Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Sin categoría, Transformada de Laplace

Ejemplo 1: Transformada de Laplace de una función exponencial – Matlab

En general, La Transformada de Laplace de una función x(t) es:

Considere la señal exponencial x(t):

Donde a es un número real cualquiera y  u(t) es la función escalón unitario. La Transformada de Laplace de x(t) es:

Para evaluar el lado derecho es necesario determinar:

Este límite existe si solo si:

Por tanto:

Y:

La región de convergencia de la transformada X(s) es el conjunto de todos los números complejos tales que Re{s}>-a (Parte real de s es mayor que menos a). Nota: Dos señales distintas pueden tener la misma expresión algebraica cuando se le aplica la transformada de Laplace. Por tanto, cuando se especifica la transformada de Laplace de una señal, se requiere tanto la expresión algebraica como el intervalo de valores s para el cual esta expresión es válida. Lo correcto es expresar el resultado anterior de la siguiente manera: 

Observar que en el caso de que a=0, x(t) es simplemente la función escalón unitario, y por tanto se obtiene el importante resultado:

Cálculo de la Transformada de Laplace en Matlab 

Continuando con el caso x(t):

Symbolic Math Toolbox de Matlab calcula la Transformada de Laplace mediante el siguiente comando:

>> syms x a t
>> x=exp(-a*t);
>> X=laplace(x)

X =

1/(a + s)

De igual manera podemos calcular Laplace para la función escalón unitario mediante:

>> x=sym(1);
>> X=laplace(x)

X =

1/s

Teniendo la Transformada de Laplace X(s) podemos aplicar la antitransformada para obtener su equivalente en el dominio del tiempo:

>> X=1/(a + s)

>> x=ilaplace(X)

x =

exp(-a*t)

Por poner un caso más complicado, considere el siguiente ejemplo:

>> syms X s x
>> X=(s+2)/(s^3+4*s^2+3*s);

>> x=ilaplace(X)

x =

2/3 – exp(-3*t)/6 – exp(-t)/2

Además puedo graficar este resultado mediante:

>> ezplot(x,[0,10])

Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas

ANTERIOR: La Transformada de Laplace

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Escrito por: Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas, Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace X(s) es la Transformada Continua de Fourier después de multiplicarla por una señal exponencial real decreciente. Es por ello que se considera una generalización de la Transformada de Fourier. La notación y la ecuación utilizadas para determinar la Transformada de Laplace son las siguientes:

Es decir, Laplace adapta la Transformada de Fourier para que pueda ser aplicada a un conjunto más amplios de señales para las cuáles no existe la Transformada de Fourier.

Bajo ciertas condiciones iniciales, La Transformada de Laplace nos permite visualizar el efecto que un sistema LTI (causal, lineal e invariante en el tiempo) tiene sobre cualquier señal de entrada a dicho sistema.

La Transformada de Laplace a partir de la Transformada de Fourier

Dada una señal de tiempo continuo x(t) se define la Transformada de Fourier X(ω) de x(t) como:

La ecuación (1) genera las componentes de frecuencia que forman la señal x(t). Para algunas señales de uso común en la ingeniería, esta integral no existe. Para resolver este inconveniente, se añade un factor de convergencia exponencial  e^-σt a la integral de la ecuación (1), donde sigma (σ) es un número real. De esa manera obtenemos:

La cual puede escribirse como:

Para ser más prácticos, hacemos:

Así podemos escribir la ecuación (3) como:

La ecuación (4) es conocida como La Transformada de Laplace de una señal general x(t).

La transformada de Laplace convierte las funciones expresadas en término de la variable real t  en funciones de una variable completamente diferente, la variable compleja s. Nos mueve desde el dominio del tiempo a lo que a menudo se denomina el dominio de frecuencia.

La Transformada de Laplace comparte las propiedades algebraicas de La Transformada de Fourier: transforman una señal en el tiempo en la suma de varias señales en frecuencia. De allí su enorme utilidad para determinar, por ejemplo, la salida de un sistema a partir de la ecuación diferencial que describe la dinámica de dicho sistema, aplicando La transformada de Laplace y el conjunto de propiedades que se definen a continuación.

Por otra parte, no es necesario calcular la integral de la ecuación (4) en la mayoría de los casos de interés científico ya que se dispone de tablas para determinar la Transformada de Laplace de dichos casos.

