Análisis de sistemas de control, Ingeniería Mecánica, Respuesta en el tiempo

Simulación en Matlab de respuesta en el tiempo de sistema masa-resorte-amortiguador.

La función sinusoidal y la función exponencial representan muchos procesos de la naturaleza. En especial, son de gran utilidad para representar el caso de movimientos amortiguados en el campo de la mecánica. La Figura (1) muestra la Función de Transferencia para un sistema masa-resorte-amortiguador simple:

null
Figura 1. Sistema masa-resorte-amortiguador

La dinámica del sistema de la Figura (1) se describe mediante una sola ecuación diferencial:

null

En la ecuación (5), x(t) es el desplazamiento horizontal del sistema, que es un desplazamiento sinusoidal amortiguado, conocido como movimiento armónico amortiguado, concepto básico para la física y la ingeniería mecánica clásica.

La siguiente ecuación es una solución para la ecuación diferencial (5). Se trata de una función exponencial multiplicada por una función sinusoidal:

null

Supongamos el siguiente ejemplo para la ecuación anterior de x(t):

null

Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab:

>> t=0:0.01:30;

>> x=5*exp(-0.1*t).*cos(4*t-0.7048);

>> plot(t,x)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Desplazamiento X(metros)’)

null
Figura 2. Movimiento armónico amortiguado

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

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Análisis de sistemas de control, Ingeniería Mecánica, Variables de estado

Ejercicio de dinámica y variables de estado de sistema masa-resorte-amortiguador

Determinar las ecuaciones de la dinámica del sistema mostrado en la siguiente figura:

Vehículo jala remolque mediante acoplamiento resorte-amortiguador.

Se definen los siguientes parámetros: es la masa del remolque, bh es el coeficiente de fricción de amortiguación del acoplamiento, kh es la constante del resorte del acoplamiento, bt es el coeficiente de fricción viscosa del remolque,  x1(t) es el desplazamiento del vehículo remolcador, x2(t) es el desplazamiento del remolque, y f(t)  es la fuerza del vehículo remolcador.

  1. Ecuaciones del sistema

Dónde m1 es la masa del punto 1 donde se concentra la fuerza del remolque, por ello se considera de masa=0. De allí obtenemos la ecuación (1) del sistema:

Por otra parte:

Dónde es la masa del remolque. De aquí obtenemos la ecuación (2) del sistema:

Se han formulado las ecuaciones en este orden con el fin de facilitar la determinación de las variables de estado y el arreglo matricial que permita encontrar rápidamente la función de transferencia del sistema. Para mayor información teórica sobre este tema ver: Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

2. Variables de estado

Definición de variables de estado :

El siguiente paso consiste en encontrar en función de las variables de estado definidas:

Utilizamos las ecuaciones (1) y (2) para sustituir, despejar y completar estas últimas relaciones:

Si la salida del sistema es x2(t), la entrada es f(t), y debemos obtener la función de transferencia X2(s)/F(s), lo más práctico es utilizar dx2(t)/dt como salida (ya que la tenemos de una vez despejada en la definición de variables de estado) y luego despejar X2(s). Es decir, calculamos la velocidad y luego integramos para hallar el desplazamiento, aprovechando el hecho de que el resultado que obtendremos estará expresado en el dominio de la frecuencia, y en ese caso la integración es una simple operación algebraica, tal como lo muestra la siguiente figura:Así, utilizando las ecuaciones (3) y (4), la representación matricial del sistema es:

null

3. Transformar la Representación Matricial en Función de Transferencia

La anterior representación matricial del sistema tiene la forma:Dónde:

Recordando que la transformada de Laplace de la salida es:De la teoría de sistemas de control se extrae que:Donde I es la matriz identidad y s es la variable compleja utilizada en la transformada de Laplace. Entonces:Buscando ayuda en Matlab:

>> s=sym(‘s’)

>>Kh=sym(‘Kh’)

