Análisis de sistemas de control, Sistema Electromecánico

Servomotores – Sistema de control de posición

Se denomina Servomotor a los motores DC utilizados en los sistemas de control de posición, también llamados sistemas de seguimiento. En la industria, un Servomotor es aquel que lleva incorporado un sensor de rotación, un amplificador de error y está diseñado específicamente para ser usado en un sistema de control. Gracias a los avances de la electrónica de potencia, los servomotores están siendo sustituidos por el Motor paso a paso (Stepper), versión “digital” de un motor eléctrico, debido a que estos últimos son más económicos cuando se trata de lograr alto desempeño (alta precisión) en el control del movimiento de cargas livianas a velocidad moderada. Por otra parte, los servomotores forman parte de un servosistema,  o servomecanismo, que es otra manera de llamar a un sistema de control  a lazo cerrado. En la Figura 4-8 podemos apreciar un Servomotor, es decir, un motor DC, en este caso controlado por armadura, formando parte de un sistema de control de posición:

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El modelo matemático de un motor DC se desarrolla en el siguiente link: Dinámica de un Motor DC,

Aplicando las ecuaciones del modelo matemático para un motor DC, podemos encontrar la función de transferencia Gm(s) del motor operando a lazo abierto y representar el esquema de la Figura 4-8 mediante el diagrama de bloques siguiente:

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Figura 4-9

Donde:

θ(s): posición angular del rotor a la salida del motor DC

Ev(s): señal actuante, igual a la señal de error amplificada por K0:nullKo: constante de proporcionalidad de los potenciómetros de entrada y salida:nullK2: es la constante de par del motor, también conocida como Km en la bibliografía sobre el tema, que es proporcional al par Tm desarrollado por el motor frente a una corriente ia aplicada a la armadura:nullK3: es la constante de la fuerza contraelectromotriz eb:

Jo es el momento de inercia equivalente vista por la flecha del motor, luego de reflejar el momento de inercia de la carga Jl a través del tren de engranajes de constante n, y sumarlo al momento de inercia del motor Jm. El mismo procedimiento se aplica para obtener  bo, el coeficiente de fricción equivalente visto por la flecha del motor:null

Nos conviene simplificar el diagrama de bloques de la Figura 4-9. Así obtenemos lo siguiente:

Figura 4-10

Donde:

Logramos así una representación del servosistema que muestra con claridad el hecho de que es un sistema de segundo orden, equivalente al sistema prototipo que se utiliza en sistemas de control para calcular los parámetros ωn y ζ (frecuencia natural y coeficiente de amortiguamiento relativo) de la respuesta transitoria, o para calcular las constantes de error Kp, Kv o Ka en la evaluación del error en estado estable. Al respecto, ver Respuesta Transitoria de un Sistema de ControlError en estado estable de un sistema de control

Respuesta transitoria de un sistema de control de posición

La Función de Transferencia del sistema de lazo cerrado mostrado en la Figura 4-10 es:

Para el análisis de la respuesta transitoria es conveniente escribir:

Donde  σ es denominado atenuaciónωn es la frecuencia natural sin amortiguamiento del sistema; y ζ el factor de amortiguamiento relativo del sistema. ζ es la razón entre el factor actual de amortiguamiento B y el factor de amortiguamiento crítico Bc que es igual a dos veces la raíz cuadrada de JK:

En términos de ωn y ζ, el sistema mostrado en la Figura 4-10 puede ser expresado como en la Figura 5-6, denominado “Sistema Prototipo”:

Ahora, la Función de Transferencia C(s)/R(s) puede ser escrita como:

Esta última es denominada Forma Estándar. La dinámica del comportamiento de un sistema de segundo orden puede ahora ser descrita en términos de los dos parámetros ωn y ζ. Brevemente, los diferentes tipos de respuestas de un sistema de segundo orden a una entrada escalón en función de ζ pueden ser resumidas mediante la Figura 4-11:

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Para especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control a una entrada escalón, es común analizar los siguientes parámetros asociados mayormente al caso subamortiguado:

1. Tiempo de retardo (Td): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema alcance la mitad del valor final por primera vez.