Ejemplo 1: La Transformada de Laplace de una función exponencial

Considere la señal x(t):

Donde a es un número real cualquiera y  u(t) es la función escalón unitario. Aplicando la ecuación (4), La Transformada de Laplace de x(t) es:

Para evaluar el lado derecho es necesario determinar:

Este límite existe si solo si:

Por tanto:

Y:

La región de convergencia de la transformada X(s) es el conjunto de todos los números complejos tales que Re{s}>-a (Parte real de s es mayor que menos a). Nota: Dos señales distintas pueden tener la misma expresión algebraica cuando se le aplica la transformada de Laplace. Por tanto, cuando se especifica la transformada de Laplace de una señal, se requiere tanto la expresión algebraica como el intervalo de valores s para el cual esta expresión es válida. Lo correcto es expresar el resultado anterior de la siguiente manera: 

Observar que en el caso de que a=0, x(t) es simplemente la función escalón unitario, y por tanto se obtiene el importante resultado:

Para realizar este cálculo mediante matlab ver: Ejemplo 1: Transformada de Laplace de una función exponencial – Matlab

Propiedades de la Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace satisface un número de propiedades útiles en una gran variedad de aplicaciones. Las siguientes propiedades fundamentales permiten calcular sin necesidad de calcular la integral de la ecuación (4), la Transformada de Laplace de la mayoría de situaciones de interés para la ingeniería. Daremos algunos ejemplos de aplicación:

  1. Linealidad. La Transformada de Laplace es una operación lineal, por tanto:

Ejemplo:

  1. Desplazamiento en el tiempo por la derecha. Para cualquier número real positivo c:

Ejemplo: sea x(t) la función pulso rectangular en términos de la función escalón:

  1. Escalamiento en el tiempo. Para cualquier número real positivo a:

Ejemplo: sea x(t) la función escalón escalada en el tiempo:

  1. Multiplicación por una potencia de t. Para cualquier número entero positivo N:

Ejemplo: sea x(t) la función rampa unitaria:      5. Derivación en el dominio del tiempo.

La propiedad de derivación en el dominio del tiempo de la Transformada de Laplace es de suma importancia en el campo de la ingeniería ya que permite determinar la respuesta de un sistema LTI, o señal de salida y(t), a una entrada al sistema, o señal de excitación. Una vez determinada la Transformada de Laplace de la ecuación diferencial que representa la dinámica del sistema, se obtiene la expresión para la salida Y(s) y se aplica anti-transformada de Laplace. Pero existe una herramienta poderosa para observar el comportamiento de la salida en el dominio del tiempo. Veamos como funciona La Función de Transferencia de un sistema LTI.

A tabla siguiente ofrece un resumen del resto de las propiedades, junto con las ya mencionadas:

Referencias:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab
  2. Oppenheim – Señales y Sistemas
  3. Análisis de Sistemas Lineales Asistido con Scilab – Un Enfoque desde la Ingeniería Eléctrica.

SIGUIENTE: Ejemplo 1: Transformada de Laplace de una función exponencial – Matlab

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Control System Analysis, Sin categoría

Dynamik eines Masse-Feder-Dämpfer-Systems

Die Grundelemente eines jeden mechanischen Systems sind die Masse, die Feder und der Stoßdämpfer. Das Studium der Bewegung in mechanischen Systemen entspricht der Analyse dynamischer Systeme. In der Robotik zum Beispiel bezieht sich das Wort Vorwärtsdynamik darauf, was mit Aktuatoren passiert, wenn wir bestimmte Kräfte und Drehmomente auf sie anwenden.

Die Masse, die Feder, der Stoßdämpfer sind elementare Aktuatoren eines mechanischen Systems.

Um den Roboter zu steuern, ist es folglich notwendig, die Art der Bewegung eines Masse-Feder-Dämpfer-Systems sehr gut zu kennen.

Darüber hinaus wird dieses elementare System in vielen Anwendungsbereichen vorgestellt, daher die Wichtigkeit seiner Analyse. Wenn wir in der Robotik über Inverse Dynamic sprechen, sprechen wir darüber, wie man den Roboter auf eine gewünschte Art und Weise bewegt, welche Kräfte und Drehmomente wir auf die Aktoren anwenden müssen, damit sich unser Roboter auf eine bestimmte Art bewegt.

Bevor wir die dynamische Analyse unseres Masse-Feder-Dämpfer-Systems durchführen, müssen wir sein mathematisches Modell erhalten. Dies ist der erste Schritt für jeden, der die Dynamik eines Systems, insbesondere das Verhalten seiner mechanischen Komponenten, genau kennenlernen möchte.

Wir werden unsere Studie mit dem Modell eines Masse-Feder-Systems beginnen.

 

Dies ist aus folgendem Grund praktisch. Alle mechanischen Systeme haben eine Art in ihrer Bewegung, die sie zum Schwingen bringt, etwa wenn ein Gegenstand an einem Faden an der Decke hängt und mit der Hand, die wir drücken. Oder ein Schuh auf einer Plattform mit Federn. Es ist gut zu wissen, welche mathematische Funktion diese Bewegung am besten beschreibt.

Masse-Feder-System.
Abbildung 5

Die Dynamik eines Systems wird in erster Linie durch ein mathematisches Modell dargestellt, das aus Differentialgleichungen besteht. Im Falle des Masse-Feder-Systems ist diese Gleichung wie folgt:

Diese Gleichung ist als Bewegungsgleichung eines einfachen harmonischen Oszillators bekannt. Mal sehen, woher es stammt.

