Análisis de sistemas de control, Respuesta en el tiempo

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Introducción.

La respuesta en el tiempo de un sistema de control se divide normalmente en dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable.

Para el estudio de la respuesta transitoria de un sistema de control, lo más conveniente es contar con la representación prototipo. Es decir, si tenemos el modelo matemático de un sistema, debemos representar dicho sistema mediante un diagrama de bloques donde esté claramente expresada la función de transferencia directa G(s) y una realimentación negativa unitaria como se ilustra en la Figura 1:

Figura 1. Sistema de control con realimentación unitaria

Ya sabemos que la función de transferencia a lazo cerrado C(s)/R(s)  del sistema de control de la Figura 1 se determina mediante la siguiente fórmula:

Denominamos a C(s)/R(s) “modelo prototipo” (o configuración prototipo), cuando tiene la siguiente forma:

 

Dónde: null

Entonces, debemos representar el sistema de interés (el que estamos estudiando) con una función de transferencia similar a la forma de la ecuación (1) y de allí obtener los valores para la frecuencia natural ωn y el factor de amortiguamiento relativo ζ. Con estos dos valores podremos calcular lo que realmente interesa en el análisis de la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario:

  1. Sobrepaso máximo (Mp)
  2. Tiempo de asentamiento (Ts)
  3. Tiempo de levantamiento (Tr)

La fórmula para cada uno de estos parámetros se presentan más adelante. Pero antes, es necesario ofrecer una definición más formal sobre respuesta transitoria.

Definición de respuesta transitoria

Sea y(t) la respuesta de un sistema en tiempo continuo, entonces:

donde yt(t) es la respuesta transitoria, mientras yss(t) es la respuesta en estado estable.

La respuesta transitoria de un sistema de control es importante ya que tanto su amplitud como su duración deben mantenerse dentro de límites tolerables o prescritos. Está definida como la parte de la respuesta en el tiempo que tiende a cero cuando el tiempo se hace muy grande. Por lo tanto,

Todos los sistemas de control estables reales presentan un fenómeno transitorio antes de alcanzar la respuesta en estado estable. Para propósitos de análisis y diseño es necesario suponer algunos tipos básicos de entradas de prueba para evaluar el desempeño de un sistema. La selección adecuada de estas señales de prueba permite la predicción del desempeño del sistema con otras entradas más complejas. Se utilizan las siguientes señales: Función Escalón, que representa un cambio instantáneo en la entrada de referencia; Función Rampa, que representa un cambio lineal en el tiempo; Función Parabólica, que representa un orden más rápido que la rampa. Estas señales tienen la característica común de que son simples de escribir en forma matemática, rara vez es necesario o factible emplear funciones más rápidas. En la Figura 7-1 se pueden observar dichas funciones:

Es muy común que se utilice principalmente el escalón unitario para describir la respuesta transitoria de un sistema de control. Para observar en la práctica cómo se utilizan estas señales recomiendo visitar:

Cálculo de la Respuesta Transitoria. 

El criterio de desempeño comúnmente utilizado para representar las características de un sistema de control lineal en el dominio del tiempo, está  constituido por la evaluación de los siguientes conceptos, cuando la función de prueba en la entrada del sistema es el escalón unitario:

  1. Sobrepaso máximo (Mp): es el valor pico máximo de la curva de respuesta medida a partir de la unidad. Según otra bibliografía, es también la cantidad en que la forma de la curva de salida sobrepasa el valor final de la salida, expresada en porcentaje.
  2. Tiempo de retardo (Td): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema alcance la mitad del valor final por primera vez.
  3. Tiempo de asentamiento (Ts): es el tiempo requerido para que las oscilaciones amortiguadas transitorias alcancen y permanezcan dentro del ±2% o del  ±5% del valor final o valor en estado estable.
  4. Tiempo de levantamiento (Tr): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema pase del 10% al 90% del valor final. En otras palabras, para que vaya de 0.1 del valor final al 0.9 del valor final.
  5. Tiempo pico (Tp ó Tmáx):es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema alcance el pico del levantamiento máximo.

Una respuesta típica de un sistema de control a una entrada escalón unitario se muestra en la Figura 7-11:

Estas cinco cantidades ofrecen una visión exhaustiva de las características transitorias de un sistema de control en términos de la respuesta al paso unitario.

Para evaluar estos conceptos, lo más práctico es representar el sistema en términos del modelo prototipo, el cual se ilustra mediante un diagrama de bloques en la Figura  5-6:

Para armar o modificar el diagrama de bloques de un sistema, recomiendo ver: Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

La representación prototipo muestra claramente dos funciones fundamentales para los cálculos:  la Función de Transferencia Directa G(s) y la Función de Transferencia a Lazo Cerrado C(s)/R(s)=Gce(s), que en la Figura 5-6 son:

null

Estas funciones definen dos parámetros de uso muy extendido cuando se dan  especificaciones de diseño de un sistema de control:

null

El modelo prototipo es un sistema de segundo orden. Para ver un ejemplo de aplicación de esta teoría ver Respuesta transitoria de un sistema de control Prototipo

Si bien son raros los sistemas de control de segundo orden, su análisis ayuda a formar una base para el diseño y análisis de sistemas de orden más alto cuya representación puede aproximarse mediante sistemas de segundo orden. Un excelente ejemplo de aplicación, muy frecuente además, es un sistema de control de posición, cuya respuesta transitoria se desarrolla completamente en el siguiente link: Servomotores – Respuesta transitoria de un sistema de control de posición.

Disponiendo del diagrama de bloques con realimentación unitaria, la función de transferencia a lazo cerrado Gce(s) nos permite calcular el valor de los parámetros ωn y ζ. Con estos términos, podremos evaluar el desempeño del sistema en su respuesta transitoria a la entrada escalón unitario, mediante las siguientes fórmulas , aplicables sobre todo al sistema subamortiguado (0<ζ<1):

  • Sobrepaso máximo (Mp), o por sus siglas en Inglés %OS (Over-Shooting):

también podemos utilizar:null

donde y(t(p)es el valor de la salida en el tiempo de máximo sobrepaso, mientras y(∞) es el valor de la salida en estado estable, cuando desaparece la respuesta transitoria.

Es muy útil contar además con la expresión para el factor de amortiguamiento relativo ζ en función del sobrepaso Mp:

null

  • Tiempo de asentamiento (Ts)

null

null

  • Tiempo de levantamiento (Tr)

El tiempo de levantamiento no se puede expresar en función del factor de amortiguamiento relativo ζ. Ya que Tr es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema pase del 10% al 90% del valor final, la manera más práctica de hallar el valor de Tr es utilizando la gráfica para la salida C(t) del sistema a una entrada escalón, generada por la computadora (step() en Matlab), y restar, para un valor determinado del factor de amortiguamiento relativo ζ, los tiempos para los cuáles C(t)=0.9 y C(t)=0.1 (se da un ejemplo más adelante).

También se puede utilizar la siguiente relación para la cual es necesario contar con los componentes real e imaginario de la raíz que se corresponde con los valores dados de ωn ζ (Figura 5-9):

donde ωd es la frecuencia natural amortiguada:

y ß está definida por la Figura 5-9:

  • Tiempo pico (Tp)

null

  • Tiempo de retardo (Td)

null

La respuesta transitoria de un sistema de control en la práctica siempre exhibe oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Esto ocurre porque los sistemas tienen componentes que almacenan energía y no pueden responder de manera inmediata a los cambios en la entrada. La respuesta transitoria a una entrada escalón depende de las condiciones iniciales. Es por ello que en la práctica se acostumbra considerar que el sistema está inicialmente en reposo de modo tal que las condiciones iniciales (la salida y sus derivadas) son iguales a cero.

Sistema en lazo abierto 

Aún en los casos donde no haya una realimentación de control, podemos utilizar los parámetros ωn y ζ para calcular las especificaciones de diseño. En estos casos, la función de transferencia de nuestro sistema es simplemente G(s)la cual podemos representar de la siguiente forma:

null

Donde C es una constante. Pongamos el caso bien conocido de un sistema masa-resorte-amortiguador básico.

nullAcá, la función de transferencia del sistema es:null

El sistema equivalente queda expresado como:nullDónde:nullPor tanto:nullPor lo que:

nullSiendo:

null

Para ver el resto del problema ver: Ejemplo 1 – Respuesta Transitoria de sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo sistema a lazo cerrado

Considere el sistema de la Figura 5-84:

null

Determinar los valores de K y k tal que el sistema tenga un factor de amortiguamiento relativo ζ de 0.7 y una frecuencia natural ωn de 4 rad/s.

Respuesta completa en el siguiente link: Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema de control

Especificaciones para la respuesta transitoria de un sistema de segundo orden.

La Figura 5-5a muestra un sistema “Servo” como ejemplo de un sistema de segundo orden (ver Servomotores – Sistema de control de posición). Consiste de un controlador proporcional y elementos de carga (inercia y fricción viscosa).