…… // declarar todas las variables

>> sIA= [s+(Kh/Bh) 0;0 s+(Bt/m)]

>> C=[0 1]

>> B= [1/Bh;1/m]

>> V=(sIA)^-1

>> G=C*V*B

G = 1/(Bt + m*s)

Por tanto:Se confirma que:

null

Para revisar la teoría sobre Variables de Estado ver: Representación de un sistema en variables de estado

Para ejecutar este mismo ejercicio utilizando Transformada de Laplace y Función de Transferencia, ver: Ejercicio de dinámica masa-resorte-amortiguador

Fuente: Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo

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Relacionado:

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

Atención:

Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.

Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. Da un vistazo al Índice al final de este artículo.

INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

 

 

Atención: 

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema: 

Atención:

Si lo que Usted necesita es determinar La Función de Transferencia de un Sistema..Le entregamos la respuesta en dos horas o menos, dependiendo de la complejidad. En digital. Póngase en contacto con nosotros, respuesta inmediata, resolvemos y entregamos la Función de Transferencia de sistemas masa-resorte-amortiguador, eléctricos, electromecánicos, electromotriz, nivel de líquido, térmico, híbridos, rotacional, no lineales, etc.. Opcional, Representación en Variables de Estado. Simulación en Matlab, Opcional, Entrevista por Skype para explicar la solución.

Análisis de sistemas de control, Dinámica de sistemas, Ingeniería Mecánica

Ejercicio de dinámica masa-resorte-amortiguador

Determinar las ecuaciones de la dinámica del sistema mostrado en la siguiente figura:

Vehículo jala remolque mediante acoplamiento resorte-amortiguador.

Se definen los siguientes parámetros: es la masa del remolque, bh es el coeficiente de fricción de amortiguación del acoplamiento, kh es la constante del resorte del acoplamiento, bt es el coeficiente de fricción viscosa del remolque,  x1(t) es el desplazamiento del vehículo remolcador, x2(t) es el desplazamiento del remolque, y f(t)  es la fuerza del vehículo remolcador.

  1. Ecuaciones del sistema

Dónde m1 es la masa del punto 1 donde se concentra la fuerza del remolque, por ello se considera de masa=0. De allí obtenemos la ecuación (1) del sistema:

Por otra parte:

Dónde es la masa del remolque. De aquí obtenemos la ecuación (2) del sistema:

Se han formulado las ecuaciones en este orden con el fin facilitar la determinación de la transformada de Laplace y el arreglo matricial que permita encontrar rápidamente la función de transferencia del sistema. Para mayor información teórica sobre este tema ver: Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

2. Transformada de Laplace

Utilizando las ecuaciones (1) y (2), podemos dibujar el diagrama de cuerpo libre para cada elemento de movimiento X1 y Xrespectivamente:

El punto 1 es el punto de unión entre el vehículo y el acoplamiento. Luego:

Así obtenemos las ecuaciones siguientes:

Aplicando propiedad asociativa:

Para revisar la teoría sobre Transformada de Laplace ver: La Transformada de Laplace

3. Función de Transferencia

En forma de matriz, las ecuaciones anteriores se expresan como:

Que tiene la forma:

Si el objetivo fuera encontrar la función de transferencia G(s):Entonces al aplicar álgebra lineal a la matriz anterior obtenemos que:

Dónde:

Mientras que:

Por tanto:

De donde:

Factorizando:

Simplificando, obtenemos:

Para revisar la teoría sobre Función de Transferencia ver: La Función de Transferencia

Para ejecutar el mismo ejercicio utilizando Variables de Estado, ver: Ejercicio de dinámica y variables de estado

Fuente: Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo

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Relacionado:

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

Atención:

Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.

Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. Da un vistazo al Índice al final de este artículo.

INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

 

 

Atención: 

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Ingeniería Mecánica, Variables de estado

Representación de un sistema en variables de estado

En términos generales, la finalidad del método es expresar un sistema mediante la estructura vectorial siguiente:

La finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden, representado por el vectornullen la ecuación anterior.