Wenn wir eine Formel erhalten wollen, die die Kraft beschreibt, die eine Feder gegen die Verschiebung ausübt, die sie dehnt oder schrumpft, ist es am besten, die potentielle Energie zu visualisieren, die in die Feder injiziert wird, wenn wir sie dehnen oder schrumpfen. Die folgende Grafik beschreibt, wie sich diese Energie als Funktion der horizontalen Verschiebung verhält:

Wenn sich die Masse m der vorhergehenden Figur, die an dem Ende der Feder angebracht ist, wie in Abbildung 5 gezeigt, von dem Federrelaxationspunkt x = 0 weg in die positive oder negative Richtung bewegt, sammelt sich die potentielle Energie U (x) an und steigt in parabolischer Form an und erreicht einen höheren Energiewert, wobei       U(x) = E, Wert, der der maximalen Dehnung oder Kompression der Feder entspricht. Die mathematische Gleichung, die in der Praxis diese Kurvenform am besten beschreibt und eine Konstante k für die physikalische Eigenschaft des Materials enthält, die die Steigung der Kurve erhöht oder verringert, ist die folgende:

Die Kraft ist auf folgende Weise mit der potentiellen Energie verbunden:

Deshalb:

Es ist sinnvoll zu sehen, dass F (x) umgekehrt proportional zur Verschiebung der Masse m ist. Denn es ist klar, dass, wenn wir die Feder dehnen oder schrumpfen, diese Kraft dieser Aktion entgegenwirkt und versucht, die Feder in ihre entspannte oder natürliche Position zurückzubringen. Aus diesem Grund heißt es Restitutionskraft. Die obige Gleichung ist in der Akademie als Hookes Gesetz oder Kraftgesetz für Federn bekannt. Das Folgende ist ein repräsentatives Diagramm dieser Kraft in Bezug auf die Energie, wie sie erwähnt wurde, ohne den Eingriff von Reibungskräften (Dämpfung), weshalb sie als der einfache harmonische Oszillator bekannt ist. Es ist wichtig, die proportionale Beziehung zwischen Verschiebung und Kraft zu betonen, aber mit einer negativen Steigung, und das ist in der Praxis komplexer, nicht linear.

Abbildung 4

Siehe: AMPLITUDE AND PHASE: SECOND ORDER II (Mathlets)

Sistema MRA

Nach Newtons zweitem Gesetz:

Diese Gleichung sagt uns, dass die vektorielle Summe aller Kräfte, die auf den Körper der Masse m einwirken, gleich dem Produkt des Wertes der Masse aufgrund ihrer Beschleunigung ist, die aufgrund der Kräfte erhalten wird. Mit Newtons zweitem Gesetz erhalten wir die folgende Gleichung:

Das ist:

Diese Gleichung repräsentiert die Dynamik eines idealen Masse-Feder-Systems.

System Masse-Feder-Stoßdämpfer

Wenn keine Reibungskraft vorhanden ist, oszilliert der einfache harmonische Oszillator unendlich. In Wirklichkeit nimmt die Amplitude der Oszillation allmählich ab, ein Prozess, der als Dämpfung bekannt ist und im folgenden graphisch beschrieben wird:

Die Verschiebung einer oszillierenden Bewegung ist gegen die Zeit aufgetragen, und ihre Amplitude wird durch eine sinusförmige Funktion dargestellt, die durch einen abnehmenden Exponentialfaktor gedämpft wird, der in dem Graphen als eine Hüllkurve erscheint. Die Reibungskraft Fv, die auf die amortisierte harmonische Bewegung einwirkt, ist in den meisten Fällen von wissenschaftlichem Interesse proportional zur Geschwindigkeit V. Diese Kraft hat die Form Fv = bV, wobei b eine positive Konstante ist, die unter anderem von den Eigenschaften des Fluids abhängt, das Reibung verursacht. Diese Reibung, auch bekannt als Viskosereibung, wird durch ein Diagramm dargestellt, das aus einem Kolben und einem mit Öl gefüllten Zylinder besteht:

Die gängigste Art, ein Masse-Feder-Dämpfer-System darzustellen, ist eine Reihenschaltung wie folgt:

Abbildung 6

 

Sowie die folgenden:

In beiden Fällen wird das gleiche Ergebnis bei Anwendung unserer Analysemethode erhalten. Wenn man Fig. 6 betrachtet, kann man sehen, dass dieselbe Konfiguration wie in Fig. 5 gezeigt ist, jedoch die Wirkung des Stoßdämpfers hinzugefügt wird. Indem wir Newtons zweites Gesetz auf dieses neue System anwenden, erhalten wir die folgende Beziehung:

Diese Gleichung repräsentiert die Dynamik eines Massen-Feder-Schock-Systems.

