Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Función de Transferencia, Ingeniería Eléctrica, Sistema Electromecánico

Función de transferencia del Motor DC y su carga

Hallar la función de transferencia del sistema formado por un Motor DC y su carga, como se muestra en la Figura 1:

Figura 1. Motor DC con su carga.

 

Dinámica del sistema

Considerando que:

La dinámica de este sistema es la siguiente:

Transformada de Laplace

Al aplicar la transformada de Laplace a este sistema de ecuaciones obtenemos:

Función de transferencia

La función de transferencia directa del motor Gm(s), donde:

la obtenemos mediante el siguiente procedimiento. Sustituimos la ecuación (6) en (9) y luego despejamos Ia(s):

Luego, sustituimos este resultado y la ecuación (8) en la ecuación (7):

Es decir:

 

De donde obtenemos Gm(s), la función de transferencia directa del motor:

Utilizando las ecuaciones (10) y (11), podemos representar el sistema de la Figura 1 mediante el siguiente diagrama de bloques:

Para ilustrar el caso de un lazo cerrado, presentamos ahora el siguiente ejemplo, donde el motor DC y su carga se incorporan a un sistema de control de posición.

Hallar la función de transferencia del sistema de seguimiento de la la Figura 2:

Figura 2. Sistema de control de posición.

Este caso ha sido analizado al detalle en el siguiente link: Servomotores – Sistema de control de posición

Considerando que:

Al aplicar la transformada de Laplace:

Con estas últimas y las ecuaciones del sistema motor-carga, podemos asegurar que la función de transferencia θL(s)/ θr(s) del sistema de seguimiento de la Figura 2, y su diagrama de bloques, son:

Figura 3. Diagrama de bloques del sistema de control de posición de la Figura 2.

SIGUIENTE:

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Función de Transferencia, Respuesta en el tiempo, Sistema Electromecánico

Sistema de control de posición con realimentación de velocidad (taquimétrica).

Considere un sistema de control de posición como el de la Figura 1:

Figura 1. Sistema de Control de posición. 

Anteriormente vimos que el diagrama de bloques del sistema de la Figura 1 es el siguiente:

Figura 2. Diagrama de bloques del sistema de control de posición de la Figura 1.

Ver deducción en el siguiente link: Servomotores – Sistema de control de posición

La derivada del desplazamiento angular de salida del motor m(s)/dt, se realimenta negativamente a la entrada del sistema para mejorar el desempeño. En este caso se utiliza un tacómetro en lugar de diferenciar físicamente θm(s).

El sistema de seguimiento de la Figura 1 con realimentación tacométrica tendrá entonces el siguiente diagrama de bloques:

Figura 3. Diagrama de bloques del Sistema de seguimiento con realimentación de velocidad.

Dónde kt es la constante de ganancia del tacómetro. Reduciendo la realimentación negativa interna obtenemos el diagrama de la Figura 4:

Figura 4. 

De esta manera obtenemos la Función de Transferencia Directa Gm(s) del sistema de control de posición con realimentación de velocidad:

Figura 5.

Comparación de la respuesta transitoria del sistema antes y después de la realimentación de velocidad.

En construcción…

Breve reseña sobre El Tacómetro.

Al igual que los potenciómetros, los tacómetros son dispositivos electromecánicos que convierten energía mecánica en energía eléctrica. Trabaja esencialmente como un generador de voltaje, con la salida de voltaje proporcional a la magnitud de la velocidad angular del eje de entrada. La Figura 4-33 refleja el uso común de un tacómetro en un sistema de control de velocidad:

La dinámica del tacómetro se puede representar como:

null

Donde et(t) es el voltaje de salida, θ(t) es el desplazamiento del motor en radianes, ω(t) es la velocidad del rotor en rad/s, y Kt es la constante del tacómetro. Luego, términos del desplazamiento del motor:

null

Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Función de Transferencia

Ejercicio de diagrama de bloques a partir de la transformada de Laplace de un sistema masa-resorte-amortiguador

Determinar el diagrama de bloques y la función de transferencia del sistema Y2(s)/ U(s) de la siguiente figura:

  1. Ecuaciones del sistema

Por otra parte:

  1. Transformada de Laplace de las ecuaciones (1) y (2) del sistema, (se suponen condiciones iniciales iguales a cero)

  1. Diagrama de Bloques

La clave para elaborar el diagrama de bloques a partir de la transformada de Laplace de las ecuaciones (1) y (2) del sistema, es considerar la representación en diagrama de bloques del proceso de derivación de las variables del sistema. En este caso, las variables derivadas son y1(t) y y2(t). Su derivación en el dominio de la frecuencia se representa mediante diagrama de bloques como sigue, en el caso de y1(t):

Tome en cuenta que en el diagrama anterior, S2Y1(s), SY1(s) y Y1(s) son nodos.

