PID – Efecto de las acciones de control Integral y Derivativo

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En esta sección, investigaremos los efectos de las acciones de control integrales y derivativo en el rendimiento del sistema. Aquí consideraremos sólo los sistemas simples para que se puedan ver claramente los efectos de las acciones de control integral y derivativo en el rendimiento del sistema.

Acción de control integral. En el control proporcional de una planta cuya función de transferencia no posee un integrador 1 / s, se presenta un error en estado estable (offset) en la respuesta a una entrada escalón unitario. Tal error se puede eliminar si la acción de control integral está incluida en el controlador. La función principal de la acción integral es asegurarse de que la salida del proceso coincide con el punto de consigna en estado estacionario.

En el control integral de una planta, la señal de control, la cual es la señal de salida del controlador, en cualquier instante, es el área bajo la curva de señal de error actuante hasta ese instante.

La señal de control u (t) puede tener un valor distinto de cero cuando la señal de error actuante e (t) es cero, como se muestra en la figura 5-39 (a). Esto es imposible en el caso del controlador proporcional, ya que una señal de control distinta de cero requiere una señal de error actuante distinta de cero. (Una señal de error actuante distinta de cero en estado estable significa que hay un offset). Con acción integral, un pequeño error positivo conducirá siempre a una señal de control creciente, y un error negativo dará una señal de control decreciente sin tener en cuenta lo pequeño que sea el error.

La Figura 5-39 (b) muestra la curva e (t) versus t, y la curva correspondiente u (t) versus t cuando el el controlador es del tipo proporcional.

Hay que tener en cuenta que la acción de control integral, al eliminar el offset o el error de estado estable, puede conducir a una respuesta oscilatoria de amplitud decreciente o incluso a una amplitud creciente, ambas de las cuales son por lo general indeseables.

Considere el sistema que se muestra en la Figura 5-40.

Vamos a obtener el error de estado estable de este sistema para una entrada escalón unitario. Definimos:

Ya que:

El error en estado estable está dado por:

Para una entrada escalón unitario R(s) = 1/s, obtenemos:

El error en estado estable es:

Tal sistema sin un integrador en la ruta de alimentación directa siempre tiene un error de estado estacionario como respuesta al escalón unitario. Tal error de estado estacionario se denomina offset. La Figura 5-41 muestra la respuesta del sistema al escalón unitario:

Control Integral de Sistemas. Considere el sistema que se muestra en la Figura 5-42.

El controlador es un controlador integral. La función de transferencia de circuito cerrado del sistema es:

Por lo tanto:

Como el sistema es estable, se puede obtener el error de estado estable para la respuesta de paso unitario aplicando el teorema del valor final, como se muestra a continuación:

El control integral del sistema elimina así el error de estado estacionario en la respuesta a la entrada de paso. Esta es una mejora importante sobre el control proporcional el cual tiene un offset.

Acción de control derivativo. La acción de control derivativo, cuando se agrega a un controlador proporcional, concede un medio para obtener un controlador con alta sensibilidad. Una ventaja del uso de la acción de control derivativo es que responde a la velocidad de cambio del error y puede producir una corrección significativa antes de que la magnitud del error sea demasiado grande. El control derivado anticipa, pues, el error de accionamiento, inicia una acción correctiva temprana y tiende a aumentar la estabilidad del sistema.

Aunque el control derivado no afecta directamente al error de estado estacionario, agrega amortiguación al sistema y, por lo tanto, permite el uso de un valor mayor de la ganancia K, lo que dará como resultado una mejora en la precisión del estado estable. Debido a que el control derivativo opera en la tasa de cambio del error de actuación y no en el error de actuación en sí, este modo nunca se usa solo. Siempre se usa en combinación con una acción de control proporcional o proporcional más integral

Control proporcional de sistemas con carga de inercia. Antes de discutir el efecto de la acción de control derivativo sobre el rendimiento del sistema, consideraremos el control proporcional de una carga inercial.

Considere el sistema que se muestra en la figura 5-46 (a).

La función de transferencia de bucle cerrado se obtiene como:

La ecuación característica es:

Como las raíces de la ecuación característica son imaginarias, la respuesta a una entrada escalón unitario continúa oscilando indefinidamente, como se muestra en la figura 5-46 (b). Los sistemas de control que exhiben tales características de respuesta no son deseables. Veremos que la adición de control derivado estabilizará el sistema.

