Sin categoría

Límites al infinito

Límite cuando x→∞

Sea f una función definida en [c,∞) para algún número c. Decimos que:

Si para cada ε>0, existe un correspondiente número M, tal que:

Límite cuando x→-∞

Sea f una función definida en (-∞, c] para algún número c. Decimos que:

Si para cada ε>0, existe un correspondiente número M, tal que:

Ejemplo 1. Demostrar que:

Solución. Por lo general se utiliza un truco común: dividir el numerador y el denominador entre la potencia más alta de x que aparece en el denominador, que en este caso es 2:Ejemplo 2. Encuentre:Solución: 

Por tanto:Ejemplo 3. Encuentre:Solución:Por tanto: 

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Sin categoría, Transformada de Laplace

Ejemplo 1: Transformada de Laplace de una función exponencial – Matlab

En general, La Transformada de Laplace de una función x(t) es:

Considere la señal exponencial x(t):

Donde a es un número real cualquiera y  u(t) es la función escalón unitario. La Transformada de Laplace de x(t) es:

Para evaluar el lado derecho es necesario determinar:

Este límite existe si solo si:

Por tanto:

Y:

La región de convergencia de la transformada X(s) es el conjunto de todos los números complejos tales que Re{s}>-a (Parte real de s es mayor que menos a). Nota: Dos señales distintas pueden tener la misma expresión algebraica cuando se le aplica la transformada de Laplace. Por tanto, cuando se especifica la transformada de Laplace de una señal, se requiere tanto la expresión algebraica como el intervalo de valores s para el cual esta expresión es válida. Lo correcto es expresar el resultado anterior de la siguiente manera: 

Observar que en el caso de que a=0, x(t) es simplemente la función escalón unitario, y por tanto se obtiene el importante resultado:

Cálculo de la Transformada de Laplace en Matlab 

Continuando con el caso x(t):

Symbolic Math Toolbox de Matlab calcula la Transformada de Laplace mediante el siguiente comando:

>> syms x a t
>> x=exp(-a*t);
>> X=laplace(x)

X =

1/(a + s)

De igual manera podemos calcular Laplace para la función escalón unitario mediante:

>> x=sym(1);
>> X=laplace(x)

X =

1/s

Teniendo la Transformada de Laplace X(s) podemos aplicar la antitransformada para obtener su equivalente en el dominio del tiempo:

>> X=1/(a + s)

>> x=ilaplace(X)

x =

exp(-a*t)

Por poner un caso más complicado, considere el siguiente ejemplo:

>> syms X s x
>> X=(s+2)/(s^3+4*s^2+3*s);

>> x=ilaplace(X)

x =

2/3 – exp(-3*t)/6 – exp(-t)/2

Además puedo graficar este resultado mediante:

>> ezplot(x,[0,10])

Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas

ANTERIOR: La Transformada de Laplace

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Control System Analysis, Sin categoría

Dynamik eines Masse-Feder-Dämpfer-Systems

Die Grundelemente eines jeden mechanischen Systems sind die Masse, die Feder und der Stoßdämpfer. Das Studium der Bewegung in mechanischen Systemen entspricht der Analyse dynamischer Systeme. In der Robotik zum Beispiel bezieht sich das Wort Vorwärtsdynamik darauf, was mit Aktuatoren passiert, wenn wir bestimmte Kräfte und Drehmomente auf sie anwenden.

Die Masse, die Feder, der Stoßdämpfer sind elementare Aktuatoren eines mechanischen Systems.

Um den Roboter zu steuern, ist es folglich notwendig, die Art der Bewegung eines Masse-Feder-Dämpfer-Systems sehr gut zu kennen.

Darüber hinaus wird dieses elementare System in vielen Anwendungsbereichen vorgestellt, daher die Wichtigkeit seiner Analyse. Wenn wir in der Robotik über Inverse Dynamic sprechen, sprechen wir darüber, wie man den Roboter auf eine gewünschte Art und Weise bewegt, welche Kräfte und Drehmomente wir auf die Aktoren anwenden müssen, damit sich unser Roboter auf eine bestimmte Art bewegt.

