Circuitos de primer orden – Circuitos RC y RL

Un circuito de primer orden se caracteriza por una ecuación diferencial de primer orden. Parecerá muy sencillo, pero los circuitos RC y RL tienen innumerables aplicaciones en el campo de la electrónica, comunicaciones y sistemas de control.

Introducción

La ecuación diferencial de entrada/salida de un circuito RC o RL es una ecuación de primer orden, como es el caso de la ecuación (1) o de la ecuación (2), presentadas a continuación con su respectivo circuito de origen. Por ello, a los circuitos RC y RL se les denomina de manera genérica, circuitos de primer orden:

Para ver como se obtiene la ecuación 1, ver: El capacitor – Un circuito abierto para CD

Para ver como se obtiene la ecuación 2, ver: El Inductor – Un cortocircuito para CD

Por tanto, Un circuito de primer orden se caracteriza por una ecuación diferencial de primer orden.

Tenemos dos maneras de excitar los circuitos RC y RL. La primera es mediante las condiciones iniciales del capacitor o del inductor, sin necesidad de conectar una fuente de alimentación. La segunda manera es excitar al circuito mediante una fuente independiente. Aplicar el primer método nos permite analizar la respuesta natural del sistema, mientras que gracias al segundo método podemos determinar la respuesta forzada del sistema a una entrada específica, que por lo general es la función escalón unitario. Por ello, consideraremos ambos métodos para cada tipo de red (RC o RL).

Circuito RC sin fuente

Considere el circuito RC de la Figura 3. Obtenemos este circuito cuando la fuente independiente, conectada como en la Figura 1, se desconecta súbitamente:

Figura 3. Descarga de un circuito RC sin fuente.

Los pasos necesarios para analizar la respuesta de un circuito RC sin fuente son:

1. Determinar el valor de la tensión v_c(t) en el capacitor en el tiempo t=0 seg;
2. Hallar el valor de la constante de tiempo τ.

El parámetro más relevante de un circuito de primer orden es la constante de tiempo τ. En el caso de un circuito RC:

La constante de tiempo τ de un circuito RC descargándose es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema a la entrada escalón, disminuya en un factor de 1/e, es decir, 36.8% de su valor inicial. La etapa en la cual el capacitor descarga toda su energía en el circuito RC es conocida como Fase de Descarga. Veamos cómo funciona.

En el circuito de la Figura 3, cuando se desconecta la fuente en el instante inicial t_o= 0 seg, la energía acumulada en el capacitor está al máximo según su capacidad y por ende la tensión v_c(t) en el en el capacitor en el tiempo inicial t_o= 0 seg es v_c(t) =v_c(o). Es también a su valor máximo V_o. Es decir:

Aplicando La Ley de Corriente de Kirchhoff (LCK) en el circuito de la Figura 3, obtenemos:

Sabemos por definición que:

Sustituimos estas últimas fórmulas en la ecuación (5):

Se puede demostrar que la solución a la ecuación diferencial (6) es la siguiente:

La Gráfica 1 muestra la curva para la ecuación (7):

Gráfica 1. Curva exponencial para el voltaje del capacitor un circuito RC en Fase de descarga.

En la Gráfica 1 podemos ver la respuesta natural de un circuito RC en Fase de Descarga, donde el voltaje en el capacitor cae exponencialmente, y en el tiempo t=τ, el voltaje ha caído 36.8% de su valor máximo. Es decir:

Diferentes valores de la constante de tiempo τ  genera diferente respuesta, como se puede ver en la Gráfica 2:

Gráfica 2. Diferente respuesta para diferentes valores de la constante de tiempo τ.

Si en vez de graficar el voltaje v_c(t), graficamos la corriente i_c(t) en el circuito RC en su fase de descarga, podemos esperar el efecto contrario, la corriente en el capacitor aumenta exponencialmente y en el tiempo t=τ obtiene el 63,2 de su valor máximo. La Gráfica 3 se toma prestada de Modelo matemático de un circuito RC – Respuesta Escalón – Simulación en Matlab:

Si graficamos v_c(t) Vs i_c(t), ambas curvas se interceptan precisamente en el tiempo t=τ:

Gráfica 4. Curva de voltaje Vs corriente del capacitor de un circuito RC en Fase de descarga.

Al revisar los valores de los parámetros en Modelo matemático de un circuito RC – Respuesta Escalón – Simulación en Matlab se constata que t=τ=RC=1 seg. Vemos en la Gráfica 4 que v_c(t) y i_c(t se interceptan en t=τ=1 seg.

Para un estudio completo del tema recomiendo ver la siguiente guía: Circuitos de primer orden – RL y RC; 0_IyME_BIBLIOGRAFIA_BASICA_v53

Circuito RC con fuente

Ver:

• Modelo matemático de un circuito RC – Respuesta Escalón – Simulación en Matlab

Respuesta natural y respuesta al escalón unitario de un circuito RL

Ver:

• Respuesta natural de un circuito RL – Definición y ejemplos
• Respuesta al escalón unitario de un circuito RL – Definición y ejemplos
• Problema resuelto de C.A. y aparatos de medición

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Fuentes:

1. Introduccion-al-analisis-de-circuitos-robert-l-boylestad,
2. Análisis de Redes – Van Valkenburg,
3. Fundamentos_de_circuitos_electricos_5ta
4. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
5. Circuitos de primer orden – RL y RC

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