La gran ventaja de utilizar variables de estado es que, para un sistema con muchas variables, como es el caso de un sistema masa-resorte-amortiguador o de un sistema eléctrico, necesitamos usar ecuaciones diferenciales solo para resolver un subconjunto seleccionado de variables del sistema. A partir de allí todas las demás variables del sistema se pueden evaluar algebraicamente.

El primer paso es entonces decidir cuáles serán esas variables que forman este subconjunto de variables de estado, que en las ecuaciones anteriores está representado por el vector X. Y a partir de ese conjunto, las otras variables se pueden expresar como función de las variables seleccionadas. Parece un trabalenguas, por ello mejor explicarse mediante un ejemplo.

Supongamos que tenemos el sistema de la Figura 3.5

1er paso. En este ejemplo la clave para seleccionar las variables de estado son los elementos del sistema que almacenan energía porque son los que requieren de ecuaciones diferenciales para explicar su dinámica. Por ello escribimos dichas ecuaciones para el inductor y el capacitor:

De las ecuaciones anteriores es conveniente para nuestra representación en variables de estado seleccionar los parámetros que están derivados, es decir:

2do paso. Para lograr la finalidad del método que se explicó al principio de este documento, vemos de inmediato que si tomamos nuestras dos ecuaciones diferenciales anteriores y despejamos las derivadas de las variables de estado seleccionadas (lado izquierdo), ya tenemos adelantada la estructura que buscamos alcanzar:

3er paso. Sin embargo, el lado derecho no está en función de las variables de estado seleccionadas, por lo que debemos utilizar otras ecuaciones para lograr esto. Aplicamos Kirchhoff de corriente para lograr Ic, y de voltaje para lograr Vl en función de las variables de estado seleccionadas:

Sustituimos:

4to paso. Y así hemos alcanzado expresar la dinámica de nuestro sistema en términos de las variables de estado seleccionadas:

Nota: no depende de , pero la incluimos multiplicada por cero para resaltar el hecho de que debemos expresar el lado derecho en términos de las ecuaciones de estado y pasar de allí a la forma matricial presentada más adelante.

5to paso. Para completar el método sólo nos falta hallar la salida en función de las variables de estado. Si seleccionamos la salida como la corriente que atraviesa la resistencia R, y la llamamos IR, obtenemos directamente que:

O lo que es lo mismo:

Representamos así nuestro sistema en variables de estado de la forma matricial siguiente:

Una ecuación diferencial de primer orden requiere de una variable de estado. Una de segundo orden requiere de dos variables de estado. Y así sucesivamente, por ende, se podría demostrar el siguiente criterio:

  • Una ecuación de orden n genera n variables de estado

Debemos repetir que independientemente del orden de las ecuaciones diferenciales en la dinámica del sistema, la finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden.

Estos criterios nos ayudan a abordar el caso del sistema masa-resorte-amortiguador, donde aplicaremos el mismo método para obtener su representación en variables de estado.

Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Supongamos ahora que tenemos el sistema de la Figura 2.15, para el cual ya habíamos encontrado su Función de Transferencia (ver: Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador):

Debemos encontrar para este sistema su representación en variables de estado.

Para ver todo el resultado ver el siguiente link: Ejemplo 1 – Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

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Atención:

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab. En el link encontrará la descripción del servicio y su costo.