Bevor wir die dynamische Analyse unseres Masse-Feder-Dämpfer-Systems durchführen, müssen wir sein mathematisches Modell erhalten. Dies ist der erste Schritt für jeden, der die Dynamik eines Systems, insbesondere das Verhalten seiner mechanischen Komponenten, genau kennenlernen möchte.

Wir werden unsere Studie mit dem Modell eines Masse-Feder-Systems beginnen.

 

Dies ist aus folgendem Grund praktisch. Alle mechanischen Systeme haben eine Art in ihrer Bewegung, die sie zum Schwingen bringt, etwa wenn ein Gegenstand an einem Faden an der Decke hängt und mit der Hand, die wir drücken. Oder ein Schuh auf einer Plattform mit Federn. Es ist gut zu wissen, welche mathematische Funktion diese Bewegung am besten beschreibt.

Masse-Feder-System.
Abbildung 5

Die Dynamik eines Systems wird in erster Linie durch ein mathematisches Modell dargestellt, das aus Differentialgleichungen besteht. Im Falle des Masse-Feder-Systems ist diese Gleichung wie folgt:

Diese Gleichung ist als Bewegungsgleichung eines einfachen harmonischen Oszillators bekannt. Mal sehen, woher es stammt.

Wenn wir eine Formel erhalten wollen, die die Kraft beschreibt, die eine Feder gegen die Verschiebung ausübt, die sie dehnt oder schrumpft, ist es am besten, die potentielle Energie zu visualisieren, die in die Feder injiziert wird, wenn wir sie dehnen oder schrumpfen. Die folgende Grafik beschreibt, wie sich diese Energie als Funktion der horizontalen Verschiebung verhält:

Wenn sich die Masse m der vorhergehenden Figur, die an dem Ende der Feder angebracht ist, wie in Abbildung 5 gezeigt, von dem Federrelaxationspunkt x = 0 weg in die positive oder negative Richtung bewegt, sammelt sich die potentielle Energie U (x) an und steigt in parabolischer Form an und erreicht einen höheren Energiewert, wobei       U(x) = E, Wert, der der maximalen Dehnung oder Kompression der Feder entspricht. Die mathematische Gleichung, die in der Praxis diese Kurvenform am besten beschreibt und eine Konstante k für die physikalische Eigenschaft des Materials enthält, die die Steigung der Kurve erhöht oder verringert, ist die folgende:

Die Kraft ist auf folgende Weise mit der potentiellen Energie verbunden:

Deshalb:

Es ist sinnvoll zu sehen, dass F (x) umgekehrt proportional zur Verschiebung der Masse m ist. Denn es ist klar, dass, wenn wir die Feder dehnen oder schrumpfen, diese Kraft dieser Aktion entgegenwirkt und versucht, die Feder in ihre entspannte oder natürliche Position zurückzubringen. Aus diesem Grund heißt es Restitutionskraft. Die obige Gleichung ist in der Akademie als Hookes Gesetz oder Kraftgesetz für Federn bekannt. Das Folgende ist ein repräsentatives Diagramm dieser Kraft in Bezug auf die Energie, wie sie erwähnt wurde, ohne den Eingriff von Reibungskräften (Dämpfung), weshalb sie als der einfache harmonische Oszillator bekannt ist. Es ist wichtig, die proportionale Beziehung zwischen Verschiebung und Kraft zu betonen, aber mit einer negativen Steigung, und das ist in der Praxis komplexer, nicht linear.

Abbildung 4

Siehe: AMPLITUDE AND PHASE: SECOND ORDER II (Mathlets)

Sistema MRA

Nach Newtons zweitem Gesetz:

Diese Gleichung sagt uns, dass die vektorielle Summe aller Kräfte, die auf den Körper der Masse m einwirken, gleich dem Produkt des Wertes der Masse aufgrund ihrer Beschleunigung ist, die aufgrund der Kräfte erhalten wird. Mit Newtons zweitem Gesetz erhalten wir die folgende Gleichung:

Das ist:

Diese Gleichung repräsentiert die Dynamik eines idealen Masse-Feder-Systems.

