La linéarité est l’une des propriétés les plus importantes des systèmes. Ce cours en ligne se compose de trois vidéos à partir desquelles vous apprendrez à analyser la propriété de linéarité et à vérifier qu’un système est linéaire ou non. Il vous propose une théorie et des méthodes équivalentes aux cours Signaux et Systèmes en Ingénierie. La propriété de linéarité est vérifiée pas à pas dans ces 5 systèmes à temps continu et/ou discret présentés ci-dessous:
Linearität ist eine der wichtigsten Eigenschaften von Systemen. Dieser Online-Kurs besteht aus drei Videos, in denen Sie lernen, die Linearitätseigenschaft zu analysieren und zu überprüfen, ob ein System linear ist oder nicht. Es bietet Ihnen Theorie und Methoden, die den Signals and Systems-Klassen in den Ingenieurwissenschaften entsprechen. Die Eigenschaft der Linearität wird Schritt für Schritt in diesen 5 unten gezeigten kontinuierlichen und/oder diskreten Zeitsystemen verifiziert:
Linearity is one of the most important properties of systems.
Linearity is one of the most important properties of systems. This Online course consists of three videos from which you will learn to analyze the linearity property and check that a system is Linear, or otherwise, that it is not. It offers you theory and methods that are equivalent to the Signals and Systems classes in Engineering. The property of linearity is verified step by step in these 5 continuous and/or discrete time systems shown below:
La Linealidad es una de las propiedades más importantes de los sistemas.
La Linealidad es una de las propiedades más importantes de los sistemas. Este curso Online consta de tres videos de los que aprenderás a analizar la propiedad de linealidad y demostrar que un sistema es Lineal, o en caso contrario, que no lo es. Te ofrece teoría y métodos que son equivalentes al de las clases de Señales y Sistemas en Ingeniería. Se analizan los 5 sistemas de tiempo continuo y/o discreto que se muestran a continuación:
Nuestro objetivo en este artículo es determinar la relación entrada-salida de un Convertidor C/D ideal, en el dominio de la frecuencia. Comenzamos por la conversión de la señal x(t) en xp(t), proceso que se ilustra a continuación:
En el artículo anterior (Muestreo Ideal – Introducción) determinamos que la relación entre x(t)y la señal muestreada xp(t) se resume de la manera siguiente:
Para analizar este sistema en el dominio de la frecuencia, vamos a obtener la transformada de Fourier (TF) de la señal xp(t). Según la Tabla de propiedades de la TF, se cumple que si:
Entonces:
Luego, de la Tabla de pares comunes de la TF obtenemos que:
Por lo tanto:
Consideramos ahora la siguiente propiedad:
En definitiva, se puede concluir que:
La ecuación (1) provee la relación entre las Transformadas de Fourier de las señales de entrada x(t) y la salida xp(t) de la Figura 4.2:
La ecuación (1) además nos demuestra que “El espectro Xp(Ω) de la señal muestreada xp(t)es una superposición de réplicas desplazadas en frecuencia del espectro original X(Ω) de la señal x(t), escaladas por 1/T”. Fenómeno que podemos observar en la Figura 4.3 del texto de Oppenheim:
Las copias de X(Ω) se desplazan una distancia que es múltiplo entero de Ω(s), la frecuencia de muestreo. Luego, se repiten (o se superponen) para generar la Transformada de Fourier del tren de muestras (the periodic FT of the impulse train of samples). Para que suceda este efecto, el espectro de la señal x(t) debe cumplir con la siguiente condición: ser de banda limitada, en este caso, entre –Ω(N) y Ω(N). Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:
Podemos ver en la Figura 4.3(a) que la componente de más alta frecuencia de X(Ω), de valor diferente de cero, está ubicada en Ω(N). Se presenta ahora el problema de averiguar el valor de Ω(s)o frecuencia de muestreo, para poder recuperar la señal exacta x(t)a partir de xp(t). La Figura 4.3(c) muestra el caso en que es posible recuperar x(t) a partir de xp(t), mientras que la Figura 4.3(d) muestra el caso contrario (las muestras se solapan).