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  1. Beispiel 1 – System Transfer-Funktion Masse-Feder-Dämpfer
  2. Beispiel 1 – Elektromechanische Systemübertragungsfunktion

Geschrieben von:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer 

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Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas

Convolución de señales discretas – Sumatoria de convolución

Dadas dos señales de tiempo discreto x[n] y v[n], la convolución de ambas señales se define como: 

La expresión del lado derecho de la ecuación (1) se conoce como sumatoria de convolución. En el caso de que ambas señales x[n] y v[n] sean iguales a cero para n<0, entonces x[i]=0 para i<0, y v[n-i]=0 para n-i<0, entonces la ecuación (1) se puede escribir como:

Ejemplos
  1. Suponiendo que x[n]=anu[n], donde u[n] es la función escalón, y v[n]= bnu[n]. La convolución entre ambas señales es igual a:

Si a=b:Entonces:

Si ab:

Por tanto: 

2. La convolución de dos señales discretas puede representarse en Matlab mediante el siguiente código. Por ejemplo, la convolución de una señal p[n] consigo misma:

>> p=[0 ones(1,11) zeros(1,5)]%correspondiente a n=-1 a n=14

>>x=p

>> v=p

>> y=conv(x,v)

>> n=-2:25;

>> stem(n,y(1:length(n)),’filled’)

Convolución de una señal (p{n]=1 ) consigo misma.

 

3. Si aplicamos la convolución entre una entrada discreta x[n] a un sistema y la respuesta h[n] al impulso unitario discreto de dicho sistema, obtendremos la salida. Si h[n]=sen(0.5n) para n0, y la entrada x[n]=sen(0.2n) para n ≥0, podemos representar la salida mediante Matlab como sigue:

>> n=0:40;

>> x=sin(.2*n);

>> h=sin(.5*n);

>>y=conv(x,h);

>> stem(n,y(1:length(n)),’filled’) 

Salida y[n] para el sistema con entrada x[n]=sen(0.2n) y respuesta al impulso h[n]=sen(0.5n)

Fuente:

  1. Fundamentos_de_Señales_y_Sistemas_usando la Web y Matlab

ANTERIOR: Señales de tiempo discreto – muestreo en matlab

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Cibeseguridad

Seguridad Cibernética – Introducción

Seguridad cibernética: es la protección brindada a un sistema de información a través de un sistema automatizado cuyo objetivo fundamental es preservar la integridad, disponibilidad y confidencialidad de los recursos del sistema de información: hardware, software, firmware, información / datos y telecomunicaciones.

Estos tres aspectos, confidencialidad, integridad y disponibilidad, hacen que tu computadora sea un activo valioso para ti Pero visto desde otra perspectiva, son tres formas posibles de hacerle daño a tu computadora y hacerla menos valiosa para ti. Si alguien roba tu computadora, codifica datos en tu disco, o mira tus archivos de datos privados, el valor de tu computadora ha disminuido o el uso de tu computadora ha sido dañado. Ambas características son propiedades de seguridad básicas y, al mismo tiempo, objetos de amenazas de seguridad.

Podemos definir estas tres propiedades de la siguiente manera.

  1. Disponibilidad (availability): la capacidad de un sistema para garantizar que un activo pueda ser utilizado sólo por cualquier firma autorizada.
  2. Integridad (integrity): la capacidad de un sistema para garantizar que un activo pueda ser modificado sólo por cualquier firma autorizada.
  3. Confidencialidad (confidentiality): la capacidad de un sistema para garantizar que un activo sólo pueda ser visto por cualquier firma autorizada.

Estas tres propiedades son el sello de calidad de un sistema sólido de seguridad cibernética. Puestas en conjunto las tres conforman la “C-I-A Triad” (Trío confidentiality- integrity- availability), la fundación para la planificación e implementación de Cyber Seguridad.

¿Qué puede pasar para dañar la confidencialidad, la integridad o la disponibilidad de tu computadora? Si un ladrón roba tu computadora, ya no tienes acceso, entonces has perdido disponibilidad; si además el ladrón mira las imágenes o documentos que has almacenado, tu confidencialidad está comprometida. Y si el ladrón cambia el contenido de tus archivos de música, pero luego los devuelve junto con tu computadora, la integridad de tus datos está comprometida.  Se pueden presentar muchos escenarios basados en estas tres propiedades.

Confidencialidad

La definición de confidencialidad es sencilla: solo personas o sistemas autorizados pueden acceder a ciertos datos protegidos.

Estas son algunas propiedades que podrían significar una falla de confidencialidad:

  • Una persona no autorizada accede a un elemento de datos.
  • Un proceso o programa no autorizado accede a un elemento de datos.
  • Una persona autorizada para acceder a ciertos datos accede a otros datos para los cuales no está autorizado (que es una versión especializada de “una persona no autorizada accede a una información”).
  • Una persona no autorizada se entera de una característica particular o de un valor aproximado de un elemento de datos restringido (por ejemplo, no saber el salario exacto de alguien, pero saber que el salario cae en un determinado rango o excede una cantidad particular).
  • Una persona no autorizada se entera de la existencia de un dato restringido (por ejemplo, saber que una empresa está desarrollando cierto producto nuevo o que se encuentra en conversaciones para la fusión de dos empresas).

