Control System Analysis, Electrical Engineer

Mass-Spring-Damper System Dynamics

Basic elements of a mechanical system.

The basic elements of any mechanical system are the mass, the spring and the shock absorber, or damper. The study of movement in mechanical systems corresponds to the analysis of dynamic systems. In Robotics, for example, the word Forward Dynamic refers to what happens to actuators when we apply certain forces and torques to them.

The mass, the spring and the damper are basic actuators of the mechanical systems.

Consequently, to control the robot it is necessary to know very well the nature of the movement of a mass-spring-damper system.

In addition, this elementary system is presented in many fields of application, hence the importance of its analysis. Again, in robotics, when we talk about Inverse Dynamic, we talk about how to make the robot move in a desired way, what forces and torques we must apply on the actuators so that our robot moves in a particular way.

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Before performing the Dynamic Analysis of our mass-spring-damper system, we must obtain its mathematical model. This is the first step to be executed by anyone who wants to know in depth the dynamics of a system, especially the behavior of its mechanical components.

We will begin our study with the model of a mass-spring system.

This is convenient for the following reason. All the mechanical systems have a nature in their movement that drives them to oscillate, as when an object hangs from a thread on the ceiling and with the hand we push it. Or a shoe on a platform with springs. It is good to know which mathematical function best describes that movement.

But it turns out that the oscillations of our examples are not endless. There is a friction force that dampens movement. In the case of the object that hangs from a thread is the air, a fluid. So after studying the case of an ideal mass-spring system, without damping, we will consider this friction force and add to the function already found a new factor that describes the decay of the movement.

 

Mass-Spring System.

 

Figure 5

The dynamics of a system is represented in the first place by a mathematical model composed of differential equations. In the case of the mass-spring system, said equation is as follows:

This equation is known as the Equation of Motion of a Simple Harmonic Oscillator. Let’s see where it is derived from.

If our intention is to obtain a formula that describes the force exerted by a spring against the displacement that stretches or shrinks it, the best way is to visualize the potential energy that is injected into the spring when we try to stretch or shrink it. The following graph describes how this energy behaves as a function of horizontal displacement:

As the mass m of the previous figure, attached to the end of the spring as shown in Figure 5, moves away from the spring relaxation point x = 0 in the positive or negative direction, the potential energy U (x) accumulates and increases in parabolic form, reaching a higher value of energy where U (x) = E, value that corresponds to the maximum elongation or compression of the spring. The mathematical equation that in practice best describes this form of curve, incorporating a constant k for the physical property of the material that increases or decreases the inclination of said curve, is as follows:

The force is related to the potential energy as follows:

Therefore:

It makes sense to see that F (x) is inversely proportional to the displacement of mass m. Because it is clear that if we stretch the spring, or shrink it, this force opposes this action, trying to return the spring to its relaxed or natural position. For that reason it is called restitution force. The above equation is known in the academy as Hooke’s Law, or law of force for springs. The following is a representative graph of said force, in relation to the energy as it has been mentioned, without the intervention of friction forces (damping), for which reason it is known as the Simple Harmonic Oscillator. It is important to emphasize the proportional relationship between displacement and force, but with a negative slope, and that, in practice, it is more complex, not linear.

Source: Física. Robert Resnick

For an animated analysis of the spring, short, simple but forceful, I recommend watching the following videos: Potential Energy of a Spring, Restoring Force of a Spring

AMPLITUDE AND PHASE: SECOND ORDER II (Mathlets)

Sistema MRA

Amplitude-and-Phase-2nd-Order-II

Going back to Figure 5:

We go to Newton’s Second Law:

This equation tells us that the vectorial sum of all the forces that act on the body of mass m, is equal to the product of the value of said mass due to its acceleration acquired due to said forces. Considering that in our spring-mass system, ΣF = -kx, and remembering that acceleration is the second derivative of displacement, applying Newton’s Second Law we obtain the following equation:

Fixing things a bit, we get the equation we wanted to get from the beginning:

This equation represents the Dynamics of an ideal Mass-Spring System.

Apart from Figure 5, another common way to represent this system is through the following configuration:

:

In this case we must consider the influence of weight on the sum of forces that act on the body of mass m. The weight P is determined by the equation P = m.g, where g is the value of the acceleration of the body in free fall.