En la Figura 4.3(c), para que las muestras no se solapen, se cumple que el punto Ω(s) – Ω(N)> Ω(N):
Volvemos a la ecuación (1):
Entonces, podemos asegurar que, cuando Ω(s)>2Ω(N), las réplicas de X(Ω) se suman y se mantienen fieles a la original (no se solapan, lo que si sucede en 4.3(d)), escaladas en un factor 1/T. De esta manera, la señal x(t) puede ser recuperada utilizando un filtro que deje pasar sólo la componente de Xp(Ω) que más convenga, como por ejemplo un filtro pasabajo de función de transferencia Hr(Ω) (ideal lowpass Filter) cuyo diagrama se muestra en la Figura 4.4(a):
Para las transformadas X(Ω) y Xp(Ω) de la Figura 4.4(b) y 4.4(c), se muestra el proceso de recuperación de la señal x(t) mediante la aplicación del filtro pasa-bajos Hr(Ω) de 4.4(c), lo que genera Xr(Ω).
Aplicando las propiedades de Fourier:
Si el filtro pasa-bajos es ideal, con ganancia Ty frecuencia de corte Ω(c), tal que:
Es decir:
Entonces:
Toda esta teoría se recoge en la Teoría de Nyquist: “Sea x(t) una señal de banda limitada, es decir:
Entonces, x(t) está determinada (uniquely determined) por sus muestras x[n]= x(nT):
Si se cumple que:
El teorema de Nyquist también es conocido como Teoría de Muestreo, Teorema de Shannon, Teorema de Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon”
La frecuencia de muestreo Ω(s) es generalmente conocida como La Frecuencia de Nyquist. Y la frecuencia 2Ω(N) que debe ser superada por la frecuencia del muestreo, es conocida como La Tasa de Nyquist.
En términos de la frecuencia (muestras por segundo), la ecuación anterior indica que si muestreamos la señal x(t) a intervalos regulares mayores a T=1/(2 f(N)), la densidad espectral de xp(t) será una réplica periódica de X(Ω), y por lo tanto, contiene toda la información de x(t).
Si la condición de Nyquist no se cumple, es decir:
Las copias de X(Ω) solapan. Por lo tanto, X(Ω) no puede ser recuperada utilizando un filtro pasa-bajos. En este caso, el resultado se conoce como Aliasing, y es un concepto bien importante. Por otra parte, siempre existirá Aliasing cuando el espectro de la señal x(t) no sea de banda limitada, por muy rápido que se realice el muestreo. En otras palabras, habrá información de alta frecuencia de la señal original que se perderá y no será posible reconstruir dicha señal a partir de la función muestreada. Muestrear por debajo del umbral de Nyquist no sólo implica pérdida de información del contenido de alta frecuencia, sino que también puede suceder que las señales de alta frecuencia pueden ser observadas con una frecuencia inferior a la que realmente tienen. En eso consiste en la práctica el solapamiento de los sumandos en frecuencia.
En sistemas mecánicos es muy corriente suponer que la respuesta del sistema ante una fuerza en su entrada, es una señal de banda limitada. En cualquier caso, llega un momento en que la respuesta de alta frecuencia posee una amplitud tan pequeña que está por debajo de la resolución del sensor de medida, y a partir de ese momento podemos suponer que la respuesta es anulada, o tiene valor cero.
La Figura 4.5(a) muestra la Transformada de Fourier (el espectro) de la señal coseno en su forma más simple:
La Figura 4.5(b) muestra el caso en que el espectro de xp(t) cumple con la condición de Nyquist, es decir:
Mientras que la Figura 4.5(c) muestra el caso en que no se cumple. Al pasar Xp(Ω) por el filtro pasabajos, obtenemos las Figuras 4.5(d) y 4.5(e) que son los casos en que respectivamente se presenta “No Aliasing” y “Aliasing” .
En el caso de las Figuras 4.5(b) y 4.5(d), al reconstruir Xr(Ω) y volver al dominio del tiempo, obtenemos la siguiente x(t):
Mientras que en el caso de las Figuras 4.5(c) y 4.5(e), obtenemos la siguiente x(t):
Es decir, el coseno de alta frecuencia ha tomado la identidad (Alias) de un coseno de baja frecuencia como consecuencia del proceso de muestreo y reconstrucción sin cumplir la condición de Nyquist.
Las señales reales son limitadas en el tiempo. Una señal limitada en el tiempo no puede ser de banda limitada. Por lo tanto, si se muestrea una señal limitada en el tiempo con un intervalo de muestreo T, no importa que tan pequeño sea T, las réplicas X(Ω) se traslaparán. En la práctica, el Aliasing no puede eliminarse totalmente, ya que un filtro pasa baja que corta todas las componentes de frecuencia por encima de cierta frecuencia no puede sintetizarse (es decir, construirse). Sin embargo, la magnitud de los componentes con este efecto puede reducirse si la señal x(t) se filtra con un pasa baja antes de ser muestreada. Este método es factible siempre y cuando el filtrado pasa baja de la señal x(t) no elimine el “contenido de información” de dicha señal.
