Los sistemas de control son sistemas dinámicos.

Concepto de sistema dinámico.

Lo primero que hay que entender sobre los sistemas de control es que son sistemas dinámicos. Según Ogata (1987), autor de uno de los libros más utilizados en las escuelas de ingeniería de control, un sistema es dinámico cuando su salida en el presente depende de una entrada en el pasado. La otra opción es cuando la salida presente del sistema depende sólo de una entrada en el presente, en cuyo caso el sistema se hace llamar estático. Cuando un sistema dinámico no está en su estado de equilibrio, la salida cambia con el tiempo. Mientras, en un sistema estático, la salida permanece constante si la entrada no cambia; es decir, la salida sólo cambia si cambia su entrada. Una breve introducción es ejecutada por el profesor Pedro Albertos de la UPV en el link: Systems and Signals Examples.

Las Figuras 1 y 2 son ejemplos de sistemas estáticos y dinámicos respectivamente. La primera muestra la relación de balance en una palanca apoyada sobre un fulcro (punto de apoyo). El valor presente de la salida y(t) depende del valor presente de la entrada u(t). La segunda muestra que la velocidad y posición de un vehículo depende de una entrada en el pasado.

 

Ejemplo de sistema estático

Figura 1. Ejemplo de sistema estático (Albertos, 2016)

 

Ejemplo de sistema dinámico

Figura 2. Ejemplo de sistema dinámico (Albertos, 2016)

Los sistemas artificiales tales como la plataforma petrolera de la Figura 3, o la cabina de un avión de la Figura 4, son también ejemplos de sistemas dinámicos de alta complejidad  fabricados por los seres humanos:

 

Ejemplo de sistema dinámico. Sistema artificial 1

Figura 3. Sistema Artificial (Albertos,2016)

 

Ejemplo de sistema dinámico. Sistema artificial 2

Figura 4. Sistema Artificial. (Albertos,2016)

La respuesta transitoria.

En relación a los sistemas de control, Nise (2011) define un sistema dinámico de la siguiente manera: “A control system is dynamic: It responds to an input by undergoing a transient response before reaching a steady-state response that generally resembles the input” [Nise, 2011, p. 10]  (Un sistema de control es dinámico: responde a una entrada por medio de una respuesta transitoria antes de alcanzar una respuesta en estado estable que generalmente sigue, intenta igualar, a la entrada). La Figura 5 muestra un sistema para controlar la posición de una antena. Aquí, la salida es la posición angular  (Azimuth Angle), mientras que la entrada es la señal  emitida por el potenciómetro. La Figura 6 muestra la salida (línea azul) del sistema mostrado en la Figura 5, en términos de la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable, para ambos casos: alta ganancia y baja ganancia.

Ejemplo de sistema dinámico. Sistema de control de posición.

Figura 5. Sistema de control de posición (Nise, 2016)

Ejemplo de sistema dinámico. Respuesta de Sistema de control de posición ejemplo 5.

Figura 6. Respuesta transitoria y respuesta en estado estable del sistema de control de posición de la Figura 5.

La intención, la misión del sistema de control de la Figura 5, es colocar la antena en la posición indicada por la entrada, por eso la salida sigue a la entrada. Observando la gráfica de la Figura 6 podemos verificar la característica principal de un sistema dinámico. La entrada o input, se presenta en el tiempo t=0. La respuesta a partir de allí, en cualquier tiempo futuro depende de la entrada en el pasado, o sea, aquella que se presentó en el tiempo t=0. La respuesta transitoria corresponde a aquella que se presenta antes de alcanzar el estado estable, el cual es el valor final de la respuesta del sistema. En la imagen podemos observar dos respuestas transitorias. La primera, de alta ganancia (hig gain), genera alta fluctuación antes de alcanzar el estado estable, pero tiene la ventaja de que es muy rápida en alcanzar el valor final (output), mientras la segunda, de baja ganancia (low gain), presenta poca fluctuación, pero tarda mucho más en alcanzar el valor final. En la primera respuesta podemos imaginar a la antena moviéndose con rapidez súbita y zigzagueando alrededor de su posición final. En el segundo caso, la antena se moverá más lentamente hacia su posición final, a la cual llegará de una manera mucho más amortiguada, serena. La selección de una u otra respuesta dependerá de la necesidad del operador y de los límites de estabilidad del sistema que por lo general se establecen en los requerimientos iniciales.

Sistemas LTI.

Estudiar un sistema de control exige obtener en primer lugar, el modelo matemático de dicho sistema, lo que en realidad implica el desarrollo del modelo de un sistema dinámico.

Un modelo matemático es percibido como un conjunto de ecuaciones que representa la dinámica de un sistema de manera exacta o aproximada. La dinámica de un sistema mecánico, eléctrico o biológico, puede ser representada mediante ecuaciones diferenciales (Ogata, 2002). En general, resolver un problema por lo general requiere en su primera etapa de contar con un modelo sencillo, simplificado, de manera tal que visualizar la solución sea una tarea lo más práctica posible. Para lograr un modelo simplificado, el ingeniero de control debe decidir cuáles de las variables y relaciones físicas son esenciales para el modelo, y cuáles pueden despreciarse (Ogata, 1987). (Por ejemplo, para estudiar el desplazamiento de un resorte que actúa a baja frecuencia, se puede despreciar su masa. Pero, cuando el mismo resorte actúa a alta frecuencia, su masa influye de manera determinante en su desplazamiento, por tanto, no puede despreciarse. De allí a que la ecuación que gobierna el desplazamiento del resorte es más sencilla a baja frecuencia).

Una vez que se tiene una idea aproximada sobre el tipo y la cobertura de la solución, de la conducta y respuesta natural del sistema, el modelo puede ser optimizado, transformándose en uno de mayor complejidad que requiera de la aplicación de software especializado en análisis y simulación, para obtener información oculta en la profundidad de dicha complejidad.

A propósito de la tarea de realizar un modelo, el Prof. del MIT John Sterman comparte su filosofía con nosotros sobre la eficacia de un modelo, mediante las siguientes palabras:

“Every model is a representation of a system…But for a model to be useful, it must address a specific problem and must simplify rather than attempt to mirror an entire system in detail…the usefulness of models lies in the fact that they simplify reality, creating a representation of it we can comprehend…Von Clausewitz famously cautioned that the map is not the territory. It´s a good thing it isn´t: A map as detailed as the territory would be of no use” [Sterman, 2000, p. 89] . (Cada modelo es una representación de un sistema…Pero para que un modelo sea útil, debe enfocarse en un problema específico y debe simplificar en vez de intentar una representación del sistema completo en detalle…la utilidad de los modelos radica en el hecho de que ellos simplifican la realidad, creando una representación de ella que nosotros podamos comprender… Von Clausewitz ofreció su famosa alerta sobre el hecho de que el mapa no es el territorio: Un mapa tan detallado como el territorio sería completamente inútil)

Para obtener las ecuaciones que conforman los modelos de sistemas dinámicos los ingenieros utilizan las leyes de la física, aplicadas a las propiedades de estos sistemas, buscando siempre el camino más fácil para sintetizar el modelo. Entre las propiedades de los sistemas más útiles para alcanzar este objetivo, se encuentran la propiedad de linealidad y la invariancia en el tiempo, básicamente por dos razones principales. En primer lugar, una inmensa cantidad de procesos físicos, sobre todo aquellos que interesan a la ciencia, poseen ambas propiedades. En segundo lugar, los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, conocidos también como Sistemas LTI (Linear Time Invariant) son ampliamente accesibles en términos de herramientas disponibles para su análisis. La ciencia de las señales y sistemas ha alcanzado un poderoso desarrollo de estas herramientas, permitiendo que personas de todos los ámbitos académicos puedan aproximarse con facilidad al análisis de los sistemas LTI (Oppenheim, 1996). Es por eso que la comprensión de los sistemas LTI se convierte en la siguiente tarea en la preparación para el análisis de un sistema de control.