System Masse-Feder-Stoßdämpfer

Wenn keine Reibungskraft vorhanden ist, oszilliert der einfache harmonische Oszillator unendlich. In Wirklichkeit nimmt die Amplitude der Oszillation allmählich ab, ein Prozess, der als Dämpfung bekannt ist und im folgenden graphisch beschrieben wird:

Die Verschiebung einer oszillierenden Bewegung ist gegen die Zeit aufgetragen, und ihre Amplitude wird durch eine sinusförmige Funktion dargestellt, die durch einen abnehmenden Exponentialfaktor gedämpft wird, der in dem Graphen als eine Hüllkurve erscheint. Die Reibungskraft Fv, die auf die amortisierte harmonische Bewegung einwirkt, ist in den meisten Fällen von wissenschaftlichem Interesse proportional zur Geschwindigkeit V. Diese Kraft hat die Form Fv = bV, wobei b eine positive Konstante ist, die unter anderem von den Eigenschaften des Fluids abhängt, das Reibung verursacht. Diese Reibung, auch bekannt als Viskosereibung, wird durch ein Diagramm dargestellt, das aus einem Kolben und einem mit Öl gefüllten Zylinder besteht:

Die gängigste Art, ein Masse-Feder-Dämpfer-System darzustellen, ist eine Reihenschaltung wie folgt:

Abbildung 6

 

Sowie die folgenden:

In beiden Fällen wird das gleiche Ergebnis bei Anwendung unserer Analysemethode erhalten. Wenn man Fig. 6 betrachtet, kann man sehen, dass dieselbe Konfiguration wie in Fig. 5 gezeigt ist, jedoch die Wirkung des Stoßdämpfers hinzugefügt wird. Indem wir Newtons zweites Gesetz auf dieses neue System anwenden, erhalten wir die folgende Beziehung:

Diese Gleichung repräsentiert die Dynamik eines Massen-Feder-Schock-Systems.

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Geschrieben von:

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Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema de control.

Considere el sistema de la Figura 5-84:

null

Determinar los valores de K y k tal que el sistema tenga un factor de amortiguamiento relativo ζ de 0.7 y una frecuencia natural ωn de 4 rad/s.

RESPUESTA

1. Obtener el modelo del sistema, equivalente al sistema de segundo orden prototipo G(s) siguiente:

null

En relación al sistema de la Figura 5-84:

null

Donde G1(s) es la función de transferencia del lazo cerrado interno formado por K/(s+2) y k:

null

Luego, las funciones de transferencia equivalentes al sistema prototipo son:

De donde obtenemos que:

null

Sustituyendo los valores de las variables aportadas en el enunciado:

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Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema masa-resorte-amortiguador

Dada la respuesta del siguiente sistema a una entrada escalón unitario, calcular k, f  y M.

null

null

RESPUESTA

La función de transferencia del sistema es:

null

El sistema de segundo orden prototipo tiene la siguiente forma:

null

Donde C es una constante.

El sistema equivalente queda expresado como:

null

Donde:

null

Por tanto:null

Por lo que:

null

null

Siendo:

null

Si suponemos que la curva de la gráfica se corresponde con la función y(t), entonces de la gráfica sabemos que el sobrepaso Mp es:

null

Por otra parte, en términos del factor de amortiguamiento relativo, Mp es:

null

null

De donde:

null

Luego, de la gráfica sabemos que:

null

Por tanto:

null

Aplicando el teorema del valor final y observando el comportamiento de y(t) cuando t tiende a infinito:

null

La función de transferencia G(s) nos permite desplegar la expresión para Y(s):

null

Como la entrada es un escalón unitario:

nullPor tanto:

nullAsí, volviendo al teorema del valor final:

nullDe donde:

nullAsí:

nullEs decir:

null

Regresando a la expresión para la frecuencia natural:

null

null

null

Por último,

null

null

null

 

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Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema electromecánico

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

 

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Ejemplo 2 – Error en estado estable de un sistema con realimentación no unitaria.

