Sistemas Lineales e Invariantes en el tiempo.

Introducción

Un sistema lineal, en tiempo continuo o discreto, es aquel que posee la importante propiedad de la superposición: si una entrada consiste en la suma ponderada de varias señales, entonces la salida es simplemente la superposición (es decir, la suma ponderada) de las respuestas del sistema a cada una de estas señales.

Sea y1(t) la respuesta del sistema continuo a una entrada x1(t), y sea y2(t) la salida correspondiente a la entrada x2(t). Entonces, el sistema es lineal si:

 

  • La respuesta a x1(t) + x2(t) es y1(t) + y2(t)
  • La respuesta a k*x1(t) es k*y1(t), donde k es una constante compleja cualquiera.

La primera de estas dos propiedades se llama propiedad de aditividad, mientras que la segunda se conoce como la propiedad de escalamiento u homogeneidad.

Consideremos un sistema S cuya entrada x(t) y salida y(t) están relacionadas mediante:

null

Ahora consideramos dos entradas arbitrarias x1(t) y x2(t). Ellas generan las siguientes respuestas:

null

Consideremos una tercera entrada x3(t)=a*x1(t)+b*x2(t), la cual genera una salida y3(t) igual a:

null

Concluimos entonces que el sistema es lineal.

 

El modelo matemático y sus términos

Los sistemas lineales, dinámicos, causales, invariantes en el dominio y deterministas (LDCID) definidos en el dominio del tiempo continuo constituyen parte importante en el estudio de los sistemas eléctricos, debido al hecho de sus innumerables aplicaciones dentro de la ingeniería eléctrica.

En general podría decirse que los sistemas lineales son el resultado de aproximaciones en el modelaje de sistemas. No obstante, aun cuando los sistemas eléctricos forman parte de los llamados sistemas no lineales, su tratamiento como sistemas lineales permiten dar respuestas acertadas a las preguntas que pudiera requerir los profesionales del área.

Los modelos matemáticos de sistemas dinámicos definidos en el dominio continuo presentan términos asociados a operaciones de derivadas de las cantidades externas con respecto a la variable independiente, que por lo general será el tiempo. Estos modelos matemáticos se denominan ecuaciones diferenciales, y sus respectivas respuestas son totalmente definidas por las condiciones de cada sistema representado por el modelo matemático.

Un aspecto importante a estudiar la representación de un sistema a través de su modelo matemático es la identificación de los términos que son expresados en el modelo matemático de un sistema LDCID, el cual es representado por una ecuación diferencial ordinaria ( (ODE) involves derivatives of a function of only one variable) de orden m-ésimo en relación a la señal de excitación x(t), y de orden n-ésimo con respecto a su señal de respuesta y(t), es decir, en general un modelo matemático asociado a un sistema LDCID viene dado por:

donde y(t) representa la señal de respuesta también denominada señal de salida, x(t) representa la señal de excitación o de entrada, y los coeficientes an;a1; …;a0 y bm;b1; … ;b0 representan los parámetros del sistema, que alteran respectivamente la señal de excitación y la señal de respuesta, así como sus derivadas ordinarias, y la variable independiente t, en este caso puede significar el tiempo, con el propósito de contextualizar el dominio en el cual está definido el modelo matemático.

Modelo matemático de primer orden

Un sistema LDCID en el dominio continuo de primer orden es representado mediante una ecuación diferencial dada por:

Note que el modelo debe ser de primer orden en lo que respecta a los operadores ,

es decir, en mayor orden de derivadas de la señal de respuesta y(t) debe ser n = 1.

Sin embargo, podría ser de cualquier orden con relación a los operadores de la excitación para , debido al hecho de que las operaciones de derivadas sobre la señal de excitación no son consideradas parte del sistema.

Note que las operaciones definidas sobre la señal de excitación no forman parte del sistema, por cuanto las operaciones matemáticas definidas sobre la excitación constituyen el modelo matemático de la señal de excitación.

Por razones de simplificación en la nomenclatura y mediante la propiedad de superposición, se estudiará la solución de la ecuación diferencial:

Note que para obtener la solución del sistema debe conocerse al menos una condición de la respuesta del sistema, la cual usualmente es especificada a través de su condición inicial, y(0).

Luego de manipulaciones algebraicas convenientes (demostración en Fuente 1), se concluye que la solución a la ecuación diferencial representada por la Ecuación (2.12) viene dada por:

donde:

  1. Respuesta transitoria:

  1. Respuesta permanente

Ejemplo 2.2

La Figura 2.3 muestra un sistema compuesto por una resistencia y un capacitor, y cuyos valores son representados respectivamente por R y C. Además, la figura muestra que el sistema eléctrico es excitado por una señal x(t) = u(t) y su respuesta es medida a través de la tensión sobre el capacitor, donde u(t) representa la función escalón unitario:

El modelo matemático asociado al sistema representado por la Figura 2.3 puede obtenerse empleando elementales ecuación de redes eléctricas:

Entonces, al comparar el modelo matemático definido por la Ecuación (2.12) con el modelo obtenido, se tiene que el coeficiente a0 y la señal de excitación son:

,

Al aplicar la solución expresada por medio de la Ecuación (2.21), se puede afirmar que:

Al operar la Ecuación (2.26) se tiene que la respuesta del sistema es dada por:

Note que:

por cuanto el elemento de memoria representado por el capacitor no permite cambios bruscos y por tal motivo y(0-) = y(0) = y(0+). Además, para buscar una respuesta a la pregunta debe tomarse en cuenta que la excitación tiene un valor de cero y ella ha permanecido en cero desde mucho tiempo atrás, es decir, desde menos infinito, obviamente y(0) = 0.

Modelo matemático de orden superior.

En este apartado se introducirá el operador p, el cual será empleado para representar el orden de la derivada que está operando en cada término de la ecuación diferencial ordinaria bajo estudio.

Definición 2.1 (Operador p) Se define el operador pn al operador diferencial que representa

la derivada n-ésima con respecto a la variable del dominio continuo. Es decir,

Por otra parte, se debe introducir dos definiciones que conforman la solución completa de una ecuación diferencial ordinaria.

Definición 2.2 (Respuesta transitoria) La respuesta transitoria o, también denominada natural o solución homogénea, es la solución de toda ecuación diferencial ordinaria cuando su señal de excitación viene definida por la función nula.

Definición 2.3 (Respuesta permanente) La respuesta permanente o, también denominada forzada o solución particular, es la solución de la ecuación diferencial ordinaria ante una señal de excitación que actúa sobre el sistema.

Observación 2.1 La respuesta transitoria, natural u homogénea es intrínseca del sistema y no de la excitación, a diferencia de que la respuesta permanente, forzada o particular, que además de depender del sistema, depende de la excitación.

Se conocen condiciones del sistema, bien sean condiciones iniciales a través del valor de la respuesta y(t) para t = 0 y sus primeras n-1 derivadas para t = 0, ó n valores conocidos de la respuesta completa y(t) en n distintos instantes de t, o combinación de lo anterior.

Se tiene que:

donde el coeficiente o también denominado parámetro an = 1 (ODE with leading coefficient equal to 1 is called standard ODE form)

Aplicando las Ecuaciones (2.46), se puede escribir el modelo matemático definido por la Ecuación (2.45) como:

donde D(p) es el ampliamente conocido polinomio característico del sistema.

Respuesta Transitoria

Existen diversos métodos para determinar la respuesta transitoria de un modelo matemático asociado a un sistema LDCID en el dominio continuo, el cual es representado por una ecuación diferencial ordinaria.

Método 2.1 (Determinación de la Respuesta Transitoria) Dada la ecuación diferencial ordinaria definida por la Ecuación (2.44),

Ejecute:

Paso 1. Asegúrese de que el término an de la ecuación diferencial sea igual a uno. Si no es así, divida toda la ecuación diferencial entre an.

Paso 2. Aplique el operador “p” a la ecuación diferencial.

