Análisis de sistemas de control, Lugar geométrico de las raíces

El lugar geométrico de las raíces con Matlab

El Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) expone gráficamente información relacionada con la Respuesta Transitoria y La Estabilidad de un sistema de control. 

Para obtener la gráfica del lugar geométrico de las raíces es de gran utilidad contar con una aplicación computarizada, entre las cuáles resalta rlocus de Matlab. Sin embargo, no deja de ser importante aprender las bases y propiedades del LGR, así como la forma de interpretar los datos proporcionados por el lugar geométrico para fines de análisis y diseño (El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 1era. parte. ).

El lugar geométrico de las raíces consiste en una representación gráfica de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado a medida que varía uno o varios parámetros del sistema.

1) Como primer ejemplo, vamos a confirmar la gráfica del LGR para un sistema ya estudiado en la 2da parte (El lugar geométrico de las raíces de un sistema de control – 2da. parte.). Suponga un sistema con la siguiente ecuación característica:

null

La forma factorizada de esta ecuación característica es:

null

Es decir:

null

Donde G(s)H(s) es la función de transferencia directa a lazo abierto de un sistema representado mediante la siguiente configuración:

null

Para el ejemplo en consideración, el lugar geométrico de las raíces presenta la forma que aparece en la Figura 8-8:

null

null

Podemos obtener el lugar geométrico de G(s)H(s) en Matlab mediante la siguiente línea de comandos:

>> s=tf(‘s’)

>> sys=(1)/(s*(s+3)*(s^2+2*s+2))

>> rlocus(sys)

Obtenemos la siguiente gráfica:

null

Podemos observar la similitud con la Figura 8-8. Colocando el cursor en el punto de intersección superior con el eje imaginario, podemos constatar que en dicho punto el valor de la ganancia K=8.1 a la altura de s=0+j1.09, mientras que haciendo lo mismo, colocando el cursor en el punto de intersección inferior con el eje imaginario, podremos ver el mismo valor para K en s=0-j1.09.

null

En el lugar geométrico de las raíces de Matlab el valor de K varía entre 0 e infinito (0≤K≤∞), por lo que cada lugar geométrico va desde K=0 hasta K=∞, a diferencia de lo que se observa en la Figura 8-8, en la cual el lugar geométrico se presenta de k=-∞ hasta k=+∞.

Podemos observar además en el lugar geométrico de las raíces provisto por  Matlab para este sistema, lo siguiente:

  1. Los lugares geométricos son simétricos con respecto al eje real.
  2. Los cuatro puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 (los polos, donde inician los lugares geométricos) son s=0, -3, -1+j, -1-j. Aquellos donde K=∞ (los ceros, donde finalizan los lugares geométricosson s=∞, ∞ , ∞ , e .
  3. El máximo entre n y m es 4, por lo que el lugar geométrico tiene 4 ramas, señaladas en Matlab por las ramas de color verde (inicia en -3), azul (inicia en 0), celeste (inicia en -1-j) y rojo (inicia en -1+j). Utilizando el cursor podemos recorrer cada rama y verificar lo dicho.
  4. El número de asíntotas es 4, (n-m=4). Como el número de polos finitos excede al número de ceros finitos, el lugar geométrico de las raíces se aproxima a s=∞ a lo largo de las asíntotas.
  5. Los ángulos y el centroide de las asíntotas se dan a continuación:

null

null

Una vez que esbozamos el LGR de un sistema de control en particular, es posible que queramos ubicar con precisión algunos puntos de importancia, así como encontrar su ganancia asociada. Por ejemplo, podríamos querer saber las coordenadas exactas del lugar de la raíz que cruza la línea radial que representa un 20% de sobrepaso, así como el valor de la ganancia en ese punto. Vamos a ilustrar este caso con el siguiente ejemplo:

2) Dada la siguiente función de transferencia directa para un sistema de control con realimentación unitaria:

a. Dibujar el lugar geométrico de las raíces.
b. Encontrar el punto de cruce con el eje imaginario.
c. Encontrar la ganancia en el punto de cruce con el eje imaginario.
d. Encontrar los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico.
e. Encontrar el lugar donde el lugar geométrico se cruza con la línea de coeficiente de amortiguamiento (damping ratio line) de tal forma que dicho coeficiente sea igual a 0.5 (ξ= 0.5).
f. Determine la ganancia K en el punto anterior.
g. Encuentre el rango de ganancia K para el cual el sistema es estable.

a. Dibujar el lugar geométrico de las raíces.

Coloco en la consola de Matlab los siguientes comandos:

>> numg=poly([2 4]);
>> deng=[1 6 25];
>> G=tf(numg,deng)

G

s^2 – 6 s + 8
————–
s^2 + 6 s + 25

>> rlocus(G);

b. Encontrar el punto de cruce con el eje imaginario.

Podemos ver en la gráfica anterior que, cuando el lugar geométrico de las raíces cruza el eje imaginario, los polos del sistema están ubicado en:

c. Encontrar la ganancia K en el punto de cruce con el eje imaginario.