Integridad

Protección contra la modificación o destrucción inadecuada de la información, incluyendo garantizar la no repudiación de la información y la autenticidad. Una pérdida de integridad es la modificación o destrucción no autorizada de la información.

Varios aspectos de la integridad se ilustran con el ejemplo de un hospital. Específicamente, la información de alergia del paciente almacenada en una base de datos. El doctor debería ser capaz de confiar en que la información es correcta y actual. Ahora supongamos que un empleado (por ejemplo, una enfermera) que está autorizada para ver y actualizar esta información deliberadamente falsifica los datos para causar daño al hospital. La base de datos debe ser restaurada y trasladada a un centro de base confiable de datos rápidamente, y debería ser posible rastrear el error para identificar a la persona responsable. La información de alergia del paciente es un ejemplo de un activo con un alto requisito de integridad. La información inexacta puede ocasionar daños graves o muerte a un paciente y exponer al hospital a una responsabilidad masiva.

Disponibilidad

Cuanto más crítico sea un componente o servicio, mayor será el nivel de disponibilidad requerida. Considere un sistema que proporciona servicios de autenticación para sistemas críticos, aplicaciones y dispositivos. Una interrupción del servicio daría como resultado la incapacidad para que los clientes accedan a los recursos informáticos y para que el personal pueda  acceder a los recursos necesarios con el fin de realizar tareas críticas. La pérdida del servicio se traduce en una gran pérdida financiera, en la pérdida de productividad de los empleados y la posible pérdida de clientes.

ISO 7498-2 agrega al C-I-A Triad dos propiedades más que son deseables, particularmente en las redes de comunicación:

  • Autenticación (authentication): la capacidad de un sistema para confirmar la identidad de un remitente
  • no repudio o responsabilidad (nonrepudiation or accountability): la capacidad de un sistema para confirmar que el remitente no puede negar convincentemente haber enviado algo

A continuación la Figura 1.1 representa los fundamentos de la ciberseguridad:

Extraído de:

  1. Security and Computing
  2. Cryptography and Network Security_

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Cálculo, Límites

Teorema principal de Límites – Ejemplos

Teorema A. Teorema principal de los límites.

Aunque el Teorema A se establece en términos de límites por los dos lados, sigue cumpliéndose tanto para límites por la izquierda como para límites por la derecha.

Ejemplos de aplicación:
  1. Calcular

Solución:

 

Teorema B. Teorema de sustitución.

10. Si f(x) es una función polinomial o una función racional, entonces:

Con tal que f(c) esté definida. En el caso de una función racional, esto significa que el valor del denominador de f(c) no sea cero.

Ejemplos:

  1. Calcular

Solución: 

 2. Calcular

En este caso no se aplica el teorema B ya que el denominador de f(1)=0. Decimos que le límite no existe. Más adelante, con la definición de límites infinitos, nos permitiremos decir que el límite que nos piden calcular es +∞. 

Teorema C. Teorema de igualación.

11. Si f(x)=g(x) para toda x en un intervalo abierto que contenga a c, excepto posiblemente en el mismo número c, y si existe lím g(x) cuando x tiende a c, entonces existe lím f(x) cuando x tiende a c:

Ejemplos:

  1. Calcular

Solución:

  

  1. Calcular

Solución: 

Teorema D. Teorema del emparedado.

12. Sen f(x), g(x) y h(x) que satisfacen:

Para toda x cercana a c, excepto posiblemente en c. Si lím g(x) cuando x tiende a c es igual a L, e igual a lím h(x) cuando x tiende a c, entonces:

Ejemplos:

  1. Calcular

Si se ha demostrado que:

Para toda x cercana pero distinta de cero.

Solución: 

Por tanto:

 

Teorema E. Límites de funciones trigonométricas.

Límites trigonométricos especiales:  

Ejemplos:

  1. Calcular

Solución:

 

  1. Calcular

Solución:

Calcular 

Solución:

Calcular

Solución:

 

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Inteligencia Artificial, Machine Learning

La idea detrás del Machine Learning

La idea detrás del Machine Learning (aprendizaje automático) es que las percepciones que recibe un Agente (máquina) deberían usarse no solo para actuar, sino también para mejorar la habilidad del agente para actuar en el futuro. El aprendizaje tiene lugar como resultado de la interacción entre el Agente y el mundo, y de la observación por el Agente de sus propios procesos de toma de decisiones.

El aprendizaje puede consistir en la memorización trivial de la experiencia hasta manifestarse en la creación de teorías científicas complejas, tal como las exhibió Albert Einstein. Una máquina que aprende de su propia experiencia al interactuar con el medio que le rodea, implementa su proceso de aprendizaje a través de “agentes generales de aprendizaje”. El aprendizaje inductivo es uno de estos agentes  y su principal misión es construir una función a partir de un conjunto de ejemplos de entrada / salida,  que ayude al Agente a predecir la salida para entradas futuras y de esta manera tomar decisiones que optimicen su desempeño.