En el caso de y2(t):

Tome en cuenta que Y2(s) es la salida según la función de transferencia que nos interesa.

El siguiente paso es utilizar las ecuaciones (3) y (4) para despejar S2Y1(s)  y S2Y2(s)  respectivamente, y representar el resultado en función de los nodos de los diagramas anteriores. Luego utilizar las operaciones de diagrama de bloques para representar S2Y1(s)  y S2Y2(s)  y añadir dichas imágenes a los diagramas de bloques anteriores.

Para S2Y2(s) utilizamos la ecuación (4)  y procedemos de la siguiente manera:

Sección 1

Para S2Y1(s) utilizamos la ecuación (3)  y procedemos de igual forma.

null
Sección 2

Las reglas de construcción y operación de diagramas de bloques pueden ser consultadas en: Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Por último unimos la sección 1 con la 2 de manera apropiada, y obtenemos el diagrama de bloques del sistema:

Diagrama de bloques del sistema

3. Función de transferencia a partir del diagrama de bloques del sistema

Para hallar la función de transferencia tenemos dos opciones. La primera es reducir del diagrama de bloques del sistema. La segunda, aplicar álgebra lineal a La Transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. Vamos con la primera opción.

Para reducir el diagrama de bloques del sistema, iniciamos reduciendo a un solo bloque las realimentaciones negativas internas. La regla de reducción que se aplica es la siguiente:

Donde C(s)/R(s) es la función de transferencia de la realimentación negativa.

Para la realimentación compuesta por las siguientes ganancias:

Se deduce que:Igualmente se procede con la realimentación formada por:

Por tanto, podemos reducir el diagrama de bloques del sistema y sustituir las realimentaciones anteriores por un solo bloque de ganancia, cada una, como sigue:

En el anterior diagrama podemos reducir aquellos bloques que están en cascada y expresarlos mediante un solo bloque:

null

Tomamos en cuenta ahora las realimentaciones negativas del diagrama anterior y procedemos de igual forma:

Por su parte:

Así, el diagrama de bloques del sistema se ve reducido de la siguiente manera:

Luego, transformamos los bloques en cascada en uno solo:

Así, obtenemos:

Se trata ahora con una realimentación positiva. La regla para este caso, dice que:Es decir, para la realimentación positiva ilustrada por:

La regla se aplica como sigue:

Así, al reducir aún más el diagrama de bloques, obtenemos:Simplificando:Por tanto:

Donde observamos que la función de transferencia Y2(s)/ U(s)  es:

3. Función de transferencia a partir de la transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. 

Como se mencionó antes, el segundo método para deducir la Función de Transferencia del sistema, consiste en aplicar álgebra lineal a La Transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. Para ello, ordenamos convenientemente las ecuaciones (3) y (4) para luego crear una matriz y aplicar las reglas de Kramer:

Utilizamos Matlab para hallar el determinante Δ  de esta matriz:

Δ=k1*k2 + b1*m2*s^3 + b2*m1*s^3 + k1*m2*s^2 + k2*m1*s^2 + k2*m2*s^2 + m1*m2*s^4 + b1*k2*s + b2*k1*s + b2*k2*s + b1*b2*s^2

Es decir: Luego:

De donde obtenemos que la función de transferencia Y2(s)/U(s) del sistema es:

Fuente: Ingenieria de Control Moderna, 3° ED. – Katsuhiko Ogata

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Relacionado:

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

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Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.

Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. Da un vistazo al Índice al final de este artículo.

INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

 

 

Atención: 

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema: 

Atención:

Si lo que Usted necesita es determinar La Función de Transferencia de un Sistema..Le entregamos la respuesta en dos horas o menos, dependiendo de la complejidad. En digital. Póngase en contacto con nosotros, respuesta inmediata, resolvemos y entregamos la Función de Transferencia de sistemas masa-resorte-amortiguador, eléctricos, electromecánicos, electromotriz, nivel de líquido, térmico, híbridos, rotacional, no lineales, etc.. Opcional, Representación en Variables de Estado. Simulación en Matlab, Opcional, Entrevista por Skype para explicar la solución.

 

Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Dinámica de sistemas, Variables de estado

Ejercicio de Diagrama de bloques a partir de variables de estado de sistema masa-resorte-amortiguador

Determinar la representación en variables de estado, el diagrama de bloques y la función de transferencia del sistema de la siguiente figura:

Nota: Este ejercicio demuestra la ventaja de contar con la representación del sistema en variables de estado para la confección del diagrama de bloques del sistema.

  1. Dinámica del sistema – Ecuaciones

2. Variables de estado

Definición:

De la definición obtenemos que:

Debemos hallar la expresión en términos de las variables de estado para  Ello lo podemos lograr utilizando las ecuaciones del sistema:

Despejamos :

 Utilizando la definición de variables de estado:Igualmente despejamos :

Utilizando la definición de variables de estado:

Si la salida del sistema es x2(t), y la entrada es f(t),  utilizando las ecuaciones (1), (2) (3) y (4), la representación matricial del sistema es:

3. Diagrama de bloques

Las ecuaciones (1), (2) (3) y (4), nos permiten además obtener fácilmente el diagrama de bloques del sistema si consideramos el hecho de que cada variable de estado es un nodo, y cada nodo se consigue mediante la suma, resta y multiplicación de variables, tal como lo muestran las mencionadas ecuaciones.

Podemos iniciar nuestro diagrama de bloques colocando la salida X2(s) al final y la entrada F(s) al principio del diagrama, y colocando bloques integradores que conducen directamente a las variables de estado definidas. Recordar que la transformada de Laplace de dX2(s)(t)/dt es:

El diagrama de bloques para representar esta operación es:En cuanto a las variables de estado definidas en este ejercicio, el diagrama de bloques anterior es equivalente a:Luego, deducimos que:

Así se procede como sigue. Si consideramos la ecuación (4):

Podemos expresar la ecuación (4) utilizando las reglas de construcción de diagrama de bloques como sigue:

Sección 1

Igualmente podemos obrar con la ecuación (3):

Sección 2

Las reglas de construcción y operación de diagramas de bloques pueden ser consultadas en: Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Ahora unimos secciones (1) y (2) apropiadamente y obtenemos el diagrama de bloques del sistema:

Fuente: Control Systems Engineering, Nise

Para determinar la función de transferencia de este mismo ejercicio , ver: Ejercicio de Función de Transferencia a partir de representación en Variables de Estado

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Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

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    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
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  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

 

 

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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Ingeniería Eléctrica, Máquinas Eléctricas

Dinámica de un Sistema Electromecánico con Motor DC.

Introducción

El Servomotor DC controlado por armadura es quizás el más utilizado de los componentes que conforman un sistema electromecánico en robótica. Sin embargo, dependiendo de la aplicación, encontraremos también los dos motores AC trifásicos más comunes: motores de inducción y motores sincrónicos. En esta oportunidad sólo abordaremos el caso de Motores DC.

Para obtener la Dinámica de un sistema electromecánico complejo como el que se muestra en la Figura 1:

Figura 1. Sistema electromecánico con motor DC. Sistema de control de posición para una antena Azimuth

primero debemos deducir la Dinámica del Motor DC, cuyo esquema general se presenta en la Figura 2:

null
Figura 2. Esquema general para un motor DC controlado por armadura.
Deducción de ecuaciones del Motor DC a partir de principios físicos

Obtener las ecuaciones que gobiernan la dinámica de un motor implica el conocimiento de los conceptos básicos del movimiento rotatorio, así como los fundamentos de campo magnético y las leyes de Newton. Para dar un repaso, ver: Movimiento Rotatorio – Conceptos básicos.Concepto de Campo Magnético.

Un Motor DC puede estar controlado por campo o por armadura. El caso más frecuente es el control por corriente (o voltaje) de armadura. Haciendo referencia a la Figura 2, un imán estacionario permanente o un electroimán genera un flujo magnético Φ, constante, denominado Fixed Field. Este flujo Φ es generado a su vez por una corriente de campo if que se supone constante (de allí deriva el nombre de Motor DC o motor de corriente continua).

El motor es controlado por un voltaje ea(t) aplicado a los terminales de la armadura. Aplicando el método de análisis de circuitos eléctricos de Kirchhoff al circuito de la Figura 2.a , deducimos la primera ecuación importante del sistema:

null

Donde La Ra representan la inductancia y la resistencia de la armadura respectivamente.