En numerosos casos, los sistemas de control no tienen realimentación unitaria. El recorrido de realimentación puede estar constituido por una ganancia diferente de cero, o una función de transferencia específica. Es por ello que debemos considerar el caso de un sistema de control general con realimentación no unitaria, tal como el mostrado en la Figura 7.15 (a):

null

null

En el caso de tener un transductor G1(s) en la entrada, lo reflejamos hacia la derecha del sumador, para obtener el diagrama de la Figura 7.15 (b), donde G(s)= G1(s)* G2(s) y H(s)=H1(s)/G1(s).

Ahora, tomamos el sistema con realimentación no unitaria de la Figura 7.15 (b), y le sumamos y restamos caminos de realimentación unitaria, como se muestra en la Figura 7.15 (c). Acto seguido, combinamos la ruta de H(s) con la ruta de realimentación unitaria negativa y obtenemos la Figura 7.15 (d).

Finalmente, combinamos la realimentación de G(s) con H(s)-1, obteniendo una función de transferencia directa equivalente Ge(s), y un sistema general con realimentación unitaria que nos permita aplicar la teoría de las contantes de error para realimentación unitaria ya estudiada (ver Error en estado estable de un sistema de control). También, debemos asegurarnos que las unidades de C(s) y R(s) sean las mismas. Y en algún momento, debemos comprobar que el sistema sea estable.

null

Ejemplo

Considerando el sistema de la Figura P7.19 (Nise, p378), determinar lo siguiente:

  1. Tipo de sistema
  2. El valor de K para obtener un error de 20% en estado estable.

null

Haciendo uso de la ecuación 1.1, donde:

null

Obtenemos que:

null

El sistema es tipo cero y la constante que corresponde a este sistema es la constante de posición Kp:

null

La especificación señala que el error en estado estable debe ser de 20%, así que:

null

De donde obtenemos K:

null

Comprobamos que el sistema es estable y graficamos su comportamiento en matlab para visualizar su comportamiento ante la entrada step (escalón unitario):

> s=tf(‘s’)

> G=(s+1)/(s^2*(s+2))

> sys=feedback(G,1.25)

sys =

s + 1

—————————

s^3 + 2 s^2 + 1.25 s + 1.25

> isstable (sys)

ans =   1

null

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Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Estabilidad de un sistema de control

Sin categoría

Ejemplo 1 – Error en estado estable de un sistema de control con realimentación unitaria.

Determinar el error en estado estable de cada uno de los sistemas de la Figura 7.7 (Nise), para entradas escalón unitario, rampa y parábola.

1. Respuesta para sistema (a)

1. a Comprobación de estabilidad.

Para el sistema (a) comprobamos que el sistema es estable mediante el siguiente comando en matlab:

> s=tf(‘s’)

>G=(500*(s+2)*(s+5))/((s+8)*(s+10)*(s+12))

G =

500 s^2 + 3500 s + 5000 /  s^3 + 30 s^2 + 296 s + 960

>sys=feedback(G,1)

sys =

500 s^2 + 3500 s + 5000 /  s^3 + 530 s^2 + 3796 s + 5960

>isstable(sys)

ans =     1

1.b. Cálculo de las constantes Kp, Kv y Ka

null

1.c. Cálculo del error para entrada escalón, rampa y parábola:

null

 

2. Respuesta para sistema (b)

2. a Comprobación de estabilidad.

Para el sistema (b) comprobamos que el sistema es estable mediante el siguiente comando en matlab:

> s=tf(‘s’)

> G=(500*(s+2)*(s+5)*(s+6))/(s*(s+8)*(s+10)*(s+12))

> sys=feedback(G,1)

sys =     500 s^3 + 6500 s^2 + 26000 s + 30000 /   s^4 + 530 s^3 + 6796 s^2 + 26960 s + 30000

> isstable(sys)

ans = 1

2.b. Cálculo de las constantes Kp, Kv y Ka

null

2.c. Cálculo del error para entrada escalón, rampa y parábola:

null

3. Respuesta para sistema (c)

3. a Comprobación de estabilidad.

> G1=(500*(s+2)*(s+4)*(s+5)*(s+6)*(s+7))/(s^2*(s+8)*(s+10)*(s+12))

> sys2=feedback(G1,1)

sys2 =  500 s^5 + 12000 s^4 + 111500 s^3 + 498000 s^2 + 1.058e06 s + 840000 / 501 s^5 + 12030 s^4 + 111796 s^3 + 498960 s^2 + 1.058e06 s + 840000

> isstable(sys2)

ans =1

3.b. Cálculo de las constantes Kp, Kv y Ka

null

3.c. Cálculo del error para entrada escalón, rampa y parábola:

null

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise

 

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Estabilidad de un sistema de control

Análisis de sistemas de control, PID Control, Sin categoría

PID – Diseño y configuración del controlador.

Configuración del controlador.

El PID es uno de los controladores más ampliamente utilizados en los esquemas de compensación siguientes, algunas de las cuáles se ilustran en la Figura 10-2:

  1. Compensación en serie (cascada),
  2. Compensación mediante realimentación,
  3. Compensación mediante realimentación de estado,
  4. Compensación en serie-realimentada,
  5. Compensación prealimentada,

En general, la dinámica de un proceso lineal controlado puede representarse mediante el diagrama de la Figura 10-1.

El objetivo de diseño es que las variables controladas, representadas por el vector de salida y(t), se comporten de cierta forma deseada. El problema esencialmente involucra el determinar la señal de control u(t) dentro de un intervalo prescrito para que todas las especificaciones de diseño sean satisfechas (ver Estabilidad de un sistema de control, Respuesta transitoria, Error en estado estable).

El controlador PID aplica una señal al proceso de control mostrado en la Figura 10-1, que es una combinación proporcional, integral y derivada de las señal de actuación e(t). Debido a que estos componentes de la señal se pueden realizar y visualizar fácilmente en el dominio del tiempo, los controladores PID se diseñan comúnmente empleando métodos en el dominio del tiempo.

Después de que el diseñador ha seleccionado una configuración para el controlador, debe escoger además el tipo de controlador. En general, mientras más complejo el controlador, más costoso, menos confiable y más difícil de diseñar. Por ende, en la práctica se selecciona el tipo de controlador más simple que permita cumplir con las especificaciones de diseño, lo que involucra experiencia, intuición, arte y ciencia.

Las componentes integral y derivativo de un controlador PID tienen una implicación individual en el desempeño, y sus aplicaciones requieren un entendimiento de las bases de estos elementos. Por ello, se consideran por separado, iniciando con la porción PD.

Diseño con el controlador PD

 

La Figura 10-3 muestra el diagrama de bloques de un sistema de control realimentado que deliberadamente tiene una planta prototipo de segundo orden con la siguiente función de transferencia Gp(s):

null

El controlador en serie es del tipo proporcional-derivativo (PD) con la función de transferencia:

null

Por lo tanto, la señal de control U(s) aplicada a la planta es:

null

en donde Kp y Kd son las constantes proporcional y derivativa respectivamente, mientras E(s) es la señal de error. La realización del controlador PD mediante circuitos electrónicos se muestra en la Figura 10-4:

La función de transferencia del circuito de la Figura 10-4 es:

null

Al comparar con la Figura 10-3:

null

La función de transferencia directa del compensador mostrado en la Figura 10-3 es:

null

lo cual muestra que el control PD equivale a añadir un cero simple en s=-Kp/Kd a la función de transferencia directa. El efecto de control PD sobre la respuesta transitoria de un sistema de control se puede investigar al referirse a la respuesta en tiempo del sistema como se muestra en la Figura 10-5:

Se supone que la respuesta al escalón unitario de un sistema estable con el control proporcional es solamente como la que se presenta en la Figura 10-5(a). Se observa un sobrepaso máximo relativamente grande y un poco oscilatorio. La señal de error e(t) correspondiente, que es la diferencia entre la entrada r(t) escalón unitario y la salida y(t), y la derivada de dicho error en el tiempo, se muestran en las Figuras (b) y (c) respectivamente.

Durante el intervalo 0<t<t1, la señal de error es positiva, el sobrepaso es grande y se observa gran oscilación en la salida debido a la falta de amortiguamiento en este período. Durante el intervalo t1<t<t2, la señal de error es negativa, la salida se invierte y tiene un sobrepaso negativo. Este comportamiento se alterna sucesivamente hasta que la amplitud del error se reduce con cada oscilación, y la salida se establece eventualmente en su valor final. Se observa que el controlador PD puede añadir amortiguamiento a un sistema y reduce el sobrepaso máximo, pero no afecta el estado estable directamente.