FUENTE: Discrete Time Signal Processing Oppenheim, Chapter 4.
Elaborado por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer
Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, USB Valle de Sartenejas.
Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, UCV CCs
Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.
Contacto: España: Tlf. 633129287
Caracas, Valladolid, Quito, Guayaquil, Jaén, Villafranca de Ordizia.
Desde el punto de vista matemático el muestreo de una función consiste simplemente en un producto de funciones. El muestreo sigue el mismo principio de la modulación de amplitud, solo que en este caso se denomina Modulación por Amplitud de Pulsos (PAM). El muestreo ideal se consigue cuando se multiplica la función continua x(t) con la función portadora p(t) que se define como:
O como:
A continuación se ilustra el proceso de muestreo en el tiempo:
Es decir:
En consecuencia, utilizando la Propiedad de Muestreo del impulso Delta de Dirac (El Impulso Unitario):
Notar que xp(t) es una señal del tipo x(nt), donde n es un número entero del tipo:
es decir, mediante el muestreo se genera una secuencia x[n] a partir de una señal continua x(t), según la siguiente relación:
En la ecuación (1), el factor T es el período de muestreo (sampling period) y su recíproco fs=1/T es la frecuencia de muestreo (sampling frequency – samples per second). También puede ser expresada la frecuencia como radians per second:
El sistema que implementa la operación de la Figura 4.1 es un Convertidor Ideal de Continuo-Discreto (ideal continuous-to-discret time (C/D) Converter).
En la práctica, el muestreo es llevado a cabo por un convertidor analógico-digital (analog-to-digital (A/D) Converter) que incluye los siguientes sub-procesos: cuantificación de las muestras de salida, linealidad de los pasos de cuantificación, la necesidad de circuitos de muestreo y retención y limitaciones en la frecuencia de muestreo (quantization of the output samples, linearity of the quantization steps, the need for sample-and-hold circuitry, and limitations on the sample rate)
Por lo anterior, puede resultar conveniente representar matemáticamente el proceso de muestreo mediante la Figura 4.2, en la cual resaltan dos estados:
Las etapas consisten en un modulador de tren de impulsos seguido de la conversión del tren de impulsos a una secuencia. Existen diferencias entre xp(t) y x[n]. La primera es una función en tiempo continuo, es decir, tiene valores en todo tiempo (entre muestra y muestra el valor de la función es cero), mientras que la segunda es un función en el dominio del tiempo discreto (entre muestra y muestra el valor de la función no es cero, porque no está definido).
En este capítulo hemos explorado la relación entre las señales xp(t) y x[n], es decir, entre la señal de tiempo continuo y la secuencia de tiempo discreto obtenida mediante un muestreo periódico, o muestreo ideal. El teorema fundamental que nos permite representar una señal de tiempo continuo mediante una secuencia de muestras es el Teorema de Nyquist: para una señal de banda limitada, las muestras periódicas son una representación suficiente, siempre que la tasa de muestreo sea lo suficientemente alta en relación con la frecuencia más alta en la señal de tiempo continuo (for a bandlimited signal, periodic samples are a sufficient representation, as long as the sampling rate is high enough relative to the highest frequency in the continuous-time signal.).
Para entender y aplicar este importante teorema debemos analizar el proceso antes descrito, en el dominio de la frecuencia. A grandes rasgos, desde el punto analítico haremos lo siguiente:
De aquí vemos que el espectro de frecuencias muestreadas de x(t) está dada por la convolución de X(ω) con un tren de impulsos. El espectro de la señal muestreada es una superposición de réplicas desplazadas en frecuencia con respecto al espectro original, escaladas por 1/T. El diagrama de frecuencias se muestra a continuación:
Se presenta ahora el problema de averiguar el valor de ωs o frecuencia de muestreo, para poder recuperar la señal exacta x(t) a partir de xp(t):
Este valor de Ts es llamado Intervalo deNyquist. Vamos a verlo en detalle en el siguiente capítulo: En construcción…
FUENTE: Discrete Time Signal Processing Oppenheim, Chapter 4.
Elaborado por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer
Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, USB Valle de Sartenejas.
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