Ingeniería Eléctrica, Máquinas Eléctricas

Movimiento rotatorio – Conceptos básicos

MOVIMIENTO ROTATORIO, LEY DE NEWTON Y RELACIONES DE POTENCIA – Introducción.

Casi todas las máquinas eléctricas rotan sobre un eje llamado flecha. En general, se requiere un vector tridimensional para describir la rotación de un objeto en el espacio. Sin embargo, dado que las máquinas giran sobre un eje fijo, su rotación queda restringida a una dimensión angular. Con relación a un extremo del eje de la máquina, la dirección de rotación puede ser descrita ya sea en el sentido de las manecillas del reloj (SMR) o en sentido contrario al de las manecillas del reloj (SCMR). Como referencia, supondremos que SCMR es el sentido positivo.

Los conceptos básicos del movimiento rotatorio se pueden resumir en los siguientes:

· Momento de inercia (J)

· Posición angular (Θ)

· Velocidad angular (ω)

· Aceleración angular (α)

· Par, momento de fuerza o torque (τ)

· Trabajo (W)

· Potencia (P)

. Ley de la Fuerza de Lorentz

Momento de inercia (J) se mide en kilogramos-metro.

Al aplicar la segunda ley de Newton para calcular las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en movimiento rotatorio, debemos utilizar el concepto J en vez del concepto M (masa). Es decir:

Dónde:

Dónde dm es un elemento de masa, r es la distancia del eje a dm y la integración se efectúa sobre el cuerpo. Para ilustrar este concepto se muestra el resultado de aplicar la ecuación anterior sobre un cuerpo cilíndrico semejante a la geometría característica de un motor de densidad p:

Puesto que la masa entera m del cuerpo del cilindro es:

Se obtiene que:

Posición angular (Θ) se mide en radianes o grados.

La posición angular  de un objeto es el ángulo en que se sitúa, medido desde algún punto de referencia arbitrario. Por lo general, la posición angular se mide en radianes o grados, lo cual es equivalente al concepto de distancia en el movimiento rectilíneo.

Para propósitos de ingeniería, el desplazamiento o posición angular Θ se define como positivo cuando se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj.

Velocidad angular (ω) se mide en radianes por segundo.

La velocidad angular (o rapidez) es la tasa de cambio en la posición angular con respecto al tiempo:

null

Si las unidades de la posición angular están en radianes, la velocidad angular se mide en radianes por segundo. Sin embargo, cuando se trata de máquinas eléctricas normales, los ingenieros utilizan con frecuencia unidades diferentes a los radianes por segundo para describir la velocidad del eje.

Frecuentemente, la velocidad angular se expresa en revoluciones por segundo o revoluciones por minuto. Puesto que la velocidad angular es un concepto importante en el estudio de las máquinas, se acostumbra utilizar diferentes símbolos para representar la velocidad cuando se expresa en unidades distintas, lo cual permite minimizar cualquier posible confusión en cuanto a las unidades.

Los símbolos para describir la velocidad angular son los siguientes:

null

En estos símbolos el subíndice m indica una cantidad mecánica en contraposición a una cantidad eléctrica. Estas medidas de velocidad del eje se relacionan entre sí mediante las siguientes ecuaciones:

null

Aceleración angular (α) se mide en radianes por segundo al cuadrado.

La aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular con respecto al tiempo:

null

La aceleración angular se mide en radianes por segundo al cuadrado.

Al igual que en el caso de la velocidad angular, si la aceleración angular se mide con respecto a una referencia no acelerada, a la misma se le llama aceleración absoluta; de otra forma se denomina aceleración relativa.

Par, momento de fuerza o torque (τ) se mide en newtons-metro. 

Cuando un objeto rota, su velocidad angular permanece constante a menos que se ejerza un par sobre él. Cuanto mayor sea el par aplicado al objeto, más rápidamente cambiará su velocidad angular.

El par o momento de fuerza se define como cualquier causa que tienda a producir un cambio en el movimiento rotacional de un cuerpo sobre el cual actúa. El par sobre un objeto se define como el producto de la fuerza aplicada al objeto y la distancia más corta entre la línea de acción de la fuerza y el eje de rotación del objeto.

Si r es un vector que apunta desde el eje de rotación hasta el punto de aplicación de la fuerza y si F es la fuerza aplicada, el par puede describirse como:

null

Donde θ es el ángulo entre el vector F y el vector r.

null

Las unidades del par son newton-metro en las unidades del SI.

Ley de rotación de Newton

La ley de rotación de Newton está dada por la ecuación siguiente:

null

Donde τ es el par o momento de fuerza, J es el momento de inercia que se mide en kilogramos-metro y α es la aceleración angular expresada en radianes por segundo al cuadrado.

Las unidades del par son newton-metro en las unidades del SI

Trabajo (W) se mide en joules. 

En el movimiento rotatorio, trabajo es la aplicación de un par a lo largo de un ángulo. En este caso la ecuación es:

null

Si el par es constante, entonces:

null

Potencia (P) se mide en joules por segundo (watts) o caballos de fuerza (hp)

La potencia es la tasa a la cual se realiza trabajo o el incremento de trabajo por unidad de tiempo. La ecuación de potencia es:

null

Generalmente se mide en joules por segundo (watts), pero también se puede medir en caballos de fuerza (hp). Si se aplica esta definición y se supone que la fuerza es constante y colineal con la dirección del movimiento, la potencia está dada por:

null

Así mismo, si el par es constante, en el movimiento rotatorio la potencia está dada por:

null

La ecuación de P anterior es muy importante en el estudio de las máquinas eléctricas porque describe la potencia mecánica aplicada al eje de un motor o de un generador. Indica además la relación correcta entre la potencia, el par y la velocidad angular, si la potencia se mide en watts, el par en newton-metro y la velocidad en radianes por segundo. Si se utilizan otras unidades para medir cualquiera de las cantidades indicadas, se debe introducir una constante en la ecuación como factor de conversión.

Ley de la fuerza magnética de Lorentz

El fenómeno físico subyacente que hace posible que un motor genere un par cuando una corriente pasa a través de los devanados de dicho motor, se puede expresar como sigue:

Donde la carga q, moviéndose a la velocidad V a través del campo magnético B, experimenta una fuerza F.

Esta ecuación se conoce como la Ley de Lorentz para campo magnético y es tema de nuestros siguientes artículos.

SIGUIENTE: Concepto de Campo Magnético

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Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

 

 

 

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Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Ingeniería Eléctrica, Máquinas Eléctricas

Dinámica de un Sistema Electromecánico con Motor DC.

Introducción

Los Sistemas Electromecánicos son aquellos sistemas híbridos de variables mecánicas y eléctricas. Las aplicaciones para componentes electromecánicos cubren un amplio espectro, desde sistemas de control para robots y rastreadores de estrellas, hasta controles de posición del disco duro en una computadora, o el control de motores DC en sistemas de aire acondicionado para instalaciones residenciales.

La Figura 2.1 muestra un sistema de accionamiento electromecánico. Consiste de una fuente de poder y energía, un circuito de compuerta para el convertidor, convertidores electrónicos (rectificador, inversor, controlador electrónico de poder), sensores de corriente (derivadores, transformador de corriente, sensor Hall), sensor de voltaje (divisor de voltaje, transformador de potencial), sensores de velocidad (tacómetros) y sensores de desplazamiento (codificadores), máquinas rotativas trifásicas, cajas de engranajes y cargas específicas (bomba, ventilador, automovil, etc). En la Figura 2-1 todos los componentes, con excepción de los engranajes, están representados por una Función de Transferencia (variables de salida en función del tiempo), mientras que la caja de engranajes está representada por una Función Característica (variable de salida Xout en función de la variable de entrada Xin)

El Servomotor DC controlado por armadura es quizás el más utilizado de los componentes que conforman un sistema electromecánico en robótica. Sin embargo, dependiendo de la aplicación, encontraremos también los dos motores AC trifásicos más comunes: motores de inducción y motores sincrónicos. En esta oportunidad sólo abordaremos el caso de Motores DC.

Primero debemos ser capaces de obtener el grupo de ecuaciones que gobiernan este motor, es decir, la Dinámica del Motor. A partir de dichas ecuaciones estaremos en capacidad de construir la representación del motor en diagrama de bloques a partir de su representación esquemática, tal como lo ilustra la Figura 2.35:

nullnull

Diagrama de Bloques para un Motor DC

Para generar la representación en diagrama de bloques de una máquina DC el primer paso es definir la Dinámica del Sistema, como se mencionaba anteriormente. Luego, aplicando la Transformada de Laplace, podremos representar esta dinámica mediante diagramas de bloques y las funciones de transferencia que relacionan las variables de mayor relevancia.

Obtener las ecuaciones que gobiernan la dinámica de un motor implica el conocimiento de los conceptos básicos del movimiento rotatorio, así como los fundamentos de campo magnético. Para dar un repaso, ver: Movimiento Rotatorio – Conceptos básicos.Concepto de Campo Magnético.

Un Motor DC puede estar controlado por campo o por armadura. Haciendo referencia a la Figura 2.35., un imán estacionario permanente o un electroimán genera un flujo magnético Φ, constante, denominado Fixed Field. Como resultado, el motor es controlado por un voltaje ea aplicado a los terminales de la armadura. Aplicando la teoría de circuitos de Kirchhoff , deducimos la primera ecuación característica del sistema:

null

Donde La Ra representan la inductancia y la resistencia de la armadura respectivamente.

La armadura es un circuito rotativo a través del cual circula una corriente  ia. Cuando la armadura pasa en ángulos rectos a través del flujo magnético Φ, siente una fuerza F=BLia donde B es la intensidad del campo magnético y L es la longitud de la bobina o conductor. El torque Tm que resulta de esta interacción hace girar el rotor, el cual es el miembro rotatorio del motor. Para un análisis lineal es necesario suponer que este torque o par es proporcional al flujo magnético Φ y a la corriente ia . De aquí podemos obtener la siguiente ecuación del sistema:

null

Como Φ es constante, el factor Km*Φ se reduce a una constante denominada Ki. De esta manera, la ecuación anterior se reduce a:

null

Donde Ki es La Constante de Proporcionalidad, también llamada constante de torque del motor (o constante de par) y es uno de los parámetros dados por los fabricantes de motores. Ki, con frecuencia denominada también Kt en la literatura sobre el tema, viene en N-m/A.

