Análisis de sistemas de control, Matemática aplicada - Appd Math

Ejemplo 1 – Linealización de sistemas no lineales

Linealizar una función

Supongamos que tenemos un sistema representado por la siguiente función:  nullNuestra tarea es linealizar f(x) alrededor de xo=π/2. Como:null

Es decir, vamos a cambiar f(x)=5cosx, que es la representación de una curva con variable independiente x, por f(x)=f(x0)+mxXˆ, que es la representación de una recta con pendiente mx y una nueva variable independiente xˆ, que se supone intercepta al eje y en f(x0(recordar cómo se interpreta la ecuación de una recta. Para un repaso completo ver: Linealización de sistemas no lineales) Esta nueva representación sólo es válida si la variable independiente xˆ se aleja muy poco de x0, por eso se le llama excursión. 

Hallamos los siguientes valores y los sustituimos en la ecuación anterior:nullEntonces podemos representar nuestro sistema no lineal mediante la siguiente ecuación de recta con pendiente negativa:null

El resultado de la linealización de f(x) alrededor de xo=π/2 se puede observar en la Figura 2.48:

null

null

Linealizar una ecuación diferencial

Supongamos ahora que nuestro sistema está representado por la siguiente ecuación diferencial:nullLa presencia del término cosx hace de la anterior una ecuación no lineal. Se pide linealizar dicha ecuación para pequeñas excursiones alrededor de xo=π/4.

Para sustituir la variable independiente x por la excursión δx aprovechamos el hecho de que:nullAsí:null

Alguien podría preguntar que significa lo anterior. Significa que x-xo es una pequeña distancia que indica lo que nos podemos alejar de xo=π/4, que es el punto “alrededor” del cual debemos hacer la linealización. A esa pequeña distancia se le llama excursión δx. Ya que el símbolo δdebe ser utilizado muchas veces, porque se convierte en la nueva variable independiente, preferimos llamarla xˆ. En el procedimiento anterior despejamos a la variable x para sustituir este resultado en la ecuación original para que dicha ecuación nos quede expresada en función de la nueva variable xˆ.

Ok. Procedemos entonces a la sustitución en la ecuación diferencial:nullAplicamos ahora las reglas de derivación:nullY para el término que involucra a la función cosx aplicamos la misma metodología que acabamos de ver en el ejemplo anterior para una función determinada, es decir,  linealizar f(x) alrededor de xo=π/4:

Entonces de acuerdo con la ecuación (1):

Pero, ya que:Podemos afirmar que:

Por tanto, con estos resultados, podemos reescribir la ecuación diferencial:

null

de forma lineal alrededor del punto xo=π/4 como sigue:

O lo que es lo mismo:

Esta es la nueva representación de nuestra ecuación diferencial original, sólo válida si no nos alejamos mucho de xo=π/2. Note que esta nueva representación es una ecuación diferencial lineal, que es el objetivo del procedimiento.

Ejemplo - Linealización de Sistema de levitación magnética de una esfera.

El sistema de suspensión magnética de una esfera se muestra en la Figura 1.

El objetivo del sistema es controlar la posición de la esfera de acero mediante el ajuste de la corriente en el electroimán a través del voltaje de entrada e(t). La dinámica del sistema está representada por las siguientes ecuaciones diferenciales:Donde:

Se pide linealizar el sistema alrededor de su punto de equilibrio.

Solución

La Figura 1 muestra que la bola metálica está sujeta a dos fuerzas: Fem y G; es decir, la fuerza electromagnética y la gravedad. De la dinámica del sistemas nos enfocamos en la ecuación que relaciona ambas fuerzas mediante la ley de Newton:

Esta ecuación es no lineal y es donde será necesario aplicar del proceso de linealización. Escribiendo esta ecuación de otra forma podemos ver que las fuerzas que actúan sobre la esfera tienen signo contrario, lo que indica que se oponen:

Donde:

Resulta lógico pensar que ambas fuerzas se igualan en el punto de equilibrio, de coordenada xo, cuando la bola levita y permanece inmóvil. Como el desplazamiento de la bola en este punto permanece constante, la velocidad y la aceleración de la bola son iguales a cero, así sabemos que:

Por tanto, en el punto de equilibrio:

Donde:

Volviendo a la dinámica del sistema, sólo una de las ecuaciones es no lineal:

Para linealizar esta ecuación diferencial, procedemos como hemos visto en: Linealización de sistemas no lineales.

La excursión alrededor del punto de equilibrio se representa mediante:

De donde:

Escribimos de nuevo la ecuación 1 sustituyendo sus términos por aquellos encontrados para el punto de equilibrio:

Aplicando ley de derivadas, tomando en cuenta que xo  es una constante:

Para linealizar la fuerza electromagnética en el punto de equilibrio, aplicamos la siguiente serie de Taylor:

Entonces:

Donde

Sustituyendo estos últimos resultados en la ecuación 3 obtenemos:

Sustituimos ahora este resultado en la ecuación 2:

Y así logramos cumplir con el objetivo de representar el sistema no lineal mediante las siguientes ecuaciones diferenciales lineales:

Nota: La segunda ecuación (e(t)=…) puede mantener su forma original porque es lineal, sólo hacía falta cambiar la variable independiente i por aquella que representa la excursión.

Fuente: Modelling and simulation of a magnetic levitation system, Valer Dolga, Lia Dolga, 2007.

Atención: 

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema: 

Atención:

Si lo que Usted necesita es determinar La Función de Transferencia de un Sistema..Le entregamos la respuesta en dos horas o menos, dependiendo de la complejidad. En digital. Póngase en contacto con nosotros, respuesta inmediata, resolvemos y entregamos la Función de Transferencia de sistemas masa-resorte-amortiguador, eléctricos, electromecánicos, electromotriz, nivel de líquido, térmico, híbridos, rotacional, no lineales, etc.. Opcional, Representación en Variables de Estado, Linealización de sistemas no lineales. Opcional, Entrevista por Skype para explicar la solución.

WhatsApp +593981478463, atención inmediata !!

email: dademuchconnection@gmail.com 

Costo del servicio: 10 dólares por problema.

 

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Mentoring Académico / Empresarial / Emprendedores

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. 00593998524011

WhatsApp: +593981478463

+593998524011

email: dademuchconnection@gmail.com

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Mentoring Académico / Empresarial / Emprendedores

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contact: Caracas, Quito, Guayaquil, Cuenca – Telf. 00593998524011

WhatsApp: +593981478463

+593998524011

email: dademuchconnection@gmail.com

Anuncios

1 comentario en “Ejemplo 1 – Linealización de sistemas no lineales”

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s