Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Sistemas LDCID

Señales elementales en el tiempo continuo – Ejemplos y Simulación en Matlab

Las señales periódicas, exponenciales, escalón unitario y rampa unitaria, son algunas de las funciones del tiempo continuo más utilizadas para el análisis de sistemas en ingeniería. 

Una señal x(t) es una función con valor real o escalar de la variable de tiempo t, si para cualquier valor fijo de la variable t, el valor asumido por la señal en ese tiempo t es un número real. Cuando la variable t toma sus valores del conjunto de los números reales, se dice que t es una variable de tiempo continuo, y que la señal x(t) es una señal de tiempo continuo o una señal analógica.

Señales periódicas

Sea T un número real positivo fijo. Se dice que una señal continua x(t) es periódica con período T si se cumple que:

Si x(t)  es periódica con período T, entonces  también es periódica con período qT, donde q es cualquier entero positivo. El período fundamental T es el número más pequeño para el cual se cumple la ecuación (1).

La sinusoide es la función periódica por excelencia utilizada en las ciencias y en la ingeniería. Numerosos procesos tienen este comportamiento de manera natural. En la siguiente ecuación sinusoidal, A es la amplitud, ω es la frecuencia en radianes por segundo, y θ es la fase en radianes, aunque también suele expresarse en grados:

La frecuencia f  en Hertz, y el período T en rad/s, de la función en la ecuación(2) son:

Al aplicar trigonometría podemos constatar que la ecuación (2) cumple la condición de la ecuación (1), es decir, la función coseno es periódica:

La sinusoide de la Figura (1) representa el caso en que:

Figura 1.

Ejemplo y simulación de la Señal sinusoidal

La sinusoide es la función periódica por excelencia utilizada en las ciencias y en la ingeniería. Numerosos procesos tienen este comportamiento de manera natural. El caso de un circuito eléctrico es de relevante importancia. Los circuitos de corriente alterna tienen voltajes y corrientes sinusoidales. Suponga que se tiene el circuito de la Figura (2):

Figura 2. Circuito eléctrico de corriente alterna (CA).

Hemos calculado la corriente y el voltaje en este sistema en el artículo siguiente: La impedancia y la admitancia de un circuito eléctrico. La solución para el voltaje eo(t) es:

Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab:

>> t=0:0.01:10;

>> x=4.48*cos(4*t-0.7048);

>> plot(t,x)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Voltaje(voltios)’)

El resultado se puede observar en la Figura (3):

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Figura 3. Simulación en Matlab de e(t)=4.48cos(4t-0.7048)
Señales exponenciales

Las señales exponenciales son extremadamente importantes en el análisis de señales y sistemas, ya que ellas sirven como bloques fundamentales a partir de los cuales podemos construir muchas otras señales.

En la Figura (4) vemos el caso de una función exponencial ascendente y de inmediato se muestra su estructura matemática.

Figura 4. Función exponencial ascendente

En la Figura (5) vemos el caso de una función exponencial descendente y de inmediato se muestra su estructura matemática.

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Figura 5. Función exponencial descendente.

Ejemplo y simulación de la Señal exponencial

La función exponencial también representa muchos procesos de la naturaleza, como por ejemplo, el crecimiento de una comunidad de bacterias. Es de gran utilidad la función exponencial para representar el caso de movimientos amortiguados en el campo de la mecánica. La Figura (6) muestra la Función de Transferencia para un sistema masa-resorte-amortiguador simple:

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Figura 6. Sistema masa-resorte-amortiguador

La dinámica del sistema de la Figura (6) se describe mediante una sola ecuación diferencial:

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En la ecuación (5), x(t) es el desplazamiento horizontal del sistema, que es un desplazamiento sinusoidal amortiguado, conocido como movimiento armónico amortiguado, concepto básico para la física y la ingeniería mecánica clásica.

La siguiente ecuación es una solución para la ecuación diferencial (5). Se trata de una función exponencial multiplicada por una función sinusoidal:

null

Con el fin de utilizar el mismo código de Matlab utilizado en el ejemplo de la función sinusoidal, supongamos el siguiente ejemplo para la ecuación anterior de x(t):

null

Este resultado se puede visualizar a través de una simulación computarizada, introduciendo el siguiente código en Matlab:

>> t=0:0.01:30;

>> x=5*exp(-0.1*t).*cos(4*t-0.7048);

>> plot(t,x)

>> grid

>> xlabel(‘Tiempo(segundos)’)

>> ylabel(‘Desplazamiento X(metros)’)

null
Figura 7. Movimiento armónico amortiguado

En la siguiente Figura vemos remarcada la influencia de la función exponencial de color naranja, denominada “envolvente”:

>> t=0:0.01:30;

>> x=5*exp(-0.1*t).*cos(4*t-0.7048);

>> y=5*exp(-0.1*t);

>> plot(t,x,t,y)

 

Figura 8. Función exponencial envolvente en color naranja.