Control Proporcional-Derivativo de un Sistema con Carga Inercial. Modifiquemos el controlador proporcional a un controlador derivativo-proporcional, cuya función de transferencia es Kp (1 + Tds). El par desarrollado por el controlador es proporcional a Kp (e + Tde ‘). El control derivativo es esencialmente anticipatorio, mide la velocidad de error instantánea y predice el gran sobreimpulso con anticipación y produce una neutralización adecuada antes de que ocurra un sobrepaso (overshoot) demasiado grande.

Considere el sistema que se muestra en la figura 5-47 (a).

La función de transferencia en lazo cerrado está dada por:

La ecuación característica es:

Ahora la ecuación característica tiene dos raíces con partes reales negativas para valores positivos de J, Kp y Td. Así, el control derivativo introduce un efecto de amortiguación. Una curva de respuesta típica c (t) a un escalón unitario en la la entrada, se muestra en la Figura 5-47 (b). Claramente, la curva de respuesta en este caso muestra una marcada mejora con respecto a la curva de respuesta original que se muestra en la figura 5-46 (b).

Control proporcional-Derivativo de sistemas de segundo orden. Se puede lograr un compromiso entre el comportamiento aceptable de respuesta transitoria y el comportamiento aceptable del estado estacionario mediante el uso de una acción de control proporcional-derivativo. Considere el sistema que se muestra en la Figura 5-48.

La función de transferencia de bucle cerrado es:

El error de estado estable para una entrada de rampa unitaria es:

La ecuación característica es:

El coeficiente de amortiguación efectivo de este sistema es, por lo tanto, B + Kd en lugar de B. Dado que la relación de amortiguación ζ de este sistema es:

es posible hacer el error de estado estacionario Ess pequeño, para una entrada de rampa y el sobrepaso máximo para una entrada escalón unitario, haciendo B pequeño, Kp grande y Kd lo suficientemente grande para que ζ está entre 0.4 y 0.7.

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Fuentes:

  1. Control PID Avanzado
  2. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t p 294

 

Escrito por Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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PID – Acciones Básicas de Sistemas de Control

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Introducción

Un controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la entrada de referencia (el valor deseado), determina la desviación y produce una señal de control que reducirá la desviación a cero o a un valor pequeño. La manera en la cual el controlador automático produce la señal de control se denomina acción de control.

Clasificación de los controladores industriales.

De acuerdo con sus acciones de control, los controladores industriales se clasifican en:

  1. De dos posiciones o de encendido y apagado (On/Off)
  2. Proporcionales
  3. Integrales
  4. Proporcionales-Integrales
  5. Proporcionales-Derivativos
  6. Proporcionales-Integrales-Derivativos

Casi todos los controladores industriales emplean como fuente de energía la electricidad o un fluido presurizado, tal como el aceite o el aire. Los controladores también pueden clasificarse, de acuerdo con el tipo de energía que utilizan en su operación, como neumáticos, hidráulicos o electrónicos. El tipo de controlador que se use debe decidirse con base en la naturaleza de la planta y las condiciones operacionales, incluyendo consideraciones tales como seguridad, costo, disponibilidad, confiabilidad, precisión, peso y tamaño.

La Figura 5-1 muestra la configuración típica de un Sistema de Control Industrial:

La figura anterior consiste en un Diagrama de Bloques para un sistema de control industrial compuesto por un controlador automático, un actuador, una planta y un sensor (elemento de medición). El controlador detecta la señal de error, que por lo general, está en un nivel de potencia muy bajo, y la amplifica a un nivel lo suficientemente alto. La salida de un controlador automático alimenta a un actuador que puede ser una válvula neumática o un motor eléctrico. El actuador es un dispositivo de potencia que produce la entrada para La planta de acuerdo con la señal de control, a fin de que la señal de salida se aproxime a la señal de entrada de referencia. El sensor, o elemento de medición, es un dispositivo que convierte la variable de salida, tal como un desplazamiento, en otra variable manejable, tal como un voltaje, que pueda usarse para comparar la salida con la señal de entrada de referencia. Este elemento está en la trayectoria de realimentación del sistema en lazo cerrado. El punto de ajuste del controlador debe convertirse en una entrada de referencia con las mismas unidades que la señal de realimentación del sensor o del elemento de medición.

Acción de control de dos posiciones o de encendido y apagado (on/off).

En un sistema de control de dos posiciones, el elemento de actuación sólo tiene dos posiciones fijas que, en muchos casos, son simplemente encendido y apagado. El control de dos posiciones o de encendido y apagado es relativamente simple y barato, razón por la cual su uso es extendido en sistemas de control tanto industriales como domésticos.

Supongamos que la señal de salida del controlador es u(t) y que la señal de error es e(t). En el control de dos posiciones, la señal u(t) permanece en un valor ya sea máximo o mínimo, dependiendo de si la señal de error es positiva o negativa. De este modo,

donde U1 y U2 son constantes. Por lo general, el valor mínimo de U2 es cero ó –U1.

