Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Ingeniería Eléctrica, Máquinas Eléctricas

Dinámica de un Sistema Electromecánico con Motor DC.

Introducción

Los Sistemas Electromecánicos son aquellos sistemas híbridos de variables mecánicas y eléctricas. Las aplicaciones para componentes electromecánicos cubren un amplio espectro, desde sistemas de control para robots y rastreadores de estrellas, hasta controles de posición del disco duro en una computadora, o el control de motores DC en sistemas de aire acondicionado para instalaciones residenciales.

La Figura 2.1 muestra un sistema de accionamiento electromecánico. Consiste de una fuente de poder y energía, un circuito de compuerta para el convertidor, convertidores electrónicos (rectificador, inversor, controlador electrónico de poder), sensores de corriente (derivadores, transformador de corriente, sensor Hall), sensor de voltaje (divisor de voltaje, transformador de potencial), sensores de velocidad (tacómetros) y sensores de desplazamiento (codificadores), máquinas rotativas trifásicas, cajas de engranajes y cargas específicas (bomba, ventilador, automovil, etc). En la Figura 2-1 todos los componentes, con excepción de los engranajes, están representados por una Función de Transferencia (variables de salida en función del tiempo), mientras que la caja de engranajes está representada por una Función Característica (variable de salida Xout en función de la variable de entrada Xin)

El Servomotor DC controlado por armadura es quizás el más utilizado de los componentes que conforman un sistema electromecánico en robótica. Sin embargo, dependiendo de la aplicación, encontraremos también los dos motores AC trifásicos más comunes: motores de inducción y motores sincrónicos. En esta oportunidad sólo abordaremos el caso de Motores DC.

Primero debemos ser capaces de obtener el grupo de ecuaciones que gobiernan este motor, es decir, la Dinámica del Motor. A partir de dichas ecuaciones estaremos en capacidad de construir la representación del motor en diagrama de bloques a partir de su representación esquemática, tal como lo ilustra la Figura 2.35:

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Diagrama de Bloques para un Motor DC

Para generar la representación en diagrama de bloques de una máquina DC el primer paso es definir la Dinámica del Sistema, como se mencionaba anteriormente. Luego, aplicando la Transformada de Laplace, podremos representar esta dinámica mediante diagramas de bloques y las funciones de transferencia que relacionan las variables de mayor relevancia.

Obtener las ecuaciones que gobiernan la dinámica de un motor implica el conocimiento de los conceptos básicos del movimiento rotatorio, así como los fundamentos de campo magnético. Para dar un repaso, ver: Movimiento Rotatorio – Conceptos básicos.Concepto de Campo Magnético.

Un Motor DC puede estar controlado por campo o por armadura. Haciendo referencia a la Figura 2.35., un imán estacionario permanente o un electroimán genera un flujo magnético Φ, constante, denominado Fixed Field. Como resultado, el motor es controlado por un voltaje ea aplicado a los terminales de la armadura. Aplicando la teoría de circuitos de Kirchhoff , deducimos la primera ecuación característica del sistema:

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Donde La Ra representan la inductancia y la resistencia de la armadura respectivamente.

La armadura es un circuito rotativo a través del cual circula una corriente  ia. Cuando la armadura pasa en ángulos rectos a través del flujo magnético Φ, siente una fuerza F=BLia donde B es la intensidad del campo magnético y L es la longitud de la bobina o conductor. El torque Tm que resulta de esta interacción hace girar el rotor, el cual es el miembro rotatorio del motor. Para un análisis lineal es necesario suponer que este torque o par es proporcional al flujo magnético Φ y a la corriente ia . De aquí podemos obtener la siguiente ecuación del sistema:

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Como Φ es constante, el factor Km*Φ se reduce a una constante denominada Ki. De esta manera, la ecuación anterior se reduce a:

null

Donde Ki es La Constante de Proporcionalidad, también llamada constante de torque del motor (o constante de par) y es uno de los parámetros dados por los fabricantes de motores. Ki, con frecuencia denominada también Kt en la literatura sobre el tema, viene en N-m/A.

Nota: cuando el motor es controlado por una corriente en el campo, con el fin de obtener un sistema lineal la corriente de armadura debe ser considerada constante y así el torque del motor viene dado por Tm= Kmif, donde if es la corriente de campo.

Otro importante fenómeno ocurre en el motor: Cuando un conductor se mueve en ángulos rectos a través de un campo magnético se genera un voltaje Vb en las terminales del conductor. Ya que la armadura rota en un campo magnético, el voltaje generado en el conductor que rodea la armadura es proporcional a la velocidad de rotación de la armadura, denominada ωm. De esta manera obtenemos otra ecuación de gran importancia:

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Donde:

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Denominamos a Vb la Fuerza Contraelectromotriz (o back emf por sus siglas en inglés); Kb es la constante de proporcionalidad llamada también constante emf. 

Aunque el Motor DC es por sí mismo un sistema en lazo abierto, veremos más adelante que la fuerza contraelectromotriz Vb, provoca un lazo realimentado dentro del motor, actuando como una “fricción eléctrica” que tiende a mejorar la estabilidad del motor.

Por último, aplicando las leyes de Newton para movimientos mecánicos rotacionales obtenemos:

null

Donde TL representa la carga, Jm es el momento inercial (inercia) del rotor, y Bm es el coeficiente de fricción viscosa del motor.

De esta manera hemos logrado definir el conjunto de ecuaciones que determina la Dinámica del Motor DC operando en lazo abierto:

nullnull

null

null

donde:

null

Para representar esta dinámica en diagrama de bloques, el siguiente paso consiste en aplicar la Transformada de Laplace a cada ecuación y despejar la salida θcomo función de las otras variables de estado.

