Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Ingeniería Eléctrica, Máquinas Eléctricas

Dinámica de un Sistema Electromecánico con Motor DC.

Introducción

Los Sistemas Electromecánicos son aquellos sistemas híbridos de variables mecánicas y eléctricas. Las aplicaciones para componentes electromecánicos cubren un amplio espectro, desde sistemas de control para robots y rastreadores de estrellas, hasta controles de posición del disco duro en una computadora, o el control de motores DC en sistemas de aire acondicionado para instalaciones residenciales.

La Figura 2.1 muestra un sistema de accionamiento electromecánico. Consiste de una fuente de poder y energía, un circuito de compuerta para el convertidor, convertidores electrónicos (rectificador, inversor, controlador electrónico de poder), sensores de corriente (derivadores, transformador de corriente, sensor Hall), sensor de voltaje (divisor de voltaje, transformador de potencial), sensores de velocidad (tacómetros) y sensores de desplazamiento (codificadores), máquinas rotativas trifásicas, cajas de engranajes y cargas específicas (bomba, ventilador, automovil, etc). En la Figura 2-1 todos los componentes, con excepción de los engranajes, están representados por una Función de Transferencia (variables de salida en función del tiempo), mientras que la caja de engranajes está representada por una Función Característica (variable de salida Xout en función de la variable de entrada Xin)

El Servomotor DC controlado por armadura es quizás el más utilizado de los componentes que conforman un sistema electromecánico en robótica. Sin embargo, dependiendo de la aplicación, encontraremos también los dos motores AC trifásicos más comunes: motores de inducción y motores sincrónicos. En esta oportunidad sólo abordaremos el caso de Motores DC.

Primero debemos ser capaces de obtener el grupo de ecuaciones que gobiernan este motor, es decir, la Dinámica del Motor. A partir de dichas ecuaciones estaremos en capacidad de construir la representación del motor en diagrama de bloques a partir de su representación esquemática, tal como lo ilustra la Figura 2.35:

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Diagrama de Bloques para un Motor DC

Para generar la representación en diagrama de bloques de una máquina DC el primer paso es definir la Dinámica del Sistema, como se mencionaba anteriormente. Luego, aplicando la Transformada de Laplace, podremos representar esta dinámica mediante diagramas de bloques y las funciones de transferencia que relacionan las variables de mayor relevancia.

Obtener las ecuaciones que gobiernan la dinámica de un motor implica el conocimiento de los conceptos básicos del movimiento rotatorio, así como los fundamentos de campo magnético. Para dar un repaso, ver: Movimiento Rotatorio – Conceptos básicos.Concepto de Campo Magnético.

Un Motor DC puede estar controlado por campo o por armadura. Haciendo referencia a la Figura 2.35., un imán estacionario permanente o un electroimán genera un flujo magnético Φ, constante, denominado Fixed Field. Como resultado, el motor es controlado por un voltaje ea aplicado a los terminales de la armadura. Aplicando la teoría de circuitos de Kirchhoff , deducimos la primera ecuación característica del sistema:

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Donde La Ra representan la inductancia y la resistencia de la armadura respectivamente.

La armadura es un circuito rotativo a través del cual circula una corriente  ia. Cuando la armadura pasa en ángulos rectos a través del flujo magnético Φ, siente una fuerza F=BLia donde B es la intensidad del campo magnético y L es la longitud de la bobina o conductor. El torque Tm que resulta de esta interacción hace girar el rotor, el cual es el miembro rotatorio del motor. Para un análisis lineal es necesario suponer que este torque o par es proporcional al flujo magnético Φ y a la corriente ia . De aquí podemos obtener la siguiente ecuación del sistema:

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Como Φ es constante, el factor Km*Φ se reduce a una constante denominada Ki. De esta manera, la ecuación anterior se reduce a:

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Donde Ki es La Constante de Proporcionalidad, también llamada constante de torque del motor (o constante de par) y es uno de los parámetros dados por los fabricantes de motores. Ki, con frecuencia denominada también Kt en la literatura sobre el tema, viene en N-m/A.