2. Tiempo de levantamiento (Tr): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema pase del 10% al 90% del valor final. En otras palabras, para que vaya de 0.1 del valor final al 0.9 del valor final.

3. Levantamiento máximo (Mp): es el valor pico máximo de la curva de respuesta medida a partir de la unidad. Según otra bibliografía, es también la cantidad en que la forma de la curva de salida sobrepasa el valor final de la salida, expresada en porcentaje.

4. Tiempo de asentamiento (Ts): ies el tiempo requerido para que las oscilaciones amortiguadas transitorias alcancen y permanezcan dentro del ±2% o del  ±5% del valor final o valor en estado estable.

5. Tiempo pico (Tp): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema alcance el pico del levantamiento máximo.

Estas especificaciones se muestran gráficamente en la Figura 5-8:

Excepto en aquellos casos donde las oscilaciones no son toleradas, es deseable que la respuesta transitoria de un sistema de control dado sea lo suficientemente rápida y lo suficientemente amortiguada. Esto se logra mediante un factor de amortiguamiento entre 0.4 y 0.8. Pequeños valores de σ (σ<0.4) producen excesivo levantamiento máximo en la respuesta transitoria, mientras que un sistema con alto σ (σ>0.8) responde de manera muy lenta. Veremos además que el levantamiento máximo y el tiempo de levantamiento entran en conflicto. Es decir, no es posible disminuir el tiempo de levantamiento y el levantamiento máximo al mismo tiempo.

Sistema de seguimiento con realimentación de velocidad o realimentación taquimétrica. 

En construcción…

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Dinámica de sistemas, Sistema Electromecánico

Dinámica de un Motor DC

La dinámica de un Motor DC es determinada por un conjunto de ecuaciones que gobiernan su comportamiento. Obtener estas ecuaciones requiere la aplicación de leyes de mecánica, principios de electricidad y conocimiento de campo magnético. Especialmente, implica el conocimiento de los conceptos básicos del movimiento rotatorio. Para echar un repaso, ver: Movimiento Rotatorio – Conceptos básicos.

Un Motor DC puede estar controlado por campo o por armadura. En referencia a la Figura 2.35., un imán estacionario permanente o un electroimán genera un flujo magnético Φ, constante, denominado Fixed Field. Como resultado, el motor es controlado por un voltaje ea aplicado a los terminales de la armadura.

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Aplicando la teoría de circuitos de Kirchhoff , deducimos la primera ecuación característica del sistema:

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Donde La Ra representan la inductancia y la resistencia de la armadura respectivamente.

La armadura es un circuito rotativo a través del cual circula una corriente  ia. Cuando la armadura pasa en ángulos rectos a través del flujo magnético Φ, siente una fuerza F=BLia donde B es la intensidad del campo magnético y L es la longitud de la bobina o conductor. El torque Tm que resulta de esta interacción hace girar el rotor, el cual es el miembro rotatorio del motor. Para un análisis lineal es necesario suponer que este torque o par es proporcional al flujo magnético Φ y a la corriente ia . De aquí podemos obtener la siguiente ecuación del sistema:

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Como Φ es constante, el factor Km*Φ se reduce a una constante denominada Ki. De esta manera, la ecuación anterior se reduce a:

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Donde Ki es La Constante de Proporcionalidad, también llamada constante de torque del motor (o constante de par) y es uno de los parámetros dados por los fabricantes de motores. Ki, con frecuencia denominada también Kt en la literatura sobre el tema, viene en N-m/A.

Nota: cuando el motor es controlado por una corriente en el campo, con el fin de obtener un sistema lineal la corriente de armadura debe ser considerada constante y así el torque del motor viene dado por Tm= Kmif, donde if es la corriente de campo.

Otro importante fenómeno ocurre en el motor: Cuando un conductor se mueve en ángulos rectos a través de un campo magnético se genera un voltaje Vb en las terminales del conductor. Ya que la armadura rota en un campo magnético, el voltaje generado en el conductor que rodea la armadura es proporcional a la velocidad de rotación de la armadura, denominada ωm. De esta manera obtenemos otra ecuación de gran importancia:

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Donde:

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Denominamos a Vb la Fuerza Contraelectromotriz (o back emf por sus siglas en inglés); Kb es la constante de proporcionalidad llamada también constante emf.

Aunque el Motor DC es por sí mismo un sistema en lazo abierto, veremos más adelante que la fuerza contraelectromotriz Vb, provoca un lazo realimentado dentro del motor, actuando como una “fricción eléctrica” que tiende a mejorar la estabilidad del motor.

Por último, aplicando las leyes de Newton para movimientos mecánicos rotacionales obtenemos:

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Donde TL representa la carga, Jm es el momento inercial (inercia) del rotor, y Bm es el coeficiente de fricción viscosa del motor.

De esta manera hemos logrado definir el conjunto de ecuaciones que determina la Dinámica del Motor DC operando en lazo abierto:

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donde:

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Para representar esta dinámica en diagrama de bloques, el siguiente paso consiste en aplicar la Transformada de Laplace a cada ecuación y despejar la salida θcomo función de las otras variables de estado.

Luego de aplicar Laplace, obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:

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Este sistema de ecuaciones, tomando a Ea(s) como la entrada y a θm(s) como la salida,  se representan a continuación mediante El Diagrama de Bloques para un Motor DC operando a lazo abierto:null

Aquí podemos corroborar lo que señalamos antes, que la fuerza contraelectromotriz, proporcional a Ωm(s), representado en el diagrama como Eb(s), genera un lazo realimentado que tiende a estabilizar el sistema.

El Servomotor DC controlado por armadura es ampliamente utilizado en sistemas electromecánicos. La configuración del sistema electromecánico más comúnmente utilizado se muestra en la  Figura 2.15 mediante un diagrama de bloques, y en la Figura 4-38, operando a una velocidad constante y sin lazo de realimentación.

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Para continuar leyendo sobre sistemas electromecánicos visitar el siguiente link:

SIGUIENTE: Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC

Fuentes:

 

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Análisis de sistemas de control, Sistema Electromecánico

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema Electromecánico

Obtener modelo matemático del sistema de control de posición de la figura. Obtener su diagrama de bloques y la función de transferencia entre el ángulo de la carga y el ángulo de referencia θc(s)/θc(s).

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Datos:

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Respuesta:
  1. Dinámica del sistema

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2. Transformada de Laplace

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3. Diagrama de bloques

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Simplificando convenientemente para obtener un modelo cuya función de transferencia es conocida:

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4. Función de Transferencia de cada bloque del diagrama anterior.

A partir de:

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Obtenemos los siguiente:

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Luego, utilizando:

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y sustituyendo, obtenemos:

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Donde:

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Sustituyendo el valor de los datos en la ecuación anterior, obtenemos:

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Simplificando:

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Por otra parte, la ganancia del amplificador se obtiene utilizando:

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De donde:

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Por último, la constante de engranaje está dada por los datos y es n=1/10. Obtenemos entonces un diagrama de bloques con las siguientes funciones de transferencia:

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5. Función de Transferencia del sistema.

La Función de Transferencia a lazo abierto Ga(s) del sistema mostrado en el diagrama anterior es:

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De donde podemos obtener fácilmente la función de transferencia a lazo cerrado Gc(s), que es lo que nos pide el enunciado, utilizando la realimentación unitaria:

null

SIGUIENTE: Ejemplo 2 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Referencia:

  1. Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo
  2. Ingenieria de Control Moderna, 3° ED. – Katsuhiko Ogata
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