Luego de aplicar Laplace, obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:

null

Este sistema de ecuaciones, tomando a Ea(s) como la entrada y a θm(s) como la salida,  se representan a continuación mediante El Diagrama de Bloques para un Motor DC operando a lazo abierto:

null

Aquí podemos corroborar lo que señalamos antes, que la fuerza contraelectromotriz, proporcional a Ωm(s), representado en el diagrama como Eb(s), genera un lazo realimentado que tiende a estabilizar el sistema.

La configuración del sistema electromecánico más comúnmente utilizado se muestra en la  Figura 2.15, operando a una velocidad constante y sin lazo de realimentación. La mayoría de estos sistemas se representan utilizando sólo las funciones de transferencia de cada equipo en un diagrama de bloques lo más resumido posible. Por tanto, generalmente es mucho más útil representar el motor y su carga mediante un único bloque, cosa que haremos más adelante, luego de conversar sobre el resto de los componentes más comunes en sistemas electrodinámicos: tren de engranajes, potenciómetros, tacómetros y amplificadores proporcionales.

El Potenciómetro.

Un potenciómetro es un transductor electromecánico que convierte energía mecánica en energía eléctrica. La entrada del dispositivo es una forma de desplazamiento mecánico que puede ser traslacional o rotacional. Cuando se aplica un voltaje a través de las terminales fijas del potenciómetro, el voltaje de salida, que se mide entre la terminal variable y tierra, es proporcional al desplazamiento de entrada. La Figura 4-29 muestra el esquema para un potenciómetro rotacional.

Cuando la carcaza del potenciómetro está conectada a la referencia, el voltaje de salida e(t) será proporcional a la posición del eje θc(t) para el caso de un movimiento rotatorio. Por tanto:

nullDonde Ks es la constante de proporcionalidad. Así que E(s)/θc(s) = Ks sería la función de transferencia de un potenciómetro, representada por el siguiente diagrama de bloque:

Los potenciómetros se usan a menudo para realimentar la posición de la salida en los sistemas de control de motores. Aquí trabaja entonces como un sensor mecánico. Permiten entonces comparar la posición real de la carga con la posición de referencia. La comparación genera una señal de error que luego se amplifica para mover al motor hasta alcanzar la posición correcta.

El Tacómetro.

Al igual que los potenciómetros, los tacómetros son dispositivos electromecánicos que convierten energía mecánica en energía eléctrica. Trabaja esencialmente como un generador de voltaje, con la salida de voltaje proporcional a la magnitud de la velocidad angular del eje de entrada. La Figura 4-33 refleja el uso común de un tacómetro en un sistema de control de velocidad:

La dinámica del tacómetro se puede representar como:

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Donde et(t) es el voltaje de salida, θ(t) es el desplazamiento del motor en radianes, ω(t) es la velocidad del rotor en rad/s, y Kt es la constante del tacómetro. Luego, términos del desplazamiento del motor:

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El tren de engranaje (transmisión de potencia)

Los trenes de engranajes se utilizan con mucha frecuencia en los sistemas electromecánicos con el fin de reducir la velocidad, amplificar el par o para obtener la transferencia de potencia más eficiente apareando el miembro impulsor con una carga dada. Considere el tren de engranajes mostrado en la Figura 2-30:

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En la práctica, el procedimiento más utilizado para calcular el momento de inercia equivalente J1-eq y la fricción viscosa equivalente b1-eq, consiste en reflejar la inercia y la fricción viscosa de la flecha de carga a la flecha del motor. El resultado es el siguiente:

nullnull

Donde J1-eq es la inercia equivalente vista por la flecha del motor y b1-eq es el coeficiente de amortiguamiento equivalente vista por la flecha del motor. En los diagramas de bloque se acostumbra representar al tren de engranaje mediante un bloque con función de transferencia proporcional, una constante Kg (por Kgears) equivalente al factor n1/n2.

El amplificador proporcional.

Un buen ejemplo de un amplificador proporcional es un Amplificador Operacional con realimentación negativa resistiva pura y configuración de inversor tal como se muestra en la Figura 2.7a.

Los Amplificadores Operacionales, con frecuencia llamados Op Amps, son ampliamente utilizados para amplificar señales en circuitos que funcionan como sensores. La Función de Transferencia del Amplificador Operacional se muestra en la Figura 2.7b con el nombre de G2:

Otra configuración de esta clase se muestra en la Tabla 3-1 con su función de transferencia:

Table 3-1

Operación en lazo cerrado.

La operación del motor DC en lazo abierto es aceptable para muchas aplicaciones donde una posición fija con cierto margen de error (un ascensor) o una velocidad fija (una motosierra) es suficiente. Sin embargo, en aplicaciones donde la velocidad es variable (una banda transportadora) o la posición debe ser controlada de manera muy precisa (un telescopio), será necesario seleccionar un control a lazo cerrado con realimentación negativa. Una operación a lazo cerrado muy popular es la de control de posición. Un esquema para el control de posición de la Antena Azimuth se muestra a continuación:

Cuyo diagrama de bloques es:

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La Figura 9.16 muestra otro ejemplo, el sistema ARMII, muy utilizado en robótica industrial, una articulación hombro / enlace electromecánica, accionada por un servomotor de corriente continua con controlador de armadura, donde se contrasta la configuración a lazo abierto con aquella a lazo cerrado:

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Ejemplo de aplicación:

Antes de continuar, veamos un ejemplo de cómo aplicar la teoría estudiada hasta ahora, a un caso bastante común:

  1. Obtener modelo matemático del sistema de control de posición de la Figura siguiente. Obtener su diagrama de bloques y la función de transferencia entre el ángulo de la carga y el ángulo de referencia θc(s)/θc(s).

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Respuesta:

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Todo el ejercicio está resuelto en el siguiente link:

Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Diagrama de Bloques para sistema DC Motor/Amplificador

El motor de CD es siempre manejado por un amplificador de potencia que actúa como fuente de energía.

Electrónica de Potencia.