Nota: cuando el motor es controlado por una corriente en el campo, con el fin de obtener un sistema lineal la corriente de armadura debe ser considerada constante y así el torque del motor viene dado por Tm= Kmif, donde if es la corriente de campo.

Otro importante fenómeno ocurre en el motor: Cuando un conductor se mueve en ángulos rectos a través de un campo magnético se genera un voltaje Vb en las terminales del conductor. Ya que la armadura rota en un campo magnético, el voltaje generado en el conductor que rodea la armadura es proporcional a la velocidad de rotación de la armadura, denominada ωm. De esta manera obtenemos otra ecuación de gran importancia:

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Donde:

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Denominamos a Vb la Fuerza Contraelectromotriz (o back emf por sus siglas en inglés); Kb es la constante de proporcionalidad llamada también constante emf. 

Aunque el Motor DC es por sí mismo un sistema en lazo abierto, veremos más adelante que la fuerza contraelectromotriz Vb, provoca un lazo realimentado dentro del motor, actuando como una “fricción eléctrica” que tiende a mejorar la estabilidad del motor.

Por último, aplicando las leyes de Newton para movimientos mecánicos rotacionales obtenemos:

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Donde TL representa la carga, Jm es el momento inercial (inercia) del rotor, y Bm es el coeficiente de fricción viscosa del motor.

De esta manera hemos logrado definir el conjunto de ecuaciones que determina la Dinámica del Motor DC operando en lazo abierto:

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null

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donde:

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Para representar esta dinámica en diagrama de bloques, el siguiente paso consiste en aplicar la Transformada de Laplace a cada ecuación y despejar la salida θcomo función de las otras variables de estado.

Luego de aplicar Laplace, obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:

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Este sistema de ecuaciones, tomando a Ea(s) como la entrada y a θm(s) como la salida,  se representan a continuación mediante El Diagrama de Bloques para un Motor DC operando a lazo abierto:

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Aquí podemos corroborar lo que señalamos antes, que la fuerza contraelectromotriz, proporcional a Ωm(s), representado en el diagrama como Eb(s), genera un lazo realimentado que tiende a estabilizar el sistema.

La configuración del sistema electromecánico más comúnmente utilizado se muestra en la  Figura 2.15, operando a una velocidad constante y sin lazo de realimentación. La mayoría de estos sistemas se representan utilizando sólo las funciones de transferencia de cada equipo en un diagrama de bloques lo más resumido posible. Por tanto, generalmente es mucho más útil representar el motor y su carga mediante un único bloque, cosa que haremos más adelante, luego de conversar sobre el resto de los componentes más comunes en sistemas electrodinámicos: tren de engranajes, potenciómetros, tacómetros y amplificadores proporcionales.

El Potenciómetro.

Un potenciómetro es un transductor electromecánico que convierte energía mecánica en energía eléctrica. La entrada del dispositivo es una forma de desplazamiento mecánico que puede ser traslacional o rotacional. Cuando se aplica un voltaje a través de las terminales fijas del potenciómetro, el voltaje de salida, que se mide entre la terminal variable y tierra, es proporcional al desplazamiento de entrada. La Figura 4-29 muestra el esquema para un potenciómetro rotacional.

Cuando la carcaza del potenciómetro está conectada a la referencia, el voltaje de salida e(t) será proporcional a la posición del eje θc(t) para el caso de un movimiento rotatorio. Por tanto:

nullDonde Ks es la constante de proporcionalidad. Así que E(s)/θc(s) = Ks sería la función de transferencia de un potenciómetro, representada por el siguiente diagrama de bloque:

Los potenciómetros se usan a menudo para realimentar la posición de la salida en los sistemas de control de motores. Aquí trabaja entonces como un sensor mecánico. Permiten entonces comparar la posición real de la carga con la posición de referencia. La comparación genera una señal de error que luego se amplifica para mover al motor hasta alcanzar la posición correcta.

El Tacómetro.

Al igual que los potenciómetros, los tacómetros son dispositivos electromecánicos que convierten energía mecánica en energía eléctrica. Trabaja esencialmente como un generador de voltaje, con la salida de voltaje proporcional a la magnitud de la velocidad angular del eje de entrada. La Figura 4-33 refleja el uso común de un tacómetro en un sistema de control de velocidad:

La dinámica del tacómetro se puede representar como:

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Donde et(t) es el voltaje de salida, θ(t) es el desplazamiento del motor en radianes, ω(t) es la velocidad del rotor en rad/s, y Kt es la constante del tacómetro. Luego, términos del desplazamiento del motor:

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El tren de engranaje (transmisión de potencia)

Los trenes de engranajes se utilizan con mucha frecuencia en los sistemas electromecánicos con el fin de reducir la velocidad, amplificar el par o para obtener la transferencia de potencia más eficiente apareando el miembro impulsor con una carga dada. Considere el tren de engranajes mostrado en la Figura 2-30:

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En la práctica, el procedimiento más utilizado para calcular el momento de inercia equivalente J1-eq y la fricción viscosa equivalente b1-eq, consiste en reflejar la inercia y la fricción viscosa de la flecha de carga a la flecha del motor. El resultado es el siguiente:

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Donde J1-eq es la inercia equivalente vista por la flecha del motor y b1-eq es el coeficiente de amortiguamiento equivalente vista por la flecha del motor. En los diagramas de bloque se acostumbra representar al tren de engranaje mediante un bloque con función de transferencia proporcional, una constante Kg (por Kgears) equivalente al factor n1/n2.

El amplificador proporcional.

Un buen ejemplo de un amplificador proporcional es un Amplificador Operacional con realimentación negativa resistiva pura y configuración de inversor tal como se muestra en la Figura 2.7a.

Los Amplificadores Operacionales, con frecuencia llamados Op Amps, son ampliamente utilizados para amplificar señales en circuitos que funcionan como sensores. La Función de Transferencia del Amplificador Operacional se muestra en la Figura 2.7b con el nombre de G2:

Otra configuración de esta clase se muestra en la Tabla 3-1 con su función de transferencia:

Table 3-1

Operación en lazo cerrado.

La operación del motor DC en lazo abierto es aceptable para muchas aplicaciones donde una posición fija con cierto margen de error (un ascensor) o una velocidad fija (una motosierra) es suficiente. Sin embargo, en aplicaciones donde la velocidad es variable (una banda transportadora) o la posición debe ser controlada de manera muy precisa (un telescopio), será necesario seleccionar un control a lazo cerrado con realimentación negativa. Una operación a lazo cerrado muy popular es la de control de posición. Un esquema para el control de posición de la Antena Azimuth se muestra a continuación:

Cuyo diagrama de bloques es:

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La Figura 9.16 muestra otro ejemplo, el sistema ARMII, muy utilizado en robótica industrial, una articulación hombro / enlace electromecánica, accionada por un servomotor de corriente continua con controlador de armadura, donde se contrasta la configuración a lazo abierto con aquella a lazo cerrado:

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Ejemplo de aplicación:

Antes de continuar, veamos un ejemplo de cómo aplicar la teoría estudiada hasta ahora, a un caso bastante común:

  1. Obtener modelo matemático del sistema de control de posición de la Figura siguiente. Obtener su diagrama de bloques y la función de transferencia entre el ángulo de la carga y el ángulo de referencia θc(s)/θc(s).

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Respuesta:

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Todo el ejercicio está resuelto en el siguiente link:

Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Diagrama de Bloques para sistema DC Motor/Amplificador

El motor de CD es siempre manejado por un amplificador de potencia que actúa como fuente de energía.

