Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia

Ejemplo 3 – Función de Transferencia de un motor DC con carga.

Dado el sistema y la curva torque-velocidad angular de la Figura 2.39, determinar la función de transferencia θL(s)/Ea(s).

  1. Dinámica del sistema

2. Transformada de Laplace:

3. Función de transferenciaLuego:De donde:De la curva torque-velocidad sabemos que:

Por tanto:Además:Sustituimos todos los valores de parámetros calculados o dados:

Referencia:

  1. Control Systems Engineering, Norman Nise
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Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC

Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Ejemplo 1 – Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

 

 

 

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Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia

Función de Transferencia de Sistema Mecánico Rotacional (masa-resorte-amortiguador)

Find the transfer function, G(s)=θ2(s)/T(s), for the rotational
mechanical system shown in Figure 2.26.

1. Dinámica del sistema:

Por otra parte:

2. Transformada de Laplace:

Ecuación 1:

Ecuación 2:

3. Función de Transferencia:

Sustituyendo los valores:

De donde:

  1. Control Systems Engineering, Norman Nise
  2. Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo
  3. Ingenieria de Control Moderna, 3° ED. – Katsuhiko Ogata
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Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

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Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC

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Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab

Análisis de sistemas de control, Señales y Sistemas

La Función de Transferencia

La Función de Transferencia H(s) es el cociente formado por Y(s), la Transformada de Laplace de la salida de un sistema LTI (Causal, Lineal e Invariante en el tiempo), dividida entre X(s), la Transformada de Laplace de la entrada a dicho sistema, cuando las condiciones iniciales son iguales a cero en el tiempo t=0 :Dónde:Observación: La Función de Transferencia sólo se expresa como una función de la variable compleja s. Para obtenerla, es necesario que las condiciones iniciales sean nulas. De no serlo, se debe obligar a dichas condiciones a ser cero.

Observación: Conociendo la Función de Transferencia H(s) de un sistema, podemos conocer la salida y(t) en el dominio del tiempo para cualquier entrada x(t), aplicando los siguientes pasos:

Veremos un par de comandos en Matlab que ilustran este importante resultado.

Observación: La Función de Transferencia es una propiedad intrínseca del sistema, no depende del tipo o naturaleza de la entrada o excitación.

Observación: La Función de Transferencia no ofrece información sobre las características físicas del sistema. De hecho, sistemas con diferentes estructuras, dimensiones o distribuciones físicas pueden tener la misma Función de Transferencia.

Observación: La Función de Transferencia es una parte importante del primer paso necesario para el diseño y análisis de sistemas de control: el modelo matemático del sistema.

Observación: La Función de Transferencia H(s) de un sistema LTI también se puede definir como la Transformada de Laplace de la Respuesta al Impulso, con todas las condiciones iniciales iguales a cero. Suponiendo que la respuesta del sistema al impulso se denota como h(t), entonces:

La Función de Transferencia se obtiene a partir  de la representación de un sistema LTI por medio de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, el modelo dinámico del sistema.  Se hace uso intensivo de la propiedad de La Transformada de Laplace definida como “derivación n-ésima de una función en el dominio del tiempo”. Dicha propiedad sirve de fundamento para el método que permite separar algebraicamente la salida de la entrada, y obtener la Función de Transferencia.

Ejemplo.

Hallar la Función de Transferencia X(s)/P(s) del siguiente sistema mecánico:

Para obtener la ecuación diferencial que describe el comportamiento dinámico de este sistema, aplicamos la Ley de Newton:

Suponiendo las condiciones iniciales iguales a cero, y que se trata de un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo (LTI), aplicamos superposición y determinamos las fuerzas que actúan sobre la masa m, así obtenemos:

Esta es la ecuación diferencial del sistema, su modelo matemático. Por ser un sistema LTI, los coeficientes de la ecuación son constantes. Se procede ahora a aplicar la Transformada de Laplace a esta ecuación. Sabemos de La Transformada de Laplace que la manera más práctica es actuar sobre cada término de la ecuación por separado:

Así la ecuación del sistema luego de aplicarle Laplace es:

que podemos expresar como:

con el fin de despejar y obtener la Función de Transferencia del sistema:

La Función de Transferencia y el Diagrama de Bloques.