El desempeño de los servomotores utilizados en Robótica son altamente dependientes del uso de amplificadores de potencia eléctrica y controles electrónicos, una rama comúnmente conocida como Electrónica de potencia (Power Electronic). Los actuadores en aplicaciones de robótica, en especial los Motores DC, deben ser controlados con precisión con el fin de obtener, por ejemplo, el movimiento deseado en brazos y piernas de un robot. Esto requiere del uso de amplificadores de potencia para suministrar el correcto nivel de voltaje (o corriente) a la armadura del motor. Para lograr esto, el uso de amplificadores proporcionales como el amplificador operacional discutido con anterioridad resulta ser un método muy ineficiente y posiblemente destructivo debido a la gran pérdida de potencia en forma de calor. Una alternativa es el control de voltaje utilizando un conmutador ON-OFF. PWM (Pulse Width Modulation por sus siglas en Inglés ) es el método más común para variar el voltaje promedio suministrado a un motor DC.

Brevemente, un sistema para accionar un motor (drive) tiene un diagrama de bloques semejante al mostrado en la Figura 27.1. Las cargas pueden ser un transportador, un sistema de tracción, los cilindros de una unidad de molino, el compresor de un aire acondicionado, el sistema de propulsión de un barco, la válvula de control de una caldera, un brazo robótico, y así sucesivamente.

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El bloque descrito como “Power Electronic Converter” en el diagrama de la Figura 27.1, en el caso de un control PWM, puede usar diodos,  MOSFETs, GTOs or IGBTs. Los sistemas de servoaccionamiento (Servo drives)  normalmente utilizan el convertidor de cuatro cuadrantes de la Figura 27.9, que permite accionamientos (drives) bidireccionales y capacidades de frenado regenerativo.

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PWM es una técnica para el control efectivo del voltaje de armadura en un motor DC, utilizando solamente un switch ON-OFF. La Figura 2.3.3 ilustra la señal de salida de un equipo PWM:

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El PWM varía la relación entre la duración del estado ON con respecto a la duración del estado OFF. Un solo ciclo de estados ON y OFF representa el periodo del PWM, mientras que el porcentaje del estado ON con respecto al periodo del PWM es denominado “Duty Rate” (ritmo de trabajo). La primera señal PWM mostrada en la Figura 2.3.3, está a 60% de trabajo, mientras la segunda lo está a 25%. Si la fuente de voltaje que alimenta el sistema es V=10 volts, el voltaje promedio realmente transmitido al motor DC es de 6 volts en el primer caso y de 2.5 volts en el segundo. El periodo del PWM es establecido de tal manera que sea mucho más corto que la constante de tiempo asociada al movimiento mecánico.  La frecuencia del PWM está usualmente entre los 2 y los 20 KHz, mientras que un ancho de banda típico del sistema de control del motor es de 100 Hz. Por lo tanto, la conmutación discreta no influye sustancialmente al movimiento mecánico en la mayoría de los casos.

Si la constante de tiempo Te es mucho mayor que el período de PWM, la corriente real que fluye hacia la armadura del motor es una curva suave, como se ilustra en la Figura 2.3.4:

SIGUIENTE: Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Diseño de sistemas de control - Tema siguiente.

El objetivo fundamental de analizar un sistema de control es facilitar su diseño. El Diagrama de Bloques es el primer paso porque representa el modelo matemático del sistema que queremos analizar y mejorar. La dinámica de un proceso lineal controlado puede representarse por el diagrama de bloques de la Figura 10-1:

La mayoría de los sistemas de control se construyen para que el vector de salida y(t) cumpla con ciertas especificaciones que definen que debe hacer el sistema y cómo hacerlo de una manera deseada. Dichas especificaciones son únicas para cada aplicación individual. Estabilidad relativa, precisión en estado estable (error) y respuestas transitoria son las especificaciones más utilizadas en el mercado. El problema esencial involucra determinar la señal de control U(t) dentro de un intervalo prescrito para que se satisfagan las especificaciones requeridas por el cliente.

Luego de determinar lo anterior, el ingeniero debe diseñar una configuración fija del sistema y el lugar donde el controlador estará colocado en relación con el proceso controlado, lo que involucra además diseñar los elementos que conforman el controlador, es decir, determinar los parámetros del controlador. Debido a que la mayoría de los esfuerzos de control involucran la modificación o compensación de las características de desempeño mostradas por el sistema durante el análisis de respuesta transitoria y respuesta en estado estable, al diseño de una configuración fija también se le llama compensación.

En definitiva, el arte y ciencia de diseñar sistemas de control puede resumirse en tres pasos, lo que nos conlleva a nuestros siguientes temas:

  1. Determinar que debe hacerse y cómo hacerlo
    1. Respuesta Transitoria de un Sistema de Control
    2. Estabilidad de un sistema de control
    3. Error en estado estable de un sistema de control
  2. Determinar la configuración del controlador
    1. PID – Acciones Básicas de Sistemas de Control
    2. PID – Efecto de las acciones de control Integral y Derivativo
    3. PID – Diseño y configuración del controlador
  3. Determinar los parámetros del controlador

Fuentes:

  1. Chapter 2, Block Diagram of EM Systems, pp 21, 43(23) (Fuchs E.F., Masoum M.A.S. (2011) Block Diagrams of Electromechanical Systems. In: Power Conversion of Renewable Energy Systems. Springer, Boston, MA)
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  4. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  5. dinamica_de_sistemas
  6. Actuators and Drive System – Robótica
  7. Libro Rashid – Power Electronic Handbook
  8. Introduction to robotic mechanic and control

 

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

Estabilidad de un sistema de control

Error en estado estable de un sistema de control

PID – Acciones Básicas de Sistemas de Control

 

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Block Diagram of Electromechanical Systems – DC Motor

Introduction

Electromechanical Systems are hybrids of electrical and mechanical variables. Applications for electromechanical components range from robot control, sun and star trackers, disk-drive position control, DC machines control and central Air-Conditioning systems for residences.

The structure of an Electromechanical Drive System is given in Figure 2.1. It consist of energy/power source, reference values for the quantities to be controlled, electronic controller, gating circuit for converter, electronic converter (rectifier, inverter, power electronic controller), current sensors (shunts, current transformer, Hall sensor), voltage sensor (voltage divider, potential transformer), speed sensors (tachometers) and displacement sensors (encoders), rotating three-phase machines, mechanical gearbox, and the application-specific load (pump, fan, automobile). In Figure 2-1 all but the mechanical gear are represented by a Transfer Functions (output variables as a function of time). Meanwhile, the mechanical gear is represented by the Transfer Characteristic (output variable Xout as a function of the input variable Xin).

[1]

The armature-controlled dc servomotor is perhaps the most important component found in robotic applications. But in general, in electromechanical systems, we can use induction motors and synchronous motors as well, the two most common three-phase AC Machines. Here, we just derive the Dynamic of the DC Motor in order to represent it through block diagrams. So we will have to pass from schematic to block diagram as shown in Figure 2.35:

[2]

The Block Diagram for a DC Motor

To derive the block diagram representation for a separately excited DC machine, firstly we must derive the Dynamic of the System, the differential equations that govern the DC machine. After that, we use the Laplace Transform to build the block diagram. The motor can be controlled by field or by armature. In this case, let’s suppose that a stationary permanent magnet or a stationary electromagnet generates a constant magnetic flux Ф called the Fixed Field according to Figure 2.35. As a result, the motor is controlled by a voltage ea applied to the armature terminals. The armature is a rotating circuit through which a current ia, flows. When the armature passes through Ф at right angles, it feels a force F=BLia where B is the magnetic field strength and L is the length of the conductor. The resulting torque Tm turns the rotor, the rotating member of the motor. For linear analysis it is supposed that this torque or par is proportional to the flux Ф and the armature current ia, and from here, we obtain the first important relation:

[3]

As Ф is constant, KmФ = Ki, so the previous equation is as follows,

Where Ki is The Constant of Proportionality, also called the motor torque constant (or par constant) and is one the parameter given by the manufacturers when selling a motor. Ki also frequently called KT comes in N-m/A.

(Note: when the motor is controlled by the current in the field, in order to have a linear system the current of the armature must be considered to be constant and the motor torque is given by Tm= KmiF)

There is another phenomenon that occurs in the motor: A conductor moving at right angles to a magnetic field generates a voltage Vb at the terminals of the conductor. Since the current-carrying armature is rotating in a magnetic field, its voltage is proportional to speed. In this way we obtain the second important equation:

[2]

We call Vb the Back Electromotive Force (or back emf); Kb is a constant of proportionality called the back emf constant, another given parameter. It is also important to notice that θm is the angular displacement and the angular velocity of the motor is ωm:

Although the motor is itself an open-loop system, later we will see that The Back EFM Vb, generates a feedback-loop inside the motor, acting as an “electric friction” that tends to improve the stability of the motor.

After this and applying the Kirchhoff’s law for voltages, we find the relation between the armature current ia, the applied armature voltage ea, and the back efm Vb (or eb). Clearing conveniently we obtain:

Where La and Ra represent the inductance and the resistance of the armature respectively. Vb = eb. (La and Ra are given parameters of the motor)

Now, applying Newton’s Law for Rotational Mechanical Systems and clearing conveniently:

Where TL represents the load, JM is the inertia of the rotor, and Bm viscous friction coefficient (JM and Bm are given parameters of the motor)

Actually, the completed Dynamic of the DC Motor in open-loop operation is the following set of differential equations:

[3]

To get a block diagram of this dynamic we have to apply Laplace Transform to this set of equations while focused on the value we are concerned as the output: θm. So, we now that

After applying Laplace:

θm(s) = Ωm(s)/S =(Ωm(s))*(1/S)

We can represent this simple relationship between θm(s) and Ωm(s) using a Block Diagram by recalling the fact that every block has a Transfer Function inside. In this case, the transfer function is:

θm(s)/Ωm(s) = 1/S

The block diagram to represent this system is:

We see now that we need to know what is Ωm(s). To know that we use

We clear for dθm/dt and apply Laplace. We obtain:

Ωm(s)=(Tm(s) – TL(s))/(Jm(s) + Bm(s))

As a dog following its tail, we continue this procedure using each of the rest of the equations just one time, till all the variables are cleared, except the inputs TL(s) and Ea(s).

To get Tm(s) we use:

And we get:

Tm(s)= KiIa(S)

Finally, from:

We get:

Ia(S)= (Ea(s)-Eb(s))/(SLa+Ra)

Eb(s)=KbΩm(s)

Now, using, the interconnecting, θm(s), Ωm(s), Tm(s), Ia(S), Ea(s), Eb(s) and TL(s), with functional blocks and its transfer functions, summing points and pickoff points, we get The Block Diagram for a DC Motor operating as an open-loop:

[3]

Here we can corroborate what we pointed out before, that the back electromotive force, proportional to Ωm (s), represented in the diagram as Eb (s), generates a feedback loop that tends to stabilize the system.

The most commonly used electromechanical system is shown in Figure 2.15., operating at about constant speed without feedback control. Some of the more commonly occurring drive systems are presented using linear transfer function within each and every block of these diagrams as in Figure 2.15. Consequently, we usually need the transfer function of the motor and its load to represent it just through one block.

 The Transfer Function for a DC Motor and Load

Let’s consider the configuration shown in Figure 2.37:

[2]

The relation between the input Ea(s) and the output θm(s) is given by:

(Note: To see how this equation is derived, please see page 81 of bibliography resource [2])

If we assume that the armature inductance La is small compared to the armature resistance Ra, which is usual for the motor DC, we obtain:

The desired Transfer Function θm(s)/Ea(s) is found to be:

[2]

Where Jm is the equivalent inertia after load inertia JL is reflected back to the armature, and Dm is the equivalent damping after load damping DL is reflected back to the armature, and:

Usually, to find the factors Kt/Ra and Kb, the user counts with the following relations and a Torque-Speed Curve of the motor provided by the manufacturer, as it is shown in the following example:

[2]

As a consequence, we can now represent the motor and its load through one block in the diagram:

Closed-loop operation.

The open-loop operation is acceptable for a lot of drive application where a constant speed (a chainsaw) or position (an elevator) is sufficient. However, if a variable speed is needed (conveyor belt) or the position must be accurate (an Antenna), a closed-loop control, with negative feedback, must be chosen. But, in a closed-loop operation, others devices are needed to assess or transform signals: sensors, transducers and amplifiers. A typical closed-loop operation is the position control schema for an Antenna Azimuth shown as follows:

Which equivalent block diagram is as follows:

[2]

The potentiometer. 

A potentiometer is an electromechanical transducer that converts mechanical energy into electrical energy. The input of the device is a form of mechanical displacement that can be translational or rotational. When a voltage is applied across the fixed terminals of the potentiometer, the output voltage, which is measured between the variable terminal and the ground, is proportional to the input shift. Figure 4-29 shows the schema for a rotational potentiometer.

[3]

When the potentiometer housing is connected to the reference, the output voltage e(t) will be proportional to the position of the axis θc(t) in the case of a rotatory movement. So,

where Ks is the constant of proportionality. So E(s)/θc(s) = Ks will be the transfer function for a block representing this relationship

Potentiometers are often used to feedback the output position in motor control systems. Here it works as a mechanical sensor. Doing so, they allow comparing the actual position of the load with the reference position. The comparison generates an error signal that is then amplified to move the motor until it reaches the correct position. Hence its name, servomotor, slaves of the reference position.

The Tachometer. 

Like potentiometers, tachometers are electromechanical devices that convert mechanical energy into electrical energy. It works essentially as a voltage generator, with the voltage output proportional to the angular velocity of the input shaft. Figure 4-33 reflects the common use of a tachometer in a speed control system:

[3]

The Dynamic of the tachometer can be represented by:

Where et(t) is the output voltage, θ(t) is the displacement of the motor in radians, ω(t) is the speed of the rotor in rad/s, and Kt is the constant of the tachometer. Later, Et(s)/Ω(s) = Kt. In terms of: the displacement of the motor:

The gear train. 

Gear trains are used very frequently in electromechanical systems in order to reduce speed, amplify torque or to achieve the more efficient power transfer by matching the driving member with a given load. Consider the gear train of Figure 2-30 (for a more exhaustive analysis please refer to page 66 of the bibliography [5]):

[5]

Generally, in practice, the most commonly used procedure is to reflect the inertia and the damping of the load arrow to the motor shaft. The result is as follows:

Where J1eq is the equivalent inertia seen by the motor arrow and b1eq is the equivalent damping coefficient seen by the motor arrow. In the block diagrams, it is customary to represent the gear train by a block with a proportional transfer function, a constant Kg (which stands for Kgears) equivalent to the n1/n2.

Example:
  1. Before continuing, let’s see an example of how to apply the theory studied to a fairly common case: Obtain mathematical model of the position control system of the Figure. Obtain your block diagram and the transfer function between the angle of the load and the reference angle θc(s)/θc(s).

null

Solution:

null

To see the whole answer see:

Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

DC Motor/Amplifier System Block Diagram

The CD Motor is always driven by a power amplifier that acts as an energy source. For this reason, it is more practical to present the Torque-Speed Curve of the combinación DC Motor/Amplifier. The Figure 4-51 shows a block diagram for the DC motor-Amplifier arrangement. And Figure 4-52 the Torque-Speed Curve:

[3]

The Proportional amplifier

A good example of a proportional amplifier is an Operational Amplifier with negative resistive feedback and inverting configuration such as shown in Figure 2.7a.

[1]

Operational amplifiers, often called Op Amps, are often used to amplify signals in sensor circuits. The Transfer Function of the Operational Amplifier is shown in Figure 2.7b under the name of G2:

Other configurations of this class are shown in Table 3-1 and Table 4-1 with their respective transfer functions:

Table 3-1

[4]

Table 4-1

[3]

Power Electronic

Performance of servomotors used for robotics applications highly depends on electric power amplifiers and control electronics, broadly termed Power Electronic. The actuators in robotic applications, mostly DC motors, must be controlled precisely so that desired motions of arms and legs may be attained. This requires a power amplifier to drive de desired level of voltage (or current indirectly) to the motor armature. The use of a linear amplifier, as the operational amplifier discussed in the previous section, is power-inefficient and impractical since it entails a large amount of power loss. An alternative is to control the voltage via ON-OFF switching. Pulse Width Modulation or PWM for short is the most commonly used method for varying the average voltage to the DC motor (For a detailed review of PWM see Motor Drives, p 663, bibliography [7])

Briefly, a typical motor drive system is expected to have some of the systems block diagram indicated in Figure 27.1. The load may be a conveyor system, a traction system, the rolls of a mill drive, the cutting tool of a numerically controlled machine tool, the compressor of an air conditioner, a ship propulsion system, a control valve for a boiler, a robotic arm, and so on.

[7]

The Power Electronic converter block in the previous diagram, for PWM control with inner current loop, may use diodes, MOSFETs, GTOs or IGBTs. Servo drive systems normally use the full four-quadrant converter of Figure 27.9, which allows bidirectional drives and regenerative braking capabilities.

[7]

The PWM is a technique to control an effective armature voltage by using the ON-OFF switching alone. Figure 2.3.3 illustrates the PWM signal:

[6]

PWM varies the ratio of the time length of the complete ON state to the complete OFF state. A single cycle of ON and OFF states is called the PWM period, whereas the percentage of the ON stage in a single period is called duty rate. The first PWM signal of Figure 2.3.3, is of 60% duty, and the second one is 25%. If the voltage supply is V=10 volts, the average voltage actually transmitted to the DC motor is 6 volts and 2.5 volts respectively. The PWM period is set to be shorter than the time constant associated with the mechanical motion. The PWM frequency is usually between 2 and 20 KHz, whereas the bandwidth of a motion control system is at most 100 Hz. Therefore, the discrete switching does not influence the mechanical motion in most cases.