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Dinámica de sistemas, Ingeniería Mecánica, Transformada de Laplace

Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador – Ejemplo 2

  1. Control Systems Engineering, Nise, p 101

Desarrollamos diagrama de fuerzas a cada unidad de masa, aplicando transformada de Laplace a cada fuerza por separado debido a la propiedad de superposición. Para la Masa 1 el diagrama de cuerpo libre es el siguiente:

Para la Masa 2 el diagrama de cuerpo libre es:

Para la Masa 3 el diagrama de cuerpo libre es:

La dinámica del sistema (ecuaciones de movimiento) es:

Supongamos que nuestra intención es hallar X3(s)/F(s). Primero vamos a hallar el determinante de la matriz mediante el siguiente comando en matlab:

>> s=sym(‘s’);

>> A=[4*s^2+4*s+8 -4 -2*s;-4 5*s^2+3*s+4 -3*s;-2*s -3*s 5*s^2+5*s+5];

>> delta=det(A)

delta =100*s^6 + 260*s^5 + 544*s^4 + 652*s^3 + 484*s^2 + 280*s + 80

Luego:

>> Us=sym(‘Us’);

>> B=[4*s^2+4*s+8 -4 0;-4 5*s^2+3*s+4 Us;-2*s -3*s 0];

>> CX3=det(B)

CX3 =12*Us*s^3 + 12*Us*s^2 + 32*Us*s

Entonces:De donde:

Atención:

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    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales
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Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador – Ejemplo 1

Obtener la Función de Transferencia X1(s)/U(s) del sistema mecánico de la Figura 3-83 Ejercicio B318, Modern_Control_Engineering, Ogata 4t p 149.

null

Desarrollamos diagrama de fuerzas a cada unidad de masa, aplicando transformada de Laplace a cada fuerza por separado debido a la propiedad de superposición. Para la Masa 1 el diagrama de cuerpo libre es el siguiente (el análisis debido a cada movimiento X(s) se hace por separado para mayor claridad):

null

 

Para la Masa 2 el diagrama de cuerpo libre es:

null

La dinámica del sistema (ecuaciones de movimiento) es:

Así, aplicando álgebra lineal obtenemos la Función de Transferencia X2(s)/U(s) como:

Atención:

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  • Capítulo 1———————————————————- 1
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  • Capítulo 3———————————————————- 76
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  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
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Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab

Estabilidad de un sistema de control

ANSYS, Física Aplicada, Ingeniería Mecánica

Análisis de elementos finitos (FEA) – ANSYS,1era parte.

Introducción

¿Qué es el Análisis de Elementos Finitos (Finite-Element Analysis (FEA))?

  1. Governing Equation Derivation
  2. Mathematical Model summary
  3. Discretization

Ahora que sabemos cuál es el modelo matemático que queremos resolver, las ecuaciones que gobiernan el problema y las condiciones de contorno, es decir, un problema de valor límite, echamos un vistazo a cómo resolverlo numéricamente utilizando el método de elementos finitos. Pasamos a la solución numérica y cómo a través de la solución numérica con el método de elementos finitos, se pueden calcular las variables seleccionadas en los puntos seleccionados.

Lo primero que hacemos es discretizar. Reducimos el problema a determinar los valores de temperatura en ubicaciones seleccionadas. Nuevamente, la siguiente es la barra con la que estamos trabajando, y necesitamos determinar la temperatura a lo largo de esa línea.

Reduciremos el asunto a un problema unidimensional, por lo que debemos determinar la temperatura solo a lo largo de la línea. Entonces necesitamos determinar la función T de x. Y decimos que, en lugar de determinar la temperatura en todas partes a lo largo de esa línea, vamos a determinarla sólo en la ubicación seleccionada, y particularmente la determinaremos en cuatro ubicaciones: 1, 2, 3, 4. Luego, si queremos saber cuál es la temperatura entre los nodos 2 y 3 por ejemplo, lo podemos determinar a través de interpolación linear.

Por interpolación lineal queremos decir que si graficamos la temperatura T versus x, y T1, T2, T3 y T4 son mis cuatro valores, entonces para hallar los valores intermedios utilizamos interpolación lineal. Todavía no conozco esos valores intermedios, pero ya sabemos la forma de la curva.

En consecuencia, la forma de la curva va a ser la de la gráfica anterior. Así que hemos reducido el problema a determinar la temperatura en cuatro puntos. En lugar de determinar una función desconocida T (x), vamos a determinar cuatro valores. Eso se llama discretización, y es más fácil determinar un número finito de valores en lugar de una función.