If the mass is pulled down and then released, the restoring force of the spring acts, causing an acceleration ÿ in the body of mass m. We obtain the following relationship by applying Newton:

If we implicitly consider the static deflection, that is, if we perform the measurements from the equilibrium level of the mass hanging from the spring without moving, then we can ignore and discard the influence of the weight P in the equation. If we do y = x, we get this equation again:

Mass-spring-damper System

 

If there is no friction force, the simple harmonic oscillator oscillates infinitely. In reality, the amplitude of the oscillation gradually decreases, a process known as damping, described graphically as follows:

The displacement of an oscillatory movement is plotted against time, and its amplitude is represented by a sinusoidal function damped by a decreasing exponential factor that in the graph manifests itself as an envelope. The friction force Fv acting on the Amortized Harmonic Movement is proportional to the velocity V in most cases of scientific interest. This force has the form Fv = bV, where b is a positive constant that depends on the characteristics of the fluid that causes friction. This friction, also known as Viscose Friction, is represented by a diagram consisting of a piston and a cylinder filled with oil:

The most popular way to represent a mass-spring-damper system is through a series connection like the following:

Figura 6

As well as the following:

In both cases, the same result is obtained when applying our analysis method. Considering Figure 6, we can observe that it is the same configuration shown in Figure 5, but adding the effect of the shock absorber. Applying Newton’s second Law to this new system, we obtain the following relationship:

This equation represents the Dynamics of a Mass-Spring-Damper System.

Laplace Transform of a Mass-Spring-Damper System

A solution for equation (37) is presented below:

Equation (38) clearly shows what had been observed previously. An example can be simulated in Matlab by the following procedure:

Tcontinuo

The shape of the displacement curve in a mass-spring-damper system is represented by a sinusoid damped by a decreasing exponential factor. It is important to understand that in the previous case no force is being applied to the system, so the behavior of this system can be classified as “natural behavior” (also called homogeneous response). Later we show the example of applying a force to the system (a unitary step), which generates a “forced behavior” that influences the final behavior of the system that will be the result of adding both behaviors (natural + forced). Remark: When a force is applied to the system, the right side of equation (37) is no longer equal to zero, and the equation is no longer homogeneous.

The solution for the equation (37) presented above, can be derived by the traditional method to solve differential equations. However, this method is impractical when we encounter more complicated systems such as the following, in which a force f(t) is also applied:

Figura 7

The need arises for a more practical method to find the dynamics of the systems and facilitate the subsequent analysis of their behavior by computer simulation. The Laplace Transform allows to reach this objective in a fast and rigorous way.

In equation (37) it is not easy to clear x(t), which in this case is the function of output and interest. A differential equation can not be represented either in the form of a Block Diagram, which is the language most used by engineers to model systems, transforming something complex into a visual object easier to understand and analyze.The first step is to clearly separate the output function x(t), the input function f(t) and the system function (also known as Transfer Function), reaching a representation like the following:

r(t)=f(t), c(t)=x(t)

The Laplace Transform consists of changing the functions of interest from the time domain to the frequency domain by means of the following equation:

The main advantage of this change is that it transforms derivatives into addition and subtraction, then, through associations, we can clear the function of interest by applying the simple rules of algebra. In addition, it is not necessary to apply equation (2.1) to all the functions f(t) that we find, when tables are available that already indicate the transformation of functions that occur with great frequency in all phenomena, such as the sinusoids (mass system output, spring and shock absorber) or the step function (input representing a sudden change). In the case of our basic elements for a mechanical system, ie: mass, spring and damper, we have the following table:

That is, we apply a force diagram for each mass unit of the system, we substitute the expression of each force in time for its frequency equivalent (which in the table is called Impedance, making an analogy between mechanical systems and electrical systems) and apply the superposition property (each movement is studied separately and then the result is added).

Figure 2.15 shows the Laplace Transform for a mass-spring-damper system whose dynamics are described by a single differential equation:

null

null

The system of Figure 7 allows describing a fairly practical general method for finding the Laplace Transform of systems with several differential equations. First the force diagram is applied to each unit of mass:

For Figure 7 we are interested in knowing the Transfer Function G(s)=X2(s)/F(s).

Arranging in matrix form the equations of motion we obtain the following:

Equations (2.118a) and (2.118b) show a pattern that is always true and can be applied to any mass-spring-damper system:

The immediate consequence of the previous method is that it greatly facilitates obtaining the equations of motion for a mass-spring-damper system, unlike what happens with differential equations. In addition, we can quickly reach the required solution. In the case of our example:

Where:

These are results obtained by applying the rules of Linear Algebra, which gives great computational power to the Laplace Transform method.

Application examples ...under construction

Example 1.

Exercise B318, Modern_Control_Engineering, Ogata 4t p 149 (162),

null

null

null

Answer Link: Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

Example 2.

  1. Control Systems Engineering, Nise, p 101

Answer Link: Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Rotational Case

So far, only the translational case has been considered. In the case that the displacement is rotational, the following table summarizes the application of the Laplace transform in that case:

Example:

The following figures illustrate how to perform the force diagram for this case:

Therefore:

Being:

We observe that again it is true that:

Bibliography

:

  1. Robert Resnick, tomo1
  2. Dinamica_de_Sistemas, Katsuhiko Ogata
  3. Control Systems Engineering, Norman Nise
  4. Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo
  5. Ingenieria de Control Moderna, 3° ED. – Katsuhiko Ogata
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INDEX
Preface ii
Introduction iii
 Chapter 1———————————————————- 1
o Mass-spring-damper System (translational mechanical system)
 Chapter 2———————————————————- 51
o Mass-spring-damper System (rotational mechanical system)
 Chapter 3———————————————————- 76
o Mechanical Systems with gears
 Chapter 4———————————————————- 89
o Electrical and Electronic Systems
 Chapter 5——————————————————— 114
o Electromechanical Systems – DC Motor
 Chapter 6——————————————————— 144
o Liquid level Systems
 Chapter 7——————————————————— 154
o Linearization of nonlinear Systems
 References——————————————————- 164


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Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia

Función de Transferencia de un motor DC con carga.

Dado el sistema y la curva torque-velocidad angular de la Figura 2.39, determinar la función de transferencia θL(s)/Ea(s).

  1. Dinámica del sistema

2. Transformada de Laplace:

3. Función de transferenciaLuego:De donde:De la curva torque-velocidad sabemos que:

Por tanto:Además:Sustituimos todos los valores de parámetros calculados o dados:

Referencia:

  1. Control Systems Engineering, Norman Nise

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INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

Atención: 

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema: 

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Relacionado:

Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC

Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Ejemplo 1 – Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

 

 

 

Análisis de sistemas de control, Función de Transferencia

Función de Transferencia de Sistema Mecánico Rotacional (masa-resorte-amortiguador)

Find the transfer function, G(s)=θ2(s)/T(s), for the rotational
mechanical system shown in Figure 2.26 (Nise):

1. Dinámica del sistema:

Por otra parte:

2. Transformada de Laplace:

Ecuación 1:

Ecuación 2:

3. Función de Transferencia:

Sustituyendo los valores:

De dónde:

  1. Control Systems Engineering, Norman Nise
  2. Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo
  3. Ingenieria de Control Moderna, 3° ED. – Katsuhiko Ogata

Atención:

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INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

Atención: 

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Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC

Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Ejemplo 1 – Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab

Análisis de sistemas de control, Señales y Sistemas

La Función de Transferencia

La Función de Transferencia H(s) es el cociente formado por Y(s), la Transformada de Laplace de la salida de un sistema LTI (Causal, Lineal e Invariante en el tiempo), dividida entre X(s), la Transformada de Laplace de la entrada a dicho sistema, cuando las condiciones iniciales son iguales a cero en el tiempo t=0 :Dónde:Observación: La Función de Transferencia sólo se expresa como una función de la variable compleja s. Para obtenerla, es necesario que las condiciones iniciales sean nulas. De no serlo, se debe obligar a dichas condiciones a ser cero.

Observación: Conociendo la Función de Transferencia H(s) de un sistema, podemos conocer la salida y(t) en el dominio del tiempo para cualquier entrada x(t), aplicando los siguientes pasos:

Veremos un par de comandos en Matlab que ilustran este importante resultado.

Observación: La Función de Transferencia es una propiedad intrínseca del sistema, no depende del tipo o naturaleza de la entrada o excitación.

Observación: La Función de Transferencia no ofrece información sobre las características físicas del sistema. De hecho, sistemas con diferentes estructuras, dimensiones o distribuciones físicas pueden tener la misma Función de Transferencia.

Observación: La Función de Transferencia es una parte importante del primer paso necesario para el diseño y análisis de sistemas de control: el modelo matemático del sistema.

Observación: La Función de Transferencia H(s) de un sistema LTI también se puede definir como la Transformada de Laplace de la Respuesta al Impulso, con todas las condiciones iniciales iguales a cero. Suponiendo que la respuesta del sistema al impulso se denota como h(t), entonces:

La Función de Transferencia se obtiene a partir  de la representación de un sistema LTI por medio de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, el modelo dinámico del sistema.  Se hace uso intensivo de la propiedad de La Transformada de Laplace definida como “derivación n-ésima de una función en el dominio del tiempo”. Dicha propiedad sirve de fundamento para el método que permite separar algebraicamente la salida de la entrada, y obtener la Función de Transferencia.

Ejemplo.

Hallar la Función de Transferencia X(s)/P(s) del siguiente sistema mecánico:

Para obtener la ecuación diferencial que describe el comportamiento dinámico de este sistema, aplicamos la Ley de Newton:

Suponiendo las condiciones iniciales iguales a cero, y que se trata de un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo (LTI), aplicamos superposición y determinamos las fuerzas que actúan sobre la masa m, así obtenemos:

Esta es la ecuación diferencial del sistema, su modelo matemático. Por ser un sistema LTI, los coeficientes de la ecuación son constantes. Se procede ahora a aplicar la Transformada de Laplace a esta ecuación. Sabemos de La Transformada de Laplace que la manera más práctica es actuar sobre cada término de la ecuación por separado:

Así la ecuación del sistema luego de aplicarle Laplace es:

que podemos expresar como:

con el fin de despejar y obtener la Función de Transferencia del sistema:

La Función de Transferencia y el Diagrama de Bloques.

La Función de Transferencia permite representar un sistema mediante una herramienta gráfica que muestra el flujo de información a través de todos los componentes del mismo: El diagrama de bloques.

En construcción…

 

Atención: 

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Análisis de sistemas de control, Ingeniería Electrónica

Concepto de Realimentación Electrónica

La realimentación electrónica consiste en tomar la información disponible en una parte del circuito e introducirla en otra parte del circuito con el fin de influir sobre el comportamiento de la salida.

La realimentación, o feedback (fb), es un concepto físico y no un concepto matemático, e implica un gasto de energía. Por tanto, la energía disponible en el origen de la información debe ser superior a la energía en el punto destino. Es por ello que se requiere de un circuito electrónico para poder implementar una realimentación efectiva, debido a que este tipo de circuitos permite incrementar la energía de la información a medida que ésta fluye a través del sistema, además de que permite establecer un flujo de información con dirección contraria a la que dicho flujo tiene debido a la naturaleza e influencia del sistema.

Ojo, no sólo los sistemas electrónicos son capaces de implementar un sistema realimentado. Existen numerosos mecanismos de realimentación que forman parte de nuestra vida cotidiana. El tanque de la poceta tradicional se llena de agua hasta que el nivel de líquido empuja un globo que acciona un pistón cerrando el surtidor de agua. Éste es un sistema realimentado donde el nivel de líquido es la información dirigida a la entrada, el pistón que controla el surtidor. Pero el uso de la electrónica tiene ventajas, como  de la reducción de costos en términos monetarios y de espacio, o la estética.

El objetivo fundamental de la realimentación electrónica, sin embargo, es modificar la salida del sistema y hacerla lo más independiente posible de los parámetros internos del mismo sistema. Este mecanismo permite controlar el sistema. De hecho, se requieren tantas líneas de realimentación como variables que se deseen controlar.

Estructura general de un circuito realimentado

Para representar la estructura básica de un sistema electrónico realimentado utilizaremos el amplificador de la Figura 2.1.1:

Se aplica una señal de entrada Xe al amplificador A, la cual puede ser un voltaje o una corriente. Xo representa la salida del amplificador. Supongamos que Xe y Xo tienen las mismas dimensiones, o unidades.

Al implementar un circuito realimentado básico, debemos transportar información desde la salida a la entrada, con el fin de sumar o comparar ambas señales, tal como se muestra en la Figura 2.1.2:

En la Figura anterior podemos identificar claramente tres estructuras representadas por tres bloques: un amplificador A, un circuito de transferencia β , y un sumador. El bloque A amplifica la señal incrementado la energía de la información. El bloque β transfiere la información de la salida a una de las entradas del sumador, cuya función puede ser sumar o restar esta señal a la entrada. El sumador suma o resta las señales Xi y Xf, que provienen de la entrada y salida del bloque β respectivamente, generando una señal Xe. A continuación, vamos a obtener una expresión matemática para la ganancia del sistema Xo/Xi.

Sabemos del estudio de amplificadores operacionales que la salida Xo puede ser expresada en términos de la ganancia A como:Donde Xe no es la entrada al sistema sino la entrada al amplificador y es igual a:Al sustituir la ecuación (2) en (1):Dónde:Por tanto:Luego:Por tanto: La ecuación (5) es una de las más importantes de la ingeniería electrónica y se le denomina en la literatura general como Ganancia del sistema realimentado o Ganancia a lazo cerrado. Fue el ingeniero Harold Black en 1928 quién primero utilizó la denotación Afb para esta ganancia. Por tanto:

Comportamiento de un circuito realimentado

En construcción…

Referencia: ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRONICOS

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Sin categoría

Límites al infinito

Límite cuando x→∞

Sea f una función definida en [c,∞) para algún número c. Decimos que:

Si para cada ε>0, existe un correspondiente número M, tal que:

Límite cuando x→-∞

Sea f una función definida en (-∞, c] para algún número c. Decimos que:

Si para cada ε>0, existe un correspondiente número M, tal que:

Ejemplo 1. Demostrar que:

Solución. Por lo general se utiliza un truco común: dividir el numerador y el denominador entre la potencia más alta de x que aparece en el denominador, que en este caso es 2:Ejemplo 2. Encuentre:Solución: 

Por tanto:Ejemplo 3. Encuentre:Solución:Por tanto: 

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Sin categoría, Transformada de Laplace

Ejemplo 1: Transformada de Laplace de una función exponencial – Matlab

En general, La Transformada de Laplace de una función x(t) es:

Considere la señal exponencial x(t):

Donde a es un número real cualquiera y  u(t) es la función escalón unitario. La Transformada de Laplace de x(t) es:

Para evaluar el lado derecho es necesario determinar:

Este límite existe si solo si:

Por tanto:

Y:

La región de convergencia de la transformada X(s) es el conjunto de todos los números complejos tales que Re{s}>-a (Parte real de s es mayor que menos a). Nota: Dos señales distintas pueden tener la misma expresión algebraica cuando se le aplica la transformada de Laplace. Por tanto, cuando se especifica la transformada de Laplace de una señal, se requiere tanto la expresión algebraica como el intervalo de valores s para el cual esta expresión es válida. Lo correcto es expresar el resultado anterior de la siguiente manera: 

Observar que en el caso de que a=0, x(t) es simplemente la función escalón unitario, y por tanto se obtiene el importante resultado:

Cálculo de la Transformada de Laplace en Matlab 

Continuando con el caso x(t):

Symbolic Math Toolbox de Matlab calcula la Transformada de Laplace mediante el siguiente comando:

>> syms x a t
>> x=exp(-a*t);
>> X=laplace(x)

X =

1/(a + s)

De igual manera podemos calcular Laplace para la función escalón unitario mediante:

>> x=sym(1);
>> X=laplace(x)

X =

1/s

Teniendo la Transformada de Laplace X(s) podemos aplicar la antitransformada para obtener su equivalente en el dominio del tiempo:

>> X=1/(a + s)

>> x=ilaplace(X)

x =

exp(-a*t)

Por poner un caso más complicado, considere el siguiente ejemplo:

>> syms X s x
>> X=(s+2)/(s^3+4*s^2+3*s);

>> x=ilaplace(X)

x =

2/3 – exp(-3*t)/6 – exp(-t)/2

Además puedo graficar este resultado mediante:

>> ezplot(x,[0,10])

Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas

ANTERIOR: La Transformada de Laplace

Te puede interesar:

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  2. Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico
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Escrito por: Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace X(s) es la Transformada Continua de Fourier después de multiplicarla por una señal exponencial real decreciente. Es por ello que se considera una generalización de la Transformada de Fourier. La notación y la ecuación utilizadas para determinar la Transformada de Laplace son las siguientes:

Es decir, Laplace adapta la Transformada de Fourier para que pueda ser aplicada a un conjunto más amplios de señales para las cuáles no existe la Transformada de Fourier.

Bajo ciertas condiciones iniciales, La Transformada de Laplace nos permite visualizar el efecto que un sistema LTI (causal, lineal e invariante en el tiempo) tiene sobre cualquier señal de entrada a dicho sistema.

La Transformada de Laplace a partir de la Transformada de Fourier

Dada una señal de tiempo continuo x(t) se define la Transformada de Fourier X(ω) de x(t) como:

La ecuación (1) genera las componentes de frecuencia que forman la señal x(t). Para algunas señales de uso común en la ingeniería, esta integral no existe. Para resolver este inconveniente, se añade un factor de convergencia exponencial  e^-σt a la integral de la ecuación (1), donde sigma (σ) es un número real. De esa manera obtenemos:

La cual puede escribirse como:

Para ser más prácticos, hacemos:

Así podemos escribir la ecuación (3) como:

La ecuación (4) es conocida como La Transformada de Laplace de una señal general x(t).

La transformada de Laplace convierte las funciones expresadas en término de la variable real t  en funciones de una variable completamente diferente, la variable compleja s. Nos mueve desde el dominio del tiempo a lo que a menudo se denomina el dominio de frecuencia.

La Transformada de Laplace comparte las propiedades algebraicas de La Transformada de Fourier: transforman una señal en el tiempo en la suma de varias señales en frecuencia. De allí su enorme utilidad para determinar, por ejemplo, la salida de un sistema a partir de la ecuación diferencial que describe la dinámica de dicho sistema, aplicando La transformada de Laplace y el conjunto de propiedades que se definen a continuación.

Por otra parte, no es necesario calcular la integral de la ecuación (4) en la mayoría de los casos de interés científico ya que se dispone de tablas para determinar la Transformada de Laplace de dichos casos.

Ejemplo 1: La Transformada de Laplace de una función exponencial

Considere la señal x(t):

Donde a es un número real cualquiera y  u(t) es la función escalón unitario. Aplicando la ecuación (4), La Transformada de Laplace de x(t) es:

Para evaluar el lado derecho es necesario determinar:

Este límite existe si solo si:

Por tanto:

Y:

La región de convergencia de la transformada X(s) es el conjunto de todos los números complejos tales que Re{s}>-a (Parte real de s es mayor que menos a). Nota: Dos señales distintas pueden tener la misma expresión algebraica cuando se le aplica la transformada de Laplace. Por tanto, cuando se especifica la transformada de Laplace de una señal, se requiere tanto la expresión algebraica como el intervalo de valores s para el cual esta expresión es válida. Lo correcto es expresar el resultado anterior de la siguiente manera: 

Observar que en el caso de que a=0, x(t) es simplemente la función escalón unitario, y por tanto se obtiene el importante resultado:

Para realizar este cálculo mediante matlab ver: Ejemplo 1: Transformada de Laplace de una función exponencial – Matlab

Propiedades de la Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace satisface un número de propiedades útiles en una gran variedad de aplicaciones. Las siguientes propiedades fundamentales permiten calcular sin necesidad de calcular la integral de la ecuación (4), la Transformada de Laplace de la mayoría de situaciones de interés para la ingeniería. Daremos algunos ejemplos de aplicación:

  1. Linealidad. La Transformada de Laplace es una operación lineal, por tanto:

Ejemplo:

  1. Desplazamiento en el tiempo por la derecha. Para cualquier número real positivo c:

Ejemplo: sea x(t) la función pulso rectangular en términos de la función escalón:

  1. Escalamiento en el tiempo. Para cualquier número real positivo a:

Ejemplo: sea x(t) la función escalón escalada en el tiempo:

  1. Multiplicación por una potencia de t. Para cualquier número entero positivo N:

Ejemplo: sea x(t) la función rampa unitaria:      5. Derivación en el dominio del tiempo.

La propiedad de derivación en el dominio del tiempo de la Transformada de Laplace es de suma importancia en el campo de la ingeniería ya que permite determinar la respuesta de un sistema LTI, o señal de salida y(t), a una entrada al sistema, o señal de excitación. Una vez determinada la Transformada de Laplace de la ecuación diferencial que representa la dinámica del sistema, se obtiene la expresión para la salida Y(s) y se aplica anti-transformada de Laplace. Pero existe una herramienta poderosa para observar el comportamiento de la salida en el dominio del tiempo. Veamos como funciona La Función de Transferencia de un sistema LTI.

A tabla siguiente ofrece un resumen del resto de las propiedades, junto con las ya mencionadas:

Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

SIGUIENTE: Ejemplo 1: Transformada de Laplace de una función exponencial – Matlab

Te puede interesar:

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  2. Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico
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Control System Analysis, Sin categoría

Dynamik eines Masse-Feder-Dämpfer-Systems

Die Grundelemente eines jeden mechanischen Systems sind die Masse, die Feder und der Stoßdämpfer. Das Studium der Bewegung in mechanischen Systemen entspricht der Analyse dynamischer Systeme. In der Robotik zum Beispiel bezieht sich das Wort Vorwärtsdynamik darauf, was mit Aktuatoren passiert, wenn wir bestimmte Kräfte und Drehmomente auf sie anwenden.

Die Masse, die Feder, der Stoßdämpfer sind elementare Aktuatoren eines mechanischen Systems.

Um den Roboter zu steuern, ist es folglich notwendig, die Art der Bewegung eines Masse-Feder-Dämpfer-Systems sehr gut zu kennen.

Darüber hinaus wird dieses elementare System in vielen Anwendungsbereichen vorgestellt, daher die Wichtigkeit seiner Analyse. Wenn wir in der Robotik über Inverse Dynamic sprechen, sprechen wir darüber, wie man den Roboter auf eine gewünschte Art und Weise bewegt, welche Kräfte und Drehmomente wir auf die Aktoren anwenden müssen, damit sich unser Roboter auf eine bestimmte Art bewegt.

Bevor wir die dynamische Analyse unseres Masse-Feder-Dämpfer-Systems durchführen, müssen wir sein mathematisches Modell erhalten. Dies ist der erste Schritt für jeden, der die Dynamik eines Systems, insbesondere das Verhalten seiner mechanischen Komponenten, genau kennenlernen möchte.

Wir werden unsere Studie mit dem Modell eines Masse-Feder-Systems beginnen.

 

Dies ist aus folgendem Grund praktisch. Alle mechanischen Systeme haben eine Art in ihrer Bewegung, die sie zum Schwingen bringt, etwa wenn ein Gegenstand an einem Faden an der Decke hängt und mit der Hand, die wir drücken. Oder ein Schuh auf einer Plattform mit Federn. Es ist gut zu wissen, welche mathematische Funktion diese Bewegung am besten beschreibt.

Masse-Feder-System.
Abbildung 5

Die Dynamik eines Systems wird in erster Linie durch ein mathematisches Modell dargestellt, das aus Differentialgleichungen besteht. Im Falle des Masse-Feder-Systems ist diese Gleichung wie folgt:

Diese Gleichung ist als Bewegungsgleichung eines einfachen harmonischen Oszillators bekannt. Mal sehen, woher es stammt.

Wenn wir eine Formel erhalten wollen, die die Kraft beschreibt, die eine Feder gegen die Verschiebung ausübt, die sie dehnt oder schrumpft, ist es am besten, die potentielle Energie zu visualisieren, die in die Feder injiziert wird, wenn wir sie dehnen oder schrumpfen. Die folgende Grafik beschreibt, wie sich diese Energie als Funktion der horizontalen Verschiebung verhält:

Wenn sich die Masse m der vorhergehenden Figur, die an dem Ende der Feder angebracht ist, wie in Abbildung 5 gezeigt, von dem Federrelaxationspunkt x = 0 weg in die positive oder negative Richtung bewegt, sammelt sich die potentielle Energie U (x) an und steigt in parabolischer Form an und erreicht einen höheren Energiewert, wobei       U(x) = E, Wert, der der maximalen Dehnung oder Kompression der Feder entspricht. Die mathematische Gleichung, die in der Praxis diese Kurvenform am besten beschreibt und eine Konstante k für die physikalische Eigenschaft des Materials enthält, die die Steigung der Kurve erhöht oder verringert, ist die folgende:

Die Kraft ist auf folgende Weise mit der potentiellen Energie verbunden:

Deshalb:

Es ist sinnvoll zu sehen, dass F (x) umgekehrt proportional zur Verschiebung der Masse m ist. Denn es ist klar, dass, wenn wir die Feder dehnen oder schrumpfen, diese Kraft dieser Aktion entgegenwirkt und versucht, die Feder in ihre entspannte oder natürliche Position zurückzubringen. Aus diesem Grund heißt es Restitutionskraft. Die obige Gleichung ist in der Akademie als Hookes Gesetz oder Kraftgesetz für Federn bekannt. Das Folgende ist ein repräsentatives Diagramm dieser Kraft in Bezug auf die Energie, wie sie erwähnt wurde, ohne den Eingriff von Reibungskräften (Dämpfung), weshalb sie als der einfache harmonische Oszillator bekannt ist. Es ist wichtig, die proportionale Beziehung zwischen Verschiebung und Kraft zu betonen, aber mit einer negativen Steigung, und das ist in der Praxis komplexer, nicht linear.

Abbildung 4

Siehe: AMPLITUDE AND PHASE: SECOND ORDER II (Mathlets)

Sistema MRA

Nach Newtons zweitem Gesetz:

Diese Gleichung sagt uns, dass die vektorielle Summe aller Kräfte, die auf den Körper der Masse m einwirken, gleich dem Produkt des Wertes der Masse aufgrund ihrer Beschleunigung ist, die aufgrund der Kräfte erhalten wird. Mit Newtons zweitem Gesetz erhalten wir die folgende Gleichung:

Das ist:

Diese Gleichung repräsentiert die Dynamik eines idealen Masse-Feder-Systems.

System Masse-Feder-Stoßdämpfer

Wenn keine Reibungskraft vorhanden ist, oszilliert der einfache harmonische Oszillator unendlich. In Wirklichkeit nimmt die Amplitude der Oszillation allmählich ab, ein Prozess, der als Dämpfung bekannt ist und im folgenden graphisch beschrieben wird:

Die Verschiebung einer oszillierenden Bewegung ist gegen die Zeit aufgetragen, und ihre Amplitude wird durch eine sinusförmige Funktion dargestellt, die durch einen abnehmenden Exponentialfaktor gedämpft wird, der in dem Graphen als eine Hüllkurve erscheint. Die Reibungskraft Fv, die auf die amortisierte harmonische Bewegung einwirkt, ist in den meisten Fällen von wissenschaftlichem Interesse proportional zur Geschwindigkeit V. Diese Kraft hat die Form Fv = bV, wobei b eine positive Konstante ist, die unter anderem von den Eigenschaften des Fluids abhängt, das Reibung verursacht. Diese Reibung, auch bekannt als Viskosereibung, wird durch ein Diagramm dargestellt, das aus einem Kolben und einem mit Öl gefüllten Zylinder besteht:

Die gängigste Art, ein Masse-Feder-Dämpfer-System darzustellen, ist eine Reihenschaltung wie folgt:

Abbildung 6

 

Sowie die folgenden:

In beiden Fällen wird das gleiche Ergebnis bei Anwendung unserer Analysemethode erhalten. Wenn man Fig. 6 betrachtet, kann man sehen, dass dieselbe Konfiguration wie in Fig. 5 gezeigt ist, jedoch die Wirkung des Stoßdämpfers hinzugefügt wird. Indem wir Newtons zweites Gesetz auf dieses neue System anwenden, erhalten wir die folgende Beziehung:

Diese Gleichung repräsentiert die Dynamik eines Massen-Feder-Schock-Systems.

Das könnte dich interessieren:

  1. Beispiel 1 – System Transfer-Funktion Masse-Feder-Dämpfer
  2. Beispiel 1 – Elektromechanische Systemübertragungsfunktion

Geschrieben von:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer 

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Convolución de señales discretas – Sumatoria de convolución

Dadas dos señales de tiempo discreto x[n] y v[n], la convolución de ambas señales se define como: 

La expresión del lado derecho de la ecuación (1) se conoce como sumatoria de convolución. En el caso de que ambas señales x[n] y v[n] sean iguales a cero para n<0, entonces x[i]=0 para i<0, y v[n-i]=0 para n-i<0, entonces la ecuación (1) se puede escribir como:

Ejemplos
  1. Suponiendo que x[n]=anu[n], donde u[n] es la función escalón, y v[n]= bnu[n]. La convolución entre ambas señales es igual a:

Si a=b:Entonces:

Si ab:

Por tanto: 

2. La convolución de dos señales discretas puede representarse en Matlab mediante el siguiente código. Por ejemplo, la convolución de una señal p[n] consigo misma:

>> p=[0 ones(1,11) zeros(1,5)]%correspondiente a n=-1 a n=14

>>x=p

>> v=p

>> y=conv(x,v)

>> n=-2:25;

>> stem(n,y(1:length(n)),’filled’)

Convolución de una señal (p{n]=1 ) consigo misma.

 

3. Si aplicamos la convolución entre una entrada discreta x[n] a un sistema y la respuesta h[n] al impulso unitario discreto de dicho sistema, obtendremos la salida. Si h[n]=sen(0.5n) para n0, y la entrada x[n]=sen(0.2n) para n ≥0, podemos representar la salida mediante Matlab como sigue:

>> n=0:40;

>> x=sin(.2*n);

>> h=sin(.5*n);

>>y=conv(x,h);

>> stem(n,y(1:length(n)),’filled’) 

Salida y[n] para el sistema con entrada x[n]=sen(0.2n) y respuesta al impulso h[n]=sen(0.5n)

Fuente:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

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