La Función de Transferencia permite representar un sistema mediante una herramienta gráfica que muestra el flujo de información a través de todos los componentes del mismo: El diagrama de bloques.

En construcción…

 

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Análisis de sistemas de control, Ingeniería Electrónica

Concepto de Realimentación Electrónica

La realimentación electrónica consiste en tomar la información disponible en una parte del circuito e introducirla en otra parte del circuito con el fin de influir sobre el comportamiento de la salida.

La realimentación, o feedback (fb), es un concepto físico y no un concepto matemático, e implica un gasto de energía. Por tanto, la energía disponible en el origen de la información debe ser superior a la energía en el punto destino. Es por ello que se requiere de un circuito electrónico para poder implementar una realimentación efectiva, debido a que este tipo de circuitos permite incrementar la energía de la información a medida que ésta fluye a través del sistema, además de que permite establecer un flujo de información con dirección contraria a la que dicho flujo tiene debido a la naturaleza e influencia del sistema.

Ojo, no sólo los sistemas electrónicos son capaces de implementar un sistema realimentado. Existen numerosos mecanismos de realimentación que forman parte de nuestra vida cotidiana. El tanque de la poceta tradicional se llena de agua hasta que el nivel de líquido empuja un globo que acciona un pistón cerrando el surtidor de agua. Éste es un sistema realimentado donde el nivel de líquido es la información dirigida a la entrada, el pistón que controla el surtidor. Pero el uso de la electrónica tiene ventajas, como  de la reducción de costos en términos monetarios y de espacio, o la estética.

El objetivo fundamental de la realimentación electrónica, sin embargo, es modificar la salida del sistema y hacerla lo más independiente posible de los parámetros internos del mismo sistema. Este mecanismo permite controlar el sistema. De hecho, se requieren tantas líneas de realimentación como variables que se deseen controlar.

Estructura general de un circuito realimentado

Para representar la estructura básica de un sistema electrónico realimentado utilizaremos el amplificador de la Figura 2.1.1:

Se aplica una señal de entrada Xe al amplificador A, la cual puede ser un voltaje o una corriente. Xo representa la salida del amplificador. Supongamos que Xe y Xo tienen las mismas dimensiones, o unidades.

Al implementar un circuito realimentado básico, debemos transportar información desde la salida a la entrada, con el fin de sumar o comparar ambas señales, tal como se muestra en la Figura 2.1.2:

En la Figura anterior podemos identificar claramente tres estructuras representadas por tres bloques: un amplificador A, un circuito de transferencia β , y un sumador. El bloque A amplifica la señal incrementado la energía de la información. El bloque β transfiere la información de la salida a una de las entradas del sumador, cuya función puede ser sumar o restar esta señal a la entrada. El sumador suma o resta las señales Xi y Xf, que provienen de la entrada y salida del bloque β respectivamente, generando una señal Xe. A continuación, vamos a obtener una expresión matemática para la ganancia del sistema Xo/Xi.

Sabemos del estudio de amplificadores operacionales que la salida Xo puede ser expresada en términos de la ganancia A como:Donde Xe no es la entrada al sistema sino la entrada al amplificador y es igual a:Al sustituir la ecuación (2) en (1):Dónde:Por tanto:Luego:Por tanto: La ecuación (5) es una de las más importantes de la ingeniería electrónica y se le denomina en la literatura general como Ganancia del sistema realimentado o Ganancia a lazo cerrado. Fue el ingeniero Harold Black en 1928 quién primero utilizó la denotación Afb para esta ganancia. Por tanto:

Comportamiento de un circuito realimentado

En construcción…

Referencia: ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRONICOS

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Límites al infinito

Límite cuando x→∞

Sea f una función definida en [c,∞) para algún número c. Decimos que:

Si para cada ε>0, existe un correspondiente número M, tal que:

Límite cuando x→-∞

Sea f una función definida en (-∞, c] para algún número c. Decimos que:

Si para cada ε>0, existe un correspondiente número M, tal que:

Ejemplo 1. Demostrar que:

Solución. Por lo general se utiliza un truco común: dividir el numerador y el denominador entre la potencia más alta de x que aparece en el denominador, que en este caso es 2:Ejemplo 2. Encuentre:Solución: 

Por tanto:Ejemplo 3. Encuentre:Solución:Por tanto: 

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