Es decir, contamos con la historia de un sistema, contada en forma de datos. El sistema podría ser un sistema de control de velocidad de auto autónomo. La entrada podría ser, por ejemplo, la distancia entre el auto autónomo y otros autos (obstáculos) frente a él. La salida, la reducción de velocidad óptima para evitar el choque. Es una forma muy rudimentaria de contar la historia, evidentemente faltan muchos detalles, pero con esto esperamos tener una idea simple.

Cada uno de esos datos es un par entrada/salida del sistema, lo que le permite al Agente diseñar una función que le permita elaborar un mapa entre la entrada y la salida con la intención de predecir cuál será la futura salida para una futura entrada. Mientras más datos de buena calidad se tengan, mejor entrenado estará el agente (más certera será la función). Además, el agente podrá actualizar automáticamente los parámetros de la función con su propia experiencia ensayo-error.

Es lo que se conoce como “Aprendizaje Supervisado”, el Agente recibe de la función diseñada (hipótesis) el valor correcto (o aproximadamente correcto) para entradas particulares, y luego cambia o mejora la representación de la función para intentar hacer coincidir la información que la función le da con aquella provista por la retroalimentación (feedback).

Mientras que en el Aprendizaje Supervisado, el objetivo es predecir el valor de una  variable de salida basados en una cantidad de medidas de la variable de entrada, en el “Aprendizaje no Supervisado” no hay variable de salida y el objetivo es describir las asociaciones y patrones entre un conjunto de medidas de la variable de entrada.

Existen diferentes algoritmos para el aprendizaje inductivo.  Algoritmos  que luego se transforman en programas de computación. La preocupación principal de Machine Learning es construir programas computarizados que “mejoren automáticamente” con la experiencia.

¿Podemos imaginar el gigantesco potencial de aplicación de esta tecnología? Hay que poner la lupa en aquellas tareas urgentes pero casi imposibles de realizar de manera manual. Las computadoras podrían aprender de millones de registros médicos cuáles tratamientos son más efectivos para atender enfermedades complejas como el cáncer; en un planeta que exige cada día más potencia eléctrica, podrían aprender de la experiencia a optimizar los costos de energía basados en patrones de uso particular de los ocupantes residenciales.

En el campo conocido como minería de datos (data mining), algoritmos de aprendizaje automático se utilizan de forma rutinaria para descubrir valiosos conocimientos de grandes bases de datos comerciales que contienen registros de mantenimiento de equipos, solicitudes de préstamos, transacciones financieras, registros médicos y similares. En años recientes se han desarrollado programas de extracción de datos que aprenden a detectar transacciones fraudulentas con tarjetas de crédito. Para problemas tales como el reconocimiento de voz (speech recognition), loes algoritmos basados en Machine Learning superan a todos los demás enfoques que se han intentado hasta la fecha.

Para quienes nos iniciamos en la materia, podemos proponer un enfoque práctico. Empezar por definir con precisión una clase de problemas de nuestro interés particular que requieran  aprendizaje automático, para luego explorar algoritmos que resuelven tales problemas, y comprender de esta manera la estructura fundamental de los procesos de aprendizaje. Nuestro objetivo final es ser capaces de diseñar sistemas de aprendizaje automático (Machine Learning Systems).

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Ingeniería Eléctrica, Teoría Electromagnética

Ley de Gauss y el concepto de Densidad de Flujo Eléctrico

Ley de Gauss: “El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie”. La formulación matemática de la ley de Gauss es:Esta ecuación significa que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada, la cual podría estar constituida por un conjunto de cargas puntuales, una línea de carga, una carga superficial o una carga volumétrica. Esta última, que utiliza el concepto de Densidad de Carga Volumétrica  es la que se utiliza por convención científica (ecuación 1), pero podría ser cualquiera de las mencionadas.

Densidad de flujo eléctrico

La dirección de la densidad de flujo D en un punto es la dirección de las líneas de flujo en ese punto, y su magnitud es igual al número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas, dividida entre el área de la superficie”. Podemos definir a D en el espacio libre como:

Alrededor de 1837 Michael Faraday realizó su famoso experimento para analizar la transmisión de cargas entre dos esferas metálicas, una pequeña y cargada dentro de otra más grande y descargada, con un material dieléctrico (que no conduce, aislante) entre ellas. Pudo comprobar que la carga de la pequeña se transmitía a la más grande independientemente del dieléctrico. A ese “desplazamiento” de carga se le denominó Flujo Eléctrico . Faraday también descubrió que una carga positiva mayor en el interior de la esfera inducía una correspondiente carga negativa mayor en la esfera exterior. Esto condujo a establecer la existencia de una proporcionalidad directa entre el flujo eléctrico y la carga Q de la esfera interior. En el sistema SI esa constante de proporcionalidad es igual a uno, por lo que del experimento de Faraday se obtiene que:De manera que el flujo eléctrico se mide en Coulombs.