Electrónica de Potencia.

El desempeño de los servomotores utilizados en Robótica son altamente dependientes del uso de amplificadores de potencia eléctrica y controles electrónicos, una rama comúnmente conocida como Electrónica de potencia (Power Electronic). Los actuadores en aplicaciones de robótica, en especial los Motores DC, deben ser controlados con precisión con el fin de obtener, por ejemplo, el movimiento deseado en brazos y piernas de un robot. Esto requiere del uso de amplificadores de potencia para suministrar el correcto nivel de voltaje (o corriente) a la armadura del motor. Para lograr esto, el uso de amplificadores proporcionales como el amplificador operacional discutido con anterioridad resulta ser un método muy ineficiente y posiblemente destructivo debido a la gran pérdida de potencia en forma de calor. Una alternativa es el control de voltaje utilizando un conmutador ON-OFF. PWM (Pulse Width Modulation por sus siglas en Inglés ) es el método más común para variar el voltaje promedio suministrado a un motor DC.

Brevemente, un sistema para accionar un motor (drive) tiene un diagrama de bloques semejante al mostrado en la Figura 27.1. Las cargas pueden ser un transportador, un sistema de tracción, los cilindros de una unidad de molino, el compresor de un aire acondicionado, el sistema de propulsión de un barco, la válvula de control de una caldera, un brazo robótico, y así sucesivamente.

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El bloque descrito como “Power Electronic Converter” en el diagrama de la Figura 27.1, en el caso de un control PWM, puede usar diodos,  MOSFETs, GTOs or IGBTs. Los sistemas de servoaccionamiento (Servo drives)  normalmente utilizan el convertidor de cuatro cuadrantes de la Figura 27.9, que permite accionamientos (drives) bidireccionales y capacidades de frenado regenerativo.

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PWM es una técnica para el control efectivo del voltaje de armadura en un motor DC, utilizando solamente un switch ON-OFF. La Figura 2.3.3 ilustra la señal de salida de un equipo PWM:

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El PWM varía la relación entre la duración del estado ON con respecto a la duración del estado OFF. Un solo ciclo de estados ON y OFF representa el periodo del PWM, mientras que el porcentaje del estado ON con respecto al periodo del PWM es denominado “Duty Rate” (ritmo de trabajo). La primera señal PWM mostrada en la Figura 2.3.3, está a 60% de trabajo, mientras la segunda lo está a 25%. Si la fuente de voltaje que alimenta el sistema es V=10 volts, el voltaje promedio realmente transmitido al motor DC es de 6 volts en el primer caso y de 2.5 volts en el segundo. El periodo del PWM es establecido de tal manera que sea mucho más corto que la constante de tiempo asociada al movimiento mecánico.  La frecuencia del PWM está usualmente entre los 2 y los 20 KHz, mientras que un ancho de banda típico del sistema de control del motor es de 100 Hz. Por lo tanto, la conmutación discreta no influye sustancialmente al movimiento mecánico en la mayoría de los casos.

Si la constante de tiempo Te es mucho mayor que el período de PWM, la corriente real que fluye hacia la armadura del motor es una curva suave, como se ilustra en la Figura 2.3.4:

SIGUIENTE: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Diseño de sistemas de control - Tema siguiente.

El objetivo fundamental de analizar un sistema de control es facilitar su diseño. El Diagrama de Bloques es el primer paso porque representa el modelo matemático del sistema que queremos analizar y mejorar. La dinámica de un proceso lineal controlado puede representarse por el diagrama de bloques de la Figura 10-1:

La mayoría de los sistemas de control se construyen para que el vector de salida y(t) cumpla con ciertas especificaciones que definen que debe hacer el sistema y cómo hacerlo de una manera deseada. Dichas especificaciones son únicas para cada aplicación individual. Estabilidad relativa, precisión en estado estable (error) y respuestas transitoria son las especificaciones más utilizadas en el mercado. El problema esencial involucra determinar la señal de control U(t) dentro de un intervalo prescrito para que se satisfagan las especificaciones requeridas por el cliente.

Luego de determinar lo anterior, el ingeniero debe diseñar una configuración fija del sistema y el lugar donde el controlador estará colocado en relación con el proceso controlado, lo que involucra además diseñar los elementos que conforman el controlador, es decir, determinar los parámetros del controlador. Debido a que la mayoría de los esfuerzos de control involucran la modificación o compensación de las características de desempeño mostradas por el sistema durante el análisis de respuesta transitoria y respuesta en estado estable, al diseño de una configuración fija también se le llama compensación.

En definitiva, el arte y ciencia de diseñar sistemas de control puede resumirse en tres pasos, lo que nos conlleva a nuestros siguientes temas:

  1. Determinar que debe hacerse y cómo hacerlo
    1. Respuesta Transitoria de un Sistema de Control
    2. Estabilidad de un sistema de control
    3. Error en estado estable de un sistema de control
  2. Determinar la configuración del controlador
    1. PID – Acciones Básicas de Sistemas de Control
    2. PID – Efecto de las acciones de control Integral y Derivativo
    3. PID – Diseño y configuración del controlador
  3. Determinar los parámetros del controlador

Fuentes:

  1. Chapter 2, Block Diagram of EM Systems, pp 21, 43(23) (Fuchs E.F., Masoum M.A.S. (2011) Block Diagrams of Electromechanical Systems. In: Power Conversion of Renewable Energy Systems. Springer, Boston, MA)
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  4. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  5. dinamica_de_sistemas
  6. Actuators and Drive System – Robótica
  7. Libro Rashid – Power Electronic Handbook
  8. Introduction to robotic mechanic and control

 

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

Estabilidad de un sistema de control

Error en estado estable de un sistema de control

PID – Acciones Básicas de Sistemas de Control

 

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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

 

Cimientos

Un sistema de control puede estar compuesto por numerosos mecanismos eléctricos, (resistencias), electrónicos (un amplificador operacional), electromecánicos (motores). Para representar todos estos componentes y la manera como fluye la información entre ellos, los ingenieros de control se valen de Los Diagramas de Bloques. Esta representación permite desarrollar esquemas para comprender más fácilmente las operaciones de control en el sistema, representando pictóricamente la función de cada elemento físico de dicho sistema.

A diferencia de una representación puramente matemática integrada por ecuaciones diferenciales, o su equivalente luego de utilizar la Transformada de Laplace o Variables de Estado, los diagramas de bloques nos permiten visualizar de una manera más realista el flujo de las señales en el sistema.

Las Figuras 1.9b y c muestran un esquema para la “Antenna azimuth position control system”, y la Figura 1.9d muestra su Diagrama de Bloques Funcional:

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Cada bloque del diagrama, denominado Bloque Funcional, consiste en un rectángulo que en su centro muestra la operación matemática aplicada a la señal de entrada (etiquetada con una flecha que entra al bloque) y que produce la señal de salida (etiquetada con una flecha que sale del bloque)

La Figura 3-2 muestra los elementos de un Bloque Funcional. La dimensión de la señal de salida es la dimensión de la señal de entrada multiplicada por la función del bloque, mejor conocida como Función de Transferencia G(s).

El aporte más importante de un diagrama de bloques es que permite al ingeniero de control visualizar la operación y funcionalidad del sistema de control en su totalidad, de una manera incluso más práctica que observando directamente el sistema físico mismo. Sin embargo, el diagrama de bloques ofrece información puramente relacionada con el comportamiento dinámico del sistema, también llamado Dinámica del Sistema. Es decir, el diagrama de bloques no nos dice cómo está construido físicamente el sistema en realidad. Por ello, dos o más sistemas de control físicamente distintos y no relacionados pueden estar representados por el mismo diagrama de bloques.

Cada Bloque Funcional es considerado en sí mismo un subsistema. Cuando múltiples subsistemas se interconectan se hace necesario añadir nuevos elementos al diagrama de bloques. Aparecen entonces de acuerdo con Ogata (1998), los Puntos Suma (summing point) y los Puntos de Ramificación (pickoff points). Las características de cada elemento pueden observarse en la Figura 5-2

Los puntos de suma permiten ejecutar una de las operaciones más importantes de un sistema de control: la comparación entre dos o más señales (Figure 5-2-c). Ejemplos del tipo de aparatos utilizados en este tipo de operaciones son El Potenciómetro y El Amplificador Operacional. La Figura 3-3 muestra que tan diversas pueden ser estas operaciones:

Por su parte los puntos de ramificación permiten distribuir una señal de entrada hasta varios puntos de salida (Figure 5-2-d).

Ahora examinaremos las topologías más comunes en las cuáles estos subsistemas llamados Bloques Funcionales se interconectan. También hablaremos de la técnica básica para reducir estas configuraciones a un sólo bloque y, por ende, a una Función de Transferencia única.

Forma de Cascada

La Figura 5-3 muestra un ejemplo de Diagrama de Bloques en Cascada. Los valores de las señales intermedias se muestran a la salida de cada subsistema. Cada uno de estos valores se obtiene como resultado de multiplicar la Transformada de Laplace de la entrada por la Transformada de Laplace de la Función de Transferencia de cada bloque:

La Función de Transferencia Ge(s) se observa en la Figura 5-3b y es resultado de dividir la Transformada de Laplace de la salida entre la Transformada de Laplace de la entrada:

Forma en paralelo.

La Figura 5-5 muestra un ejemplo de Diagrama de Bloques en Paralelo.

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Nuevamente en la figura anterior se procede a multiplicar la Transformada de Laplace de la entrada de cada bloque por la Transformada de Laplace de su Función de Transferencia. Luego, a la salida de cada subsistema encontramos los valores de las señales intermedias.

Los subsistemas en paralelo tienen una entrada en común y su salida se forma como producto de la suma algebraica de todas las salidas de cada uno de los bloques. Una vez más, la Función de Transferencia equivalente Ge(s) para todo el sistema es la siguiente:

Forma realimentación.

La Figura 3-4 muestra un ejemplo de diagrama de bloque para un Sistema de Control con Realimentación (Feedback System), también conocido como Sistema de Lazo Cerrado. El punto de suma es realimentado con la salida C(s) para ser comparada con la señal de referencia R(s).

Generalmente, cuando la señal de salida C(s) es realimentada al punto de suma para su comparación, es necesario primero transformar dicha señal de salida a una forma que coincida con la de la señal de entrada. Para que puedan ambas ser sometidas a una operación matemática deben estar expresadas en las mismas dimensiones. Por ejemplo, la salida puede ser una medida de temperatura, la cual debe transformarse a una señal de voltaje porque la señal de referencia es por lo general una señal de voltaje. Por tanto, en el camino de regreso la señal de entrada es tratada por un transductor que transforma la señal de temperatura en señal eléctrica. La transformación es lograda por un dispositivo cuya Función de Transferencia es H(s):

Para el sistema de la figura anterior la salida C(s) y la entrada R(s) están relacionadas como sigue:

La Función de Transferencia que relaciona C(s) y R(s) se denomina Función de Transferencia de Lazo Cerrado.

Para culminar, mostramos a continuación las reglas del álgebra básicas para los Diagramas de Bloques:

El siguiente ejemplo ilustra la manera de obtener la Función de Transferencia de un modelo con realimentación, utilizando las reglas mencionadas en la Tabla 3-1 y las del modelo en cascada, para reducir Diagramas de Bloques:

BD Reductionn

Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo

Posted by: Larry Francis Obando – Technical Specialist –  Educational Content Writer

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