Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Función de Transferencia

Ejercicio de diagrama de bloques a partir de la transformada de Laplace de un sistema masa-resorte-amortiguador

Determinar el diagrama de bloques y la función de transferencia del sistema Y2(s)/ U(s) de la siguiente figura:

  1. Ecuaciones del sistema

Por otra parte:

  1. Transformada de Laplace de las ecuaciones (1) y (2) del sistema, (se suponen condiciones iniciales iguales a cero)

  1. Diagrama de Bloques

La clave para elaborar el diagrama de bloques a partir de la transformada de Laplace de las ecuaciones (1) y (2) del sistema, es considerar la representación en diagrama de bloques del proceso de derivación de las variables del sistema. En este caso, las variables derivadas son y1(t) y y2(t). Su derivación en el dominio de la frecuencia se representa mediante diagrama de bloques como sigue, en el caso de y1(t):

Tome en cuenta que en el diagrama anterior, S2Y1(s), SY1(s) y Y1(s) son nodos.

En el caso de y2(t):

Tome en cuenta que Y2(s) es la salida según la función de transferencia que nos interesa.

El siguiente paso es utilizar las ecuaciones (3) y (4) para despejar S2Y1(s)  y S2Y2(s)  respectivamente, y representar el resultado en función de los nodos de los diagramas anteriores. Luego utilizar las operaciones de diagrama de bloques para representar S2Y1(s)  y S2Y2(s)  y añadir dichas imágenes a los diagramas de bloques anteriores.

Para S2Y2(s) utilizamos la ecuación (4)  y procedemos de la siguiente manera:

Sección 1

Para S2Y1(s) utilizamos la ecuación (3)  y procedemos de igual forma.

null
Sección 2

Las reglas de construcción y operación de diagramas de bloques pueden ser consultadas en: Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Por último unimos la sección 1 con la 2 de manera apropiada, y obtenemos el diagrama de bloques del sistema:

Diagrama de bloques del sistema

3. Función de transferencia

Para hallar la función de transferencia tenemos dos opciones. La primera es reducir del diagrama de bloques del sistema. La segunda, aplicar álgebra lineal a La Transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. Vamos con la primera opción.

Para reducir el diagrama de bloques del sistema, iniciamos reduciendo a un solo bloque las realimentaciones negativas internas. La regla de reducción que se aplica es la siguiente:

Donde C(s)/R(s) es la función de transferencia de la realimentación negativa.

Para la realimentación compuesta por las siguientes ganancias:

Se deduce que:Igualmente se procede con la realimentación formada por:

Por tanto, podemos reducir el diagrama de bloques del sistema y sustituir las realimentaciones anteriores por un solo bloque de ganancia, cada una, como sigue:

En el anterior diagrama podemos reducir aquellos bloques que están en cascada y expresarlos mediante un solo bloque:

null

Tomamos en cuenta ahora las realimentaciones negativas del diagrama anterior y procedemos de igual forma:

Por su parte:

Así, el diagrama de bloques del sistema se ve reducido de la siguiente manera:

Luego, transformamos los bloques en cascada en uno solo:

Así, obtenemos:

Se trata ahora con una realimentación positiva. La regla para este caso, dice que:Es decir, para la realimentación positiva ilustrada por:

La regla se aplica como sigue:

Así, al reducir aún más el diagrama de bloques, obtenemos:Simplificando:Por tanto:

Donde observamos que la función de transferencia Y2(s)/ U(s)  es:

Como se mencionó antes, la segunda consiste en aplicar álgebra lineal a La Transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. Para ello, ordenamos convenientemente las ecuaciones (3) y (4) para luego crear una matriz y aplicar las reglas de Kramer:

Utilizamos Matlab para hallar el determinante Δ  de esta matriz:

Δ=k1*k2 + b1*m2*s^3 + b2*m1*s^3 + k1*m2*s^2 + k2*m1*s^2 + k2*m2*s^2 + m1*m2*s^4 + b1*k2*s + b2*k1*s + b2*k2*s + b1*b2*s^2

Es decir: Luego:

De donde obtenemos que la función de transferencia Y2(s)/U(s) del sistema es:

Fuente: Ingenieria de Control Moderna, 3° ED. – Katsuhiko Ogata

Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch

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Relacionado:

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

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Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.

Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. Da un vistazo al Índice al final de este artículo.

INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

 

 

Atención: 

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema: 

Atención:

Si lo que Usted necesita es determinar La Función de Transferencia de un Sistema..Le entregamos la respuesta en dos horas o menos, dependiendo de la complejidad. En digital. Póngase en contacto con nosotros, respuesta inmediata, resolvemos y entregamos la Función de Transferencia de sistemas masa-resorte-amortiguador, eléctricos, electromecánicos, electromotriz, nivel de líquido, térmico, híbridos, rotacional, no lineales, etc.. Opcional, Representación en Variables de Estado. Simulación en Matlab, Opcional, Entrevista por Skype para explicar la solución.

 

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Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia, Variables de estado

Ejercicio de Función de Transferencia a partir de representación en Variables de Estado de un sistema masa-resorte-amortiguador

Determinar la representación en variables de estado, el diagrama de bloques y la función de transferencia del sistema de la siguiente figura:

  1. Dinámica del sistema – Ecuaciones

2. Variables de estado

Definición:

De la definición obtenemos que:

Debemos hallar la expresión en términos de las variables de estado para  Ello lo podemos lograr utilizando las ecuaciones del sistema:

Despejamos :

 Utilizando la definición de variables de estado:Igualmente despejamos :

Utilizando la definición de variables de estado:

Si la salida del sistema es x2(t), y la entrada es f(t),  utilizando las ecuaciones (1), (2) (3) y (4), la representación matricial del sistema es:

3. Función de Transferencia

La representación matricial del sistema tiene la forma:Dónde:

De la teoría de sistemas de control se extrae que:

En este caso:

Donde I es la matriz identidad y s es la variable compleja utilizada en la transformada de Laplace.

Buscando ayuda en Matlab:

>> s=sym(‘s’);

…..

>> k3=sym(‘k3’) // declarar todas las variables

>> sIA= [s -1 0 0;(k1+k2)/m1 s+(fv1+fv3)/m1 -k2/m1 -fv3/m1;0 0 s -1;-k2/m2 -fv3/m2 (k2+k3)/m2 s+(fv2+fv3)/m2]

>> C=[0 0 1 0]

>> B= [0;1/m1;0;0]

>> V=(sI-A)^-1

>> G=C*V*B

G = (k2 + fv3*s)/(k1*k2 + k1*k3 + k2*k3 + fv1*m2*s^3 + fv2*m1*s^3 + fv3*m1*s^3 + fv3*m2*s^3 + k1*m2*s^2 + k2*m1*s^2 + k2*m2*s^2 + k3*m1*s^2 + m1*m2*s^4 + fv1*k2*s + fv2*k1*s + fv1*k3*s + fv2*k2*s + fv3*k1*s + fv3*k3*s + fv1*fv2*s^2 + fv1*fv3*s^2 + fv2*fv3*s^2)

Dónde:Definimos el determinante como:

Por lo tanto:

Para revisar la teoría sobre Variables de Estado ver: Representación de un sistema en variables de estado

Para elaborar el diagrama de bloques del mismo sistema, ver: Ejercicio de Diagrama de bloques a partir de representación en variables de estado 

Fuente: Control Systems Engineering, Nise

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Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

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INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

 

 

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Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia

Función de Transferencia de un motor DC con carga.

Dado el sistema y la curva torque-velocidad angular de la Figura 2.39, determinar la función de transferencia θL(s)/Ea(s).

  1. Dinámica del sistema

2. Transformada de Laplace:

3. Función de transferenciaLuego:De donde:De la curva torque-velocidad sabemos que:

Por tanto:Además:Sustituimos todos los valores de parámetros calculados o dados:

Referencia:

  1. Control Systems Engineering, Norman Nise

Atención:

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  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

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Relacionado:

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC

Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Ejemplo 1 – Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

 

 

 

Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia

Función de Transferencia de Sistema Mecánico Rotacional (masa-resorte-amortiguador)

Find the transfer function, G(s)=θ2(s)/T(s), for the rotational
mechanical system shown in Figure 2.26 (Nise):

1. Dinámica del sistema:

Por otra parte:

2. Transformada de Laplace:

Ecuación 1:

Ecuación 2:

3. Función de Transferencia:

Sustituyendo los valores:

De dónde:

  1. Control Systems Engineering, Norman Nise
  2. Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo
  3. Ingenieria de Control Moderna, 3° ED. – Katsuhiko Ogata

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  • Capítulo 1———————————————————- 1
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  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

Atención: 

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Relacionado:

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC

Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Ejemplo 1 – Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab