Análisis Vectorial, Matemática aplicada - Appd Math

Descripción de un vector mediante el sistema de coordenadas rectangular

Introducción

Los conceptos fundamentales y las operaciones del análisis vectorial son imprescindibles para la ingeniería. En este paper, estos conceptos y operaciones se bosquejan en vez de exponerse rigurosamente, lo cual es bastante práctico para el ingeniero. Una cantidad vectorial tiene tanto magnitud como dirección en el espacio. Sólo serán de interés los espacios de dos y tres dimensiones, aunque en aplicaciones más avanzadas los vectores pueden definirse en espacios de n dimensiones. La fuerza, la velocidad, la aceleración y una línea recta que van de la terminal positiva a la negativa de un acumulador son ejemplos de vectores. A cada cantidad la caracterizan tanto una magnitud como una dirección.

Para describir con precisión un vector, debemos hacer uso de un sistema de coordenadas que permita determinar la longitud, dirección, proyección o componentes de un vector. Los tres sistemas más sencillos para lograr esto son el de coordenadas cartesianas o rectangulares, el de coordenadas cilíndricas y el de coordenadas esféricas. En esta oportunidad trataremos el primer caso.

Sistema de coordenadas rectangular

Utiliza tres ejes coordenados perpendiculares entre sí, llamados eje x, y y z. Se acostumbra elegir un sistema de coordenadas de mano derecha en el cual una rotación (que describe un pequeño ángulo) del eje x hacia el eje y causaría que un tornillo derecho avanzara en la dirección del eje z. Los dedos de la mano derecha, pulgar, índice y medio, pueden entonces identificar los ejes x, y y z, respectivamente. La figura 1.2a muestra un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha:

La localización de un punto se hace por medio de sus coordenadas x, y y z. Éstas son, respectivamente, las distancias desde el origen a cada una de las intersecciones de una proyección perpendicular desde el punto de los ejes x, y y z. Un método opcional para interpretar los valores de las coordenadas, y que corresponde al que debe usarse en todos los demás sistemas de coordenadas, es considerar el punto como la intersección de tres superficies, los planos x = constante, y = constante y z = constante, siendo las constantes los valores de las coordenadas del punto. La figura 1.2b muestra los puntos P y Q, cuyas coordenadas son (1, 2, 3) y (2, −2, 1), respectivamente. Por consiguiente, el punto P se localiza en la intersección de los planos x = 1, y = 2 y z = 3, mientras que el punto Q se localiza en la intersección de los planos x = 2y = −2, z = 1.

Si se visualiza la intersección de tres planos en cualquier punto P, cuyas coordenadas sean x, y y z, puede incrementarse el valor de cada coordenada por una cantidad diferencial y obtenerse tres planos ligeramente desplazados que se intersecten en un punto P, cuyas coordenadas serán x + dx, y + dy y z + dz. Los seis planos definen un paralelepípedo rectangular cuyo volumen es dv = dxdydz; las superficies tienen diferenciales de áreas dS de dxdy, dydz y dzdx. Por último, la distancia dL de P a P es la diagonal del paralelepípedo y tiene una longitud:

El elemento diferencial de volumen lo muestra la figura 1.2c; el punto P está indicado, pero el punto P se localiza en la única esquina invisible.

Componentes vectoriales y vector unitario

Para describir un vector en un sistema de coordenadas cartesianas se considera primero un vector r que se extiende alejándose del origen. Una manera lógica de identificar este vector es proporcionar los tres componentes vectoriales, que se encuentran a lo largo de los tres ejes coordenados y cuya suma vectorial debe ser igual al vector dado. Si las componentes vectoriales de un vector r son x, y y z, entonces r = x + y + z. Las componentes vectoriales se muestran en la figura 1.3a. En vez de un vector ahora se tienen tres, pero esto significa un paso hacia adelante porque los tres vectores son de naturaleza muy sencilla y cada uno se orienta siempre a lo largo de uno de los ejes coordenados.

En otras palabras, las componentes vectoriales tienen una magnitud que depende del vector dado (tal como el r citado antes), pero cada una tiene una dirección constante conocida. Esto sugiere el uso de vectores unitarios, los cuales tienen magnitud unitaria por definición y se orientan a lo largo de los ejes coordenados en la dirección en la que crecen los valores de las coordenadas. Se reservará el símbolo a para un vector unitario y se identifica su dirección con un subíndice apropiado. Entonces ax ay y az son los vectores unitarios en el sistema de coordenadas cartesianas.3 Son dirigidos a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente, como lo muestra la figura 1.3b.

Si la componente vectorial y tiene una magnitud de dos unidades y se dirige hacia donde aumentan los valores de y, se deberá escribir entonces y = 2ay. Un vector rP que apunta desde el origen a un punto P(1, 2, 3) se escribe como Rp= ax+ 2ay + 3az. El vector desde el punto P a Q se puede obtener aplicando la regla de la suma vectorial. Esta regla muestra que el vector desde el origen a P más el vector desde P a Q es igual al vector desde el origen a Q. El vector deseado desde P(1, 2, 3) a Q(2, 2, 1) es, por lo tanto:

 

Los vectores rP, rQ y RPQ se muestran en la figura 1.3c. Este último vector no empieza en el origen, como lo hacía el vector r considerado al principio. Sin embargo, hemos aprendido que los vectores que tienen la misma magnitud y apuntan en la misma dirección son iguales, así que para ayudar al proceso de visualización se tiene la libertad de desplazar cualquier vector hasta el origen, antes de determinar sus componentes vectoriales. Desde luego, el paralelismo se debe mantener durante el proceso de desplazamiento.

Si se considera un vector fuerza F en vez de cualquier otro vector, excepto uno de desplazamiento tal como el vector r, el problema radica en proporcionar letras apropiadas para los tres componentes vectoriales. No sería apropiado llamarlas x, y y z, pues representan desplazamientos o distancias dirigidas, medidas en metros (abreviado m) o alguna otra unidad de longitud. El problema se evita usando componentes escalares, simplemente llamadas componentes Fx, Fy y Fz. Las componentes son las magnitudes, con signo positivo o negativo, de los componentes vectoriales. Se escribe entonces F = Fxax + Fyay + Fzaz.  Los componentes vectoriales son Fxax, Fyay y Fzaz.

Cualquier vector B, entonces, se puede describir por B = Bxax + Byay + Bzaz. La magnitud de B, denotada por |B| o simplemente B, está dada por:

 

Cada uno de los tres sistemas coordenados tiene tres vectores unitarios fundamentales y mutuamente ortogonales, los cuales se utilizarán para descomponer cualquier vector en sus componentes vectoriales. Sin embargo, los vectores unitarios no se limitarán a esta aplicación. Es muy necesario saber cómo escribir un vector unitario que tenga una dirección específica. Esto es muy sencillo, pues un vector unitario en una dirección dada es simplemente un vector en esa dirección dividido entre su magnitud. Un vector unitario en la dirección B es:

 

Por ejemplo, si es necesario determinar un vector unitario en la dirección del punto G(2,-2,-1) desde el origen, se construye un vector desde el origen hasta G, calculamos su magnitud y aplicamos la ecuación anterior para hallar el vector unitario en esa dirección:

 Extraído de: Teoría Electromagnetica – Hayt 7ed

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

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