La Función de Transferencia del sistema de lazo cerrado mostrado en la Figura 5-5c es:

Para el análisis de la respuesta transitoria es conveniente escribir:

Donde  σ es denominado atenuaciónωn es la frecuencia natural sin amortiguamiento del sistema; y ζ el factor de amortiguamiento relativo del sistema. ζ es la razón entre el factor actual de amortiguamiento B y el factor de amortiguamiento crítico Bc que es igual a dos veces la raíz cuadrada de JK:

En términos de ωn y ζ, el sistema mostrado en la Figura 5-5c puede ser expresado como en la Figura 5-6, denominado “Sistema Prototipo”:

Ahora, la Función de Transferencia C(s)/R(s) puede ser escrita como:

Esta última es denominada Forma Estándar. La dinámica del comportamiento de un sistema de segundo orden puede ahora ser descrita en términos de los dos parámetros ωn y ζ. Brevemente, los diferentes tipos de respuestas de un sistema de segundo orden a una entrada escalón en función de ζ pueden ser resumidas mediante la Figura 4-11:

 

null

Otras observaciones

Considere la Figura 5-8:

Es importante resaltar que estas especificaciones no necesariamente aplican a todos los casos de respuestas de sistemas de segundo orden. Por ejemplo, los términos tiempo pico y levantamiento máximo no aplican para sistemas sobreamortiguados.

Excepto en aquellos casos donde las oscilaciones no son toleradas, es deseable que la respuesta transitoria de un sistema de control dado sea lo suficientemente rápida y lo suficientemente amortiguada. Esto se logra mediante un factor de amortiguamiento entre 0.4 y 0.8. Pequeños valores de ζ (ζ<0.4) producen excesivo levantamiento máximo en la respuesta transitoria, mientras que un sistema con alto ζ (ζ>0.8) responde de manera muy lenta. Veremos además que el levantamiento máximo y el tiempo de levantamiento entran en conflicto. Es decir, no es posible disminuir el tiempo de levantamiento y el levantamiento máximo al mismo tiempo.

Ejemplos

Tiempo de levantamiento (Tr):

Sea la siguiente función de transferencia a lazo cerrado de un sistema determinado:

Calcular el Tr para Kp=1 y Kd=0.00108.

>> s=tf(‘s’)

>>sys=(834526.56*(1+0.00108*s))/(s^2+(361.2+834526.56*0.00108)*s+834526.56)

sys =     (901.3 s + 8.345e05) / (s^2 + 1262 s + 8.345e05)

> step(sys)

null

Utilizando la gráfica para la salida C(t) del sistema a una entrada escalón para un valor determinado del factor de amortiguamiento relativo (ζ=0.69). Para hallar Tr, restamos los tiempos para los cuáles C(t)=0.9 C(t)=0.1:

null

La gráfica anterior nos permite determinar el valor de Tr para un valor de ζ=0.69 de la siguiente manera:

Respuesta transitoria de sistemas de mayor orden.

Se podrá comprobar que la respuesta transitoria de sistemas de orden superior al segundo orden es la suma de las respuestas del sistema de primer orden y segundo orden.

Respuesta transitoria de un sistema de primer orden.

Brevemente repasamos la respuesta transitoria de un sistema de primer orden. La Figura 4.4(a) muestra la función de transferencia de un sistema de primer orden sin zeros.

Si la entrada es una función escalón unitario, es decir, R(s)=1, la transformada de Laplace de C(s) es igual a:

Mediante la transformada inversa obtenemos que:

La Figura 4-5 muestra la respuesta típica de un sistema de primer orden a una entrada escalón:

Llamamos a 1/a la constante de tiempo de la respuesta. El parámetro a es el único necesario para describir la respuesta transitoria de un sistema de primer orden. En consecuencia, la constante de tiempo es considerada la especificación por excelencia para la respuesta transitoria de un sistema de primer orden en respuesta a una entrada escalón. Ya que el polo de la función de transferencia está en a, podemos decir que el polo es el recíproco de la constante de tiempo. Por tanto, mientras más lejos esté el polo del eje de la imaginarias en el plano complejo, más pequeña será la constante de tiempo y por ende el sistema será más rápido.

Otras especificaciones para los sistemas de primer orden son:

Tiempo de levantamiento (Tr):

Tiempo de asentamiento (Ts):

Para ver un ejemplo de aplicación de la teoría presentada hasta ahora, ver el siguiente link: Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema electromecánico

SIGUIENTE: Estabilidad de un sistema de control.

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Mentoring Académico / Empresarial / Emprendedores

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. 00593998524011

WhatsApp: +593998524011    /    +593981478463

Twitter: @dademuch

FACEBOOK: DademuchConnection

email: dademuchconnection@gmail.com

Atención:

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab.

Relacionado:

Ejemplo 1 – Respuesta Transitoria de sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema electromecánico

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

Servomotores – Sistema de control de posición

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques de Sistema Electromecánico con Motor DC

 Estabilidad de un sistema de control
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24 comentarios en “Respuesta Transitoria de un Sistema de Control”

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