Considerando una esfera interior de radio a y una exterior de radio b, con cargas Q y Q, respectivamente (Figura 3.1), las trayectorias del flujo eléctrico  se extienden desde la esfera interior a la exterior. Las líneas de flujo tienen forma radial y simétrica desde una esfera a otra. En la superficie de la esfera interior ψ coulombs de flujo eléctrico los produce la carga de Q coulombs distribuidos uniformemente sobre una superficie que tiene un área de 4πaˆ2  m2. La densidad de flujo en esta superficie es  entonces  ψ/4πaˆ2 , ó Q/4πaˆ2  C/m2.  

A la densidad de flujo eléctrico D, medida en coulombs por metro cuadrado, es un campo vectorial que pertenece a la clase de campos vectoriales de “densidades de flujo” y distinta de la clase “campos de fuerza”, en la que se incluye la intensidad de campo eléctrico E. La dirección de D en un punto es la dirección de las líneas de flujo en ese punto, y su magnitud es igual al número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas, dividida entre el área de la superficie.

Para la esfera interior:

Para la esfera exterior: 

Para una distancia r, donde ar≤b:

Esta será la densidad de flujo inclusive llevando al límite el radio de la esfera interior hasta reducirla a una carga puntual. Si ahora comparamos este resultado con el obtenido para la intensidad del campo eléctrico radial debido a una carga puntual en el espacio libre (Definición de Campo Eléctrico):Llegamos a la conclusión de que:

De manera similar, si una distribución de carga volumétrica en el vacío (Densidad de Carga Volumétrica) produce una intensidad de campo eléctrico E:

La densidad de flujo eléctrico D debido a dicha distribución de carga volumétrica en el vacío es:Podemos considerar a la ecuación (2) como la definición de densidad de flujo eléctrico D en el vacío.

Ley de Gauss

La generalización del experimento realizado por Faraday conduce al siguiente enunciado conocido como Ley de Gauss:

 “El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie”.

La gran contribución de Gauss no consiste en haber descubierto el fenómeno del flujo eléctrico sino en expresarlo en forma matemática. Supóngase una distribución de carga Q, que se muestra como una nube de cargas puntuales en la figura 3.2, rodeada por una superficie cerrada de cualquier forma:

Considérese, en cualquier punto P, un pequeño elemento de superficie ΔS y que la densidad de flujo eléctrico Ds en ese punto de la superficie forma un ángulo θ con ΔS como lo muestra la figura 3.2. El flujo eléctrico a través de ΔS es, entonces, el producto de la componente normal de Ds y ΔS:

El flujo total que pasa a través de la superficie cerrada producido por una carga Q “dentro de la superficie encerrada”, se obtiene sumando las contribuciones diferenciales que cruzan cada elemento de superficie S:

Como dS implica el producto de dos coordenadas, la integral de la ecuación (3) es una integral triple. El círculo sobre la integral indica que la integración debe hacerse sobre una superficie cerrada. La formulación matemática de la Ley de Gauss es:

Por otra parte, sabemos que el flujo eléctrico ψ=Q. Esta carga Q puede ser una carga puntual, en cuyo caso:Q también puede ser una línea de carga:O también una carga superficial:O también una distribución de carga volumétrica:

 Por convención los científicos siempre hacen referencia a este último caso. Por tanto, podemos reescribir la ecuación (4) como:Esta ecuación matemática es una de las más básicas de la electrostática y significa simplemente que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada, carga total que puede mostrar cualquiera de las propiedades señaladas.

Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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Cálculo, Límites

Límites por definición – ejemplos

Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) conforme x se aproxima a a es L, lo que se escribe como:

La siguiente proposición es verdadera:

Para muchos esta es la definición más importante del cálculo.

Para explicar esta definición se hace referencia a la Figura 1:

 

En otras palabras, de acuerdo con la Figura 1, al restringir x en el eje horizontal, de modo que siempre esté entre a-δ1 y a+δ1, se restringe a f(x) en el eje vertical, de manera tal que f(x) esté entre L-ε1 y L+ε1. Al aplicar este principio, el número ε se debe dar primero; el número δ debe producirse y por lo general depende de ε.

Encontrar o demostrar que el límite de f(x)=L cuando se acerca a a, por definición, consiste  en hallar un valor para δ (generalmente un intervalo o valor que depende de ε)  tal que se cumpla que:

Veamos como funciona esta declaración mediante el método propuesto en el siguiente ejemplo. Observación: el siguiente es un método estándar, pero existen muchos métodos. Su elección depende de la aproximación que quiera dar el usuario a cada problema.