La armadura es un circuito rotativo a través del cual circula una corriente ia(t). Cuando la armadura pasa en ángulos rectos a través del flujo magnético Φ, siente una fuerza F=BLia(t) donde B es la intensidad del campo magnético y L es la longitud de la bobina o conductor. El torque Tm(t) que resulta de esta interacción hace girar el rotor, el cual es el miembro rotatorio del motor. Para un análisis lineal es necesario suponer que este torque o par es proporcional al flujo magnético Φ y a la corriente ia(t) . De esta suposición obtenemos la siguiente ecuación del sistema:

null

Donde Km es constante. Como hemos dicho que Φ también es constante, el factor Km de la ecuación anterior se reduce a una constante denominada KiDe esta manera, dicha ecuación se reduce a:

null

Donde Ki es La Constante de Proporcionalidad, también llamada constante de torque del motor (o constante de par) y es uno de los parámetros dados por los fabricantes de motores. Ki, con frecuencia denominada también Kt , viene en N-m/A.

Nota: cuando el motor es controlado por una corriente en el campo, con el fin de obtener un sistema lineal la corriente de armadura debe ser considerada constante y así el torque del motor viene dado por Tm= Kmif, donde if es la corriente de campo.

Otro importante fenómeno ocurre en el motor: Cuando el conductor (o bobina) de la armadura se mueve en ángulos rectos a través del campo magnético Φ,se genera un voltaje vb(t) en las terminales del conductor. Ya que la armadura rota en un campo magnético, el voltaje generado en su bobina es proporcional a la velocidad ωm(t) de rotación de la armadura. De esta manera obtenemos otra ecuación de gran importancia:

null

Dónde:

null

Denominamos a vb(t) la Fuerza Contraelectromotriz (o back emf por sus siglas en inglés); Kes la constante de proporcionalidad llamada también constante emf. 

Aunque el Motor DC es por sí mismo un sistema en lazo abierto, veremos más adelante que la fuerza contraelectromotriz vb(t) provoca un lazo realimentado dentro del motor, actuando como una “fricción eléctrica” que tiende a mejorar la estabilidad del motor.

Por último, aplicando las leyes de Newton para movimientos mecánicos rotacionales obtenemos:

Donde Jes el momento inercial ( o inercia simplemente) del rotor, y bes el coeficiente de fricción viscosa del motor.

Es importante recalcar que estamos definiendo las ecuaciones del motor “a lazo abierto”, es decir, sin realimentación, como en la Figura 1. Por tanto, hemos logrado definir el conjunto de ecuaciones que determina la Dinámica del Motor DC operando en lazo abierto:

dónde:

null

Obtención del diagrama de bloques del sistema

Para representar la dinámica del Motor DC en diagrama de bloques, el siguiente paso consiste en aplicar la Transformada de Laplace al sistema de ecuaciones obtenidas anteriormente.

Luego de aplicar Laplace, obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:

Para elaborar el diagrama de bloques del motor DC a lazo abierto a partir de este sistema de ecuaciones, empezamos dibujando el diagrama de bloques para la salida θm(s), luego mediante un integrador obtenemos Ωm(s), que es la notación para velocidad angular luego de aplicar la transformada de Laplace:

Paso siguiente, despejamos Ωm(s)  de la ecuación (1) y agregamos este resultado de manera conveniente al diagrama de bloques:

Ahora, podemos obtener Tm(s) directamente de la ecuación (4), y seguimos agregando bloques al diagrama de bloques del sistema:

Por último, utilizamos las ecuaciones (2) y (3) para despejar y obtener la expresión para Ia(s):

De esta manera, tomando a Ea(s) como la entrada y a θm(s) como la salida,  se representa el sistema a continuación mediante El Diagrama de Bloques para un Motor DC operando a lazo abierto:

Aquí podemos corroborar lo que señalamos antes, que la fuerza contraelectromotriz, proporcional a KbΩm(s), genera un lazo realimentado negativo que tiende a estabilizar el sistema.

La función de transferencia Gm(s) para un Motor DC a lazo abierto, es:

La función de transferencia fue deducida en el siguiente link: Dinámica de un Motor DC

La configuración del sistema electromecánico más comúnmente utilizado se muestra en la  Figura 2.15, operando a una velocidad constante y sin lazo de realimentación. La mayoría de estos sistemas se representan utilizando sólo las funciones de transferencia de cada equipo en un diagrama de bloques lo más resumido posible. Por tanto, generalmente es mucho más útil representar el motor y su carga mediante un único bloque, cosa que haremos más adelante.

La operación del motor DC en lazo abierto es aceptable para muchas aplicaciones donde una posición fija con cierto margen de error (un ascensor) o una velocidad fija (una motosierra) es suficiente. Sin embargo, en aplicaciones donde la velocidad es variable (una banda transportadora) o la posición debe ser controlada de manera muy precisa (un telescopio), será necesario seleccionar un control a lazo cerrado con realimentación negativa. A continuación analizamos el caso frecuente donde el Motor DC funciona como parte de un sistema a lazo cerrado denominado Sistema de Control de Posición.