De acuerdo con la gráfica anterior:

En la misma gráfica podemos ver que el sistema es inestable (damping negativo) cuando:

d. Encontrar los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico.

e. Encontrar el lugar donde el lugar geométrico se cruza con la línea de coeficiente de amortiguamiento (damping ratio line) de tal forma que dicho coeficiente sea igual a 0.5 (ξ= 0.5).
>> z=0.5;
>> sgrid(z,0)

f. Determine la ganancia K en el punto anterior.

De acuerdo con la gráfica anterior:

g. Encuentre el rango de ganancia K para el cual el sistema es estable.

Previamente, hemos visto que el sistema es estable cuando la ganancia K:

Control Proporcional

3. Hallar la ganancia  para lograr un coeficiente de amortiguamiento ξ= 0.5, dada la siguiente función de transferencia directa para un sistema de control con realimentación unitaria:

null

Ya sabemos que el enunciado del problema se refiere a la siguiente configuración:

Al agregar a este sistema original un controlador para manipular la ganancia K de su LGR hasta obtener el factor de amortiguamiento deseado, estaremos ejecutando una Acción de Control Proporcional. Se acostumbra agregar dicho controlador en la región de baja potencia, en serie y justo antes de la planta, o justo antes de la función de transferencia directa, tal como se ilustra en la siguiente figura:

Entonces, si añadimos un controlador proporcional de ganancia Kp, la función de transferencia directa G(s) es ahora:null

Note que al hacer KP=1, obtenemos el sistema original. Este hecho lo utilizaremos más adelante para comparar las respuesta del sistema antes y después de la compensación.

Para responder a esta pregunta, utilizaremos el comando de Matlab rltool:

>> numg=100;
>> deng=[1 16 65 50];
>> G=tf(numg,deng)

G =

100
————————
s^3 + 16 s^2 + 65 s + 50

>> rltool(G)

Obtenemos el Lugar Geométrico de Las Raíces en un IDE interactivo:

Nos desplazamos sobre el LGR  haciendo un click sobre la línea de los polos dominantes y arrastrando el punto hasta que se alcance al damping solicitado:

La gráfica anterior nos muestra que podemos obtener un ζ=0.5 cuando la ganancia KP tiene un valor aproximado de 1.46. Es decir, KP=1.46

Podemos comparar la respuesta a una entrada escalón del sistema antes y después de la compensación mediante:

>> numcompensado=100*1.46;
>> Gcompensado=tf(numcompensado,deng)

Gcompensado =

146
————————
s^3 + 16 s^2 + 65 s + 50

>> sys_antes=feedback(G,1);
>> sys_despues=feedback(Gcompensado,1);
>> step(sys_antes,sys_despues)

En color azul se muestra la respuesta del sistema a una entrada escalón antes de la compensación, cuando KP=1. Luego, se muestra,en color rojo, la respuesta del sistema después de la compensación, cuando KP=1.46. Se observa claramente en la gráfica anterior, que el tiempo de levantamiento es menor, mejora después de la compensación (de 0.5626 s a 0.4356 s), pero a costa de un sobrepaso mayor debido a que el factor de amortiguamiento ζ es menor (de 0.626 a 0.502). También después de la compensación se reduce el error en estado estable ya que el resultado final está más cerca del valor de la señal de referencia, es decir, 1.

Estos datos los podemos saber utilizando los comandos:

>> stepinfo(sys_antes)

RiseTime: 0.5626
SettlingTime: 1.7487
Overshoot: 7.5449

>> stepinfo(sys_despues)

RiseTime: 0.4356
SettlingTime: 2.0551
Overshoot: 15.0397

>> damp (sys_antes)

Damping= 6.26e-01

>> damp (sys_despues)

Damping=5.02e-01

O también, colocando el cursor  sobre el lugar geométrico aportado por rltool, hacemos click derecho y seleccionamos design requirement>new>design requirement type>damping ratio>0.5>ok. Obtenemos el gráfico siguiente, colocando el cursor sobre la región rosada:

Conclusión

Se confirma mediante estos ejemplos que el lugar geométrico de las raíces es un poderoso método de análisis y diseño para la estabilidad y respuesta transitoria de un sistema de control (Evans, 1948, 1950).

Los sistemas de control realimentados son difíciles de comprender desde el punto de vista cualitativo, por lo que dicha comprensión depende en gran medida de las matemáticas. El lugar geométrico de las raíces es la técnica gráfica que nos da esa descripción cualitativa sobre el rendimiento del sistema de control que estamos diseñando.

Al establecer la ganancia en un valor particular en el LGR, se determina una respuesta transitoria específica, dictada por los polos en ese punto del lugar geométrico. Esto quiere decir que al diseñar una respuesta transitoria estamos limitados a aquellas respuestas que existen a lo largo del lugar geométrico de las raíces.

De eso trata el siguiente tema, de gran importancia para el diseño de sistemas de control:

SIGUIENTE: Diseño de la respuesta transitoria de un sistema de control vía LGR – Compensación en Cascada

Fuentes:

  1. Control Systems Engineering, Nise
  2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Mentoring Académico / Empresarial / Emprendedores

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Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

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14 comentarios en “El lugar geométrico de las raíces con Matlab”

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