Paso 3. Determine las n raíces que anulen el polinomio D(p) y denote las raíces reales como ri para cada i = 1; … ;nr, y las raíces complejas conjugadas como

para cada i = nr +1; ..;n, donde

tomando en cuenta la multiplicidad de cada una de las raíces denotada como mi.

EJEMPLO 2.5 Respuesta transitoria de un sistema de quinto orden

Suponga el modelo matemático de un sistema LDCID en tiempo continuo definido

por:

donde y(t) es la señal de respuesta del sistema, y x(t) representa la señal de excitación. Para el modelo matemático definido mediante la Ecuación (2.48), determine la solución homogénea del sistema aplicando el Método 2.1.

Solución. Debido a que el término a5 no es igual a 1, se debe dividir toda la ecuación diferencial entre a5, para luego aplicar el operador p, obteniéndose:

Al calcular las cinco raíces que anulan D(p), se tiene que sus raíces son: r1 = -2, r22= -3 y

z3 = -1 +- j. Entonces, se puede afirmar que las soluciones asociadas a cada raíz viene dada por:

Respuesta Permanente

Al despejar y(t) de la Ecuación (2.47):

se tiene que

donde la fracción N(p)/D(p) representa el operador del sistema L(p).

A fin de estudiar el caso más general de las señales de excitaciones más comúnmente presentes en los sistemas eléctricos, se analizará cuando la señal de excitación es considerada una exponencial definida por:

donde en general s es un parámetro o coeficiente complejo, y cuyo valor es

y B es un parámetro constante de la señal de excitación, que pertenece al conjunto de los números reales

Por otra parte, los casos en los cuales pueden ser aplicado el método que será descrito en este punto, corresponden a aquellos en donde D(s) no es igual a 0.

La Ecuación (2.50) permite representar diversas situaciones para la señal de excitación x(t), y cuyos casos son mostrados a continuación mediante la Tabla 2.1

Es importante hacer notar que la operación

ejecuta mediante la operación límite, es decir,

EJEMPLO 2.6 Considere un sistema LDCID con modelo matemático definido por:

Para el sistema representado por la Ecuación (2.52), determine la respuesta permanente del sistema si la señal de excitación es:

Solución. Dado que el coeficiente a3 es igual a uno, se puede aplicar el operador p a la Ecuación (2.52) obteniéndose:

Respuesta Completa

La respuesta completa del sistema se consigue sumando la respuesta transitoria u homogénea con la respuesta permanente o solución particular, es decir:

donde los coeficientes ci para todo i = 1; …. ;n se obtiene de n condiciones conocidas, en concordancia con el grado de la ecuación característica N(p), es decir, los coeficientes ci

para todo i = 1; …. ;n son determinados por el conocimiento de:

Por ejemplo, el problema ahora es hallar la respuesta completa del sistema, bajo las condiciones:

Solución. Claramente se tiene que el término a3 = 1, hecho que permite aplicar el operador p directamente a la Ecuación (2.52), arrojando el polinomio característico

D(p) = p3 +8p2 +19p+12, y cuyas raíces que lo anulan son r1 = -1, r2 = -3 y r3 = -4.

Como consecuencia del análisis hecho, se tiene que la solución homogénea está dada por:

De las Ecuaciones (2.53) y (2.57) se puede afirmar que la solución completa es:

Al resolver el sistema de ecuaciones lineales definido por la Ecuación (2.60)

se obtiene que c1 = 1/3, c2 = -3/2 y c3 = 5/3, los cuales al ser sustituido en la Ecuación (2.58) se llega a:

Fuentes:

  1. Análisis de Sistemas Lineales – Prof. Ebert Brea
    1. Análisis de Sistemas en el Dominio Continuo p 29
  2. Control Systems Engineering, Norman Nise
    1. First Order System 4.3 p 165-168
  3. Oppenheim – Señales y Sistemas
    1. 1.6.6 Linealidad p 53

Literature Review by: Larry Francis Obando – Technical Specialist, Education Content Writer

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

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