Nota: cuando el motor es controlado por una corriente en el campo, con el fin de obtener un sistema lineal la corriente de armadura debe ser considerada constante y así el torque del motor viene dado por Tm= Kmif, donde if es la corriente de campo.

Otro importante fenómeno ocurre en el motor: Cuando un conductor se mueve en ángulos rectos a través de un campo magnético se genera un voltaje Vb en las terminales del conductor. Ya que la armadura rota en un campo magnético, el voltaje generado en el conductor que rodea la armadura es proporcional a la velocidad de rotación de la armadura, denominada ωm. De esta manera obtenemos otra ecuación de gran importancia:

null

Donde:

null

Denominamos a Vb la Fuerza Contraelectromotriz (o back emf por sus siglas en inglés); Kb es la constante de proporcionalidad llamada también constante emf. 

Aunque el Motor DC es por sí mismo un sistema en lazo abierto, veremos más adelante que la fuerza contraelectromotriz Vb, provoca un lazo realimentado dentro del motor, actuando como una “fricción eléctrica” que tiende a mejorar la estabilidad del motor.

Por último, aplicando las leyes de Newton para movimientos mecánicos rotacionales obtenemos:

null

Donde TL representa la carga, Jm es el momento inercial (inercia) del rotor, y Bm es el coeficiente de fricción viscosa del motor.

De esta manera hemos logrado definir el conjunto de ecuaciones que determina la Dinámica del Motor DC operando en lazo abierto:

nullnull

null

null

donde:

null

Para representar esta dinámica en diagrama de bloques, el siguiente paso consiste en aplicar la Transformada de Laplace a cada ecuación y despejar la salida θcomo función de las otras variables de estado.

Luego de aplicar Laplace, obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:

null

Este sistema de ecuaciones, tomando a Ea(s) como la entrada y a θm(s) como la salida,  se representan a continuación mediante El Diagrama de Bloques para un Motor DC operando a lazo abierto:

null

Aquí podemos corroborar lo que señalamos antes, que la fuerza contraelectromotriz, proporcional a Ωm(s), representado en el diagrama como Eb(s), genera un lazo realimentado que tiende a estabilizar el sistema.

La configuración del sistema electromecánico más comúnmente utilizado se muestra en la  Figura 2.15, operando a una velocidad constante y sin lazo de realimentación. La mayoría de estos sistemas se representan utilizando sólo las funciones de transferencia de cada equipo en un diagrama de bloques lo más resumido posible. Por tanto, generalmente es mucho más útil representar el motor y su carga mediante un único bloque, cosa que haremos más adelante, luego de conversar sobre el resto de los componentes más comunes en sistemas electrodinámicos: tren de engranajes, potenciómetros, tacómetros y amplificadores proporcionales.

El Potenciómetro.

Un potenciómetro es un transductor electromecánico que convierte energía mecánica en energía eléctrica. La entrada del dispositivo es una forma de desplazamiento mecánico que puede ser traslacional o rotacional. Cuando se aplica un voltaje a través de las terminales fijas del potenciómetro, el voltaje de salida, que se mide entre la terminal variable y tierra, es proporcional al desplazamiento de entrada. La Figura 4-29 muestra el esquema para un potenciómetro rotacional.

Cuando la carcaza del potenciómetro está conectada a la referencia, el voltaje de salida e(t) será proporcional a la posición del eje θc(t) para el caso de un movimiento rotatorio. Por tanto:

nullDonde Ks es la constante de proporcionalidad. Así que E(s)/θc(s) = Ks sería la función de transferencia de un potenciómetro, representada por el siguiente diagrama de bloque:

Los potenciómetros se usan a menudo para realimentar la posición de la salida en los sistemas de control de motores. Aquí trabaja entonces como un sensor mecánico. Permiten entonces comparar la posición real de la carga con la posición de referencia. La comparación genera una señal de error que luego se amplifica para mover al motor hasta alcanzar la posición correcta.

El Tacómetro.

Al igual que los potenciómetros, los tacómetros son dispositivos electromecánicos que convierten energía mecánica en energía eléctrica. Trabaja esencialmente como un generador de voltaje, con la salida de voltaje proporcional a la magnitud de la velocidad angular del eje de entrada. La Figura 4-33 refleja el uso común de un tacómetro en un sistema de control de velocidad:

La dinámica del tacómetro se puede representar como:

null

Donde et(t) es el voltaje de salida, θ(t) es el desplazamiento del motor en radianes, ω(t) es la velocidad del rotor en rad/s, y Kt es la constante del tacómetro. Luego, términos del desplazamiento del motor:

null

El tren de engranaje (transmisión de potencia)

Los trenes de engranajes se utilizan con mucha frecuencia en los sistemas electromecánicos con el fin de reducir la velocidad, amplificar el par o para obtener la transferencia de potencia más eficiente apareando el miembro impulsor con una carga dada. Considere el tren de engranajes mostrado en la Figura 2-30:

null

En la práctica, el procedimiento más utilizado para calcular el momento de inercia equivalente J1-eq y la fricción viscosa equivalente b1-eq, consiste en reflejar la inercia y la fricción viscosa de la flecha de carga a la flecha del motor. El resultado es el siguiente:

nullnull

Donde J1-eq es la inercia equivalente vista por la flecha del motor y b1-eq es el coeficiente de amortiguamiento equivalente vista por la flecha del motor. En los diagramas de bloque se acostumbra representar al tren de engranaje mediante un bloque con función de transferencia proporcional, una constante Kg (por Kgears) equivalente al factor n1/n2.

El amplificador proporcional.

Un buen ejemplo de un amplificador proporcional es un Amplificador Operacional con realimentación negativa resistiva pura y configuración de inversor tal como se muestra en la Figura 2.7a.

Los Amplificadores Operacionales, con frecuencia llamados Op Amps, son ampliamente utilizados para amplificar señales en circuitos que funcionan como sensores. La Función de Transferencia del Amplificador Operacional se muestra en la Figura 2.7b con el nombre de G2:

Otra configuración de esta clase se muestra en la Tabla 3-1 con su función de transferencia:

Table 3-1

Operación en lazo cerrado.

La operación del motor DC en lazo abierto es aceptable para muchas aplicaciones donde una posición fija con cierto margen de error (un ascensor) o una velocidad fija (una motosierra) es suficiente. Sin embargo, en aplicaciones donde la velocidad es variable (una banda transportadora) o la posición debe ser controlada de manera muy precisa (un telescopio), será necesario seleccionar un control a lazo cerrado con realimentación negativa. Una operación a lazo cerrado muy popular es la de control de posición. Un esquema para el control de posición de la Antena Azimuth se muestra a continuación:

Cuyo diagrama de bloques es:

null

La Figura 9.16 muestra otro ejemplo, el sistema ARMII, muy utilizado en robótica industrial, una articulación hombro / enlace electromecánica, accionada por un servomotor de corriente continua con controlador de armadura, donde se contrasta la configuración a lazo abierto con aquella a lazo cerrado:

null

Ejemplo de aplicación:

Antes de continuar, veamos un ejemplo de cómo aplicar la teoría estudiada hasta ahora, a un caso bastante común:

  1. Obtener modelo matemático del sistema de control de posición de la Figura siguiente. Obtener su diagrama de bloques y la función de transferencia entre el ángulo de la carga y el ángulo de referencia θc(s)/θc(s).

null

Respuesta:

null

Todo el ejercicio está resuelto en el siguiente link:

Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Diagrama de Bloques para sistema DC Motor/Amplificador

El motor de CD es siempre manejado por un amplificador de potencia que actúa como fuente de energía.

Electrónica de Potencia.

El desempeño de los servomotores utilizados en Robótica son altamente dependientes del uso de amplificadores de potencia eléctrica y controles electrónicos, una rama comúnmente conocida como Electrónica de potencia (Power Electronic). Los actuadores en aplicaciones de robótica, en especial los Motores DC, deben ser controlados con precisión con el fin de obtener, por ejemplo, el movimiento deseado en brazos y piernas de un robot. Esto requiere del uso de amplificadores de potencia para suministrar el correcto nivel de voltaje (o corriente) a la armadura del motor. Para lograr esto, el uso de amplificadores proporcionales como el amplificador operacional discutido con anterioridad resulta ser un método muy ineficiente y posiblemente destructivo debido a la gran pérdida de potencia en forma de calor. Una alternativa es el control de voltaje utilizando un conmutador ON-OFF. PWM (Pulse Width Modulation por sus siglas en Inglés ) es el método más común para variar el voltaje promedio suministrado a un motor DC.

Brevemente, un sistema para accionar un motor (drive) tiene un diagrama de bloques semejante al mostrado en la Figura 27.1. Las cargas pueden ser un transportador, un sistema de tracción, los cilindros de una unidad de molino, el compresor de un aire acondicionado, el sistema de propulsión de un barco, la válvula de control de una caldera, un brazo robótico, y así sucesivamente.

null

El bloque descrito como “Power Electronic Converter” en el diagrama de la Figura 27.1, en el caso de un control PWM, puede usar diodos,  MOSFETs, GTOs or IGBTs. Los sistemas de servoaccionamiento (Servo drives)  normalmente utilizan el convertidor de cuatro cuadrantes de la Figura 27.9, que permite accionamientos (drives) bidireccionales y capacidades de frenado regenerativo.

null

PWM es una técnica para el control efectivo del voltaje de armadura en un motor DC, utilizando solamente un switch ON-OFF. La Figura 2.3.3 ilustra la señal de salida de un equipo PWM:

null

El PWM varía la relación entre la duración del estado ON con respecto a la duración del estado OFF. Un solo ciclo de estados ON y OFF representa el periodo del PWM, mientras que el porcentaje del estado ON con respecto al periodo del PWM es denominado “Duty Rate” (ritmo de trabajo). La primera señal PWM mostrada en la Figura 2.3.3, está a 60% de trabajo, mientras la segunda lo está a 25%. Si la fuente de voltaje que alimenta el sistema es V=10 volts, el voltaje promedio realmente transmitido al motor DC es de 6 volts en el primer caso y de 2.5 volts en el segundo. El periodo del PWM es establecido de tal manera que sea mucho más corto que la constante de tiempo asociada al movimiento mecánico.  La frecuencia del PWM está usualmente entre los 2 y los 20 KHz, mientras que un ancho de banda típico del sistema de control del motor es de 100 Hz. Por lo tanto, la conmutación discreta no influye sustancialmente al movimiento mecánico en la mayoría de los casos.

