Calcular el modelo en variables de estado del circuito de la Figura 1, considerando las variables de estado x₁=i y x₂=V_s, la señal de entrada u=V_i, la salida y=V_s.

Figura 1

Determinar la representación en el espacio de estados considerando las siguientes variables de estado:

La entrada y la salida del sistema son respectivamente:

Respuesta:

Derivamos las siguientes ecuaciones a partir de las variables de estado definidas:

Despejamos en las ecuaciones 1 y 2 el equivalente a las ecuaciones anteriores, y sustituimos las variables de estado:

Por otra parte, la salida es:

En definitiva, utilizando las ecuaciones (3),(4) y (5) la representación en espacio de estados del sistema es:

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