 Ejemplos

Ejemplo 1. Demostrar por definición que:

Solución. Puesto que la función f(x)=4x-5 está definida en cualquier intervalo abierto que contenga a x=2, se debe demostrar que para cualquier ε>0 existe una δ>0 tal que:

Aplicando álgebra podemos mostrar que:

Entonces:

La ecuación (2) nos indica que podemos seleccionar δ=ε/4 , entonces se cumple la ecuación (1), lo que demuestra que: 

Una vez que demostramos la existencia de un δ, tal que se cumpla la proposición de la ecuación (1), podemos elegir cualquier ε, no importa que tan pequeño, y luego comprobar que se cumple lo demostrado. Por ejemplo, si ε=0.1, entonces δ=0.025. Esto es como preguntarse lo siguiente: ¿Qué tan cerca debe estar x de 2 para garantizar que f(x) esté a no menos de 0.1 de 3? Para que f(x) esté a menos de 0.1 de 3, debemos tener:  Esto significa que existe x1 y x2 tal que:

Debido a que:

Vemos que:

Por tanto, x debe estar a menos de 0.025 de 2 para que f(x) esté a menos de 0.1 de 3. Lo que confirma el resultado teórico de que δ=ε/4.

Ejemplo 2. Demostrar por definición que:

Solución. Puesto que la función f(x)=xˆ2 está definida en cualquier intervalo abierto que contenga a x=2, se debe demostrar que para cualquier ε>0 existe una δ>0 tal que:

Aplicando álgebra podemos mostrar que:

Entonces:

Para demostrar la ecuación (4) se debe imponer una restricción adicional a δ con el fin de obtener una desigualdad que contenga el factor ⌈(x+2)⌉. Dicha restricción consiste en elegir el intervalo abierto requerido en la ecuación (3) de modo que este intervalo sea (1,3), lo cual implica que δ≤1. Entonces:

Así que:

Implica que:

Lo que conduce a afirmar que:

Recordamos que la ecuación (4) es el objetivo, por lo que debe pedirse que:

Es decir:De esta forma se han impuesto dos restricciones a δ: δ≤1 y δ≤ε/5. Para que ambas restricciones se cumplan se debe tomar el menor de los dos valores. Como de antemano no sabemos cuánto vale ε, esta condición se puede escribir como: Queda demostrado entonces que para cualquier ε, la elección de  δ=mín(1,ε/5) hace verdadera la siguiente proposición:

Esto demuestra que:

Ejemplo 3. Demostrar por definición que:

Solución. Puesto que f(x)=4xˆ3+ 3xˆ2-24x+22 está definido en cualquier intervalo abierto que contenga a x=1, se debe demostrar que para cualquier ε existe una δ tal que:

Aplicando álgebra:Por propiedad del valor absoluto:Imponemos una nueva restricción:Ahora observamos que si:También se verifica que:Entonces:Ahora bien, para que:Basta con que:Por consiguiente, dado cualquier número ε, se puede encontrar un δ menor que  ε/25  que satisface la condición de límite (ecuación (5)). Queda así demostrado que:

Extraído de: Libro_Leithold_7ma_edicionCalculo_Diferencial_e_Integral_Ayres

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Densidad de Carga Volumétrica y Campo Eléctrico

Se puede definir la densidad de carga volumétrica matemáticamente mediante la ecuación:

Como ingenieros eléctricos, en raras ocasiones es necesario conocer una corriente electrón por electrón. Casi siempre nuestros resultados finales están en términos de la corriente en una antena receptora, del voltaje en un circuito electrónico, o de la carga en un condensador, o en general en términos de algún fenómeno macroscópico a gran escala.

Si luego de determinar el campo eléctrico debido a una carga puntual, se visualiza una región del espacio con un enorme número de cargas separadas por distancias diminutas —por ejemplo, el espacio entre la rejilla de control y el cátodo de un cañón de electrones de un tubo de rayos catódicos que opera con una carga espacial—, se observa que es posible reemplazar esta distribución de muchas partículas pequeñas por una distribución suave y continua de carga, caracterizada por una densidad de carga volumétrica.

La densidad de carga volumétrica se simboliza con ρν, cuyas unidades son coulomb por metro cúbico (C/m3). La pequeña cantidad de carga Q en un volumen pequeño ν es:

Se puede definir ρν matemáticamente mediante la utilización de un proceso de límite sobre la ecuación (1):

La carga total dentro de cualquier volumen finito se obtiene por integración sobre todo el volumen:

La diferencial dν significa una integración a través de todo el volumen e implica una integración triple; sin embargo, se acostumbra indicarla con un solo símbolo de integración. Por fortuna, es posible conformarse con sólo indicar la integración, pues existen muchas dificultades para evaluar las integrales múltiples en la mayoría de los problemas, excepto en los simétricos.

Ya se mencionó en Definición de Campo Eléctrico e Intensidad del Campo Eléctrico que el campo eléctrico en la dirección R desde el origen, puede ser expresado como:

Sustituyendo la ecuación (3) en (4) obtenemos que para una distribución de carga volumétrica en general en el espacio libre:

Lógicamente, la integral de la ecuación (5) no es la forma más conveniente o apropiada de evaluar un campo eléctrico. Por ello recurrimos a la Ley de Gauss y el concepto de la Densidad de Flujo, que conduce a expresar el campo eléctrico en forma de ecuaciones diferenciales.

Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

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