Si la constante de tiempo Te es mucho mayor que el período de PWM, la corriente real que fluye hacia la armadura del motor es una curva suave, como se ilustra en la Figura 2.3.4:

SIGUIENTE: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Diseño de sistemas de control - Tema siguiente.

El objetivo fundamental de analizar un sistema de control es facilitar su diseño. El Diagrama de Bloques es el primer paso porque representa el modelo matemático del sistema que queremos analizar y mejorar. La dinámica de un proceso lineal controlado puede representarse por el diagrama de bloques de la Figura 10-1:

La mayoría de los sistemas de control se construyen para que el vector de salida y(t) cumpla con ciertas especificaciones que definen que debe hacer el sistema y cómo hacerlo de una manera deseada. Dichas especificaciones son únicas para cada aplicación individual. Estabilidad relativa, precisión en estado estable (error) y respuestas transitoria son las especificaciones más utilizadas en el mercado. El problema esencial involucra determinar la señal de control U(t) dentro de un intervalo prescrito para que se satisfagan las especificaciones requeridas por el cliente.

Luego de determinar lo anterior, el ingeniero debe diseñar una configuración fija del sistema y el lugar donde el controlador estará colocado en relación con el proceso controlado, lo que involucra además diseñar los elementos que conforman el controlador, es decir, determinar los parámetros del controlador. Debido a que la mayoría de los esfuerzos de control involucran la modificación o compensación de las características de desempeño mostradas por el sistema durante el análisis de respuesta transitoria y respuesta en estado estable, al diseño de una configuración fija también se le llama compensación.

En definitiva, el arte y ciencia de diseñar sistemas de control puede resumirse en tres pasos, lo que nos conlleva a nuestros siguientes temas:

  1. Determinar que debe hacerse y cómo hacerlo
    1. Respuesta Transitoria de un Sistema de Control
    2. Estabilidad de un sistema de control
    3. Error en estado estable de un sistema de control
  2. Determinar la configuración del controlador
    1. PID – Acciones Básicas de Sistemas de Control
    2. PID – Efecto de las acciones de control Integral y Derivativo
    3. PID – Diseño y configuración del controlador
  3. Determinar los parámetros del controlador

Fuentes:

  1. Chapter 2, Block Diagram of EM Systems, pp 21, 43(23) (Fuchs E.F., Masoum M.A.S. (2011) Block Diagrams of Electromechanical Systems. In: Power Conversion of Renewable Energy Systems. Springer, Boston, MA)
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  4. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  5. dinamica_de_sistemas
  6. Actuators and Drive System – Robótica
  7. Libro Rashid – Power Electronic Handbook
  8. Introduction to robotic mechanic and control

 

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

Estabilidad de un sistema de control

Error en estado estable de un sistema de control

PID – Acciones Básicas de Sistemas de Control

 

PID – Efecto de las acciones de control Integral y Derivativo

Electrical Engineer, Power Distribution, Sistemas de Potencia

SISTEMA DE POTENCIA – FUNDAMENTOS

Literature Review

Fuentes:

  1. Libro Analisis_de_sistemas_de_pot
    1. Potencia en circuitos Monofásicos p 5 (18)
    2. Potencia compleja pp 10 (22)
    3. Dirección del flujo de potencia pp 11
  2. Análisis de Redes – Van Valkenburg, 1999 – Network Analysis – Universidad de Illinois
    1. Carga y Energía capt 1.2 – p 16 (18)

Definición de potencia eléctrica – Introducción

 

El conocimiento actual de la naturaleza de la carga se basa en el Esquema Conceptual de la Teoría Atómica.

  Análisis de Sistemas de Potencia

Al respecto ver Representación Fasorial de Voltajes y Corrientes

Potencia en Circuitos Monofásicos

Potencia Compleja

El Triángulo de Potencia

Dirección del flujo de potencia

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Conversión Electromecánica de energía, Máquinas Eléctricas

Concepto de Campo Magnético

El campo magnético es un modelo que permite describir matemáticamente la influencia magnética de las corrientes eléctricas o de los materiales ferromagnéticos, los cuáles son materiales imanados espontáneamente.

Producción de un campo magnético

La ley básica que gobierna la producción de un campo magnético es la ley de Ampere, que relaciona un campo magnético estático de intensidad H, alrededor de un contorno cerrado C, con su causa, es decir, una corriente eléctrica estática de densidad J:

null

La ecuación 1.1 establece entonces que la fuente del campo magnético H es la densidad de corriente J. El último término es la corriente de desplazamiento. Este término es de gran importancia para los campos magnéticos que se generan en el espacio mediante campos eléctricos variantes en el tiempo, asociados con la radiación electromagnética. Ignorar este término da como resultado un imán cuasiestático, y la ecuación 1.1 se puede simplificar hasta llegar a la ecuación 1.2:

null

Donde H es la intensidad del campo magnético producida por la corriente Ineta, mientras que dl es el elemento diferencial a lo largo de la trayectoria de integración.

Densidad de flujo magnético

Por otra parte, la magnitud física que caracteriza al vector que representa al campo magnético, recibe el nombre de vector de inducción magnética B (también denominado densidad de flujo magnético B), donde:

null

La ecuación 1.3 establece que se conserva la cantidad de flujo magnético, es decir, que ningún flujo magnético neto entra o sale de una superficie cerrada S. Las líneas de flujo magnético sólo existen en lazos continuos, no tienen principio ni fin como es el caso de las líneas de flujo eléctrico. De esta ecuación también se advierte que las cantidades de campo magnético sólo pueden ser determinadas a partir de los valores instantáneos de las fuentes de corriente.

La relación entre el campo magnético y la inducción magnética creada por un material ferromagnético, reviste una importancia extraordinaria en la utilización técnica de dicho material. La inducción magnética B se induce por la intensidad del campo magnético H. La relación entre ambas cantidades es la siguiente:

null

Donde μ es la permeabilidad magnética del material. La relación 1.4 es mejor expresarla mediante curvas características, denominadas curvas de magnetización (curvas de saturación), tales como las mostradas en la Figura 2.26:

null

null

La intensidad del campo magnético se mide en ampere-vueltas por metro (A/m), la permeabilidad en henrys por metro y la densidad de flujo resultante en webers por metro cuadrado, conocidos como teslas (T).

Flujo Magnético

En un núcleo de material ferromagnético como el que se muestra en la Figura 1.3:

 

La magnitud de la densidad de flujo está dada por:

null

Donde ln es la longitud media del núcleo, y la corriente Ineta que pasa por el camino de integración es igual a Ni, puesto que la bobina de alambre corta dicho camino N veces mientras pasa la corriente i. Ahora, el flujo total Ø en cierta área del núcleo está dado por:

null

Donde dA es el diferencial del área. Si el vector de densidad de flujo es perpendicular a un plano de área A y si la densidad de flujo es constante en toda el área, la ecuación se reduce a:

null

Si sustituimos la ecuación 1.5 en 1.7 obtenemos la ecuación 1.8, una interesante relación que demuestra como la corriente en una bobina de alambre conductor enrollado alrededor de un núcleo de material ferromagnético, produce un flujo magnético en dicho material.

null

Puesto que los motores y generadores dependen del flujo magnético para producir el voltaje y el par, se diseñan para producir el máximo flujo posible. Como resultado, la mayoría de las máquinas reales operan cerca del punto de rodilla de la curva de magnetización.

Fuerza magnetomotriz

Siempre que existe un flujo magnético Ø en un cuerpo o componente, se debe a la intensidad de un campo magnético H, dada por:

null

Donde Fm es la fuerza magnetomotriz que actúa en el componente (medido en Ampere-vuelta) y l es la longitud del componente (medido en metros).

La relación entre el flujo magnético Ø y la fuerza magnetomotriz Fm es semejante aquella que existe entre la densidad de flujo B y la intensidad del campo magnético H, tal como lo ilustra la Figura 1.10.

Es decir, que para un núcleo dado la intensidad del campo magnético es directamente proporcional a la fuerza magnetomotriz, y que la densidad de flujo magnético es directamente proporcional al flujo magnético total.

Curva de Histéresis

En vez de aplicar una corriente continua a los devanados dispuestos sobre el núcleo, se aplica una corriente alterna para observar qué ocurre. Dicha corriente se muestra en la Figura 1-11 (a). Suponga que el flujo inicial en el núcleo es cero. Cuando se incrementa la corriente por primera vez, el flujo en el núcleo sigue la trayectoria ab, dibujada en la Figura 1-11 (b). Ésta es básicamente la curva de saturación que se muestra en la figura 1-10. Sin embargo, cuando la corriente decrece, el flujo representado en la curva sigue una trayectoria diferente de la seguida cuando la corriente iba en aumento. Cuando la corriente decrece, el flujo en el núcleo sigue la trayectoria bcd y, más tarde, cuando la corriente se incrementa de nuevo, el flujo sigue la trayectoria deb. Nótese que la cantidad de flujo presente en el núcleo depende no sólo de la cantidad de corriente aplicada a los devanados del núcleo, sino también de la historia previa del flujo presente en el núcleo. Esta dependencia de la historia previa del flujo y el seguir una trayectoria diferente en la curva se denomina histéresis. La trayectoria bcdeb descrita en la Figura 1-11 (b), que representa la variación de la corriente aplicada, se denomina curva o lazo de histéresis.

Nótese que si primero se aplica al núcleo una fuerza magnetomotriz intensa y luego se deja de aplicar, la trayectoria del flujo en el núcleo será abc. Cuando se suspende la fuerza magnetomotriz, el flujo no llega a cero, ya que permanece cierto flujo en el núcleo, denominado flujo residual (o flujo remanente), el cual es la causa de los imanes permanentes. Para que el flujo llegue a cero, se debe aplicar al núcleo, en dirección opuesta, cierta fuerza magnetomotriz llamada fuerza magnetomotriz coercitiva.

Circuito Magnético

La relación entre flujo magnético Ø y la fuerza magnetomotriz Fm, da pie a una segunda simplificación de gran valor práctico, el circuito magnético. La ecuación 1.8 nos mostró que una corriente produce un campo magnético. Esto es análogo al voltaje que produce un flujo de corriente en un circuito eléctrico. Es posible entonces definir un circuito magnético cuyo comportamiento esté determinado por ecuaciones análogas a aquellas establecidas para un circuito eléctrico.

En un circuito eléctrico, el voltaje V genera una corriente I a lo largo de una resistencia R, tal como se ilustra en la Figura 1-4 (a). El voltaje es una fuerza electromotriz que genera el flujo de corriente. Por analogía, en un circuito magnético esta fuerza es Fm de la ecuación 1.9, la cual es igual al flujo efectivo de corriente aplicado al núcleo, es decir:

null

Al igual que la fuente de voltaje, fuerza magnetomotriz Fm tiene una polaridad asociada a ella. Dicha polaridad se determina mediante la regla de la mano derecha, como muestra la Figura 1-5:

null

 

La fuerza Fm ocasiona un flujo magnético Ø. Si la relación entre el voltaje V y la corriente I en un circuito eléctrico está determinada por V=RI, de forma similar, la relación entre Fm y Ø es:

null

Donde ℜ es la reluctancia del circuito.

Más sobre circuito magnético en la próxima entrega: Circuito Magnético.

Finalizado el Martes 08 noviembre, 2017, 4:57 am

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SIGUIENTE: Circuito Magnético

Fuentes:

  1. Maquinas Eléctricas-Chapman-5ta-edición
  2. Circuitos magnéticos y transformadores ee staff mit
  3. Analysis of Electric Machinery and Drive Systems
  4. Dynamic simulation of Electric Machinery using MATLAB

 

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Transfer Function of a DC Motor

Transfer Function of a DC Motor.

Consider the model presented in Figure 10:

Figure 10. Model for a DC Machine [4]

Let’s determine the Transfer Function of the DC Motor from Figure 10. Since the current-carrying armature is rotating in a magnetic field, its voltage is proportional to its speed. That is the back electromotive force as it was established in equation 7:

Equations 12

Taking the Laplace Transform we get:

Equations 13

The torque developed by the motor is proportional to the armature current, as it was said in Equations 9:

Equations 14

Transforming every impedances of Figure 10 into their Laplace Transform equivalent , we find the voltage equation for the loop around the armature circuit:

Equations 15

Now, we substitute Equations 13 y 14 en 15:

Equations 16

We need Tm in terms of in order to find . That can be get using the equivalent model for mechanical loading on a motor as shown in Figure 11:

Figure 11. Typical equivalent mechanical loading for a DC Machine [4]

Where Jm and Dm are mechanical constant which can be derived from a typical configuration such as:

Figure 12. A DC Motor driving a rotational mechanical load [4]

Considering Figure 12, Jm and Dm are:

Equations 17

Now, from Figure 11 we can find the relationship between Tm and :

Equations 18

Substituting Equations 18 in 16 we get:

Equations 19

In the most cases La is too small compared with Ra, so Equations 19 can be simplified and rearrange as:

Equations 20

Now from Equations 20 we obtain the Transfer Function for a DC Motor as follow:

Equations 21

The electrical constants of the motor Kt y Kb can be found with the following relations:

Equations 22

Where Tstall, Ea y Wno-load, use to be derive from a Graphic Speed Vs Torque such as:

Figure 13. Torque-speed curves with an armature voltage Ea as a parameter [4]

As an example, consider the case of Figure 14:

Figure 14. Torque-speed curves and system example [4]

Hence:

And using the gear ratio N1/N2=1/10:

[4] Control Systems Engineering, Norman Nise

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DC Motor – Fundamentals

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DC Motor.

The DC motor is not so used nowadays as it was in the past. For most application, it has been replaced by the solid-state rectifiers. Figure 1 shows an elementary machine equipped with a field winding wound on the stator poles, a rotor coil, and a commutator:

Figure 1. Elementary two-pole DC Machine [1]

The commutator is made up of two semi-circular copper segments mounted on the shaft at the end of the rotor.These segments are insulated from one another as well as from the iron of the rotor. Each terminal of the rotor coil is connected to a copper segment. Stationary carbon brushes ride upon the copper segments whereby the rotor coil is connected to a stationary circuit.

The voltage equations for the field winding and rotor coil are:

Equations 1

The flux linkage is expressed as:

Equations 2

Rf and Ra are the resistances of the field winding and the armature coil. The armature is the term used to refer to the rotor, so both mean the same. The mutual inductance between the field winding and the armature coil is expressed in term of a sinusoidal function of θr as::

Equations 3

where L is a constant. As the rotor revolves, the function of the commutator is to switch the stationary terminals from one terminal of the rotor coil t the other. This commutation occurs at θr=0, Π, 2Π. At the instant of the switch, the brushes are in contact with both copper segments, so the rotor coil is short-circuited.

The way form of the voltage induced in the open-circuit armature coil during constant-speed operation with a constant field winding current may be determined by setting Ia-a´=0 and If=constant. Using the expression from equations 1, 2 and 3, we obtain:

Equations 4

Note that Va-a´=0 at θr=0, Π, 2Π because at this stage is happening the commutation. The next Figure illustrates the commutation:

Figure 2. Commutation of the Elementary DC Machine [1]

Note now that the form of Va makes this configuration an impracticable machine. It could not work effectively as a motor supplied from a voltage source due to the short-circuiting of the armature coil at each commutation.

A more useful machine with 4 pairs of parallel windings is shown in Figure 3, where the rotor is equipped with four a windings and with four A windings, yielding rectified coil voltages.

Figure 3. A DC Machine with parallel windings [1]

Now we have that the form of Va looks like this:

Figure 4. Rectified voltage for a DC Machine with parallel windings [1]

Usually, the number of the rotor coils is more than four reducing by this way the harmonic content of the open-circuit armature voltage Va. In this case, the rotor coil may be approximated as a uniformly distributed winding. So, the rotor winding is considered as current sheets that are fixed in space due to the action of the commutator and which establish a magnetic axis positioned orthogonal to the magnetic axis of the field winding. This configuration looks as follow:

Figure 5. Idealized DC Machine with uniformly distributed rotor winding [1]

Another look for the DC Machine is presented in Figure 6:

Figure 6. Basic parts of the DC Machine [2]

We can now approximate the equivalent circuit for the idealized DC Machine as:

Figure 7. Equivalent circuit for an Idealized DC Machine [1]

From here, we can derive the field and armature voltages which in matrix form look like this:

Equations 5

LFF and LAA self-inductances of the field and armature windings respectively; p is a notation for d/dt; Wr is the rotor speed and LAF the mutual inductance between the field and the armature. The product Wr.LAF.If is called back emf (electromotriz force) Vem. In this last equation IAF.If is frequently substituted by a constant called Kv:

Equations 6

This substitution is far convenient since even in the case of a permanent-magnet dc machine which has not field circuit, the constant field flux produced by the permanent magnet is analogous to a dc machine with a constant Kv.

We obtain through this important expression for describing the dynamic of DC Motor:

Vem=Kv.Wr

Equations 7

The above equation dictates that the voltage across the idealized power transducer is proportional to the angular velocity.

For a DC Machine with a field winding, the electromagnetic torque can be expressed as:

Equations 8

Here again we can substitute LAF.If by the constant Kv. So,

Te=Kv.Ia

Equations 9

The electromagnetic torque Te and the rotor speed are related by:

Equations 10

J is the moment of inertia of the rotor and TL the load torque, positive for the shaft of the rotor. Te acts to turn the rotor in the direction of increasing θr. The constant Bm is a damping coefficient associated with the mechanical rotational system of the machine.

DC Motors in Control System

The variables and parameters that matter in most of the control system designs are resumed in the following table:

Figure 8. Variables and Parameters for a DC Machine [3]

The mode commonly used to represent dc motors in control system literature is as follow:

Figure 9. Model for a DC Machine [3]

A variant is presented in Figure 10:

Figure 10. Model for a DC Machine [4]

With Figure 9 as a reference, the cause and effect equations for the DC Motor are:

Equations 11

According to Equations 11, a Block Diagram for a DC motor should be like this:

Figure 11. Model for a DC Machine [3]

Basic Types of DC Machines.

  1. Separate Winding Excitation (Figure 7)
  2. Shunt-Connected dc Machine

Figure 12. Shunt-Connected DC Machine [1]

  1. Series-Connected dc Machine

Figure 13. Series-Connected DC Machine [1]

  1. Compound-Connected dc Machine

Figure 14. Compound-Connected DC Machine [1]

Figure 15. Other notations for DC Machine Types [2]

Transfer Function of a DC Motor.

Consider the model presented in Figure 10:

                                          Figure 10. Model for a DC Machine [4]

Let’s determine the Transfer Function of the DC Motor from Figure 10. Since the current-carrying armature is rotating in a magnetic field, its voltage is proportional to its speed. That is the back electromotive force as it was established in equation 7:

Equations 12

Taking the Laplace Transform we get:

Equations 13

The torque developed by the motor is proportional to the armature current, as it was said in Equations 9:

Equations 14

Transforming every impedances of Figure 10 into their Laplace Transform equivalent , we find the voltage equation for the loop around the armature circuit:

Equations 15

Now, we substitute Equations 13 y 14 en 15:

Equations 16

We need Tm in terms of in order to find . That can be get using the equivalent model for mechanical loading on a motor as shown in Figure 11:

                        Figure 11. Typical equivalent mechanical loading for a DC Machine [4]

Where Jm and Dm are mechanical constant which can be derived from a typical configuration such as:

                        Figure 12. A DC Motor driving a rotational mechanical load [4]

Considering Figure 12, Jm and Dm are:

Equations 17

Now, from Figure 11 we can find the relationship between Tm and :

Equations 18

Substituting Equations 18 in 16 we get:

Equations 19

In the most cases La is too small compared with Ra, so Equations 19 can be simplified and rearrange as:

Equations 20

Now from Equations 20 we obtain the Transfer Function for a DC Motor as follow:

Equations 21

The electrical constants of the motor Kt y Kb can be found with the following relations:

Equations 22

Where Tstall, Ea y Wno-load, use to be derive from a Graphic Speed Vs Torque such as:

        Figure 13. Torque-speed curves with an armature voltage Ea as a parameter [4]

As an example, consider the case of Figure 14:

                   Figure 14. Torque-speed curves and system example [4]

Hence:

And using the gear ratio N1/N2=1/10:

Bibliography

[1] Analysis of Electric Machinery and Drive Systems

[2] Dynamic simulation of Electric Machinery using MATLAB

[3] Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo

[4] Control Systems Engineering, Norman Nise

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Máquinas Eléctricas, Power Distribution

Máquina Sincrónica – Fundamentos

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  1. MÁQUINAS SINCRÓNICAS.

Se denominan máquinas de corriente alterna o CA a los generadores que transforman energía mecánica en energía eléctrica de CA y a los motores que convierten energía eléctrica de CA en energía mecánica. Existen dos tipos de máquinas de CA: las máquinas sincrónicas y las máquinas de inducción, también conocidas como máquinas asincrónicas [1]. Las máquinas eléctricas rotativas convencionales presentan las siguientes características comunes [2]:

  • Poseen un eje mecánico por medio del cual se realiza el intercambio de energía;
  • Tienen una pieza estática o inmóvil denominada estator;
  • Tienen una pieza móvil llamada rotor, en el caso de las máquinas cilíndricas;
  • Por lo general, tienen forma cilíndrica.

La Figura 1 permite visualizar la configuración cilíndrica general de una máquina de CA, vista frontal:

Figura 1: Configuración cilíndrica de los conductores de una Máquina de CA [2].

En las máquinas sincrónicas, la corriente del campo magnético es suministrada por una fuente de potencia CA externa, mientras que en el caso de la máquina de inducción la corriente de campo magnético se suministra a sus devanados de campo por medio de inducción magnética [1]. La bobina del rotor de la máquina sincrónica se excita mediante la inyección de una corriente continua, mientras que por las bobinas del estator circula una corriente alterna. Son estas corrientes alternas las que producen un campo magnético rotatorio que gira en el entrehierro de la máquina con la misma frecuencia angular de las corrientes de armadura [2].

La Figura 2 muestra las partes de una máquina sincrónica real, con rotor de polos salientes, construida en una central de generación eléctrica:

Figura 2: Estator y Rotor de Polos Salientes de una Máquina Sincrónica [2].

La rapidez de una máquina sincrónica bajo condiciones de estado estacionario, es proporcional a la frecuencia de la corriente que circula en su inducido o armadura. El rotor gira a la misma velocidad que el campo magnético de rotación que produce la corriente del inducido, de allí el término de máquina sincrónica, obteniéndose como consecuencia un par estacionario [3]. Las máquinas sincrónicas son comúnmente utilizadas como generadores en grandes sistemas de potencia tales como turbinas o centrales hidroeléctricas. Por su parte, debido a que la velocidad del rotor es proporcional a la frecuencia de excitación, los motores sincrónicos son utilizados en aplicaciones donde un variador de velocidad constante sea requerido [4]. Los objetivos al modelar una máquina sincrónica pueden dividirse en dos grandes grupos: para lograr una mayor comprensión del complejo comportamiento electro-magnético de la máquina; para la simulación o análisis de sistemas de control.

Haciendo uso de los métodos de elementos finitos o FEMs (Finite Element Methods) es posible obtener una descripción electromagnética bastante precisa de la máquina sincrónica. Sin embargo, dichos métodos presentan los siguientes inconvenientes: el tiempo de cálculo durante la simulación y el gran número de parámetros de la máquina eléctrica. Es por ello que los métodos FEM son más útiles durante la etapa de diseño [4].

Las máquinas sincrónicas vienen en muchos tamaños y formas, desde motores sincrónicos miniaturas de imán permanente hasta las más grandes turbinas que trabajan con vapor para generar electricidad, con capacidad de hasta 1500 MVA. Sin embargo, las máquinas sincrónicas pueden ser de dos tipos [5]: de campo magnético estacionario; de campo magnético rotatorio.

El rotor de la máquina sincrónica puede ser cilíndrico, como se representa en la Figura 3a, o puede tener caras polares proyectadas hacia afuera de su superficie, como se diagrama en la Figura 3.b:

  1. b)

Figura 3: a) Máquina sincrónica de rotor cilíndrico o de polos no salientes; b) Máquina sincrónica con rotor de polos salientes [1].

1.1.1 APLICACIONES DE LAS MÁQUINAS SINCRÓNICAS.

La máquina sincrónica utilizada como generador de CA e impulsada por una turbina para transformar energía mecánica en energía eléctrica, es la principal fuente de generación de potencia eléctrica en el mundo [6].

Los generadores sincrónicos usualmente trabajan juntos o en paralelo, formando parte de sistemas de potencia de grandes dimensiones físicas, como el que se muestra en la Figura 4, los cuales proveen de energía a las industrias, las áreas comerciales y residenciales de las grandes ciudades [7]. Para este tipo de aplicaciones, los generadores sincrónicos son construidos de gran tamaño, con rangos de potencia que van desde decenas hasta cientos de megawatts. Para máquinas de alta velocidad los principales impulsores son turbinas que emplean recursos fósiles o energía nuclear. Las máquinas de baja velocidad por lo general utilizan la energía hidráulica o eólica, la cual mueve enormes turbinas. Los generadores sincrónicos más pequeños son utilizados generalmente para atender sectores privados y sus principales propulsores son los motores diésel o las turbinas de gas.

Figura 4: Aplicaciones de las máquinas sincrónicas. Generación Eléctrica [8]

Por su parte, los motores sincrónicos son fabricados para atender necesidades específicas, según cada aplicación [9]. De acuerdo con sus características constructivas, alto rendimiento operativo y su adaptabilidad a múltiples ambientes de trabajo, los motores sincrónicos son utilizados en prácticamente todos los sectores industriales, entre los que resaltan:

  • Minería: chancadoras, molinos, cintas transportadoras;
  • Siderurgia: laminadoras, ventiladores, bombas y compresores;
  • Papel y celulosa: extrusoras, picadoras, desfibradoras, refinadoras;
  • Saneamiento: bombas;
  • Química y petroquímica: compresores, ventiladores, extractores, bombas;
  • Cemento: chancadoras, molinos, cintas transportadoras;
  • Goma: extrusoras, molinos, mezcladoras;
  • Transmisión de energía: compresores sincrónicos.

Las principales ventajas en el uso de los motores sincrónicos se resumen a continuación [9]:

    • Corrección del factor de potencia: los motores sincrónicos permiten corregir el factor de potencia en la red eléctrica donde se instalan, ofreciendo de esta manera mejor rendimiento y reduciendo los costos de energía;
    • Velocidad constante: tanto en situaciones de sobrecarga como en aquellas donde ocurren oscilaciones de tensión, respetando los límites del conjugado máximo (pull-out);
    • Alta capacidad de torque: proyectado con alta capacidad de carga, cuyas variaciones no menoscaben su capacidad para mantener la velocidad constante;
    • Mayor estabilidad cuando se utiliza junto con convertidores de frecuencia: puede operar en un amplio rango de velocidad a pesar de las variaciones en la carga.
    • Alto rendimiento: mayor eficiencia en la conversión de energía eléctrica en mecánica. El motor sincrónico es proyectado para operar con alto rendimiento, con mayor provecho de energía para gran variedad de carga. PAGE_BREAK: PageBreak
      1. MÁQUINAS DE ROTOR CILÍNDRICO.

En la máquina de rotor cilíndrico de la Figura 3.a la reluctancia del entrehierro es mucho más alta que las reluctancias en el rotor y en el estator. En consecuencia, el vector de densidad de flujo EQUATION: Equation toma el camino más corto a través del entrehierro, por lo que salta perpendicularmente entre el rotor y el estator [1]. Esta densidad de flujo debe variar sinusoidalmente para permitir a la máquina producir un voltaje sinusoidal. A su vez, para que EQUATION: Equation presente una forma sinusoidal, también debe variar sinusoidalmente la intensidad de magnetización EQUATION: Equation a lo largo de la superficie del entrehierro, tal como se muestra en la Figura 5:

Figura 5: a) Rotor cilíndrico son densidad de flujo del entrehierro variando sinusoidalmente; b) Intensidad del campo magnético en función del ángulo EQUATION: Equation del entrehierro; c) Densidad del flujo magnético en función del ángulo EQUATION: Equation del entrehierro [1].

Los rotores cilíndricos se utilizan en máquinas de dos o cuatro polos y muy rara vez en máquinas de seis polos. Por lo general son impulsados por vapor o turbinas de combustión [5].

Durante la construcción de una máquina sincrónica de rotor cilíndrico, tanto los devanados del rotor como del estator son instalados en ranuras y distribuidos alrededor de la periferia de la máquina [5]. La Figura 6 ofrece una corte transversal de una máquina sincrónica de rotor cilíndrico, además de la corriente producida por un par de conductores en comparación con la corriente EQUATION: Equation producida por devanados distribuidos (Stator and Rotor Winding). Se muestra además la ecuación de la fuerza magnetomotriz resultante en función de la corriente producida y el ángulo EQUATION: Equation:

Figura 6: Sección transversal de una máquina sincrónica de rotor cilíndrico. Fuerza magnetomotriz generada por la corriente producida en los devanados distribuidos en el estator y el rotor [5]. PAGE_BREAK: PageBreak

  1. MÁQUINAS DE POLOS SALIENTES.

La onda de la fuerza magnetomotriz de una máquina con entrehierro uniforme, produce un flujo de magnetización que se comporta de manera independiente a la alineación espacial del dicha onda con respecto a los polos del campo. La máquina de polos salientes permite determinar la dirección de magnetización según se prefiera, gracias a que se hace sobresalir los polos del campo. La penetración a lo largo del eje polar es mayor que a lo largo del eje interpolar. A la primera se le llama eje directo del rotor, mientras a la segunda se le llama eje de cuadratura del rotor [3].

Una máquina sincrónica trifásica de un par de polos salientes, con sus devanados de campo y de armadura, se ilustra en la Figura 7, donde además se representan el eje directo y el eje de cuadratura:

Figura 7: Máquina sincrónica de polos salientes [10].

Por definición, el devanado de campo produce un flujo que se orienta a lo largo del eje directo del rotor. Por ello, en un diagrama fasorial la fuerza electromotriz del devanado de campo y su flujo magnético correspondiente EQUATION: Equation se encuentran a lo largo del eje directo del rotor, como se muestra en la Figura 8:

Figura 8: Flujo del entrehierro del eje directo en una máquina sincrónica de polos salientes [3].

En la Figura 8 se observa además el voltaje interno generado EQUATION: Equation, desfasado 90º del flujo EQUATION: Equation, así como la onda de flujo de reacción del inducido EQUATION: Equation. Debido a que el eje de cuadratura también se encuentra a 90º del eje directo, el fasor de voltaje generado EQUATION: Equation recae sobre el eje de cuadratura. Este hecho es clave en el análisis de las máquinas sincrónicas de polos salientes, ya que al ser localizado el voltaje generado EQUATION: Equation localizan de manera automática el eje directo y el eje de cuadratura [3]. Del lado derecho de la Figura 8, se observan las ondas de la densidad de flujo ubicadas en la superficie del inducido, produciendo la corriente de campo y el componente fundamental espacial de rotación síncrono de la fuerza magnetomotriz de reacción del inducido.

Por su parte, la Figura 9 muestra el flujo del entrehierro del eje de cuadratura. Ya que el entrehierro presenta mayor longitud entre los polos y la mayor reluctancia, el flujo de reacción del inducido fundamental espacial al estar a lo largo del eje de cuadratura es menor que el flujo de reacción al estar a lo largo del eje directo.

Figura 9: Flujo del entrehierro de los ejes de cuadratura en una máquina sincrónica de polos salientes [3].

Por tanto, la reactancia de magnetización del eje de cuadratura es menor que la que presenta el eje directo.

Valiéndose de las corrientes y voltajes definidos en las Figuras 8 y 9, es posible ahora realizar el diagrama fasorial para la máquina sincrónica de polos salientes, el cual se presenta en la Figura 10:

Figura 10: Diagrama fasorial de un generador de polos salientes [3].

En la Figura 10 se puede observar que la corriente EQUATION: Equation es la corriente del inducido, mientras que las corrientes EQUATION: Equation e EQUATION: Equation son las corrientes asociadas al eje directo y al eje de cuadratura respectivamente. El componente EQUATION: Equation del eje directo produce un componente del flujo de reacción del inducido fundamental espacial EQUATION: Equation a lo largo del eje directo, mientras que el componente EQUATION: Equation produce un componente del flujo de reacción del inducido fundamental espacial EQUATION: Equation a lo largo del eje de cuadratura [3].

  1. CIRCUITO EQUIVALENTE DE LA MÁQUINA SINCRÓNICA.

Debido a que en un circuito trifásico todas las corrientes y los voltajes son simétricos, los ingenieros trabajan con la representación de una sola línea. Las características básicas de funcionamiento de una máquina sincrónica pueden ser obtenidas mediante el circuito equivalente en estado estable mostrado en la Figura 11:

Figura 11: Circuito equivalente en estado estable de una máquina sincrónica [5].

En la Figura 11, EQUATION: Equation es la reactancia de fuga, mientras que EQUATION: Equation es la reactancia de reacción de armadura, EQUATION: Equation es la resistencia de armadura y EQUATION: Equation es la impedancia de toda la máquina sincrónica. EQUATION: Equation es el voltaje de magnetización.

La Figura 12 muestra el circuito equivalente completo de un generador sincrónico trifásico. En dicha figura, una fuente de potencia de cd suministra potencia al circuito de campo del rotor, el cual se modela por medio de la inductancia y la resistencia en serie de la bobina. Una resistencia ajustable EQUATION: Equation controla e flujo de corriente de campo [1].

Figura 12: Circuito equivalente completo de un generador sincrónico trifásico [1].

El lado derecho de la Figura 12 muestra los modelos de cada fase, cada una de las cuales tienen un voltaje interno generado con su respectiva inductancia en serie EQUATION: Equation y una resistencia es serie EQUATION: Equation. Las corrientes y voltajes de cada rama están desfasadas 90º.

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  1. DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LA MÁQUINA SINCRÓNICA.

Para realizar el estudio de la máquina sincrónica y conocer su comportamiento bajo diversas condiciones de operación, es necesario contar con el modelo matemático de la misma el cual se desarrolla en función de sus parámetros tales como las reactancias del eje directo y del eje de cuadratura en el caso de la máquina de polos salientes, la constante de inercia, el factor de amortiguamiento [11].

Cuando estos parámetros son desconocidos se debe recurrir a metodologías reconocidas por estar avaladas por institutos que poseen gran reconocimiento en la comunidad científica, tal como las normas estándar 115 IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) para la determinación de los parámetros de las máquinas sincrónicas.

Estos métodos, como la prueba al vacío, la prueba de factor de potencia cero, el ensayo de respuesta en frecuencia, se realizan bajo condiciones de operación estática, por lo que sus resultados son relativos ya que pueden cambiar cuando suceden cambios en el punto de operación de la máquina cuando está en servicio. Otra desventaja de la mayoría de estos métodos es que para su aplicación, evidentemente se debe interrumpir el servicio que presta la máquina.

La Guía de la IEEE consta de instrucciones para dirigir las pruebas más generales y prácticas para determinar las características de desempeño de las máquinas sincrónicas [12].

1.5.1 ENSAYO DE SATURACIÓN EN VACÍO.

La Figura 13 muestra un generador sincrónico de dos polos operando sin carga, impulsado por velocidad constante [13]. Los conductores del estator trifásico se conectan a los terminales A, B, C y N, mientras que una corriente de excitación variable EQUATION: Equation produce el flujo en el entrehierro:

Figura 13: Generador sincrónico de dos polos operando sin carga [13].

Se incrementa gradualmente la corriente de excitación mientras se observa el voltaje de CA entre una de las terminales, por ejemplo la terminal A, y el neutro. Se puede observar que para bajos valores de la corriente de excitación EQUATION: Equation dicho voltaje se incrementa en proporción directa con la corriente.

Sin embargo, para valores mayores de EQUATION: Equation, el voltaje se eleva con menor pendiente porque el entrehierro comienza a saturarse. De esta manera se obtiene la curva de saturación sin carga del generador sincrónico, que se ilustra en la Figura 14:

Figura 14: Curva de saturación sin carga para generador trifásico de 36 MVA, 21 KV [13].PAGE_BREAK: PageBreakLa prueba de saturación en vacío presenta algunas ventajas entre las cuales se encuentran [12]:

  • Facilidad de implementación;
  • No ocasiona daños al sistema debido a una energización inicial segura para el generador.

1.5.2 ENSAYO DE CORTOCIRCUITO.

Para esta prueba se iguala a cero la corriente de campo y se hace cortocircuito en las terminales del generador por medio de un conjunto de amperímetros [1]. La Figura 15 muestra el circuito equivalente de un generador sincrónico durante la prueba del cortocircuito:

Figura 15: Circuito equivalente de un generador sincrónico durante la prueba del cortocircuito [1].

Se procede a medir la corriente en el inducido EQUATION: Equation o la corriente de línea EQUATION: Equation mientras se incrementa la corriente de campo. La Figura 16 muestra la forma de la curva (una recta) obtenida para esta prueba.

Figura 16: Característica de cortocircuito de un generador sincrónico [1].

Con los ensayos de saturación en vacío y la prueba de cortocircuito es posible obtener la reactancia sincrónica saturada de eje directo EQUATION: Equation y la reactancia sincrónica no saturada de eje directo EQUATION: Equation mediante las siguientes ecuaciones [11].

Para la reactancia sincrónica saturada de eje directo EQUATION: Equation se toma el voltaje nominal EQUATION: Equation de armadura de la curva característica de vacío para una corriente de campo EQUATION: Equation y la corriente de armadura EQUATION: Equation de la curva característica de cortocircuito para la misma corriente de campo EQUATION: Equation, según se procede en la Figura 17:

Figura 17: Curva característica de vacío y cortocircuito [11].

La reactancia sincrónica saturada de eje directo EQUATION: Equation se determina mediante la siguiente ecuación:

EQUATION: Equation (1)

EQUATION: EquationVoltaje nominal de armadura de la curva característica de vacío

EQUATION: EquationCorriente de armadura de la curva característica de cortocircuito

Por su parte, para la reactancia sincrónica no saturada de eje directo EQUATION: Equation se parte de la característica de saturación en el vacío y de la característica en cortocircuito, tomando el valor de la corriente de campo EQUATION: Equation correspondiente a la corriente nominal de armadura EQUATION: Equation de la curva de cortocircuito y la corriente de campo EQUATION: Equation correspondiente al voltaje nominal EQUATION: Equation de la curva de vacío.

De esta manera EQUATION: Equation se obtiene mediante la siguiente fórmula:

EQUATION: Equation (2)

EQUATION: EquationCorriente de campo correspondiente al voltaje nominal EQUATION: Equation de la curva de vacío

EQUATION: EquationCorriente de campo correspondiente a la corriente nominal de armadura EQUATION: Equation de la curva de cortocircuito.

1.5.3 PRUEBA DE FACTOR DE POTENCIA CERO.

Operando la máquina como generador, se alimenta una carga inductiva variable a corriente de armadura nominal EQUATION: Equation a una velocidad sincrónica de giro EQUATION: Equation [11]. La Figura 18 ilustra la conexión apropiada para la realización de esta prueba:

Figura 18: Conexión para el ensayo de factor de potencia cero [11].

Se cortocircuitan los terminales de estator, para luego reemplazar el cortocircuito de los terminales de estator por una carga inductiva variable para conservar una diferencia de 90º de fase entre la corriente EQUATION: Equation y el voltaje EQUATION: Equation. Finalmente se realiza la medición de EQUATION: Equation variando el reóstato y manteniendo el valor de EQUATION: Equation.

Se obtiene entonces la curva característica de la prueba de factor de potencia cero para un generador sincrónico, tal como se muestra en la Figura 19:

Figura 19: Curva de factor de potencia cero para un generador sincrónico [11].

Se utiliza la curva de vacío, la curva de cortocircuito y la curva de factor de potencia cero para determinar la reactancia de Potier, procedimiento que hace uso de la interposición mostrada en la Figura 20:

Figura 20: Curvas de vacío, cortocircuito y factor de potencia [11].

El triángulo de Potier se corresponde con los puntos b-c-d de la Figura 20. Luego, mediante el cálculo de la distancia vertical entre los puntos b y c, tomando en cuenta la corriente de armadura nominal EQUATION: Equation, se obtiene la reactancia de Potier EQUATION: Equationde acuerdo con la siguiente ecuación:

EQUATION: Equation (3)

EQUATION: Equation Distancia vertical entre los puntos b y c;

EQUATION: Equation Corriente de armadura nominal

1.5.4 ENSAYO BAJO CARGA.

El comportamiento de un generador sincrónico depende en gran parte del tipo de carga que se incorpora al circuito de alimentación [13]. A pesar de su gran variedad, todas las cargas se pueden agrupar en dos tipos de categorías:

  • Cargas aisladas alimentadas por un solo generador;
  • El bus infinito o barra conductora infinita.

Si se considera el primer caso, cargas aisladas, esta prueba representa una alternativa para determinar la reactancia del eje en cuadratura EQUATION: Equation de la máquina sincrónica.

Las variables necesarias de medir son las siguientes: corriente de armadura EQUATION: Equation, voltaje de armadura EQUATION: Equation, ángulo de factor de potencia EQUATION: Equation y ángulo de par EQUATION: Equation.

Luego, para hallar la reactancia del eje en cuadratura EQUATION: Equation se aplica la siguiente fórmula:

EQUATION: Equation (4)

1.5.5 ENSAYO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA.

Los datos que se obtienen del ensayo de respuesta en frecuencia describen la respuesta de flujo de la máquina sincrónica a la corriente de estator y cambios en los voltajes de campo tanto en el eje directo como en el eje de cuadratura [14]. Actualmente las máquinas sincrónicas son modeladas haciendo uso de circuitos equivalentes que se basan es estos dos ejes.

Entre las ventajas de este método están las siguientes:

  • Se puede aplicar in situ, mientras la máquina está operando en la fábrica;
  • La máquina estudiada corre poco riesgo;
  • Ofrece datos sobre la actividad tanto del eje directo como del eje de cuadratura.

El análisis de la respuesta en frecuencia de la máquina sincrónica ofrece datos sobre la impedancia operacional del eje directo EQUATION: Equation y del eje de cuadratura EQUATION: Equation, así como la función de transferencia de la máquina, mediante la descripción de las relaciones entre los voltajes y corrientes en función de la frecuencia. También se determinan las constantes de tiempo transitoria y sub transitoria de la máquina.

El procedimiento, tal como es descrito en la Guía 115 IEEE, se muestra en la Figura 21, donde el rotor es colocado para posicionar el rotor con el eje directo. Lo mismo se realiza luego con el eje de cuadratura.

Figura 21: Configuración para el ensayo de respuesta en frecuencia para el eje directo de la máquina sincrónica, de acuerdo al IEEE standard 115 A [14].

Se miden el voltaje y la corriente de armadura (EQUATION: Equation), el voltaje y la corriente de campo (EQUATION: Equation), de eje directo (EQUATION: Equation) y de eje de cuadratura (EQUATION: Equation). La magnitud de las impedancias operacionales EQUATION: Equation y EQUATION: Equation se miden para un rango determinado de frecuencias, aplicando las siguientes fórmulas:

EQUATION: Equation EQUATION: Equation (5)

EQUATION: Equation (6)

Mientras que la ganancia de voltaje EQUATION: Equation se evalúa mediante:

EQUATION: Equation EQUATION: Equation (7)

La Figura 22 muestra el resultado de analizar EQUATION: Equation mediante simulación computarizada, para un rango de frecuencia de operación de la máquina que va desde mili Hertz a kilo Hertz:

Figura 22: Determinación de magnitud y fase de la impedancia operacional del eje directo EQUATION: Equation mediante ensayo de respuesta en frecuencia [14]

  1. SIMULACIÓN DE UNA MÁQUINA SINCRÓNICA CON MATLAB.

Es bien conocido que un modelo matemático para las máquinas sincrónicas puede estar compuesto por ecuaciones diferenciales de primer, segundo, tercer y hasta séptimo orden. Evidentemente, las representaciones con ecuaciones de séptimo orden son las más complejas, pero describen el comportamiento de las máquinas sincrónicas de una manera más exacta [15]. Para facilitar el análisis de las máquinas sincrónicas mediante simulación computarizada, Matlab ofrece una librería en su sección SimPowerSistems, que ofrece distintos modelos de máquinas no sólo sincrónicas sino asincrónicas, motores DC y transformadores. La librería de SimPowerSistems permite modelar máquinas sincrónicas de polos salientes o de rotor cilíndrico, cuyo bloque general está ilustrado en la Figura 23:

Figura 23: Bloque fundamental de una máquina sincrónica en Matlab/Simulink [16].

El bloque de la Figura 22 puede operar como generador o como motor. El modelo está basado en una representación matemática de ecuaciones de estado de sexto orden, que incluye un sistema mecánico y un sistema eléctrico. Mediante el diagrama de bloques de la Figura 24 se ilustra la parte mecánica:

Figura 24: Diagrama de bloques del sistema mecánico de una máquina sincrónica en Matlab/Simulink [16].

EQUATION: Equation Variación de velocidad angular respecto a la velocidad de operación;

EQUATION: Equation Constante de inercia;

EQUATION: Equation Torque mecánico;

EQUATION: Equation Torque electromecánico;

EQUATION: Equation Factor de amortiguamiento;

EQUATION: Equation Velocidad mecánica el rotor en función del tiempo

EQUATION: Equation Velocidad de operación.

Mientras, el sistema eléctrico implícito en modelo de la Figura 23 es señalado en la Figura 25, e inmediatamente se especifican los parámetros solicitados por el modelo:

Figura 25: Diagrama del sistema eléctrico de máquina sincrónica en Matlab/Simulink [16].

Los parámetros de estator solicitados por el modelo son:

EQUATION: Equation Resistencia de estator por fase;

EQUATION: Equation Inductancia de estator;

EQUATION: Equation Inductancia de magnetización del eje directo vista desde el estator;

EQUATION: Equation Inductancia de magnetización del eje de cuadratura vista desde el estator.

Los parámetros de campo solicitados por el modelo son:

EQUATION: Equation Resistencia de campo;

EQUATION: Equation Inductancia de campo.

Otros parámetros solicitados son:

EQUATION: Equation Potencia nominal;

EQUATION: Equation Voltaje nominal;

EQUATION: Equation Frecuencia nominal;

EQUATION: Equation Corriente de campo nominal.

Los parámetros pueden ser configurados en la caja de diálogo (Dialog Box) cuyo ejemplo se ofrece en la Figura 26 con unidades del Sistema Internacional (SI), provisto por el sistema cuando se está diseñando en Simulink:

Figura 26: Ventana de diálogo para configurar los parámetros de la máquina sincrónica en Matlab/Simulink [16]

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  1. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS.

Para ilustrar el método de estimación de parámetros en Matlab/Simulink para una máquina sincrónica, se presenta el ejemplo de la Figura 27:

Figura 27: Ejemplo de máquina sincrónica. Modelo de acelerador de motor [16].

En la Figura 27 se puede observar un acelerador que cumple con la función de controlar el flujo de masa de aire en el colector de admisión de un motor. El cuerpo del acelerador está provisto de una válvula mariposa que se abre cuando la persona que conduce el auto, pisa el pedal del acelerador. Esto permite la entrada de más aire a los cilindros del motor, y por tanto, el motor mismo produce más par. Un motor de corriente controla el ángulo de apertura de la válvula mariposa. También se instala un resorte unido a la válvula para devolverla a su posición inicial cuando se desactiva el motor que controla el ángulo de apertura de la válvula. La rotación de la válvula está limitada a aproximadamente 90 grados. Por lo tanto, si una entrada de mando grande se aplica al motor, la válvula golpea unos topes duros que impiden que gire más.

El motor se modela como una ganancia de par y una entrada de retardo de tiempo con los parámetros de EQUATION: Equation (ganancia de torque) y EQUATION: Equation (entrada de retardo de tiempo de respuesta del motor). La válvula de mariposa es modelada como un sistema masa-resorte-amortiguador con los parámetros EQUATION: Equation (constante de inercia de la válvula mariposa), EQUATION: Equation (coeficiente de amortiguamiento) y EQUATION: Equation (constante del resorte). Los valores de los parámetros del sistema no se conocen con precisión.

Para realizar una estimación de los parámetros de la simulación a partir de datos medidos y cargados previamente, se hace doble clic en el cuadro anaranjado de la Figura 27 titulado “Parameter Esimation GUI with Preloaded Data”. Esta aplicación ejecuta tres experimentos:

  • “EstimationData”, para la estimación de los parámetros;
  • “ValidationData1 y ValidationData2”, para validar los datos estimados.

El programa ofrece la ventana de diálogo que se ilustra en la Figura 28:

Figura 28: Ventana de diálogo para la aplicación Estimación de Parámetros [16].

La simulación representada en la Figura 28 muestra que el modelo (línea roja) no coincide con los datos medidos (línea azul) y que debe realizarse una estimación de los parámetros. Para ello, en el menú de la aplicación se hace clic sobre el ícono “Select Parameters”, el cual conduce a la ventana de diálogo de la Figura 29. En esta ventana se seleccionan los parámetros a ser estimados, los cuáles son EQUATION: Equation,EQUATION: Equation, EQUATION: Equation y EQUATION: Equation según el ejemplo:

Figura 29: Ventana de diálogo para selección de parámetros a ser estimados [16]. .

Con los parámetros seleccionados en el proceso anterior, se procede a seleccionar el tipo de experimento, en este caso, la estimación de los parámetros seleccionados, tal como se muestra en la Figura 30:

Figura 30: Ventana de diálogo para seleccionar el experimento [16].

Mientras que la estimación progresa, se abre una nueva ventana de diálogo. El proceso finaliza con una estimación que se aproxima bastante a los datos medidos, tal como se muestra en la Figura 31:

Figura 31: Ventana de diálogo para Estimación de Parámetros. El modelo coincide con los datos medidos [16].

Al observar que ahora el modelo coincide con los datos medidos, se verifica que los valores de los parámetros son los adecuados para la simulación. Estos valores obtenidos para el ejemplo en estudio son presentados en la Figura 32:

Figura 32: Ventana de diálogo para Estimación de Parámetros. El modelo coincide con los datos medidos [16].