En términos de terminología, los puntos rojos de la gráfica se llaman nodos, y las líneas intermedias se llaman elementos, elementos finitos. Entonces, en la gráfica anterior hemos dividido nuestro dominio en tres elementos y cuatro nodos.

Y en el proceso, lo que hemos hecho es que hemos asumido una forma para nuestra función, y esa forma consiste en polinomios por partes, polinomios lineales por partes. Y la forma de la función se construye elemento por elemento. En cualquier metodología de elementos finitos hacemos eso. Estamos asumiendo una forma, y la forma se construye elemento por elemento.

La clave del problema ahora es cómo determinar la temperatura en los nodos, en nuestro caso, en los cuatro nodos.

Aclaración: La forma particular que se muestra en la gráfica de arriba es solo una solución posible. En este punto, las temperaturas nodales pueden tomar cualquier valor a lo largo de las líneas verticales punteadas que se muestran en la figura a continuación. Por ejemplo, podemos imaginarnos moviendo el valor T2 a un nuevo valor mayor:

Esto causará un cambio correspondiente en la variación de temperatura en los elementos 1 y 2 solamente. La nueva forma indicada por las líneas punteadas también es una solución posible. En el método de elementos finitos, encontraremos el conjunto de temperaturas nodales que mejor se ajusta a las ecuaciones que gobiernan la dinámica del sistema y las condiciones de contorno que rigen dichas ecuaciones.

4, How to find nodal temperatures

En nuestro caso, tenemos cuatro temperaturas nodales por encontrar. Y tenemos nuestro modelo matemático, que es un problema de valor límite. Así que pasaremos del problema del valor límite, es decir, ecuaciones diferenciales con condiciones de contorno, a un sistema de ecuaciones algebraicas con las temperaturas nodales. Entonces vas a pasar de una ecuación diferencial a un sistema de ecuaciones algebraicas. Y derivas el sistema de ecuaciones algebraicas, usando la aproximación polinómica por partes para la temperatura que vimos anteriormente. Y cada ecuación relacionará una temperatura nodal con sus vecinos. Va a ser una ecuación lineal. Así que vamos del cálculo al álgebra lineal. Y el sistema de ecuaciones algebraicas puede escribirse en forma de matriz. Y entonces, la esencia del método FEA se reduce a cómo derivamos nuestro sistema de ecuaciones algebraicas, de modo que satisfaga mejor nuestro modelo matemático. No podemos satisfacer nuestro problema de valor límite exactamente. Pero queremos satisfacerlo lo mejor que podamos.

 

Pregunta: Una de las siguientes afirmaciones es falsa.

  • En el método de elementos finitos, pasamos de ecuaciones diferenciales a un conjunto de ecuaciones algebraicas. Cada ecuación algebraica relacionará una temperatura nodal con todas las demás temperaturas nodales.
  • Para derivar las ecuaciones algebraicas, necesitamos suponer una variación polinómica para la temperatura dentro de cada elemento. En nuestro ejemplo, este polinomio es lineal.
  • Una vez que las temperaturas nodales se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones algebraicas, se puede encontrar la temperatura en cualquier punto del dominio….respuesta: la primera.

5. How to derive algebraic equations

La multiplicación de la ecuación diferencial por una función arbitraria y la integración sobre el dominio es un truco que nos permitirá derivar las ecuaciones algebraicas necesarias. Esta es una de las ideas conceptualmente más desafiantes en el marco de elementos finitos. A este modelo le llaman Weighted Integral Form ó Weak Form.

Asumo una forma para W que se parece a la forma de la temperatura T, y lo veremos gráficamente. Y luego, tengo una forma para la temperatura; Tengo una forma para W: ahora si conecto ambas formas, genero un sistema de ecuaciones algebraicas para las temperaturas nodales.