Concepto de análisis y diseño.

Antes de profundizar sobre las características de un sistema LTI, es necesario definir las áreas básicas de trabajo del ingeniero de control (Ogata, 1986): el análisis, el diseño y la síntesis de sistemas.

Análisis: es el estudio del funcionamiento de un sistema en condiciones específicas, cuyo modelo matemático se conoce. Por lo general se hacen variar los valores de los parámetros involucrados en los modelos matemáticos para observar las diferentes respuestas y de allí sacar conclusiones. Como el análisis depende del modelo matemático, es independiente del tipo de sistema físico de que se trate, sea este mecánico, eléctrico, hidráulico, etc.

Diseño: dada una tarea específica, se trata del proceso para encontrar el sistema que cumpla con esa tarea. Por lo general no es directo y requiere ensayo y error. El diseño implica por tanto aclarar los requerimientos para el sistema, generalmente dados en términos cuantitativos y cualitativos. Luego, el ingeniero recurre a la síntesis. Una vez dotado de un modelo, mediante simulación computarizada lo analiza para predecir el cumplimiento de los requerimientos. Aplicando ensayo y error, modifica el modelo, hasta aproximarse lo más posible al resultado deseado. De ser posible, fabrica un prototipo y continúa el análisis, hasta cumplir con el objetivo final.

Síntesis: es el uso de un procedimiento explícito para encontrar un sistema que funcione de manera específica. En este caso, las características del sistema se postulan al principio, y luego se utilizan varias técnicas matemáticas para dar con ese sistema.

Existen por tanto, dos métodos de diseño (Distefano et al, 1995):

  1. Diseño por análisis: hecho por medio de la modificación de las características de un sistema que ya existe;
  2. Diseño por síntesis: definición de un sistema a partir de sus especificaciones

En relación a los sistemas de control, Nise expone en los siguientes términos las funciones de un ingeniero: “…we discuss three major objectives of systems analysis and design: producing the desired transient response, reducing steady-state error, and achieving stability” [Nise, 2011, p. 10]. (Discutimos tres objetivos principales en el análisis y diseño de sistemas: producir la respuesta transitoria deseada, reducir el error en estado estable y lograr estabilidad).

Caso de aplicación.

Para ilustrar el proceso de obtención de la dinámica de un sistema, utilizaremos el popular del sistema masa-resorte-amortiguador montado en un carro, mostrado en la Figura 7

Sistema masa-resorte-amortiguador, montado en carro

Figura 7. Sistema masa-resorte-amortiguador, montado en un carro. 

Se supone que el sistema está en reposo en . Lo primero que se debe determinar es cuál es la entrada y cual es la salida del sistema en estudio, a la vez que asignarles un nombre en forma de función dependiente del tiempo, a cada una de ellas. El sistema masa-resorte-amortiguador se moverá en el momento en que el carro se mueve, por lo que el movimiento  del carro es la entrada, mientras que el desplazamiento  de la masa es la salida. De manera intuitiva podemos prever que si  tiene una dirección, digamos a la derecha, entonces  tendrá la misma dirección pero con sentido contrario, es decir, a la izquierda.

En el instante  el carro se mueve con una velocidad constante, que se representa como la derivada de su desplazamiento con respecto al tiempo, es decir .

El amortiguador actúa como una fricción ante el movimiento de la masa . Dicha masa se desplaza con velocidad . Si la constante del amortiguador de la Figura 7 es , la fuerza que ejerce para oponerse a todo movimiento será proporcional a la velocidad de ese movimiento, en nuestro caso a  con pendiente , es decir, estamos ante una función lineal que representa la fuerza de fricción  ejercida por el amortiguador al desplazamiento de la masa , y que es igual a . Pero la función  ejerce su influencia sobre  a través del amortiguador, por lo que  tiene un segundo componente que favorece el movimiento de . Dicho desplazamiento es proporcional a  y tiene sentido contrario a . De acuerdo con Newton, ambas fuerzas producen una aceleración en la masa  que podemos denominar . La relación entre estas fuerzas y dicha aceleración viene dada por la relación formulada por la segunda Ley de Newton:    o bien .

