Inteligencia Artificial, Machine Learning

La idea detrás del Machine Learning

La idea detrás del Machine Learning (aprendizaje automático) es que las percepciones que recibe un Agente (máquina) deberían usarse no solo para actuar, sino también para mejorar la habilidad del agente para actuar en el futuro. El aprendizaje tiene lugar como resultado de la interacción entre el Agente y el mundo, y de la observación por el Agente de sus propios procesos de toma de decisiones.

El aprendizaje puede consistir en la memorización trivial de la experiencia hasta manifestarse en la creación de teorías científicas complejas, tal como las exhibió Albert Einstein. Una máquina que aprende de su propia experiencia al interactuar con el medio que le rodea, implementa su proceso de aprendizaje a través de “agentes generales de aprendizaje”. El aprendizaje inductivo es uno de estos agentes  y su principal misión es construir una función a partir de un conjunto de ejemplos de entrada / salida,  que ayude al Agente a predecir la salida para entradas futuras y de esta manera tomar decisiones que optimicen su desempeño.

Es decir, contamos con la historia de un sistema, contada en forma de datos. El sistema podría ser un sistema de control de velocidad de auto autónomo. La entrada podría ser, por ejemplo, la distancia entre el auto autónomo y otros autos (obstáculos) frente a él. La salida, la reducción de velocidad óptima para evitar el choque. Es una forma muy rudimentaria de contar la historia, evidentemente faltan muchos detalles, pero con esto esperamos tener una idea simple.

Cada uno de esos datos es un par entrada/salida del sistema, lo que le permite al Agente diseñar una función que le permita elaborar un mapa entre la entrada y la salida con la intención de predecir cuál será la futura salida para una futura entrada. Mientras más datos de buena calidad se tengan, mejor entrenado estará el agente (más certera será la función). Además, el agente podrá actualizar automáticamente los parámetros de la función con su propia experiencia ensayo-error.

Es lo que se conoce como “Aprendizaje Supervisado”, el Agente recibe de la función diseñada (hipótesis) el valor correcto (o aproximadamente correcto) para entradas particulares, y luego cambia o mejora la representación de la función para intentar hacer coincidir la información que la función le da con aquella provista por la retroalimentación (feedback).

Mientras que en el Aprendizaje Supervisado, el objetivo es predecir el valor de una  variable de salida basados en una cantidad de medidas de la variable de entrada, en el “Aprendizaje no Supervisado” no hay variable de salida y el objetivo es describir las asociaciones y patrones entre un conjunto de medidas de la variable de entrada.

Existen diferentes algoritmos para el aprendizaje inductivo.  Algoritmos  que luego se transforman en programas de computación. La preocupación principal de Machine Learning es construir programas computarizados que “mejoren automáticamente” con la experiencia.

¿Podemos imaginar el gigantesco potencial de aplicación de esta tecnología? Hay que poner la lupa en aquellas tareas urgentes pero casi imposibles de realizar de manera manual. Las computadoras podrían aprender de millones de registros médicos cuáles tratamientos son más efectivos para atender enfermedades complejas como el cáncer; en un planeta que exige cada día más potencia eléctrica, podrían aprender de la experiencia a optimizar los costos de energía basados en patrones de uso particular de los ocupantes residenciales.

En el campo conocido como minería de datos (data mining), algoritmos de aprendizaje automático se utilizan de forma rutinaria para descubrir valiosos conocimientos de grandes bases de datos comerciales que contienen registros de mantenimiento de equipos, solicitudes de préstamos, transacciones financieras, registros médicos y similares. En años recientes se han desarrollado programas de extracción de datos que aprenden a detectar transacciones fraudulentas con tarjetas de crédito. Para problemas tales como el reconocimiento de voz (speech recognition), loes algoritmos basados en Machine Learning superan a todos los demás enfoques que se han intentado hasta la fecha.

Para quienes nos iniciamos en la materia, podemos proponer un enfoque práctico. Empezar por definir con precisión una clase de problemas de nuestro interés particular que requieran  aprendizaje automático, para luego explorar algoritmos que resuelven tales problemas, y comprender de esta manera la estructura fundamental de los procesos de aprendizaje. Nuestro objetivo final es ser capaces de diseñar sistemas de aprendizaje automático (Machine Learning Systems).

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Ingeniería Eléctrica, Teoría Electromagnética

Ley de Gauss y el concepto de Densidad de Flujo Eléctrico

Ley de Gauss: “El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie”. La formulación matemática de la ley de Gauss es:Esta ecuación significa que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada, la cual podría estar constituida por un conjunto de cargas puntuales, una línea de carga, una carga superficial o una carga volumétrica. Esta última, que utiliza el concepto de Densidad de Carga Volumétrica  es la que se utiliza por convención científica (ecuación 1), pero podría ser cualquiera de las mencionadas.

Densidad de flujo eléctrico

La dirección de la densidad de flujo D en un punto es la dirección de las líneas de flujo en ese punto, y su magnitud es igual al número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas, dividida entre el área de la superficie”. Podemos definir a D en el espacio libre como:

Alrededor de 1837 Michael Faraday realizó su famoso experimento para analizar la transmisión de cargas entre dos esferas metálicas, una pequeña y cargada dentro de otra más grande y descargada, con un material dieléctrico (que no conduce, aislante) entre ellas. Pudo comprobar que la carga de la pequeña se transmitía a la más grande independientemente del dieléctrico. A ese “desplazamiento” de carga se le denominó Flujo Eléctrico . Faraday también descubrió que una carga positiva mayor en el interior de la esfera inducía una correspondiente carga negativa mayor en la esfera exterior. Esto condujo a establecer la existencia de una proporcionalidad directa entre el flujo eléctrico y la carga Q de la esfera interior. En el sistema SI esa constante de proporcionalidad es igual a uno, por lo que del experimento de Faraday se obtiene que:De manera que el flujo eléctrico se mide en Coulombs.

Considerando una esfera interior de radio a y una exterior de radio b, con cargas Q y Q, respectivamente (Figura 3.1), las trayectorias del flujo eléctrico  se extienden desde la esfera interior a la exterior. Las líneas de flujo tienen forma radial y simétrica desde una esfera a otra. En la superficie de la esfera interior ψ coulombs de flujo eléctrico los produce la carga de Q coulombs distribuidos uniformemente sobre una superficie que tiene un área de 4πaˆ2  m2. La densidad de flujo en esta superficie es  entonces  ψ/4πaˆ2 , ó Q/4πaˆ2  C/m2.  

A la densidad de flujo eléctrico D, medida en coulombs por metro cuadrado, es un campo vectorial que pertenece a la clase de campos vectoriales de “densidades de flujo” y distinta de la clase “campos de fuerza”, en la que se incluye la intensidad de campo eléctrico E. La dirección de D en un punto es la dirección de las líneas de flujo en ese punto, y su magnitud es igual al número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas, dividida entre el área de la superficie.

Para la esfera interior:

Para la esfera exterior: 

Para una distancia r, donde ar≤b:

Esta será la densidad de flujo inclusive llevando al límite el radio de la esfera interior hasta reducirla a una carga puntual. Si ahora comparamos este resultado con el obtenido para la intensidad del campo eléctrico radial debido a una carga puntual en el espacio libre (Definición de Campo Eléctrico):Llegamos a la conclusión de que:

De manera similar, si una distribución de carga volumétrica en el vacío (Densidad de Carga Volumétrica) produce una intensidad de campo eléctrico E:

La densidad de flujo eléctrico D debido a dicha distribución de carga volumétrica en el vacío es:Podemos considerar a la ecuación (2) como la definición de densidad de flujo eléctrico D en el vacío.

Ley de Gauss

La generalización del experimento realizado por Faraday conduce al siguiente enunciado conocido como Ley de Gauss:

 “El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie”.

La gran contribución de Gauss no consiste en haber descubierto el fenómeno del flujo eléctrico sino en expresarlo en forma matemática. Supóngase una distribución de carga Q, que se muestra como una nube de cargas puntuales en la figura 3.2, rodeada por una superficie cerrada de cualquier forma:

Considérese, en cualquier punto P, un pequeño elemento de superficie ΔS y que la densidad de flujo eléctrico Ds en ese punto de la superficie forma un ángulo θ con ΔS como lo muestra la figura 3.2. El flujo eléctrico a través de ΔS es, entonces, el producto de la componente normal de Ds y ΔS:

El flujo total que pasa a través de la superficie cerrada producido por una carga Q “dentro de la superficie encerrada”, se obtiene sumando las contribuciones diferenciales que cruzan cada elemento de superficie S:

Como dS implica el producto de dos coordenadas, la integral de la ecuación (3) es una integral triple. El círculo sobre la integral indica que la integración debe hacerse sobre una superficie cerrada. La formulación matemática de la Ley de Gauss es:

Por otra parte, sabemos que el flujo eléctrico ψ=Q. Esta carga Q puede ser una carga puntual, en cuyo caso:Q también puede ser una línea de carga:O también una carga superficial:O también una distribución de carga volumétrica:

 Por convención los científicos siempre hacen referencia a este último caso. Por tanto, podemos reescribir la ecuación (4) como:Esta ecuación matemática es una de las más básicas de la electrostática y significa simplemente que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada, carga total que puede mostrar cualquiera de las propiedades señaladas.

Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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Cálculo, Límites

Límites por definición – ejemplos

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) conforme x se aproxima a a es L, lo que se escribe como:

La siguiente proposición es verdadera:

Para muchos esta es la definición más importante del cálculo.

Para explicar esta definición se hace referencia a la Figura 1:

 

En otras palabras, de acuerdo con la Figura 1, al restringir x en el eje horizontal, de modo que siempre esté entre a-δ1 y a+δ1, se restringe a f(x) en el eje vertical, de manera tal que f(x) esté entre L-ε1 y L+ε1. Al aplicar este principio, el número ε se debe dar primero; el número δ debe producirse y por lo general depende de ε.

Encontrar o demostrar que el límite de f(x)=L cuando se acerca a a, por definición, consiste  en hallar un valor para δ (generalmente un intervalo o valor que depende de ε)  tal que se cumpla que:

Veamos como funciona esta declaración mediante el método propuesto en el siguiente ejemplo. Observación: el siguiente es un método estándar, pero existen muchos métodos. Su elección depende de la aproximación que quiera dar el usuario a cada problema.

 Ejemplos

Ejemplo 1. Demostrar por definición que:

Solución. Puesto que la función f(x)=4x-5 está definida en cualquier intervalo abierto que contenga a x=2, se debe demostrar que para cualquier ε>0 existe una δ>0 tal que:

Aplicando álgebra podemos mostrar que:

Entonces:

La ecuación (2) nos indica que podemos seleccionar δ=ε/4 , entonces se cumple la ecuación (1), lo que demuestra que: 

Una vez que demostramos la existencia de un δ, tal que se cumpla la proposición de la ecuación (1), podemos elegir cualquier ε, no importa que tan pequeño, y luego comprobar que se cumple lo demostrado. Por ejemplo, si ε=0.1, entonces δ=0.025. Esto es como preguntarse lo siguiente: ¿Qué tan cerca debe estar x de 2 para garantizar que f(x) esté a no menos de 0.1 de 3? Para que f(x) esté a menos de 0.1 de 3, debemos tener:  Esto significa que existe x1 y x2 tal que:

Debido a que:

Vemos que:

Por tanto, x debe estar a menos de 0.025 de 2 para que f(x) esté a menos de 0.1 de 3. Lo que confirma el resultado teórico de que δ=ε/4.

Ejemplo 2. Demostrar por definición que:

Solución. Puesto que la función f(x)=xˆ2 está definida en cualquier intervalo abierto que contenga a x=2, se debe demostrar que para cualquier ε>0 existe una δ>0 tal que:

Aplicando álgebra podemos mostrar que:

Entonces:

Para demostrar la ecuación (4) se debe imponer una restricción adicional a δ con el fin de obtener una desigualdad que contenga el factor ⌈(x+2)⌉. Dicha restricción consiste en elegir el intervalo abierto requerido en la ecuación (3) de modo que este intervalo sea (1,3), lo cual implica que δ≤1. Entonces:

Así que:

Implica que:

Lo que conduce a afirmar que:

Recordamos que la ecuación (4) es el objetivo, por lo que debe pedirse que:

Es decir:De esta forma se han impuesto dos restricciones a δ: δ≤1 y δ≤ε/5. Para que ambas restricciones se cumplan se debe tomar el menor de los dos valores. Como de antemano no sabemos cuánto vale ε, esta condición se puede escribir como: Queda demostrado entonces que para cualquier ε, la elección de  δ=mín(1,ε/5) hace verdadera la siguiente proposición:

Esto demuestra que:

Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicion

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Densidad de Carga Volumétrica y Campo Eléctrico

Se puede definir la densidad de carga volumétrica matemáticamente mediante la ecuación:

Como ingenieros eléctricos, en raras ocasiones es necesario conocer una corriente electrón por electrón. Casi siempre nuestros resultados finales están en términos de la corriente en una antena receptora, del voltaje en un circuito electrónico, o de la carga en un condensador, o en general en términos de algún fenómeno macroscópico a gran escala.

Si luego de determinar el campo eléctrico debido a una carga puntual, se visualiza una región del espacio con un enorme número de cargas separadas por distancias diminutas —por ejemplo, el espacio entre la rejilla de control y el cátodo de un cañón de electrones de un tubo de rayos catódicos que opera con una carga espacial—, se observa que es posible reemplazar esta distribución de muchas partículas pequeñas por una distribución suave y continua de carga, caracterizada por una densidad de carga volumétrica.

La densidad de carga volumétrica se simboliza con ρν, cuyas unidades son coulomb por metro cúbico (C/m3). La pequeña cantidad de carga Q en un volumen pequeño ν es:

Se puede definir ρν matemáticamente mediante la utilización de un proceso de límite sobre la ecuación (1):

La carga total dentro de cualquier volumen finito se obtiene por integración sobre todo el volumen:

La diferencial dν significa una integración a través de todo el volumen e implica una integración triple; sin embargo, se acostumbra indicarla con un solo símbolo de integración. Por fortuna, es posible conformarse con sólo indicar la integración, pues existen muchas dificultades para evaluar las integrales múltiples en la mayoría de los problemas, excepto en los simétricos.

Ya se mencionó en Definición de Campo Eléctrico e Intensidad del Campo Eléctrico que el campo eléctrico en la dirección R desde el origen, puede ser expresado como:

Sustituyendo la ecuación (3) en (4) obtenemos que para una distribución de carga volumétrica en general en el espacio libre:

Lógicamente, la integral de la ecuación (5) no es la forma más conveniente o apropiada de evaluar un campo eléctrico. Por ello recurrimos a la Ley de Gauss y el concepto de la Densidad de Flujo, que conduce a expresar el campo eléctrico en forma de ecuaciones diferenciales.

Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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Matemática aplicada - Appd Math, Matemática Financiera

Solución de problemas financieros mediante ecuaciones lineales – método.

Introducción - Definición de ecuación lineal

Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad. Un valor de la variable que haga que la ecuación sea una proposición cierta se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación. Así, por ejemplo, 5 es una raíz de la ecuación 2x 3 = x + 2. De manera similar, -2 es solución de la ecuación:

Porque cuando 2 sustituye a y en la ecuación, obtenemos:

La cual es una proposición verdadera.

Una clase importante de ecuaciones consta de aquellas denominadas ecuaciones polinomiales. En una ecuación polinomial, los dos lados pueden constar de uno o varios términos sumados algebraicamente; cada término incluye una potencia entera no negativa de la variable multiplicada por un coeficiente constante. El grado de la ecuación polinomial es la máxima potencia de la variable que aparece en la ecuación. Así, por ejemplo:

Una ecuación polinomial de grado 1 se denomina ecuación lineal; en tanto que una ecuación polinomial de grado 2 se llama ecuación cuadrática. La forma canónica de una ecuación lineal en la variable x es:

donde a y b son constantes. Esta la ecuación lineal tiene una y sólo una solución, es decir, x=-b/a. Para graficar una ecuación lineal, es necesario fabricar una función lineal, generalmente mediante la estructura función afín:

Donde a es la pendiente de una recta (representa el aumento del valor de la función si x aumenta en 1) y b es el punto donde la recta intersecta el eje y. Para repasar esta materia ver: The graph of a polynomial function, de donde extraemos la siguiente figura:

Ejemplo: Solución de problemas financieros mediante ecuaciones lineales

Los métodos algebraicos y la teoría vista sobre función afín, a menudo son útiles en la solución de problemas aplicados en finanzas y administración. En general, tales problemas se establecen en forma verbal; antes de que podamos utilizar nuestras herramientas algebraicas, es necesario cambiar las declaraciones verbales a proposiciones algebraicas correspondientes.

EJEMPLO 1. (Ingresos mensuales) Una vendedora gana un salario base de $600 por mes más una comisión del 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio, le toma una  hora y media realizar ventas por un valor de $100. ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000?

Paso 1 Representar la cantidad desconocida (es decir, la cantidad que debe determinarse) mediante un símbolo algebraico, tal como x. En algunos problemas, deben determinarse dos o más cantidades; en tales casos, denotamos sólo una de ellas con x.

En este ejemplo, x: horas de trabajo de la vendedora.

Paso 2 Expresar todas las demás cantidades, si las hay, en términos de x.

La otra cantidad relevante en este problema es  V: ventas en dólares.

El enunciado sugiere que la relación entre las ventas (V) y las horas de trabajo (x) es lineal y se puede expresar como V en función de x de la siguiente manera:

Donde a es la pendiente de una recta y b el punto de su intersección (offset) con el eje vertical.

Paso 3 Traduzca las expresiones verbales que aparezcan en el problema en expresiones algebraicas en las cuales intervenga x.

Según el enunciado, la vendedora requiere de hora y media para realizar una venta de 100 dólares. Como la unidad de medida de x es la hora, debemos reacomodar este enunciado y expresarlo en horas. Lo podemos hacer de la siguiente forma, siempre buscando facilidad de comprensión. Si la vendedora en hora y media vende 100 dólares, en tres horas venderá 200 dólares, o sea, en una hora vende 200/3. Hay que recordar que este dato nos indica la pendiente de la recta que representa la relación entre x y V, siendo x la abscisa y V  la ordenada (representa el aumento del valor de la función si x aumenta en 1). Es decir, a=200/3. Luego, sabemos también que en cero horas de trabajo la vendedora obtiene cero dólares en venta, es decir, b=0. Por tanto:

Por otra parte, el salario S será de $600 por mes más una comisión del 10% de las ventas. Es decir, en un mes:

Sustituyendo:

Paso 4 Resolver la expresión o expresiones algebraicas de acuerdo con los métodos algebraicos.

Este problema nos exige responder la pregunta siguiente: ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000? Es decir, para que S=2000. Entonces:

Es decir:

De donde despejamos x aplicando operaciones algebraicas:

Paso 5 Transforme la solución algebraica en forma verbal.

La vendedora necesitará trabajar 210 horas por mes, en promedio, para poder obtener ingresos por un valor de 2000$.

EJEMPLO 2 (Utilidades) Un comerciante de ganado compró 1000 reses a $150 cada una. Vendió 400 de ellas obteniendo una ganancia del 25%. ¿A qué precio deberá vender las restantes 600 si la utilidad promedio del lote completo debe ser del 30%?

En construcción…

 

Ingeniería Eléctrica, Teoría Electromagnética

Definición de campo eléctrico e intensidad del campo eléctrico

Un campo eléctrico es un campo vectorial o campo de fuerzas generado por un cuerpo o un conjunto de cuerpos con carga eléctrica. Cuantitativamente puede ser definido como la fuerza por unidad de carga que actúa sobre un determinado punto en el espacio o en la materia.

Experimentalmente el proceso mediante el cual se mide el campo eléctrico debido a un cuerpo (o varios cuerpos) cargado eléctricamente, consiste en colocar una carga de prueba en un punto cercano a dicho cuerpo (o conjunto de cuerpos) y medir la fuerza que siente la carga de prueba, haciendo dicha carga de prueba cada vez más pequeña. Estos valores límites, a medida que la carga de prueba se hace más y más pequeña, llegan a ser constantes en dirección y magnitud.

Intensidad de campo eléctrico

Se define la intensidad de campo eléctrico como el vector fuerza sobre cada unidad de carga positiva de prueba“. La intensidad de campo eléctrico radial debido a una carga puntual en el espacio libre se define como:

Un vez enunciada  la Ley de Coulomb y su base vectorial en Ley de Coulomb y su aplicación en forma vectorial, si ahora se considera una carga en posición fija, por ejemplo Q1, y se mueve lentamente una segunda carga Qt a su alrededor, se nota que en todas partes existe una fuerza sobre esta segunda carga. En otras palabras, esta segunda carga muestra la existencia de un campo de fuerza. A esta segunda carga se le llama carga de prueba Qt. La fuerza sobre ella está dada por la ley de Coulomb:

En la ecuación (1), R1t es la distancia entre ambas cargas, y a1t es el vector unitario que define la dirección de la fuerza como la misma dirección de la línea recta que une las cargas. Si se escribe esta fuerza como una fuerza por unidad de carga se obtiene:

  

La ecuación (2) es un campo vectorial denominado intensidad del campo eléctrico y es función únicamente de Q1 y del segmento de línea dirigido desde Q1 a Qt.

Tomando en cuenta el sistema MKS, la intensidad de campo eléctrico debe medirse en unidades de newtons por coulomb (fuerza por unidad de carga). Si se introduce por adelantado una nueva cantidad dimensional, el volt (V), cuyas unidades son joules por coulomb (J/C) o newton-metros por coulomb (N · m/C); la intensidad de campo eléctrico se medirá de una vez en las unidades prácticas de volts por metro (V/m). Si se utiliza una E mayúscula para designar el vector intensidad del campo eléctrico se obtiene finalmente que:

Es decir:

La ecuación (3) es la expresión que define la intensidad de campo eléctrico y la ecuación (4) es la expresión para la intensidad de campo eléctrico en el vacío debido a una carga puntual Q1.

Evidentemente se obtendrán expresiones más complicadas para la intensidad de campo eléctrico debido a configuraciones de carga más complicadas, como líneas de carga o planos de carga. Por economía, también conviene obviar la mayoría de los subíndices en (4), sin renunciar al derecho de aprovecharlos de nuevo cuando exista la posibilidad de un malentendido. Por tanto, nos permitimos el abuso de definir la intensidad de campo eléctrico radial debido a una carga puntual en el espacio libre como:

La ecuación (5) funciona muy bien para calcular E si la carga Q se encuentra en el origen del sistema de coordenadas que se esté utilizando. Si se considera una carga que no esté en el origen del sistema de coordenadas, el campo ya no tiene simetría esférica (ni simetría cilíndrica) y en este caso es posible utilizar las coordenadas cartesianas. Para una carga Q situada como fuente puntual en r’ = xax + yay ´+zaz, como se ilustra en la figura 2.2:

La intensidad de campo eléctrico en un punto r cualquiera del campo con coordenadas  r = xax +yay + zaz se encuentra expresando R como r r, lo cual da como resultado:

Al principio se definió un campo vectorial como una función vectorial del vector de posición, y esto se destaca sustituyendo la simple letra E por la notación funcional E(r). Considerando los componentes vectoriales de cada posición, la ecuación (7) se puede expresar como:

La ecuación (5) no es más que un caso especial de la (8), donde x’= y’ = z’= 0.

Intensidad de campo eléctrico debido a dos o más cargas puntuales

Dado que las fuerzas de coulomb son lineales, la intensidad de campo eléctrico en un punto r debido a dos cargas puntuales, Q1 en r1 y Q2 en r2, es la suma de las fuerzas sobre Q ubicada en r, causadas por Q1 y Q2 cuando actúan individualmente, o sea:

 

Donde a1 y a2 son vectores unitarios en la dirección de (r r1) y (r r2), respectivamente.

Si se agregan más cargas en otras posiciones el campo debido a n cargas puntuales será:

Esta expresión ocupa menos espacio cuando se usa el signo de Σ y un índice de suma m que toma todos los valores enteros sucesivos entre 1 y n:

Como ingenieros eléctricos, en raras ocasiones es necesario conocer una corriente electrón por electrón. Casi siempre nuestros resultados finales están en términos de la corriente en una antena receptora, del voltaje en un circuito electrónico, o de la carga en un condensador, o en general en términos de algún fenómeno macroscópico a gran escala. Es por eso que ahora el siguiente paso es centrar nuestra atención en el campo eléctrico debido a una distribución continua de carga volumétrica.

Alternativamente, algunos países utilizan el sistema cgs en vez del MKS, donde k=1  en la ecuación (5), por tanto también se puede expresar el campo eléctrico E como:

Ejemplo

Con la finalidad de mostrar la aplicación de la ecuación (11), encontrar E en el punto  P(1, 1, 1) causado por cuatro cargas idénticas de 3-nC (nanocoulombs) localizadas en los puntos P1(1, 1, 0), P2(−1, 1, 0), P3(−1, −1, 0) y P4(1, −1, 0), como lo muestra la figura 2.4.

Solución:

 Mediante algebra vectorial podemos determinar cada una de las siguientes magnitudes:

Como:

Obtenemos: 

Es decir:

Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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Ingeniería Eléctrica, Teoría Electromagnética

Ley de Coulomb y su aplicación en forma vectorial

“La fuerza entre dos objetos muy pequeños separados en el vacío, o en el espacio libre por una distancia comparativamente grande en relación con el tamaño de los objetos, es proporcional a la carga en cada uno e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”:

donde Q1 y Q2 son las cantidades de carga positiva o negativa, R es la separación y k es una constante de proporcionalidad. Si se utiliza el Sistema Internacional de Unidades (SI), Q se mide en culombios (coulombs) (C), R en metros (m) y la fuerza en newtons (N). Esto se cumple si la constante k se escribe como:

Donde la constante épsilon sub-cero se denomina permitividad del espacio libre y tiene una magnitud medida en faradios por metro (F/m):

 

Una vez fijado los conceptos elementales del análisis vectorial en Descripción de un vector mediante el sistema de coordenadas rectangular, estudiamos su aplicación en la Ley experimental de Coulomb.

Escribir la forma vectorial de la ecuación 1 requiere el hecho adicional (también proporcionado por el coronel Coulomb) de que la fuerza actúa a lo largo de la línea que une a las dos cargas y es repulsiva si las cargas son similares en signo, y atractiva si son de signos opuestos. Sea r1 el vector que localiza a Q1 y r2 el que localiza a Q2. Entonces, el vector R12= r2− r1 representa el segmento de recta dirigido de Q1 a Q2, como lo muestra la figura 2.1:

El vector F2 es la fuerza sobre Q2 y se muestra para el caso en el que Q1 y Q2 tienen el mismo signo. La ley de Coulomb en forma vectorial es:

donde a12 es un vector unitario en la dirección de R12, o sea:

 

Ejemplo

Ubiquemos una carga Q1= 3 × 10−4 C en M(1, 2, 3) y otra carga Q2 =−10−4 C en N(2, 0, 5) en el vacío. Se desea encontrar la fuerza F12 que ejerce Q1 en Q2.

1. Lo primero que debemos hacer es encontrar el vector unitario a12 que determina la dirección de la fuerza que ejerce Q1 sobre Q Para ello construimos el vector M y el vector N, luego sustraemos, obtenemos módulo y aplicamos la ecuación 3:

2. Luego, utilizamos la ecuación 2 para hallar el módulo del vector F12:

3, La fuerza F12 en forma vectorial queda como:

  

La fuerza F12 ejercida por la carga Q1 sobre Q2 también puede ser representada como la suma de tres componentes vectoriales:

Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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Análisis Vectorial, Matemática aplicada - Appd Math

Descripción de un vector mediante el sistema de coordenadas rectangular

Introducción

Los conceptos fundamentales y las operaciones del análisis vectorial son imprescindibles para la ingeniería. En este paper, estos conceptos y operaciones se bosquejan en vez de exponerse rigurosamente, lo cual es bastante práctico para el ingeniero. Una cantidad vectorial tiene tanto magnitud como dirección en el espacio. Sólo serán de interés los espacios de dos y tres dimensiones, aunque en aplicaciones más avanzadas los vectores pueden definirse en espacios de n dimensiones. La fuerza, la velocidad, la aceleración y una línea recta que van de la terminal positiva a la negativa de un acumulador son ejemplos de vectores. A cada cantidad la caracterizan tanto una magnitud como una dirección.

Para describir con precisión un vector, debemos hacer uso de un sistema de coordenadas que permita determinar la longitud, dirección, proyección o componentes de un vector. Los tres sistemas más sencillos para lograr esto son el de coordenadas cartesianas o rectangulares, el de coordenadas cilíndricas y el de coordenadas esféricas. En esta oportunidad trataremos el primer caso.

Sistema de coordenadas rectangular

Utiliza tres ejes coordenados perpendiculares entre sí, llamados eje x, y y z. Se acostumbra elegir un sistema de coordenadas de mano derecha en el cual una rotación (que describe un pequeño ángulo) del eje x hacia el eje y causaría que un tornillo derecho avanzara en la dirección del eje z. Los dedos de la mano derecha, pulgar, índice y medio, pueden entonces identificar los ejes x, y y z, respectivamente. La figura 1.2a muestra un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha:

La localización de un punto se hace por medio de sus coordenadas x, y y z. Éstas son, respectivamente, las distancias desde el origen a cada una de las intersecciones de una proyección perpendicular desde el punto de los ejes x, y y z. Un método opcional para interpretar los valores de las coordenadas, y que corresponde al que debe usarse en todos los demás sistemas de coordenadas, es considerar el punto como la intersección de tres superficies, los planos x = constante, y = constante y z = constante, siendo las constantes los valores de las coordenadas del punto. La figura 1.2b muestra los puntos P y Q, cuyas coordenadas son (1, 2, 3) y (2, −2, 1), respectivamente. Por consiguiente, el punto P se localiza en la intersección de los planos x = 1, y = 2 y z = 3, mientras que el punto Q se localiza en la intersección de los planos x = 2y = −2, z = 1.

Si se visualiza la intersección de tres planos en cualquier punto P, cuyas coordenadas sean x, y y z, puede incrementarse el valor de cada coordenada por una cantidad diferencial y obtenerse tres planos ligeramente desplazados que se intersecten en un punto P, cuyas coordenadas serán x + dx, y + dy y z + dz. Los seis planos definen un paralelepípedo rectangular cuyo volumen es dv = dxdydz; las superficies tienen diferenciales de áreas dS de dxdy, dydz y dzdx. Por último, la distancia dL de P a P es la diagonal del paralelepípedo y tiene una longitud:

El elemento diferencial de volumen lo muestra la figura 1.2c; el punto P está indicado, pero el punto P se localiza en la única esquina invisible.

Componentes vectoriales y vector unitario

Para describir un vector en un sistema de coordenadas cartesianas se considera primero un vector r que se extiende alejándose del origen. Una manera lógica de identificar este vector es proporcionar los tres componentes vectoriales, que se encuentran a lo largo de los tres ejes coordenados y cuya suma vectorial debe ser igual al vector dado. Si las componentes vectoriales de un vector r son x, y y z, entonces r = x + y + z. Las componentes vectoriales se muestran en la figura 1.3a. En vez de un vector ahora se tienen tres, pero esto significa un paso hacia adelante porque los tres vectores son de naturaleza muy sencilla y cada uno se orienta siempre a lo largo de uno de los ejes coordenados.

En otras palabras, las componentes vectoriales tienen una magnitud que depende del vector dado (tal como el r citado antes), pero cada una tiene una dirección constante conocida. Esto sugiere el uso de vectores unitarios, los cuales tienen magnitud unitaria por definición y se orientan a lo largo de los ejes coordenados en la dirección en la que crecen los valores de las coordenadas. Se reservará el símbolo a para un vector unitario y se identifica su dirección con un subíndice apropiado. Entonces ax ay y az son los vectores unitarios en el sistema de coordenadas cartesianas.3 Son dirigidos a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente, como lo muestra la figura 1.3b.

Si la componente vectorial y tiene una magnitud de dos unidades y se dirige hacia donde aumentan los valores de y, se deberá escribir entonces y = 2ay. Un vector rP que apunta desde el origen a un punto P(1, 2, 3) se escribe como Rp= ax+ 2ay + 3az. El vector desde el punto P a Q se puede obtener aplicando la regla de la suma vectorial. Esta regla muestra que el vector desde el origen a P más el vector desde P a Q es igual al vector desde el origen a Q. El vector deseado desde P(1, 2, 3) a Q(2, 2, 1) es, por lo tanto:

 

Los vectores rP, rQ y RPQ se muestran en la figura 1.3c. Este último vector no empieza en el origen, como lo hacía el vector r considerado al principio. Sin embargo, hemos aprendido que los vectores que tienen la misma magnitud y apuntan en la misma dirección son iguales, así que para ayudar al proceso de visualización se tiene la libertad de desplazar cualquier vector hasta el origen, antes de determinar sus componentes vectoriales. Desde luego, el paralelismo se debe mantener durante el proceso de desplazamiento.

Si se considera un vector fuerza F en vez de cualquier otro vector, excepto uno de desplazamiento tal como el vector r, el problema radica en proporcionar letras apropiadas para los tres componentes vectoriales. No sería apropiado llamarlas x, y y z, pues representan desplazamientos o distancias dirigidas, medidas en metros (abreviado m) o alguna otra unidad de longitud. El problema se evita usando componentes escalares, simplemente llamadas componentes Fx, Fy y Fz. Las componentes son las magnitudes, con signo positivo o negativo, de los componentes vectoriales. Se escribe entonces F = Fxax + Fyay + Fzaz.  Los componentes vectoriales son Fxax, Fyay y Fzaz.

Cualquier vector B, entonces, se puede describir por B = Bxax + Byay + Bzaz. La magnitud de B, denotada por |B| o simplemente B, está dada por:

 

Cada uno de los tres sistemas coordenados tiene tres vectores unitarios fundamentales y mutuamente ortogonales, los cuales se utilizarán para descomponer cualquier vector en sus componentes vectoriales. Sin embargo, los vectores unitarios no se limitarán a esta aplicación. Es muy necesario saber cómo escribir un vector unitario que tenga una dirección específica. Esto es muy sencillo, pues un vector unitario en una dirección dada es simplemente un vector en esa dirección dividido entre su magnitud. Un vector unitario en la dirección B es:

 

Por ejemplo, si es necesario determinar un vector unitario en la dirección del punto G(2,-2,-1) desde el origen, se construye un vector desde el origen hasta G, calculamos su magnitud y aplicamos la ecuación anterior para hallar el vector unitario en esa dirección:

 Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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Análisis de sistemas de control, PID

PID – Estudio de la acción Proporcional-Integral

Para el estudio de la acción proporcional integral se considera el sistema de la Figura 3:

  1. Simule la respuesta del sistema utilizando rltool() y observe su respuesta fijando Ti en 1s y para 3 diversos valores de Kp evitando la saturación. Observe en cada caso el sobrepico porcentual, el tiempo de establecimiento y el error en régimen estacionario. Comente y analice lo observado.

Analizamos el sistema antes de añadir el controlador PI:

>> s=tf(‘s’)

>> s1=(1)/(0.2*s+1)

>> s2=(2)/(0.1*s+1)

>> s3=(1)/(s+1)

>> G=s1*s2*s3

Como resultado de la ejecución de este comando en Matlab obtenemos que la función de transferencia directa G(s) es:

nullEs decir:null

Veamos cómo es la respuesta  a la entrada escalón unitario de este sistema antes de añadir un controlador PI:

>> Gce=feedback(G,1)

>> step(Gce)

Lo más notable es que el error en estado estable es ess=1-0.667=0.333, y que se trata de un sistema que no alcanza el valor de la señal de referencia en ningún momento.

Añadir un controlador PI significa juntar las ventajas de los controladores antes estudiados (PID – Estudio de la acción proporcional, PID – Estudio de la acción integral), es decir, un amplio margen para cambiar la ubicación de las raíces de la ecuación característica, lo que incide en el amortiguamiento y el tiempo de respuesta de la respuesta transitoria, y un aumento de la tipología del sistema, lo que significa un mejoramiento en el error en estado estable

Si añadimos un controlador proporcional-integral de ganancia Kp, la función de transferencia directa G1(s) es:

Es decir:

Se puede constatar que los efectos inmediatos de aplicar el controlador PI es agregar un cero simple en s=-1 y agregar un polo simple en s=0 en la función de transferencia directa.

Mediante la herramienta de diseño rltool vamos a variar el valor de la ganancia Kp y analizar como varían el sobrepaso (Mp), el tiempo de establecimiento (Ts) y el error en régimen estacionario (ess).

Kp=1

>> G1=G*(s+1)/s

>> rltool(G1)

 

La gráfica de El Lugar de las Raíces obtenida anteriormente se corresponde con un valor de Kp=1, para el cual obtenemos los siguientes valores de importancia:

ess=0

El error en estado estable es cero, ya que el valor final de la salida es uno. Representa una mejoría fundamental para justificar el uso de un PI.

Mp=8.49%; Ts=2.11 seg

Este valor del sobrepaso se corresponde con el siguiente para el factor de amortiguamiento relativo :

Kp>1

Para valores de la ganancia mayores que uno, se genera una tendencia al incremento de los parámetros estudiados. Por ejemplo, para Kp=1.5 obtenemos:

Mp=20.1%; Ts=2.43 seg; ζ=0.455

Si aumentamos el Kp a 2.5, obtenemos lo siguiente:

Un sistema cada vez más oscilante, con un sobrepaso cerca de 40% y un tiempo de establecimiento de 3.2 s.

K<1

Si lo que se desea es aumentar el factor de amortiguamiento relativo, podemos fijarlo mediante la ventana del lugar geométrico de las raíces, haciendo click derecho y seleccionando design requirement. Supongamos que deseamos un ζ=0.7, entonces con design requirement>new>damping ratio, obtenemos:

Arrastrando las raíces al límite sugerido por las líneas negras, modificamos el sistema. Para conocer el valor de Kp correspondiente a esa situación nos referimos a la ventana de control, donde vemos que Kp=0.8789. En la ventana de la respuesta al escalón, observamos el cambio:

Mp=5.61%; Ts=2.24 s; ζ≅ 0.7

ANTERIOR: PID – Estudio de la acción integral

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Control System Analysis

Example 1 – Transfer Function of a liquid-level system

We take into account the system of the Figure 3-23.

In accordance with the definitions of the previous article (Dinámica de un sistema de nivel de líquidos), we focus on the capacitances C1 and C2, as well as on the resistors R1 and R2. Thus, the dynamics of this system is determined by the following equations:

From here we can obtain the transfer function depending on what variables we define as input and output. For example, suppose the input to the system is q and the output variable is q2, so to find the transfer function of the system we execute the following operations:

So:

That is to say:

In the other hand:

That is:

Also: 

Applying Laplace to equations a, b and c, we obtain:

Clearing H1(s) of e and substituting this value in d we obtain:

An due to the latter is:

The transfer function of the system is:

 

Written by: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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