Para mayor información en este tema ver: Ejercicio de dinámica masa-resorte-amortiguado, función de transferencia.

Funciones escalón y rampa

Dos señales ampliamente utilizadas en el campo de la ingeniería son el escalón unitario u(t) y la función rampa unitaria r(t), mostradas en la Figura 9:

Figura 9.

En particular, para el análisis de sistemas, estas funciones son ideales. A veces es posible predecir el comportamiento de tales sistemas, o el tipo de entrada que tendrán que procesar con mayor frecuencia. Si se prevé que la entrada a un sistema será un cambio instantáneo, como por ejemplo una entrada al sistema de suspensión de un automóvil, lo más razonable es probar ese sistema con una entrada escalón unitario (step). Si por el contrario, esa entrada cambia proporcionalmente con el tiempo, el sistema debe probarse con una entrada rampa unitaria.

Ejemplo y simulación de la Señal Escalón Unitario

Ambas señales, escalón unitario y rampa unitaria, son ampliamente utilizadas en sistemas de control, porque permiten visualizar la respuesta transitoria del sistema y el error en estado estable.

Suponga que se solicita determinar la respuesta transitoria a una entrada escalón unitario, del siguiente Sistema mecánico rotacional:

Figura 10. Sistema mecánico rotacional..

Dónde:

Se sabe que la función de transferencia del sistema es la siguiente:

Determinar la respuesta transitoria implica determinar el valor de los siguientes parámetros:

  • Sobrepaso máximo, tiempo de levantamiento, tiempo de asentamiento, entre otros.

En Matlab, podemos responder esta  pregunta mediante el siguiente comando:

>> numg=1/J;

>> deng=[1   D/J   K/J];

>> G=tf(numg,deng)

G =

3.846

—————–

s^2 + 4 s + 19.23

>> stepinfo(G)

RiseTime (tiempo de levantamiento): 0.3554 s

SettlingTime (tiempo de asentamiento): 1.8989 s

Overshoot (Sobrepaso máximo): 19.9891 %

Peak: 0.2400

El analista obtiene una excelente representación gráfica de esta respuesta mediante:

>> step(G)

Figura 11. Respuesta transitoria a la entrada escalón unitario.

El diagrama siguiente esquema muestra lo que hemos hecho. Hemos colocado una función escalón unitario en la entrada del sistema que tiene la función de transferencia G(s) y hemos obtenido la respuesta mostrada a la salida:

Figura 12.

Para más información en este tema ver: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Fuentes:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Análisis de sistemas lineales asistido con Scilab, Ebert Brea.
  3. Analisis_de_Sistemas_Lineales
  4. Oppenheim – Señales y Sistemas

Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch

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Análisis de sistemas de control, Circuit Analysis, Control System Analysis, Electrical Engineer, Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Sistemas LDCID, Time Domain

UNDERDAMPED SECOND-ORDER SYSTEM

Fuentes:

Control Systems Engineering, Norman Nise

    1. Introduction Chapter 4 pp 162 (162)
    2. Poles and Zeros 4.1 pp 162 –
    3. First Order System 4.3 pp 165-168
    4. Second Order System 4.4 pp 168-177
    5. Underdamped Second-Order System 4.6 pp 177-186
  1. Modern_Control_Engineering__4t
    1. Introduction Chapter 5 pp 219 (232)
    2. First Order Systems 221 (234)-224
    3. Second Order System pp 224 (237)-234

Literature Review, Martes 14 noviembre 2017, 05:07 am – Caracas, Quito, Guayaquil.

Introduction

Now that we have become familiar with second-order systems and their responses, we generalize the discussion and establish quantitative specifications defined in such a way that the response of a second-order system can be described to a designer without the need for sketching the response. We define two physically meaningful specifications for second-order systems. These quantities can be used to describe the characteristics of the second-order transient response just as time constants describe the first-order system response.

Natural Frequency, Wn

The natural frequency of a second-order system is the frequency of oscillation of the system without damping. For example, the frequency of oscillation of a series RLC circuit with the resistance shorted would be the natural frequency.

Damping Ratio,

We have already seen that a second-order system’s underdamped step response is characterized by damped oscillations. Our definition is derived from the need to quantitatively describe this damped oscillations regardless of the time scale.Thus, a system whose transient response goes through three cycles in a millisecond before reaching the steady state would have the same measure as a system that went through three cycles in a millennium before reaching the steady state. For example, the underdamped curve in Figure 4.10 has an associated measure that defines its shape. This measure remains the same even if we change the time base from seconds to microseconds or to millennia.

 A viable definition for this quantity is one that compares the exponential decay frequency of the envelope to the natural frequency. This ratio is constant regardless of the time scale of the response. Also, the reciprocal, which is proportional to the ratio of the natural period to the exponential time constant, remains the same regardless of the time base.

We define the damping ratio, , to be:

Consider the general system:

Without damping, the poles would be on the jw-axis, and the response would be an undamped sinusoid. For the poles to be purely imaginary, a = 0. Hence:

Assuming an underdamped system, the complex poles have a real part, , equal to -a/2. The magnitude of this value is then the exponential decay frequency described in Section 4.4. Hence,

from which

Our general second-order transfer function finally looks like this:

Now that we have defined and Wn, let us relate these quantities to the pole location. Solving for the poles of the transfer function in Eq. (4.22) yields:

From Eq. (4.24) we see that the various cases of second-order response:

Underdamped Second-Order System

Now that we have generalized the second-order transfer function in terms of and Wn, let us analyze the step response of an underdamped second-order system.

Not only will this response be found in terms of and Wn, but more specifications
indigenous to the underdamped case will be defined. The underdamped second order system, a common model for physical problems, displays unique behavior that
must be itemized; a detailed description of the underdamped response is necessary
for both analysis and design. Our first objective is to define transient specifications
associated with underdamped responses. Next we relate these specifications to the
pole location, drawing an association between pole location and the form of the
underdamped second-order response. Finally, we tie the pole location to system
parameters, thus closing the loop: Desired response generates required system
components.

Let us begin by finding the step response for the general second-order system of Eq. (4.22). The transform of the response, C(s), is the transform of the input times the transfer function, or:

where it is assumed that < 1 (the underdamped case). Expanding by partial fractions, using the methods described, yields:

Taking the inverse Laplace transform, which is left as an exercise for the student, produces:

where:

A plot of this response appears in Figure 4.13 for various values of , plotted along a time axis normalized to the natural frequency.

We now see the relationship between the value of and the type of response obtained: The lower the value of , the more oscillatory the response.

The natural frequency is a time-axis scale factor and does not affect the nature of the response other than to scale it in time.

Other parameters associated with the underdamped response are rise time, peak time, percent overshoot, and settling time. These specifications are defined as follows (see also Figure 4.14):

  1. Rise time, Tr. The time required for the waveform to go from 0.1 of the final value to 0.9 of the final value.
  2. Peak time, TP. The time required to reach the first, or maximum, peak.
  3. Percent overshoot, %OS. The amount that the waveform overshoots the steady-state, or final value at the peak time, expressed as a percentage of the steady-state value.
  4. Settling time, Ts. The time required for the transient’s damped oscillations to reach and stay within 2% of the steady-state value.

All definitions are also valid for systems of order higher than 2, although analytical expressions for these parameters cannot be found unless the response of the higher-order system can be approximated as a second-order system.

Rise time, peak time, and settling time yield information about the speed of the transient response. This information can help a designer determine if the speed and the nature of the response do or do not degrade the performance of the system.

For example, the speed of an entire computer system depends on the time it takes for a hard drive head to reach steady state and read data; passenger comfort depends in part on the suspension system of a car and the number of oscillations it goes through after hitting a bump.

Evaluation of Tp

Tp is found by differentiating c(t) in Eq. (4.28) and finding the first zero crossing after t = 0.

Evaluation of %OS.

From Figure 4.14 the percent overshoot, %OS, is given by:

 Evaluation of Ts

In order to find the settling time, we must find the time for which c(t) in Eq. (4.28) reaches and stays within ₎±2% of the steady-state value, C final.

 Evaluation of Tr

A precise analytical relationship between rise time and damping ratio cannot be found. However, using a computer and Eq. (4.28), the rise time can be found. Let us look at an example.

We now have expressions that relate peak time, percent overshoot, and settling time to the natural frequency and the damping ratio. Now let us relate these quantities to the location of the poles that generate these characteristics. The pole plot for a general, underdamped second-order system is reproduced in Figure 4.17.

Now, comparing Eqs. (4.34) and (4.42) with the pole location, we evaluate peak time and settling time in terms of the pole location. Thus:

where is the imaginary part of the pole and is called the damped frequency of oscillation, and is the magnitude of the real part of the pole and is the exponential damping frequency part.

At this point, we can understand the significance of Figure 4.18 by examining the actual step response of comparative systems. Depicted in Figure 4.19(a) are the step responses as the poles are moved in a vertical direction, keeping the real part the same. As the poles move in a vertical direction, the frequency increases, but the envelope remains the same since the real part of the pole is not changing.

Let us move the poles to the right or left. Since the imaginary part is now constant, movement of the poles yields the responses of Figure 4.19(b). Here the frequency is constant over the range of variation of the real part. As the poles move to the left, the response damps out more rapidly.

Moving the poles along a constant radial line yields the responses shown in Figure 4.19(c). Here the percent overshoot remains the same. Notice also that the responses look exactly alike, except for their speed. The farther the poles are from the origin, the more rapid the response.

Literature Review by: Larry Francis Obando – Technical Specialist

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

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