El resorte por su parte, también se opone al movimiento de la masa , pero a su vez lo favorece porque el carro también transmite su influencia a la masa a través del resorte. Si la constante del resorte es , y la aceleración de la masa debido al resorte es , la fuerza total  que ejerce el resorte sobre la masa es igual a , o bien,

Ahora bien, la expresión matemática que resume la relación entre la aceleración  total aplicada sobre la masa , y las fuerzas  y , siguiendo la segunda Ley de Newton, es la siguiente:

La ecuación anterior representa la dinámica del sistema, un modelo matemático constituido generalmente por ecuaciones diferenciales como se explicaba en los primeros párrafos de este documento.

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Control systems are dynamic systems.

Dynamic system definition.

The first thing you must understand in the analysis of control systems is that control systems are dynamic systems. According to Ogata (1987), a system is dynamic when its output in present time depends on its input in the past. If the system output in the present time depends just on an input in the present time, the system is called static. In a dynamic system, the output changes with the time if the system is not in its equilibrium state, while, in a static system, the output keeps constant if the input doesn’t change; i.e. the output changes only when the input changes. See an excellent introduction by Prof. Pedro Albertos from UPV: Systems and Signals Examples.

Figures 1 and 2 are examples of static systems and dynamic systems respectively. The first shows the balance relation of a lever supported over a fulcrum. The present value of y(t) depends on the present value of the input u(t). The second shows that the speed and the position of a vehicle depend on an input in the past.

 

Ejemplo de sistema estático

Figure 1. An example of a static system (Albertos, 2016).

Ejemplo de sistema dinámico

Figura 2. An example of a dynamic system (Albertos, 2016).

The artificial systems such as the Off-Shore Platform of Figure 3 and the Aircraft cockpit of Figure 4, are also examples of high-complex dynamic systems made by the human beings:

 

Ejemplo de sistema dinámico. Sistema artificial 1

Figure 3. Artificial system. (Albertos, 2016)

 

Ejemplo de sistema dinámico. Sistema artificial 2

Figure 4. Artificial system (Albertos, 2016)

 

The transient response.

Regarding the control systems, the author Nise defines dynamic systems as follows:  “A control system is dynamic: It responds to an input by undergoing a transient response before reaching a steady-state response that generally resembles the input” (Nise, 2011, p. 10). Figure 5 shows a system to control the position of an antenna. Here, the output is the angular position  (Azimuth Angle), while the input is the signal  sent by the potentiometer. Figure 6 shows the output (blue line) of the system showed in Figure 5, in terms of the transient response and the steady-state response, both for high gain and low gain.

 

Ejemplo de sistema dinámico. Sistema de control de posición.

Figure 5. Position control system for an Antenna (Nise, 2011)

 

Ejemplo de sistema dinámico. Respuesta de Sistema de control de posición ejemplo 5.

Figure 6. Transient response and steady-state response for the system of Figure 5.

 

The goal of the control system of Figure 5 is to place the antenna into the position determined by the input. That´s why the output follows the input. Analyzing Figure 6 we can observe the main characteristic of dynamic systems, which is that, the response in any time after t=0 depends on the input in the past, i.e. the input in t=o determines the output in any time in the future. The transient response is the response of the system before reaching completely the steady-state response (the final value). Looking to the Figure 6, we can find two transient responses. The first one corresponds to a high gain. It generates a lot of fluctuations before the system reaches its steady-state, but it has the advantage of being faster in getting the final value. Here we can image the antenna getting its final position with a fast moving but zigzagging around it. The second one corresponds to a low gain, where there are no fluctuations and we get a very cushioned movement, but the system takes much more time in getting the final value. The selection of one or the other kind of transient response depends on the requirements of the operation and the limits of the system in order to maintain stability.