Ejemplo. 

Para apreciar mejor el efecto del controlador PD, veamos el siguiente ejemplo. Supongamos que tenemos el sistema de la Figura 7-23.

null

La función de transferencia directa G(s) de este sistema viene dada por la siguiente expresión:null

Donde K es la constante del preamplificador.

Las especificaciones de diseño para este sistema son las siguientes:

nullDonde:

  • ess: Error en estado estable debido a una entrada de rampa unitaria
  • Mp: Sobrepaso máximo
  • Tr: Tiempo de levantamiento
  • Ts: Tiempo de asentamiento
  1. Selección del valor de K

Lo primero que vamos a hacer es hallar K para cumplir con el primer requerimiento de diseño, error en estado estable ess debido a una entrada rampa:

(Para repasar el concepto de error en estado estable ver Error en estado estable de un sistema de control)

1.a Hallar la constante de velocidad Kv porque es la relacionada a una entrada rampa:

null

1.b Hallar ess en función de K:

null

1.c Hallar para ess=0.000433:

null

Con este valor de K, la función de transferencia directa G(s) es:

null

2. Cálculo de sobrepaso 

Veamos ahora como queda el sobrepaso para el valor de K obtenido.

(Para un repaso del concepto de sobrepaso y la respuesta transitoria ver Respuesta Transitoria de un Sistema de Control)

2.a La función de transferencia de lazo cerrado Gce(s) es:

2.b Hallamos a partir de aquí el factor de amortiguamiento relativo ζ y la frecuencia natural del sistema ωn.

2.c Con estos valores, hallamos el sobrepaso máximo Mp:

En porcentaje:

Este valor supera la exigencia de la especificación, por lo que se considera insertar un controlador PD en la trayectoria directa del sistema con el fin de mejorar el amortiguamiento y ajustar el sobrepaso máximo a la especificación de diseño exigida, manteniendo sin embargo el error en estado estable en 0.000433.

3. Diseño en el dominio del tiempo del controlador PD

Añadiendo el controlador Gc(s) de la Figura 10-3 a la trayectoria directa del sistema aeronáutico, y asignando K=185.4503, la función de transferencia directa G(s) del sistema de control de posición de la aeronave es:

Mientras, la función de transferencia a lazo cerrado Gce(s) es:

Esta última ecuación muestra los efectos del controlador PD sobre la función de transferencia de lazo cerrado del sistema al cual se aplica:

  1. Añadir un cero en s=-Kp/Kd
  2. Incrementar el “término asociado al amortiguamiento”, el cual es el coeficiente de s en el denominador de Gce(s). Es decir, de 361.2 hasta 361.2 + 834526.56Kd

3.a Selección de Kp

Para asegurarnos de que se mantenga el error en estado estable para una entrada rampa de acuerdo con las especificaciones, evaluamos dicho error y seleccionamos un valor para Kp:

Al elegir Kp igual a uno, mantenemos el mismo valor para Kv que se tenía antes de añadir el controlador. Es decir, mantenemos el valor del error en estado estable para entrada rampa tal como lo exige la especificación de diseño. Entonces:null3.b Selección de Kd

De acuerdo con la ecuación de sobrepaso máximo:

El sobrepaso máximo depende del factor de amortiguamiento relativo ζ. La ecuación característica del sistema es:

null

Donde:

null

Deducimos la expresión para el factor de amortiguamiento relativo ζ:

null

Este resultado muestra claramente el efecto positivo de Kd sobre el amortiguamiento. Sin embargo, se debe resaltar el hecho de que la función de transferencia directa G(s) ya no representa un sistema prototipo de segundo orden, por lo que la respuesta transitoria también se verá afectada por el cero en s=-Kp/Kd.

Aplicaremos ahora el método del lugar geométrico de la raíces a la ecuación característica para examinar el efecto de variar Kd, mientras se mantiene constante el valor de Kp=1.