Sistema electromecánico con Motor DC a lazo cerrado 

A continuación, vamos a deducir la Función de Transferencia θL(s)/ θr(s) para el Servosistema de la Figura 3, a partir de análisis detallado de cada uno de los componentes de dicho sistema electromecánico.

Figura 3. Sistema de Control de posición. 
Dinámica del sistema - Amplificador diferencial

El objetivo de un Servosistema es controlar la posición de la carga mecánica de acuerdo con la posición de referencia.

Un par de potenciómetros funcionan como un dispositivo de medición de error. Convierten las posiciones de entrada y salida en señales eléctricas proporcionales. En la Figura 3, un operador manipula el potenciómetro de entrada y determina la posición angular θr(t) del cursor. La posición angular θr(t) genera a su vez un potencial eléctrico que es proporcional a dicha posición angular. Este voltaje, que podemos denominar er(t), alimenta la terminal positiva del amplificador, que puede ser un amplificador diferencial, es decir, que resta la entrada positiva de la negativa (compara la entrada con la salida) y luego amplifica esta diferencia.

El amplificador diferencial tiene una impedancia de entrada muy alta y una impedancia de salida baja, muy conveniente debido a que los potenciómetros son esencialmente circuitos de alta impedancia y no toleran una variación de corriente mientras que al alimentar el circuito de la armadura del motor, la salida del amplificador no influye significativamente en el valor de la resistencia de dicha armadura.

Por su parte, la posición del eje de salida del motor, que es un desplazamiento angular, determina la posición angular θc(t) del cursor del potenciómetro de salida, el cual genera un potencial eléctrico ec(t), que luego alimenta el terminal negativo del amplificador diferencial, tal como se muestra en la Figura 3.

La diferencia entre er(t) y ec(t) es la señal de error e(t), o bien:

El objetivo del sistema de control de posición es actuar hasta reducir la señal de error e(t) a cero, lo que implica que la posición de la carga tendría el mismo valor que la señal de referencia (la entrada). Si existe un error (er(t) y ec(t) no son iguales), el motor DC desarrolla un par para rotar la carga de salida de tal forma que el error se reduzca a cero.

A la salida del amplificador se presenta el voltaje ea(t) que se aplica a la armadura del motor DC, tal como se muestra en la Figura 4.

Figura 4. Amplificador.

Si Ka es la ganancia constante del amplificador diferencial, entonces:

Necesitaremos la transformada de Laplace de las ecuaciones relevantes del sistema para poder desarrollar el diagrama de bloques del mismo. Luego de aplicar la transformada de Laplace a la ecuación anterior, obtenemos:

Para obtener el resto de las ecuaciones del sistema, analizamos cada etapa del mismo por separado.

Cuando el motor DC está incorporado a un sistema electromecánico como el de la Figura 3, se dice que está a lazo cerrado. Para obtener la función de transferencia Gm(s) del motor a lazo cerrado, se debe obtener el momento de inercia equivalente que actúa sobre el eje de salida del motor, el cual incluye el momento de inercia del motor Jm y el momento de inercia de la carga JL. Por tanto las ecuaciones del motor presentadas con anterioridad, varían. Es necesario calcular esta variación, cosa que haremos al estudiar el tren de engranajes.

Análisis de los Potenciómetros

Un potenciómetro es un transductor electromecánico que convierte energía mecánica en energía eléctrica. La entrada del dispositivo es una forma de desplazamiento mecánico que puede ser traslacional o rotacional. Cuando se aplica un voltaje a través de las terminales fijas del potenciómetro, el voltaje de salida er(t), que se mide entre la terminal variable y tierra, es proporcional al desplazamiento de entrada θr(t), multiplicada por la constante de ganancia del potenciómetro Kr. La Figura 5 muestra el esquema para el potenciómetro rotacional que forma parte de la Figura 3. De inmediato se presenta la expresión matemática para la ganancia del potenciómetro de entrada:

Figura 5. Potenciómetro rotacional de entrada del sistema. 