Pero hay una importante conclusión aquí. Y es que mi solución de elementos finitos no satisfacerá mi ecuación diferencial exactamente. De hecho, en este caso, lo satisface pobremente. No satisfacerá esta forma integral ponderada para cualquier w arbitraria, pero si satisfacerá la forma integral ponderada para una forma particular de w. Y uno puede mostrar que a medida que uso más nodos, esto se vuelve más y más acertado. Entonces tenderá a la solución exacta.

Entonces nuestra temperatura T aquí es de esta forma. Nuestra integral ponderada, nuestro peso W es de esta forma. Y se puede ver que ambas tienen el mismo tipo de forma, por lo que asignamos valores para los pesos en los nodos, y luego hacemos una interpolación lineal. Y si trazamos estas dos formas aquí, sacaremos nuestras ecuaciones algebraicas, y obtendremos el número de ecuaciones algebraicas que necesitamos para determinar las temperaturas nodales.

Se discutirá más en los próximos videos. ¡No te preocupes, por medio de ejemplos pronto este concepto estará más claro!

Pregunta: Seleccione verdadero o falso

Nuestra solución de elementos finitos producirá una distribución de temperatura T (x) que será una variación lineal por partes. Esta distribución de temperatura T (x) satisfacerá la forma integral ponderada para cualquier función arbitraria w (x) …. respuesta: Falso.

6. Weak form derivation. Weak Form to Algebraic Equations: Overview

Hasta este punto tenemos nuestra integral ponderada y tenemos las formas supuestas para la temperatura y la función de ponderación. Y nuestra función de ponderación es arbitraria, pero hemos reducido la arbitrariedad de la función de ponderación a la arbitrariedad de los valores en los nodos. Por lo tanto, queremos satisfacer esto para una función de ponderación arbitraria de esta forma. ¿Como hacemos eso? Lo que hacemos es hacer una integración por partes.

Así que aquí, hemos escrito lo que obtendrá de la integración por partes.

null

Aquí lo que vamos a hacer es mostrarle el proceso por el cual pasamos de la forma débil (Weak Form) a un conjunto de ecuaciones algebraicas. Y este es realmente el corazón del método de elementos finitos. Estos son los trucos y ahora en ANSYS vamos a utilizar estos conocimientos todo el tiempo. Trataremos de hacer esto de manera muy gráfica porque generalmente se presenta con muchas ecuaciones y demás, lo que quizás dificulte el entendimiento práctico.

Así que tenemos la Weak Form que se muestra a continuación:

null

Y tenemos nuestro dominio dividido en tres elementos.

null

Podemos pensar en cada elemento como un segmento del dominio. Y tenemos las formas supuestas para la temperatura y para la función de ponderación,

null

y queremos satisfacer esta ecuación para estas formas.

Hacemos integración por partes. Entonces cuando hagamos la integración sobre el primer elemento, obtendremos los términos donde tendremos w1 multiplicando T1, y también obtendremos un término donde w1 multiplica T2. Etc.

Entonces este es un montón de términos. Así que veamos la primera fila aquí. Si tomamos todos los términos que se multiplican w1 y los organizamos de esta manera, esto es lo que obtendremos.

null

Entonces, si queremos satisfacer esto para que sea igual a 0 para cualquier valor de w1, w2, w3, w4, la única forma es que cada término individual es igual a 0. Entonces, ya que w1 es arbitrario, lo haremos igual a 0, y eso nos da la ecuación en el primer nodo.

null

Entonces, sea lo que sea que multiplique w1, estos términos contribuirán a la ecuación en el primer nodo.

Lo que multiplique w2 contribuirá a la ecuación del segundo nodo y así sucesivamente. Y ese es el proceso por el cual pasamos de la Weak Form a la forma algebraica. Y como usuario del código ANSYS, es útil saber cómo se obtienen cada uno de estos términos en las ecuaciones algebraicas, para luego tener pleno conocimiento de estas ideas cuando estemos en ANSYS.