(Para un repaso ver El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 1era. parte. El lugar geométrico de las raíces con Matlab)

Si deseamos obtener un Mp=5% tal y como se pide en las especificaciones de diseño, eso significa obtener un factor de amortiguamiento relativo igual a lo siguiente:null

null

La ecuación característica del sistema y su forma 1+G(s)H(s) son:null

Utilizando el siguiente comando en Matlab obtenemos el lugar geométrico de las raíces para G(s)H(s):

>> s=tf(‘s’)

>> sys=(834526.56*s)/(s^2+361.2*s+834526.56)

>> rlocus(sys)

null

La gráfica siguiente muestra como mejora el factor de amortiguamiento relativo ζ a medida que aumenta la ganancia Kd:

null

Mientras, en la gráfica siguiente se muestra que para lograr un factor de amortiguamiento relativo ζ=0.69 o mejor que ese, lo cual significa un sobrepaso menor de 5% como se especifica, es necesario tener una ganancia mínima Kd= 0.00108:

null

Sin embargo, antes de seleccionar un valor definitivo para Kd debemos observar el cumplimiento de los otros requerimientos de diseño.

3.c Evaluación de Tr y Ts según Kd y Kp calculados.

Analizamos a continuación el valor del tiempo de levantamiento Tr para el valor de ζ=0.69 , Kd= 0.00108 y Kp= 1,  utilizando la función de transferencia a lazo cerrado del sistema Gce(s)  y el gráfico de respuesta a la entrada escalón generado por el siguiente comando en Matlab:

>> s=tf(‘s’)

>>sys=(834526.56*(1+0.00108*s))/(s^2+(361.2+834526.56*0.00108)*s+834526.56)

sys =     (901.3 s + 8.345e05) / (s^2 + 1262 s + 8.345e05)

> step(sys)

null

Utilizando la gráfica para la salida C(t) del sistema a una entrada escalón para un valor determinado del factor de amortiguamiento relativo (ζ=0.69). Para hallar Tr, restamos los tiempos para los cuáles C(t)=0.9 C(t)=0.1:

null

La gráfica anterior nos permite determinar el valor de Tr para un valor de ζ=0.69 de la siguiente manera:

Podemos ver que este valor cumple con el requerimiento de que Tr≤0.005 s. Veamos ahora que pasa con Ts. Utilizando el criterio del 2% podemos calcular Ts mediante la siguiente fórmula:null

Así vemos que el factor de amortiguamiento ζ=0.69 genera un Ts que no cumple con la condición de un Ts menor o igual a 0.005 s. Sin embargo, aumentando Kd mejoramos ζ logrando satisfacer dicha condición. Para ser más específicos, despejamos ζ a partir del valor máximo aceptado para Ts:

null

Utilizamos nuevamente el lugar geométrico de las raíces para determinar el valor de Kd que se corresponde con el de ζ=0.8757:

null

Si el valor de Kd=0.00148 y mantenemos el valor de Kp=1, la función de transferencia directa es:null

Mientras, la función de transferencia a lazo cerrado del sistema en estudio es la siguiente:null

Para esta función de transferencia revisamos los valores de sobrepaso Mp y tiempo de levantamiento Tr para asegurarnos que cumplen con las especificaciones de diseño:null

null

null

Por tanto, el valor de Kd debe tener un valor mínimo de:

Y nuestro controlador PD puede tener entonces la siguiente función de transferencia:

 

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Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Relacionado:

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Estabilidad de un sistema de control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

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PID – Effect of integrative and derivative control actions

In this section, we shall investigate the effects of integral and derivative control actions on the system performance. Here we shall consider only simple systems so that the effects of integral and derivative control actions on system performance can be clearly seen.

Integral Control Action. In the proportional control of a plant whose transfer function does not possess an integrator 1/s, there is a steady-state error, or offset, in the response to a step input. Such an offset can be eliminated if the integral control action is included in the controller. The main function of the integral action is to ensure that the exit of the process matches the set point in steady state.

In the integral control of a plant, the control signal, the output signal from the controller, at any instant, is the area under the actuating error signal curve up to that instant.