Procediendo de igual forma podemos obtener la ganancia para el potenciómetro de salida del sistema de la Figura 3:

Tomar en cuenta que, en la Figura 3:

Entonces:

Recordando que:

Sustituyendo obtenemos que:

Aplicando transformada de Laplace:

 

Análisis del tren de engranaje

Los trenes de engranajes se utilizan con mucha frecuencia en los sistemas electromecánicos con el fin de reducir la velocidad, amplificar el par o para obtener la transferencia de potencia más eficiente apareando el miembro impulsor con una carga dada. El tren de engranajes de la Figura 3 y su carga, se amplifican en la Figura 6:

Figura 6. Tren de engranajes de la Figura 1

En el tren de engranajes de la Figura 6, se puede demostrar que:

Y que:

 Haciendo igualaciones convenientes obtenemos que:

Es decir, si lo que nos interesa es determinar el torque en el eje del motor, o sea Tm, entonces podemos utilizar el hecho de que:

En definitiva, en base a lo anterior se puede comprobar que la manera más práctica de reflejar la carga JL hacia el eje de entrada del tren de engranaje en la Figura 3 para determinar la masa inercial equivalente Jeq vista por el motor en su eje de salida (flecha del motor), es mediante la siguiente fórmula:

Igual sucede con el coeficiente de fricción equivalente vista por por la flecha del motor:

Análisis del Motor DC y su carga

Con esta nueva información, podemos hallar las ecuaciones del motor y su carga. Luego, hallar la ecuación de transferencia Gm(s) para representar al motor, y al servosistema en su totalidad, mediante un diagrama de boques.

Considere la Figura 7, que representa la etapa del servosistema donde se localiza el motor DC y la conexión con su carga JL a través del tren de engranajes:

Figura 7. El motor DC, su carga y el tren de engranajes.

Considerando que:

La dinámica del motor y su carga mostrados en la Figura 7 es la siguiente:

La función de transferencia directa del motor Gm(s), donde:

Es:

Esta función fue deducida en el siguiente link: Función de transferencia del Motor DC y su carga

Utilizando la función de transferencia directa del motor y la transformada de Laplace de la ecuación (5), podemos representar el sistema de la Figura 7 mediante el siguiente diagrama de bloques:

Figura 8. Diagrama de bloques del motor y su carga
Diagrama de bloques y función de transferencia del sistema de control de posición. 

Haciendo uso del diagrama de la Figura 8, y de todos los resultados anteriores, podemos representar el sistema de seguimiento de la Figura 3 mediante el siguiente diagrama de bloques:

Figura 8. Diagrama de bloques del sistema de control de posición de la Figura 1.

La Figura 8 muestra una realimentación unitaria negativa, por lo que θL(s)/ θr(s) se puede calcular mediante la fórmula:

En conclusión, la función de transferencia θL(s)/ θr(s)  del sistema de seguimiento es:

Ejemplos de aplicación:

1. La Figura 9.16 muestra otro ejemplo, el sistema ARMII, muy utilizado en robótica industrial, una articulación hombro / enlace electromecánica, accionada por un servomotor de corriente continua con controlador de armadura, donde se contrasta la configuración a lazo abierto con aquella a lazo cerrado:

null

2. Obtener modelo matemático del sistema de control de posición de la Figura siguiente. Obtener su diagrama de bloques y la función de transferencia entre el ángulo de la carga y el ángulo de referencia θc(s)/θc(s).

null

Respuesta:

null

Todo el ejercicio está resuelto en el siguiente link:

Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Electrónica de Potencia.

El motor DC es siempre manejado por un amplificador de potencia que actúa como fuente de energía.

El desempeño de los servomotores utilizados en Robótica son altamente dependientes del uso de amplificadores de potencia eléctrica y controles electrónicos, una rama comúnmente conocida como Electrónica de potencia (Power Electronic). Los actuadores en aplicaciones de robótica, en especial los Motores DC, deben ser controlados con precisión con el fin de obtener, por ejemplo, el movimiento deseado en brazos y piernas de un robot. Esto requiere del uso de amplificadores de potencia para suministrar el correcto nivel de voltaje (o corriente) a la armadura del motor. Para lograr esto, el uso de amplificadores proporcionales como el amplificador operacional discutido con anterioridad resulta ser un método muy ineficiente y posiblemente destructivo debido a la gran pérdida de potencia en forma de calor. Una alternativa es el control de voltaje utilizando un conmutador ON-OFF. PWM (Pulse Width Modulation por sus siglas en Inglés ) es el método más común para variar el voltaje promedio suministrado a un motor DC. Ver: Sistema de control de un motor DC en Matlab – PWM (Pulse Width Modulation)

SIGUIENTE:

Fuentes:

  1. Chapter 2, Block Diagram of EM Systems, pp 21, 43(23) (Fuchs E.F., Masoum M.A.S. (2011) Block Diagrams of Electromechanical Systems. In: Power Conversion of Renewable Energy Systems. Springer, Boston, MA)
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  4. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  5. dinamica_de_sistemas
  6. Actuators and Drive System – Robótica
  7. Libro Rashid – Power Electronic Handbook
  8. Introduction to robotic mechanic and control
Atención:

Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.

Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. 

INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Mentoring Académico / Emprendedores / Empresarial.

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. 00593998524011

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Atención:

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Relacionado:

Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 1 – Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador 

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

Estabilidad de un sistema de control

Error en estado estable de un sistema de control

PID – Acciones Básicas de Sistemas de Control

PID – Efecto de las acciones de control Integral y Derivativo

Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Sin categoría

Yo le resolveré problemas de Sistemas de Control

Yo le entregaré la solución a cualquier problema típico de la cátedra Sistemas de Control, de las carreras universitarias Ingeniería de Control, Ingeniería Eléctrica, Electrónica, Mecánica, Mecatrónica, Robótica, Matemática y Física Aplicada.

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2. Diagrama de bloques y Función de Transferencia de Sistemas Electromecánicos (que incluyen motores, amplificadores, niveles de líquido, servomotores ), simulación en Matlab

3. Análisis en Variables de Estado, Respuesta en Frecuencia, Lugar Geométrico de las raíces

4. Respuesta del sistema a las acciones de control Integral y Derivativa, Control PID.

5. Diseño de sistemas de control, compensación de atraso-adelanto

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Observación: para estudiantes de ingeniería en Venezuela el servicio se negocia en términos de cooperación institucional, no en términos monetarios.

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist

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3. Analysis of State Variables, Frequency Response, Geometrical Place of Roots

4. System response to Integral and Derivative control actions, PID Control.

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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Cimientos

Un sistema de control puede estar compuesto por numerosos mecanismos eléctricos, (resistencias), electrónicos (un amplificador operacional), electromecánicos (motores). Para representar todos estos componentes y la manera como fluye la información entre ellos, los ingenieros de control se valen de Los Diagramas de Bloques. Esta representación permite desarrollar esquemas para comprender más fácilmente las operaciones de control en el sistema, representando pictóricamente la función de cada elemento físico de dicho sistema.

A diferencia de una representación puramente matemática integrada por ecuaciones diferenciales, o su equivalente luego de utilizar la Transformada de Laplace o Variables de Estado, los diagramas de bloques nos permiten visualizar de una manera más realista el flujo de las señales en el sistema.

Las Figuras 1.9b y c muestran un esquema para la “Antenna azimuth position control system”, y la Figura 1.9d muestra su Diagrama de Bloques Funcional:

null

null

null

Cada bloque del diagrama, denominado Bloque Funcional, consiste en un rectángulo que en su centro muestra la operación matemática aplicada a la señal de entrada (etiquetada con una flecha que entra al bloque) y que produce la señal de salida (etiquetada con una flecha que sale del bloque)

A continuación se presenta el marco teórico y las reglas del álgebra de diagramas de bloques. Si lo que busca son ejercicios y aplicaciones concretas, recomiendo ver:

Ejercicio de diagrama de bloques a partir de la Transformada de Laplace

Ejercicio de Diagrama de bloques a partir de representación en variables de estado 

Representación de Función de Transferencia 

La Figura 3-2 muestra los elementos de un Bloque Funcional. La dimensión de la señal de salida es la dimensión de la señal de entrada multiplicada por la función del bloque, mejor conocida como Función de Transferencia G(s).

El aporte más importante de un diagrama de bloques es que permite al ingeniero de control visualizar la operación y funcionalidad del sistema de control en su totalidad, de una manera incluso más práctica que observando directamente el sistema físico mismo. Sin embargo, el diagrama de bloques ofrece información puramente relacionada con el comportamiento dinámico del sistema, también llamado Dinámica del Sistema. Es decir, el diagrama de bloques no nos dice cómo está construido físicamente el sistema en realidad. Por ello, dos o más sistemas de control físicamente distintos y no relacionados pueden estar representados por el mismo diagrama de bloques.

Cada Bloque Funcional es considerado en sí mismo un subsistema. Cuando múltiples subsistemas se interconectan se hace necesario añadir nuevos elementos al diagrama de bloques. Aparecen entonces de acuerdo con Ogata (1998), los Puntos Suma (summing point) y los Puntos de Ramificación (pickoff points).