  1. MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN DE ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

Existen varios métodos que pueden ser utilizados para acelerar y optimizar el proceso de estimación de los parámetros. Entre ellos se encuentra el método de Mínimos Cuadrados No Lineales, que se usa particularmente cuando el modelo contiene muchos parámetros por estimar. Para seleccionar este método, se utiliza nuevamente el ejemplo de la Figura 27. Dando clic al cuadro anaranjado, se accede a la ventana de herramientas de estimación “Control and Estimation Tools Manager”, y de allí a la ventana “Estimation Options”, tal como se muestra en la Figura 33:

Figura 33: Ventana de “Estimation Options” en Matlab/Simulink [16].

Haciendo clic en “Optimization Options”, se accede a la ventana de la Figura 34:

Figura 34: Ventana de “Optimization Options” en Matlab/Simulink [16]

Se puede observar el ícono donde se puede seleccionar el método de Mínimos Cuadrados No Lineales.

Existen al menos cinco algoritmos de mínimos cuadrados, que se enlistan a continuación:

  • Trust-region-reflective;
  • Levenberg-Marquardt;
  • Lsqlin active-set;
  • Lsqlin interior-point;
  • Lsqnonneg.

El método de minimización (Constrained Minimization) consiste en resolver el problema de encontrar un vector EQUATION: Equation que es un mínimo local para una función escalar EQUATION: Equation, sujeto a la siguiente restricción:

EQUATION: Equation (8)

Tal que una o algunas de las siguientes relaciones se mantengan:

EQUATION: Equation (9)

EQUATION: Equation

EQUATION: Equation

EQUATION: Equation

EQUATION: Equation

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Bibliografía

[1] S. Chapman, Máquinas Eléctricas – 5ta. Edición, México: McGraw Hill, 2012.
[2] J. Aller, «Máquinas Eléctricas Rotativas: Inducción a la Teoría General.,» Equinoccio. Universidad Simón Bolívar, Caracas, 2008.
[3] A. Fitzgerald y C. Kingsley, Máquinas Eléctricas – 6ta. Edición, México: MaGraw Hill, 2004.
[4] A. Barakat, S. Tnani, G. Champenois y E. Mouni, «Analysis of Synchornous Machine modeling for simultation and industrial applications.,» Universidad de Poitiers, Poitiers, 2010.
[5] G. Klempner y I. Kerszenbaum, Principles of Operation of Synchronous Machines, in Handbook of Large Turbo-Generator Operation and Maintenance, Hoboken: John Wiley & Sons, 2008.
[6] J. Grainger y W. Stevenson, Análisis de Sistemas de Potencia, México: MaGraw Hill, 1996.
[7] T.-F. Chan, «Synchronous Machine,» Electrical Engineering, vol. 3, 2007.
[8] ABB, «Synchrounous Motors. High Performance in all applications.,» ABB – Motors&Generators, 2011.
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[10] Wikispaces, «Wikispace,» 2012. [En línea]. Available: https://referencias111.wikispaces.com/file/view/Capitulo3.pdf.
[11] A. Perez y Y. Romero, «Medición indirecta de algunos parámetros de la máquina sincrónica a partir de la medida del ángulo del par.,» Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, 2007.
[12] IEEE, «IEEE Guide: Test Procedures for Synchronous Machines. (IEEE Std 115),» New York, 2009.
[13] T. Wildi, Máquinas Eléctricas y Sistemas de Potencia – 6ta. Edición, México: Pearson Educación, 2007.
[14] M. Hasni, O. Touhami, R. Ibtiouen, M. Fadel y S. Caux, «Synchronous Machine Parameter Estimation by StandStill Frequency Response Tests.,» Journal of ELECTRICAL ENGINEERING, vol. 59, nº 2, p. pp. 75–80, 2008.
[15] Z. Spoljaric, K. Miklosevic y V. Jerkovic, «Synchronous Generator Modeling Using Matlab.,» University de Osijek, Osijek, 2012.
[16] MATLAB, «MATLAB,» 2016. [En línea]. Available: https://www.mathworks.com.

Escrito por: Larry Francis Obando – TSU

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Ecuador (Quito, Guayaquil, Cuenca)

WhatsApp: 00593984950376

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Power Distribution

Busbar System.

White Paper – Eng. Larry Obando, Draft,  29/11/2016.

PDF: busbarsystem-whitepaper

  1. Busbar General Profile.

The development of High-Performance Buildings (HPBs), from data and manufacturing centres to high-rises and hospital, requires flexibles, efficient and intelligence electrical power distribution. The Busbar System, based on the arrangement of rectangular bars known as “paired-phase”, has proved to be the best alternative to feeding the electricity structure of commercial, residential and industrial buildings with three-phase AC up to 600 volts maximum.

About three-phase current distribution, rectangular busbars are preferable to cylindrical conductors, because of the greater proximity of the conductor’s centres, which minimises the loss of power transmission. Figure 1 shows the most elemental arrangement of busbars for AC current in a balanced three-phase system:

arreglo-de-pletinas
Figure 1. Basic Bus Arrangement

 

This basic arrangement has drawbacks, however. First place, it generates an unbalanced condition of voltage drop as a result of the less power-loss in Bar B, a consequence of the proximity effect. Being that there is no cancellation of the magnetic field, the losses by cause of the skin effect constitute the second unwanted issue. The current density is higher in a specific region of the conductor. That means possible damages because of the increase of temperature on that site.

To minimise the magnetic field and the proximity effect, two bars are used by each phase in the paired-phase arrangement. In Figure 2, phase C pairs with the phase A. Phase A pairs with the phase B, and phase B pairs with the phase C.

 

sistema-de-fases-pareadas
Figure 2. Two bars by each phase in the three-phase paired-phase arrangement.

 

Busbars are grouped in pairs so that the current in each pair is almost equal in magnitude but opposite in direction. Thanks to that, the reactance is lowered to a minimum. Figures 3 and 4 illustrate how this grouping is accomplished in a balanced three-phase system, expressing every phasor as the sum of two vectors, or dividing physically every current into two sub-currents of similar magnitude, then pairing this sub-currents with those from another phase, according to Figure 2.

 

sistema-trifasico-corrientes
Figure 3. Every current phasor formulated as the sum of two vectors.

 

 

esquema-de-fases-pareadas
Figure 4. Every current is divided into two sub-currents. Then, the paired-phase system arrangement is accomplished. 

 

Obtaining the minimum possible impedance  is a core benefit from implementing the paired-phase system. In consequence, it is feasible to achieve maximum efficiency in power transmission. Other great advantages are the low balanced voltage drop, even in the case of an unbalanced load; the temperature in every section of the bar and in every bar is the same.

Next sections will deepen the mathematical analysis of the paired-phase system:

2. Extra Losses caused by skin and proximity effects.

3. Impedance of three-phase rectangular Busbar System.

4. Power transmission benefits of the paired-phase arrangement in a three-phase Busbar System.

 

 

 

 

 

 

 

Power Distribution

Sistema de Electrobarras – White Paper

White Paper borrador al 29/11/2016

Versión en PDF: sistema-de-electrobarras-white-paper

ELECTROBARRAS

Ing. Larry Obando

1. Características Generales

 

El desarrollo de edificaciones  de alto desempeño (HPBs – High Performance Buildings) requiere de un suministro de energía eléctrica eficiente, flexible e inteligente. El arreglo de conductores rectangulares o pletinas conocido como “Fases Pareadas”, en el sistema denominado Electrobarra, ha reportado excelentes resultados en la distribución de corriente alterna trifásica hasta un máximo de 600 voltios.

Las barras rectangulares son preferibles a los conductores cilíndricos debido a que se acercan más los centros de cada conductor; se minimiza la reactancia debido al efecto de proximidad, lo que minimiza las pérdidas de potencia. El arreglo más elemental de estas pletinas, para que conduzcan corrientes desfasadas 120 grados, se observa en la Figura 1:

arreglo-de-pletinas
Figura 1

 

Sin embargo dicho arreglo produce ciertos inconvenientes. En primer lugar se establece una condición de desbalance en la caída de tensión debido a que la pletina B es la más afectada y beneficiada por el efecto de proximidad (tiene menos pérdidas de potencia). El segundo efecto indeseado es que no hay cancelación del campo magnético, lo que produce el efecto pelicular: se concentra o se restringe la corriente en una zona del conductor, no hay uniformidad en el uso del material conductor, lo que puede generar un aumento perjudicial de la temperatura en la región donde se presenta dicha concentración de corriente.

Para minimizar el campo magnético (minimizar el efecto pelicular) y distribuir uniformemente el efecto de proximidad, en el arreglo de fases pareadas se utilizan dos barras por cada fase.  En la Figura 2 se puede observar esta configuración.  La fase C se empareja con la fase A. La fase A se empareja con la fase B, y la fase B se empareja  con la fase C:

sistema-de-fases-pareadas
Figura 2

 

Las electrobarras se agrupan en pares, de modo que la corriente en cada par es casi igual en magnitud, pero opuesta en dirección, circunstancia que disminuye al mínimo la reactancia y, en consecuencia, las pérdidas de potencia. Las Figuras 3 y 4 ofrecen una idea de cómo se logra esto cuando se trata de un sistema trifásico balanceado, expresando matemáticamente cada fasor como la suma de dos vectores, o dividiendo físicamente cada corriente en la suma de dos corrientes de igual magnitud, para parear dichas subcorrientes con aquellas de otras fases, de acuerdo a lo comentado en la Figura 2:

 

sistema-trifasico-corrientes
Figura 3
esquema-de-fases-pareadas
Figura 4

 

 

Una de los resultados fundamentales de implementar el sistema de fases apareadas es que se obtiene la mínima impedancia posible, lo que permite la máxima eficiencia en la transferencia de potencia desde el generador o surtidor de energía, a la carga. Otras grandes ventajas de esta configuración son: Caída de tensión baja y balanceada, aún en condición de carga desbalanceada; máximo aprovechamiento del material conductor, debido a que la corriente en cada barra es uniforme y la temperatura en cada barra es igual. En las próximas secciones se detalla con mayor precisión cada uno de los efectos beneficiosos del sistema de fases pareadas de las electrobarras. 

2. Pérdidas ocasionadas por el efecto pelicular y el efecto de proximidad en un sistema de electrobarras

3. Cálculo de Impedancias en un sistema trifásico de electrobarras.

4. Cálculo de eficiencia de potencia transmitida en un sistema de electrobarras de fases pareadas.