SIGUIENTE: Aprendiendo ANSYS – 2da parte

 

Fuente: curso edX Página de inicio

CornellX: ENGR2000XA Hands-on Introduction to Engineering Simulations

Module 1: Finite Element Analysis (FEA) 1.3 Big Ideas: Finite Element Analysis Weak Form

Revisión Literaria hecha por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

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Análisis de sistemas de control, Física Aplicada, Ingeniería Mecánica, Variables de estado

Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.

Introducción

En términos generales, la finalidad del método “Representación en variables de estado” es expresar un sistema mediante la estructura vectorial siguiente:

La finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden, representado por el vectornullen la ecuación anterior.

La gran ventaja de utilizar variables de estado es que, para un sistema con muchas variables, como es el caso de un sistema masa-resorte-amortiguador o de un sistema eléctrico, necesitamos usar ecuaciones diferenciales solo para resolver un subconjunto seleccionado de variables del sistema. A partir de allí todas las demás variables del sistema se pueden evaluar algebraicamente.

El primer paso es entonces decidir cuáles serán esas variables que forman este subconjunto de variables de estado, que en las ecuaciones anteriores está representado por el vector X. Y a partir de ese conjunto, las otras variables se pueden expresar como función de las variables seleccionadas. Parece un trabalenguas, por ello mejor explicarse mediante un ejemplo.

Supongamos que tenemos el sistema de la Figura 3.5

1er paso. En este ejemplo la clave para seleccionar las variables de estado son los elementos del sistema que almacenan energía porque son los que requieren de ecuaciones diferenciales para explicar su dinámica. Por ello escribimos dichas ecuaciones para el inductor y el capacitor:

De las ecuaciones anteriores es conveniente para nuestra representación en variables de estado seleccionar los parámetros que están derivados, es decir:

2do paso. Para lograr la finalidad del método que se explicó al principio de este documento, vemos de inmediato que si tomamos nuestras dos ecuaciones diferenciales anteriores y despejamos las derivadas de las variables de estado seleccionadas (lado izquierdo), ya tenemos adelantada la estructura que buscamos alcanzar:

3er paso. Sin embargo, el lado derecho no está en función de las variables de estado seleccionadas, por lo que debemos utilizar otras ecuaciones para lograr esto. Aplicamos Kirchhoff de corriente para lograr Ic, y de voltaje para lograr Vl en función de las variables de estado seleccionadas:

Sustituimos:

4to paso. Y así hemos alcanzado expresar la dinámica de nuestro sistema en términos de las variables de estado seleccionadas:

Nota: la derivada de il no depende de il , pero la incluimos multiplicada por cero para resaltar el hecho de que debemos expresar el lado derecho en términos de las ecuaciones de estado y pasar de allí a la forma matricial presentada más adelante.

5to paso. Para completar el método sólo nos falta hallar la salida en función de las variables de estado. Si seleccionamos la salida como la corriente que atraviesa la resistencia R, y la llamamos iR, obtenemos directamente que:

O lo que es lo mismo:

Representamos así nuestro sistema en variables de estado de la forma matricial siguiente:

Una ecuación diferencial de primer orden requiere de una variable de estado. Una de segundo orden requiere de dos variables de estado. Y así sucesivamente, por ende, se podría demostrar el siguiente criterio:

  • Una ecuación de orden n genera n variables de estado

Debemos repetir que independientemente del orden de las ecuaciones diferenciales en la dinámica del sistema, la finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden.

Estos criterios nos ayudan a abordar el caso del sistema masa-resorte-amortiguador, donde aplicaremos el mismo método para obtener su representación en variables de estado.

Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Supongamos ahora que tenemos el sistema de la Figura 2.15, para el cual ya habíamos encontrado su Función de Transferencia (ver: Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador):

Debemos encontrar para este sistema su representación en variables de estado.

1er paso. Una vez más, la clave para seleccionar las variables de estado es centrar la atención sobre aquellos parámetros que son necesarios derivar para obtener las ecuaciones diferenciales que representan la dinámica del sistema.