Puntos Suma y Puntos de Ramificación

Las características de cada elemento pueden observarse en la Figura 5-2

Los puntos de suma permiten ejecutar una de las operaciones más importantes de un sistema de control: la comparación entre dos o más señales (Figure 5-2-c). Ejemplos del tipo de aparatos utilizados en este tipo de operaciones son El Potenciómetro y El Amplificador Operacional. La Figura 3-3 muestra que tan diversas pueden ser estas operaciones:

Por su parte los puntos de ramificación permiten distribuir una señal de entrada hasta varios puntos de salida (Figure 5-2-d).

Ahora examinaremos las topologías más comunes en las cuáles estos subsistemas llamados Bloques Funcionales se interconectan. También hablaremos de la técnica básica para reducir estas configuraciones a un sólo bloque y, por ende, a una Función de Transferencia única.

Atención:

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Si necesitas realizar tareas, ejercicios, simulación en matlab, y/o una clase online para explicar el ejercicio, no dudes en ponerte en contacto conmigo:

Prof. Larry Obando

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Forma de Cascada

La Figura 5-3 muestra un ejemplo de Diagrama de Bloques en Cascada. Los valores de las señales intermedias se muestran a la salida de cada subsistema. Cada uno de estos valores se obtiene como resultado de multiplicar la Transformada de Laplace de la entrada por la Transformada de Laplace de la Función de Transferencia de cada bloque:

La Función de Transferencia Ge(s) se observa en la Figura 5-3b y es resultado de dividir la Transformada de Laplace de la salida entre la Transformada de Laplace de la entrada:

Forma en paralelo.

La Figura 5-5 muestra un ejemplo de Diagrama de Bloques en Paralelo.

null

Nuevamente en la figura anterior se procede a multiplicar la Transformada de Laplace de la entrada de cada bloque por la Transformada de Laplace de su Función de Transferencia. Luego, a la salida de cada subsistema encontramos los valores de las señales intermedias.

Los subsistemas en paralelo tienen una entrada en común y su salida se forma como producto de la suma algebraica de todas las salidas de cada uno de los bloques. Una vez más, la Función de Transferencia equivalente Ge(s) para todo el sistema es la siguiente:

Forma realimentación.

La Figura 3-4 muestra un ejemplo de diagrama de bloque para un Sistema de Control con Realimentación (Feedback System), también conocido como Sistema de Lazo Cerrado. El punto de suma es realimentado con la salida C(s) para ser comparada con la señal de referencia R(s).

Donde:

La configuración de la La Figura 3-4 se denomina Sistema de control con realimentación unitaria, y es una de las más importantes en la ingeniería de control ya que permite el cálculo rápido de los parámetros más utilizados en las especificaciones de diseño para respuesta transitoria y respuesta en estado estable. Por ello, gran parte del proceso de reducción de un diagrama de bloques complejo tiene como finalidad expresar dicho sistema complejo por medio de un diagrama de bloques de realimentación unitaria.

Con frecuencia, cuando la señal de salida C(s) es realimentada al punto de suma para su comparación, es necesario primero transformar dicha señal de salida a una unidad que coincida con la de la señal de entrada (por ejemplo, m/s con m/s, cuando se comparan velocidades). Es decir, para que ambas señales puedan ser sometidas a una operación matemática deben estar expresadas en las mismas dimensiones. En este caso, en el camino de regreso, durante la realimentación, la señal de salida es tratada por un transductor . La transformación es lograda por un transductor cuya Función de Transferencia es H(s):

Para el sistema de la figura anterior la salida C(s) y la entrada R(s) están relacionadas como sigue:

La Función de Transferencia que relaciona C(s) y R(s) se denomina Función de Transferencia de Lazo Cerrado.

Para ver un buen ejemplo de aplicación de estas reglas de operación de diagramas de bloques, ver:

Ejercicio de diagrama de bloques a partir de la Transformada de Laplace

Ejercicio de Diagrama de bloques a partir de representación en variables de estado 

Para culminar, mostramos a continuación las reglas del álgebra básicas para los Diagramas de Bloques:

El siguiente ejemplo ilustra la manera de obtener la Función de Transferencia de un modelo con realimentación, utilizando las reglas mencionadas en la Tabla 3-1 y las del modelo en cascada, para reducir Diagramas de Bloques:

BD Reductionn

Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo

 

Atención:

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Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. 

INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch

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Si lo que Usted necesita es reducir un Diagrama de Bloques complejo, resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o resolver un problema más complejo que involucra el uso de dispositivos electromecánicos (motor, sensor, etc) en un sistema de control…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema..Yo le resolveré cualquier problema de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab.

Relacionado:

Diagrama de Bloques para un Sistema Electromecánico

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador