La Transformada Z (TZ) es una herramienta que proporciona un método para caracterizar las señales y los sistemas de tiempo discreto por medio de polos y ceros en el dominio Z transformado.
X(z), La Transformada Z, es el equivalente de la Transformada de Laplace para tiempo discreto. Puesto que z es una variable compleja, el dominio Z es un plano complejo.
La transformada Z directa X(z) de una señal x[n] se define como la serie de potencias:
Dónde z es el número complejo:
La ecuación (1) mapea la señal definida en el dominio del tiempo discreto, a la función definida en el dominio Z, lo que se denota como:
La notación para la relación entre ambos dominios es:
Como la ecuación (1) es la suma de una serie geométrica, solo existe para aquellos valores del plano complejo para los que la suma no diverge. Esto nos lleva al concepto de región de convergencia (ROC – Region of Convergence).
La ROC de una transformada X(z) es el conjunto de todos los valores de la variable compleja z para los que X(z) es finita:
El par transformado no es único hasta que no se añade la información relativa a la ROC. Por ello, las tablas de pares z-transformados incluyen una tercera columna con su información de la ROC.
Ejemplos
Muchos ejercicios consisten en organizar la ecuación para buscar la coincidencia, la equivalencia, entre la ecuación del ejercicio en particular y algunos pares transformados de uso generalizado que se muestran posteriormente en tablas, al igual que sucede en el caso de la transformada de Laplace. En particular, son muy utilizados los siguientes pares:
- Considere la señal x[n]:
A partir de la ecuación:
Podemos señalar que la transformada Z de x[n] es:
Para la convergencia de X(Z) se requiere que:
En consecuencia, la región de convergencia es el rango de valores de z para el cual:
Que es lo mismo que escribir:
Entonces, añadiendo la información relativa a la ROC, la transformada Z de x[n] es:
Entonces hablamos del siguiente par transformado:
Esta ecuación, al igual que la Transformada de Laplace, se puede caracterizar por sus ceros y polos. En este caso, z=0 es un cero, z=a es un polo. Observar que este es un ejemplo de una secuencia positiva. La ROC de una secuencia positiva es siempre la región fuera de un círculo de radio a. Observar además que si a=1, obtenemos la Transformada Z del escalón unitario. Es decir:
Es lo mismo que escribir:
Como decíamos antes, estos resultados pueden estar entre los primeros en nuestra tabla de resolución de problemas, porque son muy utilizados a la hora de determinar la Transformada Z de numerosas señales. Veamos el caso siguiente:
2. La transformada Z de una señal en el dominio de tiempo discreto es:
La señal correspondiente es:
Respuesta:
Usaremos las propiedades de linealidad y de desplazamiento en el tiempo (ver tabla más adelante):
Si aplicamos estas propiedades a la opción c, veremos que su transformada Z es:
Pero sabemos que:
Por lo tanto:
El resultado en consecuencia, la opción c.
Teoría completa:
- La Transformada Z
Más ejemplos en:
Propiedades de la Transformada Z
Tablas de Pares Transformados
A continuación los pares transformados para las señales discretas más importantes en el área del procesamiento de señales:
Propiedades de la ROC.
- La Transformada X(z) junto con la ROC definen de forma inequívoca la secuencia x[n], es decir, sin la información de la ROC, existe indeterminación en el cálculo de la antitransformada.
- La ROC de cualquier secuencia tiene simetría circular en torno al origen sobre el plano Z, porque la convergencia sólo depende de .
- La ROC no puede contener polos porque, por definición, la evaluación de X(z) sobre un polo produce divergencia.
- La ROC de secuencias de duración finita (sin polos) es todo el plano complejo, con algunas excepciones.
- La ROC de una secuencia (estrictamente) anticausal (con valores nulos en semieje n-positivo) es el interior de una circunferencia.
- La ROC de una secuencia (estrictamente) causal (con valores nulos en semieje n-negativo) es el exterior de una circunferencia.
- La ROC de una secuencia bilateral (combinación de causal o estrictamente no causal) puede ser:
- Una corona circular (si radio parte causal menor que radio parte anticausal)
- No existir (si radio parte causal mayor que radio parte anticausal y no hay intersección)
Evaluación completa de Transformada Z
Objetivos:
- Calcular la Transformada Z. Caracterizar su ROC
- Determinar a partir de la ROC si existe o no transformada discreta de Fourier
- Definir el diagrama de polos y ceros
- Calcular la transformada inversa Z
- Operar con señales en el dominio de la transformada Z
- Evaluación completa Transformada Z
- Evaluación completa 2 Transformada Z
- Evaluación completa 3 Transformada Z
Fuentes:
- Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
- Oppenheim – Señales y Sistemas
- Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.
- Procesamiento de señales
- Senales y Sistemas – Shaum
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- Más ejemplos en:
Revisión literaria hecha por:
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