Para la masa 1, 2 y 3, obtendremos las siguientes expresiones, aplicando la segunda ley de Newton para movimiento traslacional y el criterio de superposición:

Donde:

Vemos claramente que debemos seleccionar x1, x2 y x3 como nuestras variables de estado, pero además vemos que cada una de estas tres ecuaciones genera dos variables de estado, por lo tanto requerimos al menos seis variables de estado para representar este sistema.

Para evitar confusión, utilizaremos la letra Z para representar nuestras variables de estado. Y para facilitarnos la vida seleccionamos a la derivada de x1 como Z2, y a x1 como Z1. Es decir:

con esta artimaña obtenemos directamente la siguiente relación:

que cumple con el objetivo del método: expresar el vector X’ en función de X, es decir:

De manera análoga, aplicamos el mismo procedimiento para el resto de las masas, y así obtenemos las otras variables de estado (que forman nuestro vector X en la ecuación anterior):

2do paso.Vemos que este método nos brinda ciertas relaciones de manera directa, es decir, ya sabemos cuáles son nuestras variables de estado, suficientes para poder representar al sistema en toda su complejidad, y además ya tenemos tres miembros del vector X‘ en función de las variables de estado. Es decir, sólo para aclarar de que estamos hablando:

Necesitamos ahora el resto de los términos del vector X‘ en función de las variables de estado ya seleccionadas, es decir:

Para hallar estas  segundas derivadas, utilizamos la segunda ley de Newton y el criterio de superposición:

Masa 1:

Sustituyendo las variables y sus derivadas por las variables de estado ya seleccionadas, cumplimos con nuestro propósito:

Sustituyendo el valor de las variables por los datos aportados en el problema, y ordenando las variables de estado de menor a mayor, obtenemos:

 

Masa 2

Es decir:

Masa 3:

Es decir:

Por último, si seleccionamos x1 y x3 como nuestras salidas, nuestra representación del sistema en espacio de estados, en términos generales, queda así:

Y en términos específicos:

Otro ejemplo.

Las variables de estado son la herramienta más poderosa de la Ingeniería de Control Moderna, ya que no está limitada a sistemas lineales como sí o está el método hasta ahora visto, La Transformada de Laplace.

Las variables de estado en el caso del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 8, nos permitirá reescribir un sistema de segundo orden en un sistema de primer orden. El siguiente material fue obtenido del video: State-Space Representation

Figura 8

Seleccionando nuevamente el desplazamiento como la coordenada generalizada, la ecuación de movimiento del sistema es la siguiente:

El objetivo es expresar esta ecuación en una forma equivalente que tiene la siguiente forma:

Aquí el vector es un Vector de Estado, y X1, X2, son variables de estado que sustituyen a la original variable generalizada X y, más importante, a sus derivadas. El describir el sistema en forma de matrix, ofrecerá la enorme ventaja de utilizar el poder de las computadoras para procesar información y ejecutar análisis de datos presentados en forma matricial (Matrix Algebra).

Las ecuaciones encerradas en círculos amarillos muestran como la primera forma de escribir es la forma compacta de escribir las ecuaciones para y.

El primer paso es definir las variables de estado:

Este procedimiento nos permite obtener de inmediato la primera ecuación de estado :

…..por tanto

El segundo paso consiste en forzar al coeficiente que acompaña al orden más alto, el coeficiente líder, a ser igual a la unidad. Para ello, en nuestro caso, se divide la ecuación de movimiento original entre m (y en general, entre el valor que ocupe ese lugar):

En el tercer paso se despeja la derivada de mayor orden:

El cuarto paso consiste en sustituir las derivadas de la variable original por sus ya asignadas variables de estado:

Y así hemos encontrado la segunda ecuación de estado:

….

Y así hemos completado el objetivo. La ecuación de movimiento original puede ser expresado como variables de estado en la siguiente forma:

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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