If the electric time constant Te is much larger than PWM period, the actual current flowing to the motor armature is a smooth curve, as illustrated in Figure 2.3.4:

[6]

Design of Control Systems - Next Topic

The fundamental objective of analyzing a control system is to facilitate its design. The Block Diagram is the first step because it represents the mathematical model of the system that we want to analyze and improve. The dynamics of a controlled linear process can be represented by the block diagram of Figure 10-1:

[3]

Most control systems are built so that the output vector y (t) meets certain specifications that define what the system should do and how to do it in the desired way. These specifications are unique for each individual application. Relative stability, steady-state precision (error) and transient response are the most commonly used specifications in the market. The essential problem involves determining the control signal U (t) within a prescribed range so that the specifications required by the customer are met.

After determining the above, the engineer must design a fixed configuration of the system and the place where the controller will be placed in relation to the controlled process, which also involves designing the elements that make up the controller, that is, determining the controller parameters. Because most control efforts involve modifying or compensating the performance characteristics displayed by the system during the transient response analysis and steady state response, the design of a fixed configuration is also called compensation.

In short, the art and science of designing control systems can be summarized in three steps, which leads to our following issues:

  1. Determine what should be done and how to do it
    1. Transient Response Specifications
    2. Stability – Routh Criterion
    3. Stead-State Error
  2. Determine the driver configuration
    1. Proportional, Integral and Derivative Control Actions
    2. PD Controller
    3. PI Controller
    4. PID controller
  3. Determine the controller parameters

Source

  1. Chapter 2, Block Diagram of EM Systems, pp 21, 43(23) (Fuchs E.F., Masoum M.A.S. (2011) Block Diagrams of Electromechanical Systems. In: Power Conversion of Renewable Energy Systems. Springer, Boston, MA)
  2. Control Systems Engineering, Nise pp 79, 81
  3. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo pp 159, 203
  4. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t pp 103,
  5. dinamica_de_sistemas p 66
  6. Actuators and Drive System – Robótica
  7. Libro Rashid – Power Electronic Handbook p 663-666

Written by: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

The Block Diagram – Control Engineering

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

Transient Response Specifications

Control System Stability

PID – Basic Control System Actions

Block Diagram, Control System Analysis

The Block Diagram – Control Engineering

Foundations

A control system may consist of a number of components. To show the function performed by each component, control engineers commonly use a diagram called the block diagram.They are used in various control actions at automated control systems. The first application is in representing physical systems.

A block diagram of a system is a pictorial representation of the functions performed by each component and of the flow of signals. Such a diagram depicts the interrelationship that exists among the various components. Differing from a purely mathematical representation, a block diagram has the advantage of indicating more realistically the signals flow of the actual system.The Figure 1.9b and c show a schematic for an Antenna azimuth position control system, and Figure 1.9d shows its functional block diagram:

[2]

The functional block is a symbol for the mathematical operation on the input signal to the block that produces the output. The Transfer Functions of the components are usually entered in the corresponding blocks, which are connected by arrows to indicate the direction of the signal flow.

Figure 3-2 shows an element of the block diagram (In order to guide the readers to the source, I preferred to use the same reference from the book where I found the information). The dimension of the output signal of the block is the dimension of the input signal multiplied by the dimension of the transfer function in the block.

[1]

The main contribution of the block diagrams lies in the fact that the functional operation of the entire system can be visualized more readily by examining its block diagram than by examining the physical system itself. The block diagram contains information concerning dynamic behavior but it does not include any information about the physical construction of the system. Consequently, many dissimilar or unrelated systems can be represented by the same block diagram.

So, each block can be considered as a subsystem. When multiple subsystems are interconnected it is necessary to add new elements to the block diagram: summing points and pickoff points. The characteristics of each element are shown in Figure 5-2:

[2]

One of the most important components of a control system is that which acts as a union point to the comparison of signals. That is what a summing point do. Examples of the devices involved in these operations are the potentiometer and the differential amplifier. Figure 3-3 shows the diversity of this operations:

[3]

A pickoff point, as shown in Figure 5-2, distributes the input signal to several output points.

We will now examine some common topologies for interconnecting subsystems and derive the single Transfer Function representation. These common topologies will form the basis for reducing more complicated systems to a single block.

Cascade Form

Figure 5-3 shows an example of cascade configuration. Intermediate signals values are shown at the output of each subsystem. Each signal is derived from the product of the imput times the Transfer Function.

[2]

The Equivalent Transfer Function Ge(s) is shown in Figure 5-3-b and it is the output Laplace Transform divided by the input Laplace Transform as follows:

Parallel Form

Figure 5-5 shows an example of parallel subsystems.

[2]

Again, by writing the output of each system we can find the equivalent Transfer Function. Parallel subsystems have a common input and the output form by the algebraic sum of the output from all of the subsystems.The equivalent Transfer Function Ge(s) is the output transform divided by the input transform as follows:

Feedback Form

Figure 3-4 shows an example of a block diagram of a Feedback system, also known as Closed-Loop System. The output C(s) is fed back to the summing point to compare it with the reference input signal R(s).

[1]

Generally, when the output signal C(s) is fed back to the summing point for comparison with the input, it is necessary to transform its form so that it gets the same form of the input signal. For example, the output could be an assessment of the temperature, thus it has the dimensions of the temperature, but the input could be a level of voltage, so it has a typical dimension of electricity. The control system must implement a transducer to set both signals in the same dimension. The conversion is accomplished by the feedback element whose Transfer Function is H(s):

[1]

For the system shown in Figure 3-5 the output C(s) an input R(s) are related as follows:

The Transfer Function relating C(s) and R(s) is called The Closed-Loop Transfer Function and it relates the closed-loop system Dynamic to the Dynamic of the feedforward elements and feedback elements.