LTI Systems.

Studying control system implies to obtain as a first step its model. Indeed, before analyzing a control system, we have to develop a mathematical model of a dynamic system.

A mathematical model is perceived as a set of equations representing the dynamic of the system in an exact or approximate way. Such a dynamic, being the system an electrical, a mechanical or a biological one, can be represented by mean of differential equations (Ogata, 2002). In general, resolving a problem requires getting a simple and simplified model in the first stage, in order to visualize the solution by mean of the most practical way. To obtain a simplified model, the control engineer must decide which variable are important and which factors can be ignored.

Once we have an approximate idea of the kind and scope of the solution, the natural or forced response of the system, the model can be optimized and be transformed in one of more complexity, which requires the application of specialized software to be simulated and analyzed, with the aim of obtaining hidden and valuable information.

Talking about making a model, the MIT professor John Sterman shares its philosophy about the efficacy of a model as follows:

“Every model is a representation of a system…But for a model to be useful, it must address a specific problem and must simplify rather than attempt to mirror an entire system in detail…the usefulness of models lies in the fact that they simplify reality, creating a representation of it, we can comprehend…Von Clausewitz famously cautioned that the map is not the territory. It´s a good thing it isn´t: A map as detailed as the territory would be of no use” (Sterman, 2000, p. 89) .

To obtain the equations which set up the models of dynamic systems, the engineers use the laws of the physics applied to the properties of the systems, always searching for the easier path when they are building the model. Among the most useful properties to accomplish this objective, we have the properties of linearity and invariance in time, basically for two main reasons. In the first place, a huge quantity of physical processes, overall those which concern to science, have both properties. In the second place, the linear and time-invariant systems (LTI Systems) are widely accessible in terms of available tools for their analysis. The science of signals and systems has reached a powerful development on these software tools for the systems analysis, allowing people from different academic fields to easily approach to the study of LTI systems (Oppenheim, 1996). That’s why the comprehension of LTI systems becomes the next task at the engineers’ training for the analysis of control systems.

  Analysis and Design definition.

Before getting deeper on the characteristics of the LTI Systems, the engineers need to strictly define the basic areas of their work as control engineers [1]: the analysis, the design and the synthesis of systems.

Analysis: it is the study of the functioning of a system at specific conditions, which mathematical model is known. Generally, they are varied, the values of the parameters involved in the mathematical models in order to observe the different responses and from there to get conclusions. As the analysis depends on the mathematical model, it is independent of the kind of the system studied, being this mechanical, electrical or hydraulic.

Design: given a specific task, it is the process whereby we can find the system which accomplishes that task.  Usually, it is not a direct process and requires essay and error. The design implies to make it clear the requirements of the system, typically given in qualitative and quantitative terms. Subsequently, the engineer uses the synthesis. Once he has a model, the engineer analyzes the system so foresee the compliance of the requirements by mean of computerized simulation. By applying essay and error, the engineer modifies the model until it approximately meets the desired result. If it is possible, the engineer builds a prototype and continues the analysis until it meets the final goal.

Synthesis: it is the use of a specific procedure to find a system which works in a specific way. In this case, the characteristics of the system are postulated at the beginning and afterward the engineer uses several mathematical techniques to come up with the right system.

There are therefore two methods for designing (Distefano et al, 1995):

  1. Design from the analysis: it is made by mean of the modification of the characteristics of a system which already exists;
  2. Design from the synthesis: it is the definition of a system starting from its specifications.

In relation to control systems, Nise defines the functions of an engineer as follows:“…we discuss three major objectives of systems analysis and design: producing the desired transient response, reducing steady-state error, and achieving stability” (Nise, 2011, p. 10).