The control signal u(t) can have a nonzero value when the actuating error signal e(t) is zero, as shown in Figure 5-39(a). This is impossible in the case of the proportional controller since a nonzero control signal requires a nonzero actuating error signal.

(A nonzero actuating error signal at steady state means that there is an offset.) Figure

5-39(b) shows the curve e(t) versus t and the corresponding curve u(t) versus t when the

controller is of the proportional type.

Note that integral control action, while removing offset or steady-state error, may lead

to oscillatory response of slowly decreasing amplitude or even increasing amplitude,

both of which are usually undesirable.

Proportional Control of Systems. We shall show that the proportional control of a system without an integrator will result in a steady-state error with a step input. We shall then show that such an error can be eliminated if integral control action is included in the controller.

Consider the system shown in Figure 5-40. Let us obtain the steady-state error in the

unit-step response of this system. Define

Since

the error E(s) is given by

For the unit-step input R(s) = 1/s, we have:

The steady-state error is

Such a system without an integrator in the feedforward path always has a steady-state error in the step response. Such a steady-state error is called an offset. Figure 5-41 shows the unit-step response and the offset.

Integral Control of Systems. Consider the system shown in Figure 5-42. The controller is an integral controller. The closed-loop transfer function of the system is:

Since the system is stable, the steady-state error for the unit-step response can be obtained by applying the final-value theorem, as follows:

Integral control of the system thus eliminates the steady-state error in the response to the step input. This is an important improvement over the proportional control alone, which gives offset.

Derivative Control Action. Derivative control action, when added to a proportional controller, provides a means of obtaining a controller with high sensitivity. An advantage of using derivative control action is that it responds to the rate of change of the actuating error and can produce a significant correction before the magnitude of the actuating error becomes too large. Derivative control thus anticipates the actuating error, initiates an early corrective action, and tends to increase the stability of the system.

Although derivative control does not affect the steady-state error directly, it adds damping to the system and thus permits the use of a larger value of the gain K, which will result in an improvement in the steady-state accuracy. Because derivative control operates on the rate of change of the actuating error and not the actuating error itself, this mode is never used alone. It is always used in combination with proportional or proportional-plus-integral control action.

Proportional Control of Systems with Inertia Load. Before we discuss the effect

of derivative control action on system performance, we shall consider the proportional

control of an inertia load.

Consider the system shown in Figure 5-46(a). The closed-loop transfer function is obtained as:

The characteristic equation is:

Since the roots of the characteristic equation are imaginary, the response to a unit-step input continues to oscillate indefinitely, as shown in Figure 5-46(b). Control systems exhibiting such response characteristics are not desirable. We shall see that the addition of derivative control will stabilize the system.

Proportional-Plus-Derivative Control of a System with Inertia Load. Let us modify the proportional controller to a proportional-plus-derivative controller whose transfer function is Kp(1+Tds). The torque developed by the controller is proportional to Kp(e+Tde’). Derivative control is essentially anticipatory, measures the instantaneous error velocity, and predicts the large overshoot ahead of time and produces an appropriate counteraction before too large an overshoot occurs.

Consider the system shown in Figure 5-47(a).

The closed-loop transfer function is given by:

The characteristic equation is:

Now it has two roots with negative real parts for positive values of J, Kp, and Td. Thus

derivative control introduces a damping effect. A typical response curve c(t) to a unit step

input is shown in Figure 5-47(b). Clearly, the response curve shows a marked improvement over the original response curve shown in Figure 5-46(b).

Proportional-Plus-Derivative Control of Second-Order Systems. A compromise between acceptable transient-response behavior and acceptable steady-state behavior may be achieved by use of proportional-plus-derivative control action. Consider the system shown in Figure 5-48.

The closed-loop transfer function is:

The steady-state error for a unit-ramp input is:

The characteristic equation is:

The effective damping coefficient of this system is thus B + Kd rather than B. Since the

damping ratio of this system is:

it is possible to make both the steady-state error Ess for a ramp input and the maximum

overshoot for a step input small by making B small, Kp large, and Kd large enough so that

is between 0.4 and 0.7.

Sources:

  1. Control PID Avanzado
  2. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t p 294

Review by Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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