Es común que los controladores de dos posiciones sean dispositivos eléctricos, en cuyo caso se usa extensamente una válvula eléctrica operada por solenoides. Los controladores neumáticos proporcionales con ganancias muy altas funcionan como controladores de dos posiciones y, en ocasiones, se denominan controladores neumáticos de dos posiciones.

Las figuras 5-3(a) y (b) muestran los diagramas de bloques para dos controladores de dos posiciones. El rango en el que debe moverse la señal de error antes de que ocurra la conmutación se denomina brecha diferencial. En la figura 5-3(b) se señala una brecha diferencial. Tal brecha provoca que la salida del controlador u(t) conserve su valor presente hasta que la señal de error se haya desplazado ligeramente más allá de cero. En algunos casos, la brecha diferencial es el resultado de una fricción no intencionada y de un movimiento perdido; sin embargo, con frecuencia se provoca de manera intencional para evitar una operación demasiado frecuente del mecanismo de encendido y apagado.

Acción de control proporcional.

Para un controlador con acción de control proporcional, la relación entre la salida del controlador u(t) y la señal de error e(t) es:

o bien, en cantidades transformadas por el método de Laplace:

donde Kp se considera la ganancia proporcional.

Cualquiera que sea el mecanismo real y la forma de la potencia de operación, el controlador proporcional es, en esencia, un amplificador con una ganancia ajustable. En la figura 5-6 se presenta un diagrama de bloques de tal controlador.

Acción de control integral.

En un controlador con acción de control integral, el valor de la salida del controlador u(t) se cambia a una razón proporcional a la señal de error e(t). Es decir,

o bien:

en donde Ki es una constante ajustable. La función de transferencia del controlador integral es:

Si se duplica el valor de e(t), el valor de u(t) varía dos veces más rápido. Para un error de cero, el valor de u(t) permanece estacionario. En ocasiones, la acción de control integral se denomina control de reajuste (reset). La figura 5-7 muestra un diagrama de bloques de tal controlador.

Acción de control integral-proporcional.

La acción de control de un controlador proporcional-integral (PI) se define mediante:

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o la función de transferencia del controlador, la cual es:

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en donde Kp es la ganancia proporcional y Ti se denomina tiempo integral. Tanto Kp como Ti son ajustables. El tiempo integral ajusta la acción de control integral, mientras que un cambio en el valor de Kp afecta las partes integral y proporcional de la acción de control.

El inverso del tiempo integral Ti se denomina velocidad de reajuste. La velocidad de reajuste es la cantidad de veces por minuto que se duplica la parte proporcional de la acción de control. La velocidad de reajuste se mide en términos de las repeticiones por minuto. La Figura 5-8(a) muestra un diagrama de bloques de un controlador proporcional más integral. Si la señal de error e(t) es una función escalón unitario, como se aprecia en la Figura 5-8(b), la salida del controlador u(t) se convierte en lo que se muestra en la figura 5-8(c).

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Acción de control proporcional-derivativa.

La acción de control de un controlador proporcional-derivativa (PD) se define mediante:

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la función de transferencia es:

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en donde Kp es la ganancia proporcional y Td es una constante denominada tiempo derivativo. Tanto Kp como Td son ajustables. La acción de control derivativa, en ocasiones denominada control de velocidad, ocurre donde la magnitud de la salida del controlador es proporcional a la velocidad de cambio de la señal de error. El tiempo derivativo Td es el intervalo de tiempo durante el cual la acción de la velocidad hace avanzar el efecto de la acción de control proporcional.

La Figura 5-9(a) muestra un diagrama de bloques de un controlador PD. Si la señal de error e(t) es una función rampa unitaria como se aprecia en la Figura 5-9(b), la salida del controlador u(t) se convierte en la que se muestra en la figura 5-9(c). La acción de control derivativa tiene un carácter de previsión. Sin embargo, es obvio que una acción de control derivativa nunca prevé una acción que nunca ha ocurrido.

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Aunque la acción de control derivativa tiene la ventaja de ser de previsión, tiene las desventajas de que amplifica las señales de ruido y puede provocar un efecto de saturación en el actuador. Observe que la acción de control derivativa no se usa nunca sola, debido a que sólo es eficaz durante periodos transitorios.

Acción de control proporcional-Integral-derivativa (PID)

La combinación de una acción de control proporcional, una acción de control integral y una acción de control derivativa se denomina acción de control proporcional-integral-derivativa (PID). 

Esta acción combinada tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante:

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la función de transferencia es:

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en donde Kp es la ganancia proporcional, Ti es el tiempo integral y Td es el tiempo derivativo. El diagrama de bloques de un controlador PID aparece en la figura 5-10(a). Si e(t) es una función rampa unitaria, como la que se observa en la figura 5-10(b), la salida del controlador u(t) se convierte en la de la figura 5-10(c).

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Efectos del sensor sobre el desempeño del sistema.

Dado que las características dinámica y estática del sensor o del elemento de medición afecta la indicación del valor real de la variable de salida, el sensor cumple una función importante para determinar el desempeño general del sistema de control. Por lo general, el sensor determina la función de transferencia en la trayectoria de realimentación. Si las constantes de tiempo de un sensor son insignificantes en comparación con otras constantes de tiempo del sistema de control, la función de transferencia del sensor simplemente se convierte en una constante. Las figuras 5-11(a), (b) y (c) muestran diagramas de bloques de controladores automáticos con un sensor de primer orden, un sensor de segundo orden sobreamortiguado y un sensor de segundo orden subamortiguado, respectivamente. Con frecuencia la respuesta de un sensor térmico es del tipo de segundo orden sobreamortiguado.

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Fuente:

  1. Ingenieria de Control Moderna, 3° ED. – Katsuhiko Ogata, pp 211-232

 

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FIRST and SECOND ORDER SYSTEMS

FIRST and SECOND ORDER SYSTEMS

 

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Norman Nise
    1. Introduction Chapter 4 pp 162 (162)
    2. Poles and Zeros 4.1 pp 162 –
    3. First Order System 4.3 pp 165-168
    4. Second Order System 4.4 pp 168-177
  2. Modern_Control_Engineering__4t
    1. Introduction Chapter 5 pp 219 (232)
    2. First Order Systems 221 (234)-224
    3. Second Order System pp 225(238)-229

 

 

TIME DOMAIN CONTROL SYSTEMS ANALYSIS

Analisis de sistemas de control en el dominio del tiempo

FIRST ORDER SYSTEMS

We now discuss first-order systems without zeros to define a performance specification for such a system…

We now use Eqs. (4.6), (4.7), and (4.8) to define three transient response performance specifications:

 

  • Time Constant: We call 1/a the time constant of the response. From Eq. (4.7), the time constant can be described as the time for to decay to 37% of its initial value. Alternately, from Eq. (4.8) the time constant is the time it takes for the step response to rise to 63% of its final value.

The reciprocal of the time constant has the units (1/seconds), or frequency. Thus, we can call the parameter a the exponential frequency. Thus, the time constant can be considered a transient response specification for a first order system, since it is related to the speed at which the system responds to a step input.Since the pole of the transfer function is at a, we can say the pole is located at the reciprocal of the time constant, and the farther the pole from the imaginary axis, the faster the transient response.

 

  • Rise Time (Tr): Rise time is defined as the time for the waveform to go from 0.1 to 0.9 of its final value.

 

  • Settling Time (Ts): Settling time is defined as the time for the response to reach, and stay within, 2% of its final value.2

Fuente [1]

Fuente [3]

Fuente [3]

SECOND-ORDER SYSTEMS

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Diodos – Caracteres básicos

Diodos – Caracteres básicos.

Jueves 09 de noviembre, 2017, 04:43 am.

Fuente:

  1. Electrónica Hambley
    1. Características del diodo pp 137-145 (148)

Características del diodo.

El diodo es un dispositivo electrónico de gran importancia, que posee dos terminales: el ánodo y el cátodo. El símbolo del diodo se muestra en la Figura 3.1(a), mientras que en la Figura 3.1(b) se muestra su característica tensión-corriente.

La tensión vD en el diodo se toma como positiva de ánodo a cátodo. De igual manera, la corriente iD en el diodo se referencia como positiva cuando circula de ánodo a cátodo.

Puede observarse en la curva característica que, si la tensión vD es positiva en el diodo, pasa un flujo de corriente grande incluso con pequeñas tensiones. Esta condición se denomina polarización directa. Así, la corriente fluye fácilmente a través del diodo en la dirección que indica la flecha o el símbolo del diodo.

Por otra parte, para valores moderadamente negativos de vD, la corriente iD es muy pequeña. A esto se le llama región de polarización inversa, como puede verse en la curva característica del diodo. Si se aplica una tensión de polarización inversa suficientemente grande al diodo, su modo de operación entra en la región de ruptura inversa o zona de avalancha, permitiendo el flujo de una elevada corriente.

En la Figura 3.2 se muestra la curva característica de un diodo típico de silicio de pequeña señal trabajando a una temperatura de 300o K. Observe que las escalas para la tensión y la corriente en la región de polarización directa son diferentes a las utilizadas en la región de polarización inversa. Esto ayuda a presentar con claridad los detalles de la curva característica ya que los valores de corriente son mucho más pequeños, y los de tensión mucho más grandes, en la región de polarización inversa que en la región de polarización directa.

Los diodos de silicio de pequeña señal se pueden encontrar comúnmente en circuitos electrónicos de baja y media potencia. Uno de esos diodos discretos es el 1N4148, distribuido por varios fabricantes. Los diodos en los circuitos integrados tienen características similares a las de los diodos discretos de pequeña señal.

En la región de polarización directa, los diodos de silicio de pequeña señal conducen muy poca corriente (mucho menos de 1 mA), hasta que se aplica una tensión directa de 0,6 a 0,7 V (suponiendo que el diodo se encuentra a una temperatura de aproximadamente 300o K). Entonces, la corriente aumenta muy rápidamente a medida que se sigue incrementando la tensión. Decimos que la curva característica de polarización directa presenta un codo sobre los 0,6 V. A medida que aumenta la temperatura, la tensión de codo disminuye a razón de aproximadamente 2 mV/K.

En la región de polarización inversa, para diodos de silicio de pequeña señal a temperatura ambiente, la corriente típica es de, aproximadamente, 1 nA. Cuando se alcanza la ruptura inversa, la corriente aumenta de valor rápidamente. La tensión para la que ocurre esto se llama tensión de ruptura. Por ejemplo, la tensión de ruptura de la curva característica del diodo mostrada en la Figura 3.2 es, aproximadamente, de -100 V.

Los diodos que trabajan en la zona de ruptura se denominan diodos zéner o diodos de avalancha. Los diodos zéner se usan en aplicaciones para las que se necesita una tensión constante en la región de ruptura. Por tanto, los fabricantes intentan optimizar los diodos zéner para obtener una curva característica prácticamente vertical en la región de ruptura. El símbolo modificado del diodo que se muestra en la Figura 3.3 es el que se usa para los diodos zéner.

 

Análisis de la línea de carga.

La curva característica tensión-corriente de los diodos no es lineal. A causa de esta no linealidad, muchas de las técnicas aprendidas en los cursos básicos de teoría de circuitos para trabajar con circuitos lineales no se pueden aplicar a circuitos que empleen diodos. Los métodos gráficos constituyen un enfoque para analizar este tipo de circuitos. Por ejemplo, consideremos el circuito de la Figura 3.4.

Aplicando la ley de tensiones de Kirchhoff, podemos escribir:

Supongamos que los valores de VSS y de R se conocen, y que deseamos hallar iD y vD. Así, la Ecuación (3.1) tiene dos incógnitas, por lo que se necesita otra relación entre iD y vD para hallar una solución. La relación necesaria se ve de forma gráfica en la Figura 3.5, en la que se muestra la curva característica tensión-corriente del diodo.

Podemos obtener la solución trazando la Ecuación (3.1) en los mismos ejes que la curva característica del diodo. El punto de trabajo es la intersección de la línea de carga y la curva característica del diodo. El punto de trabajo representa la solución simultánea de la Ecuación (3.1) y de la característica del diodo.

Ejemplos 3.1 y 3.2

Modelo de diodo ideal.

Aunque el análisis de la línea de carga de los circuitos con diodos nos proporciona resultados precisos y reveladores, necesitamos modelos más simples para analizar con rapidez circuitos que contengan varios diodos. Un modelo muy útil para ello es el modelo del diodo ideal, un conductor perfecto con una caída de tensión cero en conducción directa. En conducción inversa, el diodo ideal es un circuito abierto. La curva característica tensión – corriente del diodo ideal se muestra en la Figura 3.8.

Al analizar un circuito con diodos ideales, puede que inicialmente no sepamos qué diodos están en conducción y cuáles al corte. Por tanto, nos vemos forzados a aventurar condiciones. Luego, analizamos el circuito para encontrar las corrientes en los diodos que hemos supuesto que están en conducción, y las tensiones en los que hemos supuesto que están al corte. Si iD es positiva en los diodos supuestamente en conducción y si vD es negativa en los supuestamente al corte, nuestras presunciones son correctas, y ya hemos resuelto el circuito (estamos suponiendo que iD se referencia como positiva en conducción directa y vD es positiva en el ánodo). Si no es así, debemos hacer otros supuestos respecto a los diodos y comenzar de nuevo. Después de algo de práctica, nuestra primera presunción será casi siempre correcta, al menos en circuitos simples.

Ejemplos 3.3 y 3.4

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