To finish, Table 3-1 shows the algebraic rules for Block Diagrams:

[1]

The next example shows how to obtain the Transfer Function of a closed-loop model by using the rules from Table 3-1 at simplifying Block Diagrams:

BD Reductionn

[1]

Sources:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t pp 71,116
  2. Control Systems Engineering, Nise p236
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo p108

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Block Diagram of Electromechanical Systems

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

 

Cimientos

Un sistema de control puede estar compuesto por numerosos mecanismos eléctricos, (resistencias), electrónicos (un amplificador operacional), electromecánicos (motores). Para representar todos estos componentes y la manera como fluye la información entre ellos, los ingenieros de control se valen de Los Diagramas de Bloques. Esta representación permite desarrollar esquemas para comprender más fácilmente las operaciones de control en el sistema, representando pictóricamente la función de cada elemento físico de dicho sistema.

A diferencia de una representación puramente matemática integrada por ecuaciones diferenciales, o su equivalente luego de utilizar la Transformada de Laplace o Variables de Estado, los diagramas de bloques nos permiten visualizar de una manera más realista el flujo de las señales en el sistema.

Las Figuras 1.9b y c muestran un esquema para la “Antenna azimuth position control system”, y la Figura 1.9d muestra su Diagrama de Bloques Funcional:

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null

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Cada bloque del diagrama, denominado Bloque Funcional, consiste en un rectángulo que en su centro muestra la operación matemática aplicada a la señal de entrada (etiquetada con una flecha que entra al bloque) y que produce la señal de salida (etiquetada con una flecha que sale del bloque)

La Figura 3-2 muestra los elementos de un Bloque Funcional. La dimensión de la señal de salida es la dimensión de la señal de entrada multiplicada por la función del bloque, mejor conocida como Función de Transferencia G(s).

El aporte más importante de un diagrama de bloques es que permite al ingeniero de control visualizar la operación y funcionalidad del sistema de control en su totalidad, de una manera incluso más práctica que observando directamente el sistema físico mismo. Sin embargo, el diagrama de bloques ofrece información puramente relacionada con el comportamiento dinámico del sistema, también llamado Dinámica del Sistema. Es decir, el diagrama de bloques no nos dice cómo está construido físicamente el sistema en realidad. Por ello, dos o más sistemas de control físicamente distintos y no relacionados pueden estar representados por el mismo diagrama de bloques.

Cada Bloque Funcional es considerado en sí mismo un subsistema. Cuando múltiples subsistemas se interconectan se hace necesario añadir nuevos elementos al diagrama de bloques. Aparecen entonces de acuerdo con Ogata (1998), los Puntos Suma (summing point) y los Puntos de Ramificación (pickoff points). Las características de cada elemento pueden observarse en la Figura 5-2

Los puntos de suma permiten ejecutar una de las operaciones más importantes de un sistema de control: la comparación entre dos o más señales (Figure 5-2-c). Ejemplos del tipo de aparatos utilizados en este tipo de operaciones son El Potenciómetro y El Amplificador Operacional. La Figura 3-3 muestra que tan diversas pueden ser estas operaciones:

Por su parte los puntos de ramificación permiten distribuir una señal de entrada hasta varios puntos de salida (Figure 5-2-d).

Ahora examinaremos las topologías más comunes en las cuáles estos subsistemas llamados Bloques Funcionales se interconectan. También hablaremos de la técnica básica para reducir estas configuraciones a un sólo bloque y, por ende, a una Función de Transferencia única.

Forma de Cascada

La Figura 5-3 muestra un ejemplo de Diagrama de Bloques en Cascada. Los valores de las señales intermedias se muestran a la salida de cada subsistema. Cada uno de estos valores se obtiene como resultado de multiplicar la Transformada de Laplace de la entrada por la Transformada de Laplace de la Función de Transferencia de cada bloque:

La Función de Transferencia Ge(s) se observa en la Figura 5-3b y es resultado de dividir la Transformada de Laplace de la salida entre la Transformada de Laplace de la entrada:

Forma en paralelo.

La Figura 5-5 muestra un ejemplo de Diagrama de Bloques en Paralelo.

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Nuevamente en la figura anterior se procede a multiplicar la Transformada de Laplace de la entrada de cada bloque por la Transformada de Laplace de su Función de Transferencia. Luego, a la salida de cada subsistema encontramos los valores de las señales intermedias.

Los subsistemas en paralelo tienen una entrada en común y su salida se forma como producto de la suma algebraica de todas las salidas de cada uno de los bloques. Una vez más, la Función de Transferencia equivalente Ge(s) para todo el sistema es la siguiente:

Forma realimentación.

La Figura 3-4 muestra un ejemplo de diagrama de bloque para un Sistema de Control con Realimentación (Feedback System), también conocido como Sistema de Lazo Cerrado. El punto de suma es realimentado con la salida C(s) para ser comparada con la señal de referencia R(s).

Generalmente, cuando la señal de salida C(s) es realimentada al punto de suma para su comparación, es necesario primero transformar dicha señal de salida a una forma que coincida con la de la señal de entrada. Para que puedan ambas ser sometidas a una operación matemática deben estar expresadas en las mismas dimensiones. Por ejemplo, la salida puede ser una medida de temperatura, la cual debe transformarse a una señal de voltaje porque la señal de referencia es por lo general una señal de voltaje. Por tanto, en el camino de regreso la señal de entrada es tratada por un transductor que transforma la señal de temperatura en señal eléctrica. La transformación es lograda por un dispositivo cuya Función de Transferencia es H(s):

Para el sistema de la figura anterior la salida C(s) y la entrada R(s) están relacionadas como sigue:

La Función de Transferencia que relaciona C(s) y R(s) se denomina Función de Transferencia de Lazo Cerrado.

Para culminar, mostramos a continuación las reglas del álgebra básicas para los Diagramas de Bloques:

El siguiente ejemplo ilustra la manera de obtener la Función de Transferencia de un modelo con realimentación, utilizando las reglas mencionadas en la Tabla 3-1 y las del modelo en cascada, para reducir Diagramas de Bloques:

BD Reductionn

Fuentes:

  1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico, Kuo

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Atención:

Si lo que Usted necesita es reducir un Diagrama de Bloques complejo, resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o resolver un problema más complejo que involucra el uso de dispositivos electromecánicos (motor, sensor, etc) en un sistema de control…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema..Yo le resolveré cualquier problema de Sistemas de Control, le entrego la respuesta en digital y le brindo una video-conferencia para explicarle la solución…incluye además simulación en Matlab.

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Diagrama de Bloques para un Sistema Electromecánico

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Electrical Engineer, Flujo de Potencia

Flujo de Potencia – Simulación con Matlab

Versión pdf: Flujo de Potencia – Análisis y Simulación.

Las herramientas de Matlab para el análisis de sistemas de potencia pueden dividirse en dos tipos: programas comerciales y programas destinados a la educación e investigación. Entre los comerciales se mencionan los siguientes: NEPLAN, PowerWorld y ATP. La principal desventaja de estos es que son programas de código cerrado, por tanto no se pueden modificar sus rutinas o agregar nuevos modelos de dispositivos eléctricos, lo que limita enormemente su aplicación para el análisis de nuevas tecnologías, así como su aplicación para la investigación y la educación. En contraste, Matpower (Matlab Power System Simulation Package) es una herramienta de código abierto, fácilmente modificable que se adapta a las necesidades del mundo académico. En sus propias palabras, el matpower-guide reza: MATPOWER is a package of MATLAB M-files for solving power flow and optimal power flow problems. It is intended as a simulation tool for researchers and educators that is easy to use and modify. MATPOWER is designed to give the best performance possible while keeping the code simple to understand and modify…MATPOWER is free. Anyone may use it. A continuación, la Figura 1 muestra un resumen de los paquetes basados en Matlab para el análisis de sistemas de potencia:

Figura 1: Paquetes basados en Matlab para el estudio de sistemas de potencia.

Fuente: (Guzmán M. , 2012)

Aplicación.

Caso 9 Bus IEEE

Caso 30 Bus IEEE

A continuación se presentan aplicaciones específicas de Matlab y su herramienta Matpower para analizar casos IEEE de 30 barras y 9 barras (Figuras de arriba). Si bien, la función objetivo puede ser cualquiera (en estos ejemplos se utilizan los algoritmos “Simulated Annealing” y “Tabu Search” ), la corrida de flujo de potencia es un buen ejemplo del cómo se ejecuta dicha corrida en Matlab. Para ejecutar los ejemplos se debe crear un archivo .m para cada título (a,b,…etc), con el nombre exactamente igual como aparece en la lista porque…. Cada uno de ellos es utilizado por el Principal y deben estar todos cargados en matlab en la misma bandeja, la misma vía de acceso, para que matlab los encuentre. Adicional a esto, se deben copiar y cargar en Matlab varios archivos de la librería de Matpower.

  1. Tabu Search
    1. Principal.m
    2. st.m
    3. ogranicenja.m
    4. JANA.m
    5. Fobj.m
    6. Ybus.m
    7. Caso_30Bus.m
    8. Caso_9Bus.m
    9. Deberá obtener de la librería de Matpower y cargar en Matlab los siguientes archivos:
      1. test.mat
      2. all.mat
      3. bus.mat
    10. También debes crear un par de archivos jpg para las imágenes de cada caso mostradas más arriba
      1. Caso_30Bus.jpg
      2. Caso_9Bus.jpg

Instrucciones: Al darle play al archivo Principal.m, se te abre una ventana interactiva (IDE). Del lado superior izquierdo elegirás el tipo de bus (9 o 30), elegirás el método (solo tabu search por los momentos), la función objetivo (solo aparece pérdidas) y luego llenas las características para el tabu search, coloqué un botón que indica por defecto y te lanza unos datos, dale a por defecto (tmax aumenta el tiempo de iteración, mejora la solución por si quieres jugar con el). Presionas el botón Corrida que es de color Morado, e iniciará los cálculos Esperas a que termine y en resultados puedes ver todas las respuestas. Sabrás que el programa terminó porque te mostrará una gráfica y desaparecerán todo el desastre de gráficas y tablas que estaban antes. También en la ventana de comando te saldrá un tiempo, el que tardó en cada vuelta. Hay dos botones de imagen, uno te lanza el resultado de las pérdidas verás que la gráfica es una curva que baja. El otro botón de Imagen te da otra gráfica, que es la de iteraciones por Bus.

  1. Tabu Search (variante)
    1. Caso_30Bus.m
    2. Caso_9Bus.m
    3. Bus30.m
    4. Bus9.m
    5. Instrucciones: En este caso no se ejecuta un IDE sino que la corrida se observa directamente en la cónsola de Matlab. Debes cargar todos los archivos restantes del caso anterior. El principal en este caso es Bus30, o Bus9.
  2. Simulated Annealing
    1. En este ejemplo tendremos más de 80 archivos. La manera más práctica de compartir este ejemplo contigo es que me envíes tu dirección de correo electrónico y utilizo la herramienta de google drive para compartir todo en uno, (igual podemos hacer lo mismo con Tabu Search) de manera tal que lo descargues en tu compu, luego direccionas matlab adecuadamente y ejecutas…sencillo, gratis y un placer por servir. Por favor escribir solicitud a dademuchconnection@gmail.com

La programación en Matlab fue desarrollada por el estimado profesor de la EIE-UCV  Rafael Malpica.

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